第一章 集合与常用逻辑用语单元题型大总结
教学目标
1.通过实例了解集合的含义,集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专
用符号,并能够用其解决有关问题。
2.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。
3. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概
念。
4.理解两个集合的并集与交集的含义，补集的含义，会求简单集合的交、并运算，会
求给定子集的补集。
5.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分
条件、必要条件、充要条件．
6.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量
词的命题及判断其命题的真假性．
教学重难点
教学重点:
①由实际问题抽象集合的概念，理解集合间的关系与运算;
②通过集合间的关系，探究充分条件与必要条件;
③理解全称量词和存在量词的意义;
④理解全称量词和存在量词的否定
教学难点:
①抽象研究对象--集合;
②根据集合间关系，利用集合的运算对参数进行求解;
③对充分条件和必要条件关系的理解。
知识点01 集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不
在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是
说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性
质称为集合元素的无序性.
【即学即练】已知集合
，且
，则
．
【答案】
【分析】由
，可得
或
，然后分情况求出
的值，再利用集合中的元素的互异
性判断即可
【详解】由
，可得
或
，
由
，解得
，经过验证
，
不满足条件，舍去.
由
，解得
或
，经过验证：
不满足条件，舍去.
∴
.
故答案为：
.
知识点02 集合的表示方法
1 常用数集及其符号
常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
数学符合
或
2 集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“
”括起来表示集合的方法叫做列举法．
（3）描述法定义：一般地，设
表示一个集合，把集合
中所有具有共同特征
的元素
所组成的集
合表示为
，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在
竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）
（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为
图。
【即学即练】已知全集
，集合
，
，则（ ）
A．集合
的真子集有8 个
B．
C．U 中的元素个数为7
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求出集合B，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.
【详解】因为
，所以
因为集合
，所以A 的真子集有
共7 个，故A 错；
由
，
，得
，所以
，故B 错；
由
，得U 中的元素个数为5，故C 错；
由
，
，
，所以
，
所以
，故D 对；
故选：D
知识点03 子集
一般地，对于两个集合
，
，如果集合
中任意一个
元素
都是集合
中的元素，我们就说这两个集合
有包含
关系
，称集合
为集合
的子集
（1）记法与读法：记作
(或
)，读作“
含于
”(或“
包含
”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即
.
②对于集合
，
，
，若
，且
，则
（3）
图表示：
【即学即练】已知集合
，则
的子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】B
【分析】根据集合交集运算及集合子集的个数公式计算.
【详解】因为集合
，
所以
，所以
的子集个数为
.
故选：B.
知识点04 真子集
如果集合
，但存在元素
，且
，我们称集合
是集合
的真子集;
（1）记法与读法：记作
，读作“
真包含于
”(或“
真包含
”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合
，
，
，若
，且
，则
（3）
图表示：
【即学即练】已知集合
.若存在
的
个不同的非空子集，它们的并集是
的真子集，则
的最大值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】分析集合
的子集的并集是
的真子集，则这
个集合中所含元素的个数确定
的最大值.
【详解】集合
的
个不同的非空子集，它们的并集是
的真子集，
那么这
个集合中至多含有3 个元素，比如1、2、3.
那么这
个集合可能是：
，
，
，
，
，
，
.
故
的最大值为7.
故选：C
知识点05 交集
一般地，由既属于集合
又属于集合
的所有元素组成的集合即由集合
和集合
的相同元素组成的集
合，称为集合
与集合
的交集，记作
（读作：
交
）.记作：
.
交集的性质：
,
,
,
,
.
高频性质：若
.
图形语言
【即学即练】已知集合
，
，若
，则
的取值范围是
．
【答案】
.
【分析】化简集合
，因为
,所以
,借助数轴即可求解.
【详解】由题:
,
,
因为
,所以
,
借助数轴，所以
故答案为:
.
知识点06 并集
一般地，由所有属于集合
或属于集合
的元素组成的集合称为集合
与集合
的并集，记作
（读作：
并
）.记作：
.
并集的性质：
,
,
,
,
.
高频性质：若
.
图形语言
【即学即练】已知集合
．
(1)当
时，求
，
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
,
;
(2)
.
【分析】（1）化简
，当
时，用交集和并集的概念求解即可；
（2）若
，则
，利用子集关系可求得
的取值范围．
【详解】（1）
,
当
时,
,
所以
，
（2）若
，则
，
又
，
所以
.
知识点07 全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用
表
示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设
是全集，
是
的一个子集（即
）,则由
中所有不属于集合
的元素组成的集合，
叫做
中子集
的补集，记作
，即
.
补集的性质：
,
,
.
知识点08 全称量词命题和存在量词命题的否定
1 全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对
中的任意一个
，有
成立；数学语言：
.
②全称量词命题的否定：
.
2 存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在
中的元素
，有
成立；数学语言：
.
②存在量词命题的否定：
.
【即学即练】命题“
，
”为假命题的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由“
，
”为真命题，从而得
，即可求解.
【详解】由命题“
，
”为假命题，则由“
，
”为真命题，
则
，因
，所以
，所以可得
，
所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是
，故A 正确.
故选：A.
