文档文本内容
专题28 直线与圆选填题综合
（五大考点，58 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 直线方程
及点到直线的距离
公式
2026 上海、2024 北京/上海、2021
全国甲/乙/新高考Ⅱ/上海、2020
山东/全国Ⅲ/北京、2018 北京/全
国Ⅲ、2019 江苏
1.基础送分小题，贯穿解析几何各
类题型。
2.考查倾斜角、直线对称、两直线
夹角、定点直线距离最值、圆锥曲
线焦点/曲线上点到直线距离。
3.公式固定，计算量小，常与圆、
双曲线、抛物线结合出题。
考点02 圆的方程
及半径
2023 上海、2022 全国甲/乙、2020
山东、2019 北京、2018 天津
1.入门基础题型，分为标准方程、
一般方程互化。
2.已知圆心、切线、多点、几何关
系求圆方程，由方程求半径、面
积。
3.载体包含普通圆、以圆锥曲线焦
点为圆心的圆。
考点03 弦长问题
2024 全国甲、2023 全国甲、2022
天津、2021 北京/天津、2020 全国
Ⅰ/天津、2018 全国Ⅰ
1.高频中档小题，直线与圆核心计
算。
2.利用垂径定理：半径、弦心距、
半弦长构成直角三角形；考查弦长
最值、已知弦长求参数。
3.常结合动直线、渐近线与圆相交
场景。
考点04 切线问题
2026 全国二/北京、2025 天津、
2024 新课标Ⅱ、2023 新课标Ⅰ、
2022 全国甲/新高考Ⅰ、2020 全国
Ⅰ/Ⅱ/Ⅲ/浙江、2019 浙江、2017
天津
1.重难点多选、填空，综合性强。
2.考法：过点作圆切线、公切线、
切线夹角、切线方程、渐近线与圆
相切求参数。
3.融合抛物线、双曲线、双圆模
型，几何条件多变。
考点05 直线与圆
综合
2026 全国一卷、2025 全国一卷、
2023 全国乙/天津、2022 上海/北
京、2024 天津、2021 新高考Ⅰ、
2020 北京、2018 全国Ⅲ、2017 江
苏
1.解析几何选填压轴热门题型，多
选居多。
2.涵盖点分布个数、线性最值、面
积范围、对称直线与圆交点、多圆
截弦、向量不等式约束圆上点。
3.结合几何直观、数形结合、概
率、圆锥曲线交点综合命题。
考点01 直线方程及点到直线的距离公式
1. （2024·北京·高考真题）圆
的圆心到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得
，即
，
则其圆心坐标为
，则圆心到直线
的距离为
.
故选：D.
2. （2021·全国甲卷·高考真题）点
到双曲线
的一条渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：
，即
，
结合对称性，不妨考虑点
到直线
的距离：
.
故选：A.
3. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线
的焦点到直线
的距离为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得
的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为
，
其到直线
的距离：
，
解得：
(
舍去).
故选：B.
4. （2020·山东·高考真题）直线
关于点
对称的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为
,则其关于点
对称的点的坐标为
，
代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为
，
则其关于点
对称的点的坐标为
，
因为点
在直线
上，
所以
即
.
故选：D.
5. （2020·山东·高考真题）已知直线
的图像如图所示，则角
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出
、
，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，
，
，
则角
是第四象限角，
故选：D.
6. （2020·全国III 卷·高考真题）点(0，﹣1)到直线
距离的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点
，设
，当直线
与
垂直时，点
到直线
距离最大，即可求得结果.
【详解】由
可知直线过定点
，设
，
当直线
与
垂直时，点
到直线
距离最大，
即为
.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解
题的关键，属于基础题.
7. （2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记
为点
到直线
的距离，当
、
变化时，
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
为单位圆上一点，而直线
过点
，则根据几何意义得
的最大值为
.
【详解】
为单位圆上一点，而直线
过点
，
所以
的最大值为
，选C.
