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第一章 集合与常用逻辑用语单元题型大总结
教学目标
1.通过实例了解集合的含义,集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专
用符号,并能够用其解决有关问题。
2.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。
3. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概
念。
4.理解两个集合的并集与交集的含义，补集的含义，会求简单集合的交、并运算，会
求给定子集的补集。
5.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分
条件、必要条件、充要条件．
6.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量
词的命题及判断其命题的真假性．
教学重难点
教学重点:
①由实际问题抽象集合的概念，理解集合间的关系与运算;
②通过集合间的关系，探究充分条件与必要条件;
③理解全称量词和存在量词的意义;
④理解全称量词和存在量词的否定
教学难点:
①抽象研究对象--集合;
②根据集合间关系，利用集合的运算对参数进行求解;
③对充分条件和必要条件关系的理解。
知识点01 集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是 ，也就是说，给定一个集合，那么任何一个
元素在不在这个集合中就 ，我们把这个性质称为集合元素的 .
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是 的，也
就是说，集合中的元素是 ，我们把这个性质称为集合元素的 .
（3）无序性：集合中的元素是 ，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性
质称为集合元素的 .
【即学即练】已知集合
，且
，则
．
知识点02 集合的表示方法
1 常用数集及其符号
常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
数学符合
2 集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素 ，并用花括号“
”括起来表示集合的方法叫做列举
法．
（3）描述法定义：一般地，设
表示一个集合，把集合
中所有具有 的元素
所组成的
集合表示为 这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在
竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）
（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为
图。
【即学即练】已知全集
，集合
，
，则（ ）
A．集合
的真子集有8 个
B．
C．U 中的元素个数为7
D．
知识点03 子集
一般地，对于两个集合
，
，如果集合
中 都是集合
中的元素，我们就说这两个集
合有 ，称集合
为集合
的子集
（1）记法与读法：记作
(或
)，读作“
含于
”(或“
包含
”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即
.
②对于集合
，
，
，若
，且
，则
（3）
图表示：
【即学即练】已知集合
，则
的子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
知识点04 真子集
如果集合 ，但存在元素 ，我们称集合
是集合
的 ;
（1）记法与读法：记作
，读作“
真包含于
”(或“
真包含
”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合
，
，
，若
，且
，则
（3）
图表示：
【即学即练】已知集合
.若存在
的
个不同的非空子集，它们的并集是
的真子集，则
的最大值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
知识点05 交集
一般地，由既
又
的所有元素组成的集合即由集合
和集合
的相同
元素组成的集合，称为集合
与集合
的交集，记作 .记作：
交集的性质：
,
,
,
,
.
高频性质：若
.
图形语言
【即学即练】已知集合
，
，若
，则
的取值范围是
．
知识点06 并集
一般地，由所有属于集合
属于集合
的元素组成的集合称为集合
与集合
的并集，
记作 .记作：
并集的性质：
,
,
,
,
.
高频性质：若
.
图形语言
【即学即练】已知集合
．
(1)当
时，求
，
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
知识点07 全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用
表
示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设
是全集，
是
的一个子集（即
）,则由
中所有不属于集合
的元素组成的集合，
叫做
中子集
的补集，记作 ，即
补集的性质：
,
,
.
知识点08 全称量词命题和存在量词命题的否定
1 全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对
中的任意一个
，有
成立；数学语言：
.
②全称量词命题的否定：
.
2 存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在
中的元素
，有
成立；数学语言：
.
②存在量词命题的否定：
.
【即学即练】命题“
，
”为假命题的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点09 充分条件、必要条件 与充要条件的概念
（1）若 ，则
是
的 ，
是
的 ；
（2）若 ，则
是
的 ；
（3）若 ，则
是
的 ；
（4） 若 ，则
是
的 ；
（5）若
且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
【即学即练】使不等式
成立的一个充分不必要条件可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 元素（集合）与集合
【典例1】下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知集合
，集合
，则下列各选项中属于
的元素是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【变式2】已知集合
为非零常数，则下列不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】给出下列关系：①
；②
；③
；④
，其中正确的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
元素与集合
属于
不属于
集合与集合
包含
不包含
题型02 集合中元素的三个特性
【典例1】设数集A 由实数构成，且满足：若
（
且
），则
.