知识点09 充分条件、必要条件 与充要条件的概念
（1）若
，则
是
的充分条件，
是
的必要条件；
（2）若
且
，则
是
的充分不必要条件；
（3）若
且
，则
是
的必要不充分条件；
（4） 若
，则
是
的充要条件；
（5）若
且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
【即学即练】使不等式
成立的一个充分不必要条件可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解出不等式，求出解集，根据充分不要条件与集合之间的对应关系，判断各选项正误.
【详解】已知
，化简得
或
，
解得
，
则使不等式
成立的一个充分不必要条件是
的真子集，
则只有
符合题意.
故选：D.
题型01 元素（集合）与集合
【典例1】下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系进行逐一判断.
【详解】对于①，“
”是用于元素与集合的关系，①错，应该是
.
对于②，
是任意非空集合的真子集，②对.
对于③，集合是它本身的子集，③对.
对于④，“
”是用于元素与集合的关系，④错.
对于⑤，
是用于集合与集合的关系的，⑤错.
所以错误的写法有①④⑤，共3 个.
故选：C.
【变式1】已知集合
，集合
，则下列各选项中属于
的元素是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【分析】先分析集合
中元素的特点，得出
，逐个选项判断即可求解.
【详解】由
可得：
则
，
所以
，
则
，
，
，
.
故选：D.
【变式2】已知集合
为非零常数，则下列不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分
，
；
，
或
，
异号，进行求值，即可得解.
【详解】若
，
时，
；
若
，
时，
；
若
，
异号时，
．
故选：A
【变式3】给出下列关系：①
；②
；③
；④
，其中正确的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可.
【详解】显然
，
，①③正确；
集合
中的元素为一个式子，集合
中的元素为数，②错误
在
中，当
时，
即有
因此
，④正确
正确命题的个数是
故选：C
【变式4】若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系.
【详解】因为集合
,
，则
.
故选：A
元素与集合
属于
不属于
集合与集合
包含
不包含
题型02 集合中元素的三个特性
【典例1】设数集A 由实数构成，且满足：若
（
且
），则
.
(1)若
，则A 中至少还有几个元素？
(2)集合A 是否为双元素集合？请说明理由；
(3)若A 中元素个数不超过，所有元素的和为
，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A
中的元素.
【答案】(1)两个；
(2)不是，理由见解析；
(3)
.
【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得.
（2）由
，求得A 中其它元素，再判断不相等即可.
（3）由（2）中信息，可得
，再结合已知列出方程求解即得.
【详解】（1）由
，得
，则
，因此
所以A 中至少还有两个元素为
，
.
（2）不是双元素集合．理由如下：
由
，得
，则
，
而
且
，
，即
，
，
于是
，由
，得
，则
，
因此集合A 中至少有个元素，所以集合A 不是双元素集合．
（3）由（2）知A 中有三个元素为
、
、
（
且
），且
，
依题意，A 中除上述3 个元素外，还有其它元素，设A 中有一个元素为
，
则
，
，且
，
于是A 中的元素为
，且集合A 中所有元素之积为，
由A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设
或
，解得
或
．
此时
，
，
，依题意，
，
整理得
，即
，解得
或或
，
所以集合A 中的元素为
.
【变式1】已知集合
，若对
都有
，则
为（ ）
A．1
B．
C．2
D．1 或2
【答案】C
【分析】得到
，分
和
两种情况，求出
，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】由题意得
，
当
时，解得
或
，
当
时，
满足要求，
当
时，
，
，
，
中元素均与互异性矛盾，舍去，
当
时，
，此时
，
中元素与互异性矛盾，舍去，
综上，
.
故选：C
【变式2】已知集合
，集合
,1,
．
(1)若
，求
的值；
(2)是否存在实数
，
，使
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】（1）由题意可得，
或
，解得
或
，再结合元素的互异性，即可求
解．
（2）分
，
讨论，即可求解．
【详解】（1）由题意可得，
或
，解得
或
，
当
时，
,1,
不成立，
当
时，
,
,
成立，
故
．
（2）由题意可得，
，
若
，则
，
,7,
，不合题意，
若
，则
，
，不合题意，
故不存在实数
，
，使得
．
【变式3】（1）已知
，求实数
的值；
（2）已知
，求实数
，
的值.
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）利用
，再分
，
，
三种情况讨
论，利用集合的性质，即可求解；
（2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解.
【详解】（1）若
时，解得
，此时
，
，不满足集合的互异
性，所以
，
若
时，解得
或
，当
时，
，
，所以
满足题意，
当
时，
，
，不满足集合的互异性，所以
，
若
，解得
（舍）或
（舍），
综上，实数
的值为
.
（2）因为
，则
或
，
由
，解得
，由
，解得
，
经检验，
和
均符合题意，
综上，
或
.
【变式4】已知集合A 的元素为实数，满足①
且
；②若
，则
.
(1)若
，求A；
(2)集合A 有没有可能是单元素集?
(3)若
，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)没有可能；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用定义依次计算即得.
（2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可.
（3）利用给定的定义计算推理即得.
【详解】（1）当
时，即
，则
，
，
，
，所以
.
（2）假设集合
是单元素集，
由
，则
，得
，整理得
与实数平方为非负数矛盾，
所以集合
不可能是单元素集.
（3）由
，得
且
，
，于是
，
，所以
.
题型03 集合的表示方法综合
【典例1】不包含
， 0， 1 的实数集A 满足条件：若
，则
．如果
，用列举法表示集
合A.
