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第三章 排列、组合与二项式定理（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．
的展开式中
的系数为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
2．哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到
四个不同的中学，且每
个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（ ）
A．1080
B．1560
C．2640
D．3960
3．
的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．60
B．
C．15
D．
4．如图是第14 届国际数学教育大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，
7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是
，正是
会议最初计划召开的年份，那么八进制数
换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
5．某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4 四个区域，现有6 种不同的花卉可供选择，要
求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案
中花坛区域1 和区域3 种植的是同一种花卉的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．关于
的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．第
项的二项式系数最大
B．当
时，
被除的余数为
C．展开式中存在常数项
D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列
7．衡水湖国际马拉松赛是经国家体育总局批准的国际性马拉松赛事，自2012 年起每年9 月份举行一届．
竞赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松．甲、乙、丙等5 名马拉松爱好者均计划参加衡水湖
国际马拉松赛，若甲和乙均参加迷你马拉松，且每人只参加一个竞赛项目，这5 名马拉松爱好者的竞赛项
目涵盖了三个竞赛项目，则不同的参赛方案有（ ）
A．6 种
B．12 种
C．24 种
D．18 种
8．杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域
大放异彩.现从这6 家企业中选出4 家，分别派往A、B、C、D 四个不同的科技交流活动进行成果展示，且
必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A 活动，
若深度求索被选中，则不能去D 活动.则不同的安排方式种数是（ ）
A．96
B．120
C．240
D．336
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、
“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2 门课程学习，共有30 种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240 种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72 种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504 种排法
10．已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
的个位数是9
D．
11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解
九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）
A．第2026 行的第1013 个数最大
B．第8 行所有数之和为256
C．
D．记第20，21 行数的最大值分别为a，b，则
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
展开式中各项系数的和为64，则
展开式中的常数项为 ．
13．如图，从1 开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右
下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1 移动到9，1→2→3→5→7→8→9 就是一条移动路线．
从1 移动到数字
的不同路线条数记为
，从1 移动到9 的事件中（每条移动路线都是等可能
的），经过数字
的概率记为
，则
，
．
14．如图，现要对某公园的4 个区域进行绿化，有5 种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区
域不能用同一种颜色的花卉，共有 种不同的绿化方案（用数字作答）.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知二项式
的展开式中各项的二项式系数之和为32．
(1)求
；
(2)求展开式的系数和；
(3)求展开式中
的系数；
(4)求展开式的第四项．
16．从分别写有0，1，2，3，4，5，6 的7 张卡片中，任取4 张，组成没有重复数字的四位数，计算：
(1)这个四位数是偶数的概率；
(2)这个四位数能被9 整除的概率；
(3)这个四位数比4510 大的概率．
17．（1）求满足等式
的所有正整数
；
（2）已知正整数
满足
，求正整数
的值.
18．电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4 名男生和3 名女生相约
一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
(1)女生互不相邻的坐法有多少种？
(2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
19．某校高二年级安排6 名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞
赛.
(1)若三科竞赛均有2 人报名参加，有多少种不同的报名方法？
(2)若4 人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1 人报名参加，有多少种不同的报名方法？
(3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？