(1)若
，则A 中至少还有几个元素？
(2)集合A 是否为双元素集合？请说明理由；
(3)若A 中元素个数不超过，所有元素的和为
，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A
中的元素.
【变式1】已知集合
，若对
都有
，则
为（ ）
A．1
B．
C．2
D．1 或2
【变式2】已知集合
，集合
,1,
．
(1)若
，求
的值；
(2)是否存在实数
，
，使
【变式3】（1）已知
，求实数
的值；
（2）已知
，求实数
，
的值.
【变式4】已知集合A 的元素为实数，满足①
且
；②若
，则
.
(1)若
，求A；
(2)集合A 有没有可能是单元素集?
(3)若
，证明：
.
题型03 集合的表示方法综合
【典例1】不包含
， 0， 1 的实数集A 满足条件：若
，则
．如果
，用列举法表示集
合A.
【变式1】已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知集合
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知集合
，
，
，
为非零实数
，则
的子集个数是 .
【变式4】用适当的方法表示下列集合．
(1)
；
(2)
；
(3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点．
题型04 子集（真子集）个数
【典例1】定义集合的
运算：已知集合
，则
．若集合
，
，则集合
的真子集个数的取值集合是 ．
【变式1】已知a 为给定实数，那么集合
的非空子集的个数为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．不确定
【变式2】设集合
，选择集合
的两个非空子集
和
，要使
中最小的数大于
中最大的
数，则不同的选择方法共有（ ）.
A．50 种
B．49 种
C．48 种
D．47 种
【变式3】（多选）若
，
，则称集合
为幸福集合．对集合
的所有非空子
集，下列叙述正确的是（ ）
A．幸福集合个数为8
B．含
的幸福集合个数为4
C．不含1 的幸福集合个数为4
D．元素个数为3 的幸福集合有2 个
【变式4】已知集合M 满足
，则这样的集合M 有多少个？并求所有M 的元素之
和．
若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真子集有
个．
题型05 根据包含关系求参数
【典例1】对于两个实数
，规定
．
(1)证明：关于
的不等式
的解集为
；
(2)设关于
的不等式
的解集为
，且
，求自然数
的所有取值．
【变式1】已知全集
，集合
，
，
．
(1)求集合
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【变式2】设
，关于
的不等式
的解集为
．
(1)求
；
(2)设集合
，若
，求实数
的取值范围．
【变式3】已知集合
，集合
，若
，求
的取值范围.
【变式4】已知集合
，
．
(1)分别求
，
；
(2)已知
，若
，求实数
的取值集合．
题型06 交集、并集、补集运算
【典例1】设设
，
是两个非空集合，定义
且
，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【变式1】设
，
是两个非空集合，定义
与
的差集
，则
等于
（ ）
A．P
B．
C．
D．M
【变式2】已知全集
，集合
，
，则（ ）
A．集合
的子集有7 个
B．
C．
中的元素个数为7
D．
【变式3】（多选）设全集
，集合
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
的真子集个数为32
D．
【变式4】已知集合
，
，
．
(1)求
，
；
(2)求
，
．
题型07 根据交集、并集、补集运算结果求参数
【典例1】设全集
，集合
，集合
，其中
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【变式1】设全集
，集合
．
(1)若
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【变式2】已知集合
，
．
(1)当
时，求
，
；
(2)若
时，存在集合
，使
，求出所有的集合
；
(3)集合
能否满足
？若能，求出实数
的取值范围；若不能，请说明理由．
【变式3】已知集合
.
(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，若
为非空集合，求实数a 的取值范围.
【变式4】已知集合
，
或
．
(1)求
，
；
(2)若集合
，且“
，
”为真命题，求实数m 的取值范围．
题型08 充分性与必要性的判断
【典例1】设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】若命题
：“
，
”.使命题
为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】命题
，命题
，则
是
成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3】已知
，则p 是q 的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式4】“
”是“关于
的不等式
有实数解”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
题型09 根据充分性与必要性求参数
【典例1】已知集合集合
，集合
.
(1)若
，求
和
；
(2)设命题
，命题
，若
是
成立的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【变式1】已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若存在正实数m，使得“
”是“
”成立的必要不充分条件，求正实数m 的取值范围．
【变式2】已知集合
，
.
(1)若
，求
；
(2)若“
”是“
”的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
【变式3】已知不等式
的解集为
，设不等式
的解集为集合
.