【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求
相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
8. （2018·全国III 卷·高考真题）已知双曲线
的离心率为
，则点
到
的
渐近线的距离为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】分析：由离心率计算出
，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
9. （2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点
到直线
的距离为____________.
【答案】
/0.6
【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】根据点到直线的距离公式可得
.
故答案为：
.
10. （2024·上海·高考真题）直线
的倾斜角______．
【答案】
（或
）
【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最
终角度.
【详解】因为
，
所以
所以直线的斜率
设直线的倾斜角为
（
），则
所以
（即
弧度）.
答案为：
（或
）.
11. （2021·全国乙卷·高考真题）双曲线
的右焦点到直线
的距离为________．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，
，所以双曲线的右焦点为
，
所以右焦点
到直线
的距离为
.
故答案为：
12. （2021·上海·高考真题）求直线
与直线
的夹角为________.
【答案】
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【详解】解：
直线
的斜率不存在，倾斜角为
，
直线
的斜率为
，倾斜角为
，
故直线
与直线
的夹角为
，
故答案为：
．
13. （2020·北京·高考真题）已知双曲线
，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其
渐近线的距离是_________．
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线
的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直
线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】在双曲线
中，
，
，则
，则双曲线
的右焦点坐标为
，
双曲线
的渐近线方程为
，即
，
所以，双曲线
的焦点到其渐近线的距离为
.
故答案为：
；
.
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，
属于基础题.
14. （2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系
中，P 是曲线
上的一个动点，则点P 到
直线x+y=0 的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线
平移到与曲线
相切位置时，切点Q 即为点P 到直线
的距离最小.
由
，得
，
，
即切点
，
则切点Q 到直线
的距离为
，
故答案为
．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和
公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
考点02 圆的方程及半径
1. （2020·山东·高考真题）已知圆心为
的圆与
轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】圆的圆心为
，半径为
，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为
，半径为
，故圆方程为：
.
故选：B.
2. （2023·上海·高考真题）已知圆的方程为
，其面积为
，则
______.
【答案】
【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果.
【详解】由
得
，圆的半径为
，
由圆的面积为
得，
，解得
.
故答案为：
.
3. （2023·上海·高考真题）已知圆C 的一般方程为
，则圆C 的半径为____________
【答案】
【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径.
【详解】圆
即
，
所以圆的半径为.
故答案为：
4. （2022·全国甲卷·高考真题）设点M 在直线
上，点
和
均在
上，则
的方
程为______________．
【答案】
【分析】设出点M 的坐标，利用
和
均在
上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M 在直线
上，
∴设点M 为
，又因为点
和
均在
上，
∴点M 到两点的距离相等且为半径R，
∴
，
，解得
，
∴
，
，
的方程为
.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4 与直线
的交点(1,-1).
,
的方程为
.
故答案为：
5. （2022·全国乙卷·高考真题）过四点
中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】
或
或
或
．
【分析】方法一：设圆的方程为
，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为
，
（1）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（2）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（3）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（4）若过
，
，
，则
，解得
，所以圆的方程为
，即
；
故答案为：
或
或
或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过
三点，圆心在直线
，设圆心坐标为
，
则
，所以圆的方程为
；
（2）若圆过
三点， 设圆心坐标为
，则
，所以圆
的方程为
；
（3）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
，线段
的中垂线方程 为
，
联立得
，所以圆的方程为
；
（4）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
， 线段
中垂线方程为
，联立
得
，所以圆的方程为
．
故答案为：
或
或
或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
6. （2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为
__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x 中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l 的方程为x=-1，
以F 为圆心，
且与l 相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意
在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7. （2018·天津·高考真题）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为
__________．
【答案】
【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解：设圆的方程为
，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：
，则圆的方程为
.
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直
线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心
和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三
个独立等式．
考点03 弦长问题
1. （2024·全国甲卷·高考真题）已知直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点
，从而可得当
时，
的最小，结合勾股定
理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线
，即
，令
，
则
，所以直线过定点
，设
，
将圆
化为标准式为
，
所以圆心
，半径
，
当
时，
的最小，
此时
.