【答案】
【分析】利用迭代法，将所得的数依次代入
，即可求解.
【详解】因为
，所以
．
因为
，所以
．
因为
，所以
．
因为
，所以
．
开始循环，
综上，
．
【变式1】已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
，根据交集概念求出答案.
【详解】
，
又
，所以
.
故选：B
【变式2】已知集合
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别求出集合A 与集合B，再求交集运算即可.
【详解】
或
，
则
.
故选：D.
【变式3】已知集合
，
，
，
为非零实数
，则
的子集个数是 .
【答案】8
【分析】根据题意分
，
，
都是正数；
，
，
都是负数；
，
，
中有一个是正数，另两个是负
数；
，
，
中有两个是正数，另一个是负数4 种情况讨论求解即可.
【详解】因为集合
，
，
，
为非零实数
，
所以当
，
，
都是正数时，
；
当
，
，
都是负数时，
；
当
，
，
中有一个是正数，另两个是负数时，
；
当
，
，
中有两个是正数，另一个是负数时，
，
于是得集合
中的元素有3 个，所以
的子集个数是8.
故答案为：8
【变式4】用适当的方法表示下列集合．
(1)
；
(2)
；
(3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）可以用列举法表示集合
；
（2）可以用列举法表示集合
；
（3）可以用描述法表示给出的集合.
【详解】（1）
，
，
，
或
或
．
（2）
且
，
．
，即
．
．
（3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为：
题型04 子集（真子集）个数
【典例1】定义集合的
运算：已知集合
，则
．若集合
，
，则集合
的真子集个数的取值集合是 ．
【答案】
【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可．
【详解】由集合中元素的互异性可得
且
．
当
时，
，所以
，
此时集合
的真子集个数为
．
因为集合A 中有
个元素，则集合A 有
个子集，有
个真子集，
当
且
时，
，此时集合
的真子集个数为
．
故答案为：
【变式1】已知a 为给定实数，那么集合
的非空子集的个数为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．不确定
【答案】B
【分析】根据判别式判断集合中元素个数，进而确定集合非空子集个数.
【详解】由
，则集合
有2 个元素，
所以
的非空子集个数为
个.
故选：B
【变式2】设集合
，选择集合
的两个非空子集
和
，要使
中最小的数大于
中最大的
数，则不同的选择方法共有（ ）.
A．50 种
B．49 种
C．48 种
D．47 种
【答案】B
【分析】依
中的最大数进行分类求解.
【详解】依
中的最大数进行分类：
①若
中的最大数为1，则
有1 种，则
是集合
的非空子集，有
种，所以有
（种）；
②若
中的最大数为2，则
有2 种，则
是集合
的非空子集，有
种，所以有
种；
③若
中的最大数为3，则
有4 种，则
是集合
的非空子集，有
种，所以有
种；
④若
中的最大数为4，则
有8 种，则
是集合
的非空子集，有1 种，所以有
种.
所以可得
，故不同的选择方法共有49 种．
【变式3】（多选）若
，
，则称集合
为幸福集合．对集合
的所有非空子
集，下列叙述正确的是（ ）
A．幸福集合个数为8
B．含
的幸福集合个数为4
C．不含1 的幸福集合个数为4
D．元素个数为3 的幸福集合有2 个
【答案】BD
【分析】求出集合
所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案.
【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；
，2；
三组．
含一组的幸福集合有
，
，
，共3 个；
含两组的幸福集合有
，
，
，共3 个；
含三组的幸福集合有
，共1 个，
所以
的非空子集中幸福集合的个数为
，故A 错误；
其中含
的幸福集合个数为4，不含1 的幸福集合个数为3，故B 正确C 错误；
元素个数为3 的幸福集合有2 个，故D 正确.
故选：BD.
【变式4】已知集合M 满足
，则这样的集合M 有多少个？并求所有M 的元素之
和．
【答案】69
【分析】由集合M 满足的条件，分析得到集合
中元素的可能构成情况，进而求解即得答案.
【详解】因为
，一定含有元素
但不仅含有元素
，还可以含有元素
且
至多含有
五个元素．
故满足条件的集合
的个数是
的真子集个数，共
个
集合
为
，
，
，
，
，
，
．
由于所有的
中
分别出现了4 次，所以元素之和为
．
若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真子集有
个．
题型05 根据包含关系求参数
【典例1】对于两个实数
，规定
．
(1)证明：关于
的不等式
的解集为
；
(2)设关于
的不等式
的解集为
，且
，求自然数
的所有取值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
或
或
.
【分析】（1）由题设定义有
，再应用分类讨论求解集，即可证；
（2）根据新定义化为
，分类讨论参数
，求对应解集判断
是否成立，即可
得.
【详解】（1）不等式
可化为
．
当
时，不等式可化为
，解得
，所以
；
当
时，不等式可化为
，恒成立，所以
；
当
时，不等式可化为
，解得
，所以
．
综上所述，关于
的不等式
的解集为
.
（2）不等式
，即
，也即
，
当
时，
，解得
，
，满足
．
当
时，因为
，
，
，
所以
，即
，解得
或
．
当
时，
即
，
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，
所以
，满足
．
当
时，
即
，
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，
所以
，满足
．
综上，
或
或
.