(1)求集合
.
(2)设全集为R，集合
，若
是
成立的必要不充分条件，求实数
的取值范
围.
【变式4】已知集合
且
，集合
，命题
，命题
.
(1)若
，求
；
(2)若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若
，则
是
的充分条件，
是
的必要条件；
（2）若
且
，则
是
的充分不必要条件；
（3）若
且
，则
是
的必要不充分条件；
（4） 若
，则
是
的充要条件；
（5）若
且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
题型10 根据全称量词命题与存在量词命题真假求参数
【典例1】设
(1)若命题：
是假命题，求m 的取值范围；
(2)若命题：
是真命题，求m 的取值范围.
【变式1】若命题
时，
是假命题，则
的取值范围
【变式2】已知命题“
，使得
”为假命题，则实数a 的范围为 ．
【变式3】设命题
，使得不等式
恒成立；命题
使得不等式
成立.
(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)①写出命题q 的否定；
②若命题q 为假命题，求实数x 的取值范围.
【变式4】已知命题p：
，
，若
为假命题，求实数m 的取值范围．
题型11 新定义题
【典例1】设A 是非空实数集，且
.若对于任意的
，都有
，则称集合A 具有性质
；若
对于任意的
，都有
，则称集合A 具有性质
.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质
的集合A；
(2)若非空实数集A 具有性质
，求证：集合A 具有性质
.
【变式1】设
是集合
的两个子集，若规定满足
的集合
称为
的理
想配对，则满足条件的理想配对有（ ）.
A．8 种
B．9 种
C．27 种
D．16 种
【变式2】高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集
，定义
，将
称为“
与
的笛卡尔积”．
(1)若
，
，求
和
．
(2)若集合
是有限集，将集合
的元素个数记为
．已知
，且存在实数
满足
对任意
恒成立，求
的取值范围，并指明当
取到最值时
和
满足的关
系式及
应满足的条件．
【变式3】对于由
个正整数构成的集合
，如果去掉其中任意一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有
元素之和相等，就称集合
为“和谐集”．
(1)判断集合
是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合
是“和谐集”，则集合
中元素个数为奇数．
【变式4】已知集合A 是正整数集
的真子集，若A 满足如下两个性质，则称A 具有性质P.条件①：存在
，使得
；条件②：对任意
，且
，都有
.
(1)判断下列两个集合是否具有性质
；（无需过程）
；
.
(2)若集合A 具有性质P，且A 为有限集，求集合A 的元素个数
的最小值和最大值；
(3)是否存在具有性质P 且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明
理由.
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
是整数
2．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知集合
或
，
，若
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知整数集合
有整数解}，非空集合A 满足条件（1）
，（2）若
，则
，则所有这样的集合A 的个数为（ ）
A．15 个
B．16 个
C．31 个
D．32 个
5．已知关于x 的不等式
的解集为A，若
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知集合
，
，且满足
，则实数
的取值范围
为（ ）.
A．
或
B．
C．
或
D．
7．某校高一四班学生46 人，寒假参加体育训练，其中足球队25 人，排球队22 人，游泳队24 人，足球排
球都参加的有12 人，足球游泳都参加的有9 人，排球游泳都参加的有8 人，问：三项都参加的学生数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4 秒敲响一声，乙钟每5 秒敲响一声，丙钟每6 秒敲响一声．新
年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365 声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响
的次数分别
，则
（ ）
A．365
B．256
C．484
D．516
9．（多选）如果集合
只有一个元素，则
的值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
10．（多选）命题“存在
，使得
”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知
，
，若
，则
的取值范围为 ．
12．集合
共有 个元素，其中
表示不超过x 的最大整数.
13．已知全集
，集合
，集合
.
(1)若
，求
，
；
(2)若
是
的充分条件，求实数
的取值范围.
14．对于集合
，如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有
元素组成集合
，并且
都能分为两个集合B 和C，满足
，
，且B 的所有
元素之和与C 的所有元素之和相等，则称集合A 为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集
合”，并说明理由：
(1)
；
(2)
．
15．已知集合P 为非空数集，定义
(1)若集合
，请直接写出集合
和
；
(2)若
且
，集合
满足
，求n 的最小值；
(3)若集合
，且
，求证：
．
