文档文本内容
专题30 圆锥曲线解答题综合
（椭圆、双曲线、抛物线）
（十一大考点，80 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 轨迹方程
2026 全国二卷、2023 新课标Ⅰ、
2017 全国Ⅱ
1.圆锥解答第一问高频基础题型，
是后续所有计算的铺垫。
2.常用解题方法为定义法、相关点
代入法，轨迹类型包含椭圆、抛物
线、直线。
3.题目常给出垂线、交点等几何条
件，部分题目会追加曲线对称、平
移相关探究。
考点02 定点问题
2023 全国乙、2022 全国乙、2020
全国Ⅰ、2019 全国Ⅰ/Ⅲ/北京、
2017 全国Ⅰ
1.圆锥大题经典压轴证明题型，多
作为第二小问出现。
2.通用思路：设直线与曲线联立，
借助韦达定理化简消去参数，证明
坐标固定不变；分为直线过定点、
圆恒过定点两类题型。
3.命题载体以椭圆、抛物线为主。
考点03 定值问题
2018 北京、2020 山东、2019 全国
Ⅲ
1.中档证明题型，计算量偏大，解
题逻辑与定点问题相近。
2.常考查斜率乘积、线段长度、向
量数量积为固定常数。
3.依托切线、曲线交点背景，联立
方程化简完成证明。
考点04 定直线问
题
2023 新课标Ⅱ
1.双曲线专属特色题型，难度适
中。
2.核心考法：直线与双曲线左右两
支相交，延长交点连线后，交点始
终落在某条固定直线上。
3.结合双曲线顶点、渐近线条件推
导固定直线。
考点05 中点弦问
题
2022 新高考Ⅱ、2020 浙江、2018
全国Ⅲ
1.点差法标准应用题型，常设置条
件互推类设问。
2.出题形式：已知中点求解直线斜
率，或是给出斜率证明多个等量关
系成立。
3.覆盖椭圆、双曲线、抛物线三类
曲线。
考点06 弦长问题
2021 新高考Ⅱ、2022 北京、2020
北京
1.基础计算小问，经常搭配面积、
斜率综合出题。
2.解题依靠联立方程、判别式与韦
达定理计算线段长度。
3.常结合直线相切、三点共线条件
设置题干。
考点07 面积问题
2026 全国一/北京、2025 北京/全
国二、2024 新课标Ⅰ、2023 全国
甲/天津、2022 新高考Ⅰ/天津、
2021 全国乙、2020 海南/全国Ⅲ、
2019 全国Ⅱ/浙江、2018 江苏/上
海
1.必考计算类设问，出现频次极
高，可单独求面积或是求解面积最
值。
2.涵盖三角形、四边形多种图形，
使用分割、坐标法计算，搭配均值
不等式、函数求解最大最小值。
3.结合对称点、焦点、动直线综合
命题。
考点08 斜率问题
2026 天津/上海、2024 北京、2023
上海、2021 北京/浙江、2019 天
津、2018 北京、2017 天津
1.贯穿整道大题的基础条件，也可
独立作为单独设问。
2.考查斜率定值、斜率取值范围、
多条斜率之间等量关系证明。
3.融合圆、双曲线、椭圆交叉条件
计算。
考点09 参数范围
及最值
2025 全国一/上海、2024 天津/上
海、2023 上海、2022 上海/浙江、
2020 江苏/上海
1.圆锥大题压轴难点，区分度最
高。
2.求解直线斜率、离心率、线段、
面积的取值范围，构造函数搭配不
等式求取最值。
3.多曲线融合出题，几何约束条件
复杂，整体计算量大。
考点10 证明特殊
位置关系
2025 天津、2024 全国甲、2023 北
京、2018 全国Ⅰ
1.几何证明类小问，侧重逻辑推
导。
2.常需要证明垂直、平行、角平分
线、中点平分等几何关系。
3.依靠韦达定理、向量点积、坐标
等量关系完成推导。
考点11 求直线方
程
2021 天津、2020 山东/天津、2017
上海/天津
1.大题收尾常规简单设问。
2.根据面积、距离、角度等量反求
直线解析式，需要分斜率存在、不
存在两种情况讨论。
3.结合椭圆、抛物线、圆综合计算
参数。
考点01 轨迹方程
1. （2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆
：
（
），过E 的右焦点且与
轴垂直的直线被
截得的线段长为
．
(1)求
的离心率．
(2)设
为坐标原点，给定点
，
为
上的点，过
作
轴的垂线，垂足为
，
直线
与直线
的交点为
．当
在
上运动时，点
的轨迹为
．
（ⅰ）求
的方程；
（ⅱ）当为何值时，
有对称中心？当
有对称中心时，将
平移后得到曲线
，使得
为
的对
称中心，说明
是什么曲线.
2. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，
记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
3. （2017·全国II 卷·高考真题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C
上，过M 作x 轴的垂线，
垂足为N，点P 满足
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点
在直线
上，且
.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线过C 的左焦点F.
考点02 定点问题
1. （2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆
的离心率是
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，证明：线段
的中点为
定点．
2. （2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过
两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点
的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满足
．证明：直线HN 过定点．
3. （2020·全国I 卷·高考真题）已知A、B 分别为椭圆E：
（a>1）的左、右顶点，G 为E 的上
顶点，
，P 为直线x=6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
（1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点.
4. （2019·全国III 卷·高考真题）已知曲线
为直线
上的动点，过
作
的两条切线，
切点分别为
.
（1）证明：直线
过定点：
（2）若以
为圆心的圆与直线
相切，且切点为线段
的中点，求该圆的方程.
5. （2019·全国I 卷·高考真题）已知点A，B 关于坐标原点O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点A，B 且与直线
x+2=0 相切．
（1）若A 在直线x+y=0 上，求⊙M 的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
6. （2019·北京·高考真题）已知椭圆
的右焦点为
，且经过点
.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为原点，直线
与椭圆C 交于两个不同点P，Q，直线AP 与x 轴交于点M，直
线AQ 与x 轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点.
7. （2019·北京·高考真题）已知抛物线C：x2=−2py 经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两点M，N，直线y=−1 分别交
直线OM，ON 于点A 和点B.求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
8. （2017·全国I 卷·高考真题）已知椭圆C：
（
），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
），P4（1，
）四点中恰有三点在椭圆C 上.
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 不经过
点且与C 相交于A，B 两点.若直线
与直线
的斜率的和为
，证明：l 过定
点.
考点03 定值问题
1. （2018·北京·高考真题）已知抛物线C：
=2px 经过点
（1，2）．过点Q（0，1）的直线l 与抛物线
C 有两个不同的交点A，B，且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，
，
，求证：
为定值．
2. （2020·山东·高考真题）已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
．
（1）求
的方程：
（2）点
，
在
上，且
，
，
为垂足．证明：存在定点
，使得
为定值．
3. （2019·全国III 卷·高考真题）已知曲线C：y=
，D 为直线y=
上的动点，过D 作C 的两条切线，
切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E(0，
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
考点04 定直线问题
1. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直
线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
考点05 中点弦问题
1. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
的右焦点为
，渐近线
方程为
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点
在C 上，且
．
过P 且斜率为
的直线与过Q 且斜率为
的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M 在
上；②
；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
2. （2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆
，抛物线
，点A 是椭圆
与
抛物线
的交点，过点A 的直线l 交椭圆
于点B，交抛物线
于M（B，M 不同于A）．
（Ⅰ）若
，求抛物线
的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．
3. （2018·全国III 卷·高考真题）已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，线段
的中
点为
．
（1）证明：
；
（2）设
为
的右焦点，
为
上一点,且
．证明：
，
，
成等差数列，并求
该数列的公差．
4. （2018·全国III 卷·高考真题）已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点．线段
的中
点为
．
（1）证明：
；
（2）设
为
的右焦点，
为
上一点，且
．证明：
．
考点06 弦长问题
1. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C 的方程为
，右焦点为
，且
离心率为
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M，N 是椭圆C 上的两点，直线
与曲线
相切．证明：M，N，F 三点共线的
充要条件是