【变式1】已知全集
，集合
，
，
．
(1)求集合
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）解分式不等式求集合A，解绝对值不等式求集合B，再由集合的交补运算求
；
（2）首先得
，再由包含关系列不等式求参数范围.
【详解】（1）由集合
，
或
，
集合
所以
．
（2）由（1）知
，因为
，
所以
，解得
，即
，
故实数
的取值范围为
.
【变式2】设
，关于
的不等式
的解集为
．
(1)求
；
(2)设集合
，若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解二次不等式，由
取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集；
（2）由
先求
，再利用
，建立不等式，即可求实数
的取值范围．
【详解】（1）不等式
，即
.
因为
，所以
，
所以由
，可得
，
即
.
（2）
，
由（1）得
或
，
要使
，则需
，
又
，
解得
，
所以
的取值范围为
.
【变式3】已知集合
，集合
，若
，求
的取值范围.
【答案】
【分析】化简集合
，根据集合的包含关系列不等式可求
的范围.
【详解】解不等式
得
，
所以
，
由
，
，可得
当集合
时，
，解得
；
当集合
时，
，解得
.
综上：
.
【变式4】已知集合
，
．
(1)分别求
，
；
(2)已知
，若
，求实数
的取值集合．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合
，再根据集合交集和并集的概念求解即可；
（2）根据集合的包含关系列不等式组求解即可.
【详解】（1）由
解得
，
所以
，
，
所以
，
.
（2）因为
，所以
，
当
时可知
，解得
，
所以实数
的取值集合为
．
题型06 交集、并集、补集运算
【典例1】设设
，
是两个非空集合，定义
且
，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
和
，再根据
的定义写出运算结果.
【详解】因为
，
所以
，
，
又
且
，
所以
或
，
故选：B
【变式1】设
，
是两个非空集合，定义
与
的差集
，则
等于
（ ）
A．P
B．
C．
D．M
【答案】A
【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可.
【详解】当
时，由韦恩图知，
为下图中的阴影部分，则
显然为P．
当
时，
，
则
故选：A．
【变式2】已知全集
，集合
，
，则（ ）
A．集合
的子集有7 个
B．
C．
中的元素个数为7
D．
【答案】D
【分析】由题可得集合
，再逐项判断即可.
【详解】
分析可知
中的元素
为自然数，且
为自然数，故考虑哪些自然数
能使
也为自然数．
因为
，所以
．
对于A，因为集合
，所以
中的元素个数为3，所以
的子集个数为
，所以A 错误；
对于B，由
，
，得
，而
是一个集合，所以
，所以
B 错误；
对于C，由
，得
中的元素个数为5，所以C 错误；
对于D，由
，
，得
，因为
，所以
，所
以D 正确.
故选：D.
【变式3】（多选）设全集
，集合
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
的真子集个数为32
D．
【答案】AD
【分析】由题意知
，作出Venn 图，如图，依次判断选项即可.
【详解】由题意知
，作出Venn 图，如图．
由图可知
，故A 正确，B 错误；
集合
的真子集个数为
，C 错误；
，故
，D 正确.
故选：AD
【变式4】已知集合
，
，
．
(1)求
，
；
(2)求
，
．
【答案】(1)
(2)
【分析】分别求出集合
，
，利用集合交、并、补的运算求解即可.
【详解】（1）由题意得，
，
，
，
所以
，
．
（2）由题意得，
，
，
所以
，
．
题型07 根据交集、并集、补集运算结果求参数
【典例1】设全集
，集合
，集合
，其中
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式求出集合
，再求交集可得答案；
（2）由
得
，建立不等式可得答案.
【详解】（1）由
得：
，解得：
，
即
，
；
当
时，
，
解得：
，即
；
；
（2）由（1）知：
；
由
得：
，
即
，
由
得
，解得：
，
即实数
的取值范围为
.
【变式1】设全集
，集合
．
(1)若
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
或
(2)
(3)
．
【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解；
（2）由题意得
，进一步列不等式即可求解；
（3）由题意得
，对
是否是空集进行分类讨论即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，又
，
所以
．
方法一 因为
或
，
或
，
所以
或
．
方法二
或
．
（2）因为
，所以
，
又
，所以
解得
，
所以
的取值范围是
．
（3）因为
，所以
（
，分为
与
两种情况讨论）．
若
，则
，可得
，满足
；
若
，要使
，则
不等式组无解．
综上，
的取值范围是
．
【变式2】已知集合
，
．
(1)当
时，求
，
；
(2)若
时，存在集合
，使
，求出所有的集合
；
(3)集合
能否满足
？若能，求出实数
的取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
，
，
，
，
，
(3)能，
【分析】（1）先求出集合
，再根据并集，补集的定义求解即可；
（2）由题设可得
是非空集合，且
是
的真子集，进而求解即可；
（3）由题设可得
，进而分
和
讨论求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
所以
，
．
（2）当
时，
，
又因为
，所以
，
因为
（
是非空集合，且
是
的真子集），
，
所以这样的集合
共有6 个：
，
，
，
，
，
．
（3）能，由
，可得
，
若
，此时由
，可得
；
若
，由（1）知
，
① 当
时，
，即
，
此时
，
不是
的一个子集，舍去；
② 当
时，
，即
，
此时
，此时
是
的一个子集；
③ 当
时，
，即
，
此时
，此时
是
的一个子集．
综上可得，当
或
时，满足
，
此时实数
的取值范围为
．
【变式3】已知集合
.