故选：C
2. （2024·全国甲卷·高考真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为
成等差数列，所以
，
，代入直线方程
得
，即
，令
得
，
故直线恒过
，设
，圆化为标准方程得：
，
设圆心为
，画出直线与圆的图形，由图可知，当
时，
最小，
，此时
.
故选：C
3. （2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐近线与
圆
交于A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由
，则
，
解得
，
所以双曲线的渐近线为
，
当渐近线为
时，圆心
到该渐近线的距离
，不合题意；
当渐近线为
时，则圆心
到渐近线的距离
，
所以弦长
.
故选：D
4. （2021·北京·高考真题）已知直线
（
为常数）与圆
交于点
，当
变化时，
若
的最小值为2，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为
，半径为2，
则圆心到直线的距离
，
则弦长为
，
则当
时，
取得最小值为
，解得
.
故选：C.
5. （2020·全国I 卷·高考真题）已知圆
，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最
小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】当直线和圆心与点
的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆
化为
，所以圆心
坐标为
，半径为，
设
，当过点
的直线和直线
垂直时，圆心到过点
的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为
.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
6. （2022·天津·高考真题）若直线
被圆
截得的弦长为
，则
的
值为_____．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于
的等式，即可解得
的值.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径为
，
圆心到直线
的距离为
，
由勾股定理可得
，因为
，解得
.
故答案为：
.
7. （2021·天津·高考真题）若斜率为
的直线与
轴交于点
，与圆
相切于点
，则
____________．
【答案】
【分析】设直线
的方程为
，则点
，利用直线
与圆
相切求出
的值，
求出
，利用勾股定理可求得
.
【详解】设直线
的方程为
，则点
，
由于直线
与圆
相切，且圆心为
，半径为，
则
，解得
或
，所以
，
因为
，故
.
故答案为：
.
8. （2020·天津·高考真题）已知直线
和圆
相交于
两点．若
，
则的值为_________．
【答案】5
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离
，进而利
用弦长公式
，即可求得．
【详解】因为圆心
到直线
的距离
，
由
可得
，解得
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
9. （2018·全国I 卷·高考真题）直线
与圆
交于
两点，则
________．
【答案】
【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公
式即可求出．
【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用
根据题意，圆的方程可化为
，所以圆的圆心为
，且半径是
，
弦心距
，所以
．
故答案为：
.
［方法二］：距离公式的应用
由
解得：
或
，不妨设
，
所以
．
故答案为：
.
［方法三］：参数方程的应用
直线
的参数方程为
，将其代入
，可得
，化简得
，从而
，所以
．
故答案为：
.
【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算
偏麻烦；
方法三：直线参数方程中弦长公式的应用．
考点04 切线问题
1. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
2. （2020·全国III 卷·高考真题）若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l 的方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线
上的切点为
，则
，
函数
的导数为
，则直线的斜率
，
设直线的方程为
，即
，
由于直线与圆
相切，则
，
两边平方并整理得
，解得
，
（舍），
则直线的方程为
，即
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3. （2020·全国I 卷·高考真题）已知⊙M：
，直线：
，
为上的动
点，过点
作⊙M 的切线
，切点为
，当
最小时，直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点
共圆，且
，根据
可知，当直线
时，
最小，求出以
为直径的圆的方程，根
据圆系的知识即可求出直线
的方程．
【详解】圆的方程可化为
，点
到直线的距离为
，所以直
线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点
四点共圆，且
，所以
，而
，
当直线
时，
，
，此时
最小．
∴
即
，由
解得，
．
所以以
为直径的圆的方程为
，即
，
两圆的方程相减可得：
，即为直线
的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的
转化能力和数学运算能力，属于中档题．
4. （2020·全国II 卷·高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距
离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为
，可得圆的半径为
，写出圆的标准方
程，利用点
在圆上，求得实数
的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线
的距
离.