．
2. （2022·北京·高考真题）已知椭圆
的一个顶点为
，焦距为
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与x 轴交于点M，N，
当
时，求k 的值．
3. （2020·北京·高考真题）已知椭圆
过点
，且
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程：
（Ⅱ）过点
的直线l 交椭圆C 于点
,直线
分别交直线
于点
．求
的值．
考点07 面积问题
1. （2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆
的左焦点为
，离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)设
为坐标原点，过
且斜率大于
的动直线与
交于P，
两点，其中
在第三象限，直线
与
的另一个交点为
．
（i）若
的面积是
的面积的 倍，求的方程；
（ii）求
的最小值．
2. （2026·北京·高考真题）已知椭圆
：
（
）的一个顶点是
，离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
，斜率为
的直线交椭圆
于
、
两点，
关于
的对称点为
，
交
于
，若
，求
．
3. （2025·北京·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，椭圆E 上的点到两焦点的距
离之和为4.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设O 为坐标原点，点
在椭圆E 上，直线
与直线
，
分别交
于点A，B．设
与
的面积分别为
，比较
与
的大小．
4. （2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点
的直线l 交C 于
两点，
为坐标原点.若
的面积为
，求
．
5. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
6. （2023·天津·高考真题）已知椭圆
的左右顶点分别为
，右焦点为
，已知
．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点
在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线
交
轴于点
，若三角形
的面积是三角形
面积
的二倍，求直线
的方程．
7. （2023·全国甲卷·高考真题）已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
8. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于
P，Q 两点，直线
的斜率之和为0．
(1)求l 的斜率；
(2)若
，求
的面积．
9. （2022·天津·高考真题）椭圆
的右焦点为F，右顶点A 和上顶点为B 满足
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M，与y 轴相交于点N（N 异于M）．记O 为原点，若
，且
的面积为
，求椭圆的方程．
10. （2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线
的焦点为
，且
与圆
上点的距离的最小值为
．
（1）求
；
（2）若点
在
上，
是
的两条切线，
是切点，求
面积的最大值．
11. （2020·海南·高考真题）已知椭圆C：
过点M（2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的
斜率为
，
（1）求C 的方程；
（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.
12. （2020·全国III 卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的左、
右顶点．
（1）求
的方程；
（2）若点
在
上，点
在直线
上，且
，
，求
的面积．
13. （2019·全国II 卷·高考真题）已知
是椭圆
的两个焦点，P 为C 上一点，O
为坐标原点．
（1）若
为等边三角形，求C 的离心率；
（2)如果存在点P，使得
，且
的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
14. （2019·全国II 卷·高考真题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−
.记M 的轨迹为曲线C.
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连结QE 并延长交C
于点G.
（i）证明：
是直角三角形；
（ii）求
面积的最大值.
15. （2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系
中，椭圆C 过点
，焦点
，圆
O 的直径为
．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于
两点．若
的面积为
，求直线l 的方程．
16. （2018·上海·高考真题）设常数
，在平面直角坐标系
中，已知点
，直线
，曲线
（
，
），与
轴交于点
、与
交于点
，
、
分别是曲线
与线段
上的动
点.
(1)用表示点
到点
的距离；
(2)设
，
，线段
的中点在直线
上，求
的面积；
(3)设
，是否存在以
、
为邻边的矩形
，使得点
在
上？若存在，求点
的坐标，若不存
在，说明理由.
17. （2019·浙江·高考真题）如图，已知点
为抛物线
的焦点，过点
的直线交抛物线
于
两点，点
在抛物线上，使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于点
，且
在点
右侧.
记
的面积为
.
（1）求
的值及抛物线的准线方程；
（2）求
的最小值及此时点
的坐标.
18. （2018·浙江·高考真题）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C：y2=4x 上存在不同的两
点A，B 满足PA，PB 的中点均在C 上．
（Ⅰ）设AB 中点为M，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆
上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
考点08 斜率问题
1. （2026·天津·高考真题）已知椭圆
（
）的离心率为
，椭圆被直线
截得的
线段长为
．
(1)求
的标准方程；
(2)斜率为
的直线与圆
相切，且该直线交椭圆于
，
（
），
是椭圆
的上顶点．记直线
，
的斜率分别为
，
，求
．
2. （2026·上海·高考真题）已知双曲线
，过点
作不垂直于
轴的直线交双曲线
于
、
两点.
(1)求双曲线离心率；
(2)若点
，点
在双曲线的右支上，且
是
的中点，求直线的斜率；
(3)若
，
，
分别是双曲线
的左右焦点，
是
关于
轴的对称点，若存在直线使得
，求
的取值范围.