(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，若
为非空集合，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分
和
两种情况求解即可；
（2）分
和
两种情况，结合一元二次方程根的分布求解即可.
【详解】（1）若A 是空集，则方程
无实根，
当
时，
，解得
，此时
，不符合题意；
所以
，
，解得
，
故实数a 的取值范围为
；
（2）当
时，
.
所以方程
至少有一个正实根.
①当
时，
，解得
，
所以
，符合题意；
②当
时，由
，则
且
，
若
时，
，此时
，符合题意；
当
且
时，方程
有两个不相等实根，设为
，
且方程
有两正根或一正根和－负根，
所以
或
，
解得
或
.
综上，实数a 的取值范围为
.
【变式4】已知集合
，
或
．
(1)求
，
；
(2)若集合
，且“
，
”为真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
或
，
(2)
或
【分析】（1）求出集合
然后求其补集即可，求出集合
的补集，再求与集合
的交集即可.
（2）由题意可得
，讨论集合
是否为空集即可.
【详解】（1）集合
，
或
，
则
或
，
，则
（2）
，
为真命题，即
，
又
，
，
当
时，
，即
，此时
，符合题意；
当
时，由
可得
或
，解得
，
综上，m 的取值范围为：
或
．
题型08 充分性与必要性的判断
【典例1】设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】不等式
，不等式
，
而集合
是集合
的真子集，
所以“
”是“
”的必要而不充分条件.
故选：B
【变式1】若命题
：“
，
”.使命题
为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由命题
为真求出
的范围，再结合选项求出命题
为假命题的必要不充分条件.
【详解】
，
，而
，当且仅当
时取等号，则
，
因此命题
，命题
为假命题时，
，
由给定的选项知，集合
真包含于集合
，
所以使命题
为假命题的一个必要不充分条件是
.
故选：A
【变式2】命题
，命题
，则
是
成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解分式不等式有
，结合充分、必要性定义即可得.
【详解】由
，而
，
所以
是
成立的充分不必要条件.
故选：A
【变式3】已知
，则p 是q 的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解分式不等式求得
，解绝对值不等式求得
，结合充分、必要性定义即可得.
【详解】由
，则
，可得
，
由
，则
，
所以p 是q 的充分不必要条件.
故选：B
【变式4】“
”是“关于
的不等式
有实数解”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由一元二次不等式有解的条件可得
的取值范围即可判断.
【详解】因为关于
的不等式
有实数解，所以
，所以
，
又由于
真包含于
，
所以“
”是“关于
的不等式
有实数解”的必要不充分条件，
故选：B．
题型09 根据充分性与必要性求参数
【典例1】已知集合集合
，集合
.
(1)若
，求
和
；
(2)设命题
，命题
，若
是
成立的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）先求解出集合
和集合
，再根据交集和并集的定义进行计算.
（2）根据
是
成立的必要不充分条件得出集合
与集合
的包含关系，进而求出实数
的取值范围.
【详解】（1）已知
，解不等式
：
移项可得
，通分得到
，即
.
此不等式等价于
.
解
，可得
，所以
.
已知
，当
时，
.
解不等式
，可得
，即
，所以
.
所以
.
.
（2）已知
，解不等式
，可得
，即
，所以
.
因为
是
成立的必要不充分条件，所以
.
则有
（不能同时取等号），解
得
.
所以实数
的取值范围是
【变式1】已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若存在正实数m，使得“
”是“
”成立的必要不充分条件，求正实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）解不等式化简集合
，再利用补集、交集的定义求解.
（2）求出集合
，再利用必要不充分条件定义列式求解.
【详解】（1）当
时，
，则
或
，
而
，
所以
.
（2）当
时，
，
由（1）知
，由“
”是“
”成立的必要不充分条件，
得集合
是集合
的真子集，则
或
，解得
或
，
所以正实数m 的取值范围中
.
【变式2】已知集合
，
.
(1)若
，求
；
(2)若“
”是“
”的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当
时，求出集合
，利用补集和交集的定义可求得集合
；
（2）分析可知
是
的真子集，分
、
两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数
的不等式（组），综合可得出实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，集合
，可得
或
，
因为
，所以
.
（2）若“
”是“
”的充分不必要条件，所以
是
的真子集，
当
时，即
时，此时
，满足
是
的真子集；
当
时，则满足
，解得
，
当
时，
，此时
是
的真子集，合乎题意；
当
时，
，此时
是
的真子集，合乎题意.
综上，实数
的取值范围为
.
【变式3】已知不等式
的解集为
，设不等式
的解集为集合
.
(1)求集合
.
(2)设全集为R，集合
，若
是
成立的必要不充分条件，求实数
的取值范
围.
【答案】(1)
(2)实数
的取值范围为
【分析】（1）利用不等式的解集与方程的方程的根的关系求出
，再去解不等式即可得到集合
，
（2）由
是
成立的必要不充分条件，得到
之间的包含关系，再去求解
的取值范围.