【详解】由于圆上的点
在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为
，则圆的半径为
，
圆的标准方程为
.
由题意可得
，
可得
，解得
或
，
所以圆心的坐标为
或
，
圆心
到直线
的距离均为
；
圆心
到直线
的距离均为
圆心到直线
的距离均为
；
所以，圆心到直线
的距离为
.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
5. （2026·全国二卷·高考真题）已知
：
，
：
，则（ ）
A．点
的坐标为
B．当
时，
与
轴相切
C．当
时，
与
相切
D．当
与
相交时，两个交点所在直线的方程为
【答案】BC
【分析】对于A，求出
的圆心坐标即可判断；
对于B，利用圆心
到
的距离即可判断；
对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；
对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解.
【详解】由
：
，化简可得
，
所以
，
的圆心
，半径
，故A 错误；
对于B，由
，得
的半径
，所以圆心
到
轴的距离
，即
与
轴相
切，故B 正确；
对于C，由
，得
的半径
，由于
的圆心为
，半径
，所以
，则
与
内切，故C 正确；
对于D，由
，化简得：
，
所以
与
两个交点所在直线的方程为
，故D 错误.
6. （2025·天津·高考真题）
，与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与
交于C、D 两点，
，则
_________．
【答案】2
【分析】先根据两点间距离公式得出
，再计算出圆心到直线的距离
，根据弦长公式
列等式求解即可.
【详解】因为直线
与
轴交于
，与
轴交于
，所以
，
所以
，
圆
的半径为，圆心
到直线
的距离为
，
故
，解得
；
故答案为：2.
7. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
【答案】ABD
【分析】A 选项，抛物线准线为
，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，
三点共线时，先
求出
的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据
先算出
的坐标，然后验证
是否成立；
D 选项，根据抛物线的定义，
，于是问题转化成
的
点的存在性问题，此时考察
的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设
点坐标进行求解.
【详解】A 选项，抛物线
的准线为
，
的圆心
到直线
的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和
相切，A 选项正确；
B 选项，
三点共线时，即
，则
的纵坐标
，
由
，得到
，故
，
此时切线长
，B 选项正确；
C 选项，当
时，
，此时
，故
或
，
当
时，
，
，
，
不满足
；
当
时，
，
，
，
不满足
；
于是
不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，
，这里
，
于是
时
点的存在性问题转化成
时
点的存在性问题，
，
中点
，
中垂线的斜率为
，
于是
的中垂线方程为：
，与抛物线
联立可得
，
，即
的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个
点，使得
，D 选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设
，由
可得
，又
，又
，
根据两点间的距离公式，
，整理得
，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的
点，D 选项正确.
故选：ABD
8. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线
与圆
，点
，则下列
说法正确的是（ ）
A．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
C．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为
的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位
置关系即可得解.
【详解】圆心
到直线l 的距离
，
若点
在圆C 上，则
，所以
，
则直线l 与圆C 相切，故A 正确；
若点
在圆C 内，则
，所以
，
则直线l 与圆C 相离，故B 正确；
若点
在圆C 外，则
，所以
，
则直线l 与圆C 相交，故C 错误；
若点
在直线l 上，则
即
，
所以
，直线l 与圆C 相切，故D 正确.
故选：ABD.
9. （2026·北京·高考真题）已知直线
与圆
相切，则
________．
【答案】
【详解】圆
的圆心为
，半径
.
由直线
与圆相切，则得
，
解得
.