3. （2024·北京·高考真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
4. （2023·上海·高考真题）已知椭圆
．
(1)若
，求椭圆
的离心率；
(2)设
为椭圆
的左右顶点，若椭圆
上一点E 的纵坐标为1，且
，求m 的值；
(3)若P 为椭圆
上一点，过点P 作一条斜率为
的直线与双曲线
仅有一个公共点，求m 的取
值范围．
5. （2021·北京·高考真题）已知椭圆
一个顶点
，以椭圆
的四个顶点为顶
点的四边形面积为
．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与直线
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15 时，求k 的取值范围．
6. （2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线
的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交
点，且
，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F 的直线交抛物线与A､B 两点，斜率为2 的直线l 与直线
，x 轴依次交于点P，
Q，R，N，且
，求直线l 在x 轴上截距的范围.
7. （2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线
的焦点F 到准线的距离为2．
（1）求C 的方程;
（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足
，求直线
斜率的最大值.
8. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系
中，已知点
、
，点
的轨迹为
.
（1）求
的方程；
（2）设点
在直线
上，过
的两条直线分别交
于
、
两点和
，
两点，且
，
求直线
的斜率与直线
的斜率之和.
9. （2019·全国I 卷·高考真题）已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为
的直线l 与C 的交点为A，B，
与x 轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；
（2）若
，求|AB|．
10. （2019·天津·高考真题） 设椭圆
的左焦点为
，左顶点为
，上顶点为B.已知
（
为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点
且斜率为
的直线与椭圆在
轴上方的交点为
，圆
同时与
轴和直线相切，圆心
在直线
上，且
，求椭圆的方程.
11. （2019·天津·高考真题）设椭圆
的左焦点为
，上顶点为
.已知椭圆的短轴长为
4，离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点
在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
为直线
与
轴的交点，点
在
轴的负半轴
上.若
（
为原点），且
，求直线
的斜率.
12. （2018·北京·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，焦距为
.斜率为
的直
线与椭圆
有两个不同的交点
、
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若
，求
的最大值；
（Ⅲ）设
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，直线
与椭圆
的另一个交点为
.若
、
和点
共线，求
.
13. （2018·全国II 卷·高考真题）设抛物线
的焦点为
，过
且斜率为
的直线与
交
于
，
两点，
．
（1）求的方程；
（2）求过点
，
且与
的准线相切的圆的方程．
14. （2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的离心率为
，焦
距为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：
交椭圆
于
两点，
是椭圆
上一点，直线
的斜率为
，且
，
是线段
延长线上一点，且
，
的半径为
，
是
的两条
切线，切点分别为
.求
的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
15. （2017·天津·高考真题）已知椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，点
的坐标
为
，
的面积为
.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点
在线段
上，
，延长线段
与椭圆交于点
，点
，
在
轴上，
，
且直线
与直线
间的距离为，四边形
的面积为
.
（i）求直线
的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
16. （2017·浙江·高考真题）如图，已知抛物线
.点A
，抛物线上的点P（x,y）
,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.
（I）求直线AP 斜率的取值范围；
（II）求
的最大值
17. （2018·天津·高考真题）设椭圆
的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为
，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点，与直线
交于点M，且点P，M 均在第四象限．若
的面积是
面积的2 倍，求
的值．
18. （2018·天津·高考真题）设椭圆
(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为
，
点A 的坐标为
，且
.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：
与椭圆在第一象限的交点为P，且l 与直线AB 交于点Q. 若
(O 为原点) ，求k 的值.
考点09 参数范围及最值
1. （2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，下顶点为A，右顶点
为B，
．
(1)求C 的方程；
(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足
．
（i）设
，求
的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，
是C 上的动点，直线OR 的斜率为直线
的斜率的3 倍，求
的最大值．
2. （2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为
．左顶点为
，下顶点为
是
线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成立．若存在，
求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
3. （2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线
，点P、Q 分别为
上不
同的两点，
．
(1)求
所在椭圆的离心率；
(2)若
在y 轴上，若T 到直线
的距离为
，求P 的坐标；
(3)是否存在t，使得
是以T 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t 的取值范围；若不存在，请
说明理由．
4. （2024·上海·高考真题）已知双曲线
，左、右顶点分别为
，过点
的
直线交双曲线
于
两点.
(1)若
的离心率为2，求
.
(2)若
为等腰三角形，且点
在第一象限，求点
的坐标.
(3)连接
（
为坐标原点）并延长交
于点
，若
，求
的最大值.