【详解】（1）因为不等式
的解集为
，
则
是
的两根，由韦达定理可得
，即
，
所以不等式为
的解集
，
（2）因为
是
成立的必要不充分条件，则
是的真子集，
当
时，
，即
，符合题意；
当
时，
在
上有一个或两个根，又由韦达定理可知方程两根同号，
则
即
解得
，符合题意，
综上所述，实数
的取值范围为
.
【变式4】已知集合
且
，集合
，命题
，命题
.
(1)若
，求
；
(2)若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）求得集合
和
，
，进而可求得
；
（2）根据给定条件可知集合
是集合
的真子集，根据包含关系列不等式求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，故
，
又因为
，
所以
.
（2）因为
是
的充分不必要条件，故
是
的真子集，
又
且
，
所以
（等号不同时成立），解得
，
综上，实数
的取值范围是
.
充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若
，则
是
的充分条件，
是
的必要条件；
（2）若
且
，则
是
的充分不必要条件；
（3）若
且
，则
是
的必要不充分条件；
（4） 若
，则
是
的充要条件；
（5）若
且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
题型10 根据全称量词命题与存在量词命题真假求参数
【典例1】设
(1)若命题：
是假命题，求m 的取值范围；
(2)若命题：
是真命题，求m 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）求出给定命题的否定，再利用一元二次型不等式恒成立求出
范围.
（2）变形不等式并分离参数，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】（1）由命题：
是假命题，得
是真命题，
即
成立，当
时，
恒成立，则
；
当
时，
，解得
，
所以m 的取值范围是
.
（2）不等式
命题：
是真命题，则
是真命题，
即
是真命题，
，
，当且仅当
时取等号，则
，
所以m 的取值范围
.
【变式1】若命题
时，
是假命题，则
的取值范围
【答案】
【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再分离参数利用基本不等式求得
的取值范围.
【详解】若命题
时，
是假命题，
则命题
时，
是真命题，
则
，由于
，即
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
【变式2】已知命题“
，使得
”为假命题，则实数a 的范围为 ．
【答案】
【分析】利用已知得到真命题，结合二次函数的单调性求解即可；
【详解】由题意可得命题“
，使得
”为真命题，
即
在
上有解，
令
，
，则
，
在
为减函数，所以
，
所以
，即实数a 的范围为
.
故答案为：
.
【变式3】设命题
，使得不等式
恒成立；命题
使得不等式
成立.
(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)①写出命题q 的否定；
②若命题q 为假命题，求实数x 的取值范围.
【答案】(1)
(2)①
，不等式
成立；②
【分析】（1）将问题转换为
，
即可.
（2）①由命题的否定的定义即可得解；②将问题转换为
，
即可.
【详解】（1）若p 为真命题，即
，使得不等式
成立，
则对于
，
即可.
由于函数
在区间
上单调递增，
所以
时，
，则
.
（2）①q 的否定为：
，不等式
成立
②若q 为假命题，则“
，不等式
成立”为真命题，
那么对于
，
即可.
由于
，
，
∴
，解得
【变式4】已知命题p：
，
，若
为假命题，求实数m 的取值范围．
【答案】
【分析】若
为假命题，则命题p 为真命题，根据一元二次不等式在实数集上恒成立可得
的取值范围.
【详解】∵
为假命题，∴命题p 为真命题，即
在R 上恒成立，
∴
，解得
，故实数m 的取值范围为
．
故答案为：
.
题型11 新定义题
【典例1】设A 是非空实数集，且
.若对于任意的
，都有
，则称集合A 具有性质
；若
对于任意的
，都有
，则称集合A 具有性质
.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质
的集合A；
(2)若非空实数集A 具有性质
，求证：集合A 具有性质
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）写出
即可；
（2）根据性质
可知
，分别说明集合A 中元素为1 个、2 个、大于2 个时，集合中元素满足性质
即
可．
【详解】（1）
，由
，
恰含有两个元素且具有性质
的集合
满足要求；
（2）非空实数集A 具有性质
，不妨设
，
由非空数集A 具有性质
，有
．故
中必有1，
①若
，易知此时集合A 具有性质
．
②若实数集A 只含有两个元素，不妨设
，
由
，且
，解得：
，此时集合
具有性质
．
③若实数集A 含有两个以上的元素，不妨设
，
，
则
，
，
，
，
，
依次类推，可得
，
若
，
，
，同理可得
，
且
，
故对于任意的
，都有
，集合A 具有性质
；
综上可知集合A 具有性质
.
【变式1】设
是集合
的两个子集，若规定满足
的集合
称为
的理
想配对，则满足条件的理想配对有（ ）.
A．8 种
B．9 种
C．27 种
D．16 种
【答案】C
【分析】根据题意，对于1，3，5 每个数都有3 种选择，故有种.
【详解】根据题意，对1，3，5 而言，要么只在集合
中，要么只在集合
中，要么不在这两个集合的任
意一个中，即每个数都有3 种选择，故有
种.