10. （2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线
的渐近线为
，即
，
不妨取
，圆
，即
，所以圆心为
，半径
，
依题意圆心
到渐近线
的距离
，
解得
或
（舍去）．
故答案为：
．
11. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆
和
都相切的一条直线的方
程________________．
【答案】
或
或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为
，
于是
，
故
①，
于是
或
，
再结合①解得
或
或
，
所以直线方程有三条，分别为
，
，
填一条即可
[方法二]：
设圆
的圆心
，半径为
，
圆
的圆心
，半径
，
则
，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然
符合题意；
又由方程
和
相减可得方程
，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为
，
直线OC 与直线
的交点为
，
设过该点的直线为
，则
，解得
，
从而该切线的方程为
填一条即可
[方法三]：
圆
的圆心为
，半径为，
圆
的圆心
为
，半径为
，
两圆圆心距为
，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l 时，因为
，所以
，设方程为
O 到l 的距离
，解得
，所以l 的方程为
，
当切线为m 时，设直线方程为
，其中
，
，
由题意
，解得
，
当切线为n 时，易知切线方程为
，
故答案为：
或
或
.
12. （2020·浙江·高考真题）设直线
与圆
和圆
均相切，则
_______；b=______．
【答案】
【分析】由直线与两圆相切建立关于k，b 的方程组，解方程组即可.
【详解】设
，
，由题意，
到直线的距离等于半径，即
，
，
所以
，所以
（舍）或者
，
解得
.
故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
13. （2019·浙江·高考真题）已知圆
的圆心坐标是
，半径长是.若直线
与圆相切于点
，则
_____，
______.
【答案】
【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线
的斜率，进一步得到其方程，
将
代入后求得
，计算得解.
【详解】可知
，把
代入得
，此时
.
【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
14. （2017·天津·高考真题）设抛物线
的焦点为F，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y
轴的正半轴相切于点A.若
，则圆的方程为____________ .
【答案】
【详解】设圆心坐标为
，则
，焦点
，
，
，
，
由于圆
与
轴得正半轴相切，
则取
，所求圆得圆心为
，半径为1，
所求圆的方程为
.
考点05 直线与圆综合
1. （2025·全国一卷·高考真题）已知圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅
有2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出圆心
到直线
的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为，
到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：
，
故由图可知，
当
时，
圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
当则的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B.
2. （2023·全国乙卷·高考真题）已知实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．7
【答案】C
【分析】法一：令
，利用判别式法即可；法二：通过整理得
，利用三角换元法
即可，法三：整理出圆的方程，设
，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令
，则
，
代入原式化简得
，
因为存在实数
，则
，即
，
化简得
，解得
，
故
的最大值是
，
法二：
，整理得
，
令
，
，其中
，
则
，
，所以
，则
，即
时，
取得最大值
，
法三：由
可得
，
设
，则圆心到直线
的距离
，
解得
故选：C.
3. （2023·全国乙卷·高考真题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域
内随机取一
点，记该点为A，则直线OA 的倾斜角不大于
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
【详解】因为区域
表示以
圆心，外圆半径
，内圆半径
的圆环，
则直线
的倾斜角不大于
的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角
，
结合对称性可得所求概率
.
故选：C.
4. （2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集
的两个结论：
①存在直线l，使得集合
中不存在点在直线l 上，而存在点在l 的两侧；
②存在直线l，使得集合
中存在无数个点在直线上.
则下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立
B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立
D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限
的思想考虑.
【详解】对于①，取直线
,
则对于任意的
，有
，
故圆
均在直线
的下方，
而对任意的
，有
，
故圆
均在直线
的上方，
而当
时，
表示原点，它在直线
的下方，
故此时集合
中所有的点均不在直线
上，且存在点在直线
的两侧.
所以①成立.
对于②，设直线的方程为
，则圆心
到直线的距离为
当
时
所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.
故选：B
5. （2022·北京·高考真题）若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为
，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即
，解得
．
故选：A．
6. （2020·北京·高考真题）已知半径为1 的圆经过点
，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】求出圆心
的轨迹方程后，根据圆心
到原点
的距离减去半径1 可得答案.