5. （2022·上海·高考真题）在椭圆
中，直线
上有两点C、D (C 点在第一象限)，左顶
点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB
，求椭圆
的标准方程；
(2)若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC 与椭圆
相交于点P，直线AD 与椭圆
相交于点Q，若P 与Q 关于原点对称，求
的
最小值.
6. （2025·上海·高考真题）已知椭圆
，
，A 是
的右顶点．
(1)若
的焦点
，求离心率e；
(2)若
，且
上存在一点P，满足
，求m；
(3)已知AM 的中垂线l 的斜率为2，l 与
交于C、D 两点，
为钝角，求a 的取值范围．
7. （2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，
F2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E 相交于另一点B．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x 轴上任取一点P，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q，求
的最小值；
（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M 的坐标．
8. （2022·上海·高考真题）设有椭圆方程
，直线
，
下端点为
A，M 在l 上，左、右焦点分别为
.
(1)
，AM 的中点在x 轴上，求点M 的坐标；
(2)直线l 与y 轴交于B，直线AM 经过右焦点
，在
中有一内角余弦值为
，求b；
(3)在椭圆
上存在一点P 到l 距离为d，使
，随a 的变化，求d 的最小值.
9. （2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆
．设A，B 是椭圆上异于
的两点，且点
在线段
上，直线
分别交直线
于C，D 两点．
(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求
的最小值．
10. （2020·上海·高考真题）双曲线
，圆
在第一象限交点为
，
曲线
.
（1）若
，求b；
（2）若
，
与x 轴交点记为
，P 是曲线
上一点且在第一象限，并满足
，求∠
；
（3）过点
且斜率为
的直线交曲线
于M、N 两点，用b 的代数式表示
，并求出
的取值范围.
11. （2023·上海·高考真题）曲线
，第一象限内点A 在Γ 上，A 的纵坐标是a．
(1)若A 到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B 在x 轴上，AB 中点在
上，求点B 坐标和坐标原点O 到AB 距离；
(3)直线
，令P 是第一象限Γ 上异于A 的一点，直线PA 交l 于Q，H 是P 在l 上的投影，若点A 满
足“对于任意P 都有
”，求a 的取值范围．
12. （2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于
M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得最
大值时，求直线AB 的方程．
13. （2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为
,椭圆
C 截直线y=1 所得线段的长度为
.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C 于A,B 两点,交y 轴于点M.点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO|.
设D 为AB 的中点,DE,DF 与⊙N 分别相切于点E,F,求
EDF 的最小值.
考点10 证明特殊位置关系
1. （2025·天津·高考真题）已知椭圆
的左焦点为F，右顶点为A，P 为
上一点，
且直线
的斜率为
，
的面积为
，离心率为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P 的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF 平分
.
2. （2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
3. （2023·北京·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，A、C 分别是E 的上、下顶
点，B，D 分别是
的左、右顶点，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为第一象限内E 上的动点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
．求证：
．
4. （2018·全国I 卷·高考真题）设抛物线
，点
，
，过点
的直线与
交于
，
两点．
（1）当与
轴垂直时，求直线
的方程；
（2）证明：
．
考点11 求直线方程
1. （2021·天津·高考真题）已知椭圆
的右焦点为
，上顶点为
，离心率为
，
且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点
，与
轴的正半轴交于点
，过
与
垂直的直线交
轴于点
．
若
，求直线的方程．
2. （2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点
，椭圆
的顶点分别为
，
，
，
，其中点
为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点
的直线与抛物线交于
，
两点，且
，求直线的方程.
3. （2020·天津·高考真题）已知椭圆
的一个顶点为
，右焦点为
，且
，其中
为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点
满足
，点
在椭圆上（
异于椭圆的顶点），直线
与以
为圆心的圆相切于
点
，且
为线段
的中点．求直线
的方程．
4. （2017·上海·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
，
为
的上顶点，
为
上异于
上、下顶点的动点，
为x 正半轴上的动点.
（1）若
在第一象限，且
，求
的坐标；
（2）设
，若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；
（3）若
，直线AQ 与
交于另一点C，且
，
，
求直线
的方程.
5. （2017·天津·高考真题）设椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，离心率为
.已知
是抛物线
的焦点，
到抛物线的准线的距离为
.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点
，
关于
轴对称，直线
与椭圆相交于点
（
异于点
），直线
与
轴相交于
点
.若
的面积为
，求直线
的方程.