故选：C
【变式2】高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集
，定义
，将
称为“
与
的笛卡尔积”．
(1)若
，
，求
和
．
(2)若集合
是有限集，将集合
的元素个数记为
．已知
，且存在实数
满足
对任意
恒成立，求
的取值范围，并指明当
取到最值时
和
满足的关
系式及
应满足的条件．
【答案】(1)
，
(2)
，
，
，
．
【分析】（1）根据新定义直接运算求解；
（2）设
，
，，
，则
，
，
，先化简
，再运用基本不等式求
的范围，即可求解．
【详解】（1）由题意可得，
，
．
（2）设
，
，，
，
则
，
，
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以实数
的取值范围为
．
若
取到最大值，则
，即
，
可得
，即
，所以
，
．
【变式3】对于由
个正整数构成的集合
，如果去掉其中任意一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有
元素之和相等，就称集合
为“和谐集”．
(1)判断集合
是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合
是“和谐集”，则集合
中元素个数为奇数．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)由题干定义即可得；
(2) 设集合
所有元素之和为
，由题意可知
均为偶数，
因此任意一个元素
的奇偶性相同．
所以分
是奇数与偶数进行讨论
【详解】（1）当集合
去掉元素2 时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
．
经过计算可以发现每组两个集合的所有元素之和不相等，故集合
不是“和谐集”．
（2）设集合
所有元素之和为
，
由题意可知
均为偶数，
因此任意一个元素
的奇偶性相同．
若
是奇数，则
也都是奇数，
因为
，所以
为奇数；
若
是偶数，则
也都是偶数，设
，
显然
也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以得到各项都为奇数的“和谐集”，
此时各项的和也是奇数，所以
为奇数．
综上所述，若集合
是“和谐集”，则集合
中元素个数为奇数．
【变式4】已知集合A 是正整数集
的真子集，若A 满足如下两个性质，则称A 具有性质P.条件①：存在
，使得
；条件②：对任意
，且
，都有
.
(1)判断下列两个集合是否具有性质
；（无需过程）
；
.
(2)若集合A 具有性质P，且A 为有限集，求集合A 的元素个数
的最小值和最大值；
(3)是否存在具有性质P 且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明
理由.
【答案】(1)
具有性质
；
不具有性质
；
(2)最小值2,最大值5
(3)有；
，
，
，
，
.
【分析】（1）直接根据定义验证即可；
（2）先证明单元素集合不符合要求，然后由（2）有一个2 元素集合符合要求，可得集合元素个数的最小
值；分析集合中的元素的最大值，当超过6 时，根据题意得到无限集合，当最大是5 时，构造得到符合要
求的集合，从而得到集合元素个数的最大值；
（3）分析含有大于7 的奇数时，必然得到包含所有的正整数，没有大于7 的奇数时，必有大于7 的偶数，
由此得到必须包含所有的偶数，这时奇数1，3，5 是可选的，的分析可得有5 时必有1，3，有3 时必有
1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合.
【详解】（1）对于
，若
使得
，只能是
，此时
，所以
具有性质P。
对于
，取
，则
，但
，
不满足条件②，所以
不具有性质P。
（2）取
，具有性质
.
，则
∴
，
若
，
，
，
时，
，
，
∴∣A∣最小值为2；
设
中的最大值为
，则
，
时，
，
，
时
，
是满足性质
的，
再添加，就必须添加1，这样集合
，
，
时，∵
，∴
，
，∴
，
再添加1，2，3，
，
，满足性质
的，
若
时，
，
，
,
，
∴∣A∣的最大值为5.
（3）
，
是奇数，
，
以此类推，一切小于
的正奇数都属于A，
∵
，∴
，
，
记
，
，
依此类推，可得到任意大的偶数
属于A，
，
，
依此类推得到所有偶数属于A，
∴只要具有性质P 且为无限集的集合A 中含有大于等于7 的奇数，则所有的正整数都属于集合A.
若没有大于等于7 的奇数，则必有大于7 的偶数，
，
时比
更大的偶数，由此得出任意大的偶数
属于A，从而
属于A，于是得出所有的偶数都属于
A，
这样一来，奇数1，3，5 是可选的，
∵
，
∴集合A 中5 时必有1，3，有3 时必有1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合：
有大于等于7 的奇数时，只有一个
，
没有大于7 的奇数时有4 个：
，
，
，
.
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
是整数
【答案】D
【分析】举反例判断AC，根据
求解范围判断B，根据整数的概念判断D.
【详解】列表解析 直观解疑惑
选项
真
假
原因
A
假
举反例，例如
，但
．
B
假
因为对于任意实数
，
，所以
，恒大于0.
C
假
举反例，当
时，
，不满足
．
D
真
对于任意的整数
，
一定是整数，
也一定是整数，
所以
，
是整数．
故选：D
2．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解分式不等式、一元二次不等式求集合，再由集合的交补运算求解.
【详解】因为
，
，
所以
或
，所以
．
故选：B
3．已知集合
或
，
，若
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意可得
，解得即可.
【详解】因为
，
且
，
所以
，解得
，即
.
故选：D
4．已知整数集合
有整数解}，非空集合A 满足条件（1）
，（2）若
，则
，则所有这样的集合A 的个数为（ ）
A．15 个
B．16 个
C．31 个
D．32 个
【答案】C
【分析】根据集合新定义即可求解.
【详解】设
，
是方程
的两根，则
，
于是分类：当
，
时，
；
当
，
时，
；当
，
时，
；
当
，
时，
；当
，
时，
．
故
，
所以M 的5 对相反数共能构成
个不同的非空集合A．
故选：C.
5．已知关于x 的不等式
的解集为A，若
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.