【详解】设圆心
，则
，
化简得
，
所以圆心
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
所以
，所以
，
当且仅当
在线段
上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
7. （2018·全国III 卷·高考真题）直线
分别与
轴，
轴交于
，
两点，点
在圆
上，则
面积的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】分析：先求出A，B 两点坐标得到
再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面
积公式计算即可
详解：
直线
分别与
轴，
轴交于
，
两点
,则
点P 在圆
上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P 到直线
的距离
的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
8. （2026·全国一卷·高考真题）（多选）已知圆
，圆
，圆
，直线
与
，
，
均有两个交点．记被
，
，
截得的弦长分别
为
、
、
，则（ ）
A．
可以取任意实数
B．满足
的直线共有条
C．满足
的直线多于条
D．当
时，
的最大值为
【答案】BCD
【分析】已知三个圆均为半径
的等圆，圆心分别为
、
、
，利用弦长公式
（
为对应圆心到直线的距离，且
以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可.
【详解】记
到直线
的距离分别为
，则
，
，
.
∵ 直线与三个圆均有两个交点，
∴
，
，
，对应弦长为
.
A：∵ 解
，得
，
解
，得
，
不妨取
，
∵
，
∴
，记
，
解
，得
，记
，
当
，即
时，
，
此时不存在这样的直线与三个圆都相交.
∴
不能取任意实数，A 错误.
B：∵
，
∴
.
由
得
，平方得
，即
或
.
①当
时，直线为
，由
得
，解得
，
此时
，符合条件，对应直线条.
②当
时，直线为
，由
得
，解得
，
此时
，符合条件，对应直线
条.
综上，共条直线满足条件，B 正确.
C：令
，
∴
，
，
令
，则
，
∴
.
令
，即
，
平方整理可得
，解得
或
，即
或
，
经验证，此时
均小于，满足题目要求，此时已有
条直线，多于条，C 正确.
D：当
时，
，
，
∴
，
，
令
，则
，
∴
.
设
，求导得
，
令
得
，此时
取最大值
，
∴
的最大值为
，D 正确.
【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的
距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误.
9. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知点
在圆
上，点
、
，则（ ）
A．点
到直线
的距离小于
B．点
到直线
的距离大于
C．当
最小时，
D．当
最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线
的距离，可得出点
到直线
的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；
分析可知，当
最大或最小时，
与圆
相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
直线
的方程为
，即
，
圆心
到直线
的距离为
，
所以，点
到直线
的距离的最小值为
，最大值为
，A 选项正确，B 选项错误；
如下图所示：
当
最大或最小时，
与圆
相切，连接
、
，可知
，
，
，由勾股定理可得
，CD 选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆
相离，圆心
到直线的距离为
，则圆
上一点
到直线
的距离的取值范围是
.
10. （2024·天津·高考真题）已知圆
的圆心与抛物线
的焦点
重合，且两曲线在第
一象限的交点为
，则原点到直线
的距离为______．
【答案】
/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求
及
的方程，从而可求原点
到直线
的距离.
【详解】圆
的圆心为
，故
即
，
由
可得
，故
或
（舍），
故
，故直线
即
，
故原点到直线
的距离为
，
故答案为：
11. （2023·天津·高考真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆
相切，且l 与抛物线
交于点
两点，若
，则
_________．
【答案】
【分析】根据圆
和曲线
均关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，即可
根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆
和曲线
均关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，
所以
，解得：
，由
解得：
或
，
所以
，解得：
．
当
时，同理可得．
故答案为：
．
12. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线
与
交于A，B 两点，写出满
足“
面积为
”的m 的一个值______．
【答案】
（
中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长
，以及点
到直线
的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
故答案为：
（
中任意一个皆可以）．
13. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点
关于
对称点
的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：
关于
对称的点的坐标为
，
在直线
上，
所以
所在直线即为直线，所以直线为
，即
；
圆
，圆心
，半径
，
依题意圆心到直线的距离
，
即
，解得
，即
；
故答案为：
14. （2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A（-12,0），B（0,6），点P 在圆O：x2+y2=50 上，
若
·
20，则点P 的横坐标的取值范围是_________
【答案】
【详解】设
，由
，易得
，由
，可得
或
，
由
得P 点在圆左边弧
上，结合限制条件
，可得点P 横坐标的取值
范围为
．
点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，
其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜
率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．