【详解】由题可知
且
解得
.
故选：C.
6．已知集合
，
，且满足
，则实数
的取值范围
为（ ）.
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】先由
得到
，再分类讨论，利用根与系数的关系进行求解.
【详解】
，
，
当
时，
，即
；
当
时，利用韦达定理得到
，解得
；
当
时，利用韦达定理得到
，无解；
当
时， 根据韦达定理得到
，解得
；
综上，实数a 的取值范围是
.
故选：A.
7．某校高一四班学生46 人，寒假参加体育训练，其中足球队25 人，排球队22 人，游泳队24 人，足球排
球都参加的有12 人，足球游泳都参加的有9 人，排球游泳都参加的有8 人，问：三项都参加的学生数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可.
【详解】设集合
参加足球队的学生，
集合
参加排球队的学生，
集合
参加游泳队的学生，
则
，
，
设三项都参加的有
人，即
，
，
所以由
即
，
解得
，
三项都参加的有4 人，
故选：C.
8．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4 秒敲响一声，乙钟每5 秒敲响一声，丙钟每6 秒敲响一声．新
年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365 声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响
的次数分别
，则
（ ）
A．365
B．256
C．484
D．516
【答案】C
【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可.
【详解】设敲钟持续的时间为
秒，
则甲乙丙钟敲响次数分别为
，
，
，
由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为
，
由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为
，
由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为
，
由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为
，
由容斥原理易知
，
解得
，则
．
故选：C．
9．（多选）如果集合
只有一个元素，则
的值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】AC
【分析】分
和
两种情况进行讨论.
【详解】集合
只有一个元素，
所以方程
只有一个实数解.
若
，方程
只有一解；
若
，方程
只有一个实数解，所以
.
故选：AC
10．（多选）命题“存在
，使得
”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项.
【详解】存在
，使得
为真时，
当
时，
显然成立；
当
时，有
，解得
，
当
时，存在
，使得
；
所以存在
，使得
为真时，
，
命题“存在
，使得
”为假命题时
，
时，
不一定成立，不合题意；
时，
不一定成立，不合题意；
时，
必成立，反之
时，推不出
，符合题意；
时，
必成立，反之
时，推不出
，符合题意；
命题“存在
，使得
”为假命题的一个充分不必要条件是
；
故选：CD.
11．已知
，
，若
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由
，可得
，进而结合
，
讨论求解即可．
【详解】由
，可得
，
若
，即
，则
，符合题意；
若
，则
，此时要使
，则
解得
，因此
．
综上，
的取值范围为
．
故答案为：
．
12．集合
共有 个元素，其中
表示不超过x 的最大整数.
【答案】67
【分析】设
，根据高斯函数运算可得
，然后可得
的值域
，然后取交集即可.
【详解】设
，
则有
，
当
时，
的所有可能值为0，1，2，3，
因此，
的值域
，
则
共有
个元素.
故答案为：
.
13．已知全集
，集合
，集合
.
(1)若
，求
，
；
(2)若
是
的充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
或
(2)
【分析】（1）解出集合
，根据集合的交补运算得出结果；
（2）又题可得
，根据集合的包含关系求参数即可.
【详解】（1）若
，则
，
因为
，
所以
，
或
.
（2）根据充分条件的定义，条件可转化为
，列不等式组求解.
由（1）得
，若
是
的充分条件，则
则
，解得
所以
，即实数
的取值范围为
.
14．对于集合
，如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有
元素组成集合
，并且
都能分为两个集合B 和C，满足
，
，且B 的所有
元素之和与C 的所有元素之和相等，则称集合A 为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集
合”，并说明理由：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)不是“可分集合”，理由见解析；
(2)是“可分集合”，理由见解析.
【分析】（1）根据可“可分集合”的定义，当去掉2 时，即可判断，
（2）根据可“可分集合”的定义，即可逐一论证去掉任何一个元素均满足 “可分集合”的定义求解.
【详解】（1）集合
不是“可分集合”，理由如下：
因为
，
当去掉元素2 时，计算知：
，
，
．
可见集合
去掉元素2 后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和
相等的集合，即集合
不是“可分集合”．
（2）集合
是“可分集合”，
理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
因此任意去掉集合
中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空
集、且各自所有元素之和相等的集合．
15．已知集合P 为非空数集，定义
(1)若集合
，请直接写出集合
和
；
(2)若
且
，集合
满足
，求n 的最小值；
(3)若集合
，且
，求证：
．
【答案】(1)
；
(2)675；
(3)证明见解析
【分析】
（1）直接根据
和
的定义即可得到结果；
（2）先说明当
时条件不满足，再说明当
时条件满足，即可得到n 的最小值是
．
（3）先由﹣P 的性质确定
，然后反复讨论
的取值，即可得到所要证明
的结论．
【详解】（1）
由
和
的定义，得
（2）
当
时，因为
，所以
．
所以由题中新定义知，
，
，这与
矛盾；
当
时，对任意
，此时
，所以
，
．
所以
满足
．
综上可得，满足题意的n 的最小值是
．
（3）
证明：因为
所以
，且
．
显然
中不包含负数，且一定包含0，
因为
，所以
．
再由
知
，即
．
由
，知
，即
．
由
，知
，即
．
所以
，
综上，原命题得证．
