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第22 讲 轨迹方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5 小题）
1．过点
斜率为正的直线交椭圆
于
，
两点．
，
是椭圆上相异的
两点，满足
，
分别平分
，
，则
外接圆半径的最小值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，先固定直线
，设
，则
（C）
（D）
，其
中
为定值，
故点
，
，
在一个阿波罗尼斯圆上，且
外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半
径为
，
阿波罗尼斯圆会把点
，
其一包含进去，这取决于
与
谁更大，不妨先考虑
的阿波罗尼斯圆的情况，
的延长线与圆交于点
，
即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，
由
，解得
，
同理，当
时有，
，
综上，
；
当直线
无斜率时，与椭圆交点纵坐标为
，则
；
当直线
斜率存在时，设直线
的方程为
，即
，
与椭圆方程联立可得
，
设
，
，
，
，则由根与系数的关系有，
，
，
注意到
与
异号，故
，
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设
，则
，故
，
又
，
故选：
．
2．方程
表示
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
【解答】解：方程
变形为：
，
表示点
到定点
与定直线的距离相等的点的轨迹，
由抛物线的定义可知：点
的轨迹是抛物线．
故选：
．
3．若动圆过定点
且和定圆
外切，则动圆圆心
的轨迹为
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线一支
【解答】解：设动圆的半径为
，
动圆圆心为
，点
在动圆上，
又
定圆
的圆心为
，半径为2，
定圆与动圆
相外切
圆心距
由此可得
（常数），
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点
的轨迹是以
、
为焦点的双曲线的左支
故选：
．
4．已知圆
和圆
，动圆
同时与圆
及圆
相外切，
则动圆圆心
的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设动圆圆心
的坐标为
，半径为
，
则由题意可得
，
，相减可得
，
故点
的轨迹是以
、
为焦点的双曲线的左支，
由题意可得
，
，
，
故点
的轨迹方程为
．
故选：
．
5．已知
是抛物线
的焦点，
是该抛物线上的动点，则线段
中点轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
，得其焦点坐标为
，
设线段
中点为
，
，
，
由中点坐标公式得：
，
，
是抛物线上的点，
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，
即
，
．
故选：
．
二．填空题（共7 小题）
6．两定点的坐标分别为
，
，动点满足条件
，动点
的轨
迹方程是
或
． ．
【解答】解：设
，
，则
，它们是直线
、
的倾角还是
倾角的补角，与点
在
轴的上方还是下方有关；以下讨论：
①若点
在
轴的上方，
，
，
此时，直线
的倾角为
，
的倾角为
，
，
，
，
，得：
，
，
．
当
时，
，
为等腰直角三角形，此时点
的坐标为
，它满足上
述方程．
②当点
在
轴的下方时，
，同理可得点
的轨迹方程为
，
③当点
在线段
上时，也满足
，此时
．
综上所求点的轨迹方程为
或
．
故答案为：
或
．
7．设圆
的圆心为
，
是圆内一定点，
为圆周上任一点，线段
的垂直平分线与
的连线交于点
，则
的轨迹方程为
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【解答】解：如图，连接
，根据垂直平分线的性质，
，
由已知得
，
，所以
，
同时
，
因此点
的运动轨迹为椭圆，
设其方程为
，
，
所以其方程为
．
故答案为：
．
8．已知点
，
，圆
，点
是圆上一动点，
的垂直平分
线与
交于
点，则点
的轨迹方程为
．
【解答】解：因为
的垂直平分线与
交于
点，
所以
．
所以
，
所以点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，
这里
，
，
，
，
，
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所以点
的轨迹方程为：
．
故答案为：
．
9．已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内切，
圆心
的轨迹为曲线
，则
的方程为
．
【解答】解：由圆
，可知圆心
；圆
，圆心
，半径3．
设动圆的半径为
，
动圆
与圆
外切并与圆
内切，
，
而
，由椭圆的定义可知：动点
的轨迹是以
，
为焦点，4 为长轴长的椭圆，
，
，
．
曲线
的方程为
（去掉点
故答案为：
．
10．方程
所表示的曲线是 双曲线 ．
【解答】解：方程
化为：
．表达式的几
何意义是：平面内动点
到定点
，与到定直线
的距离的比为
的点的
轨迹，
，
不在直线
上，
轨迹是双曲线．
故答案为：双曲线．
11．若动点
到定点
的距离是它到直线
的距离的
倍，则动点
的轨迹
方程是
．
【解答】解：
点
到定点
的距离是
，
点
到直线
的距离是
，
，
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化简为
．
故答案为
．
12．在平面直角坐标系
中，直线
与椭圆
交于两点
、
，且
、
，
、
分别为椭圆的左、右顶点，则直线
与
的交点
所在的曲线方程为
．
【解答】解：由题意，直线
的方程为
，直线
的方程为
，
两式左右分别相乘得
①
、
在椭圆
上
，
，
，
代入①可得
故答案为：
三．解答题（共28 小题）
13．已知点
，
，动点
满足直线
与
的斜率之积为
，记
的轨迹为曲线
，求
的方程，并说明
是什么曲线．
【解答】解：点
，
，动点
满足直线
与
的斜率之积为
，
，
化简得
，
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即曲线
的方程为
，
曲线
是一个椭圆，除去左右顶点．
14．已知坐标平面上点
与两个定点
，
的距离之比等于5．
（1）求点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为
，线段
，点
为
上一点，点
，求
的中点
的
轨迹方程．
【解答】解：（1）由题意坐标平面上点
与两个定点
，
的距离之
比等于5，
得
，化简得
．
即
．
点
的轨迹方程是
，
所求轨迹是以
为圆心，以5 为半径的圆．
（2）设
，
，
，
根据题意有
，所
，
点
在圆
上，所以有
，
所以
，
所以
，
所以
的中点
的轨迹方程为
．
15．设圆
的圆心为
，直线过点
且与
轴不重合，交圆
于
，
两点，过
作
的平行线交
于点
，求点
的轨迹方程．
【解答】解：因为
，
，故
，
所以
，故
，
又圆
的标准方程为
，
从而
，所以
（5 分）
由题设得
，
，
，
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由椭圆定义可得点
的轨迹方程为：
（10 分）
16．已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内
切，圆心
的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程；
（2）过点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，求直线
被曲线
截得的弦
的中点坐标．
【解答】解：（1）由已知得圆
的圆心为
，半径
，圆
的圆心为
，
半径
．
设动圆
的圆心为
，半径为
．
圆
与圆
外切并且与圆
内切，
，
由椭圆的定义可知，曲线
是以
，
为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得
，
，
，
，
椭圆方程为
；
（2）
，以
为圆心，
为半径的圆
与圆
公共弦所在直线为的方程为
，
联立曲线
与直线
，可得
，△
，
设交点
，
，
，
，则
，
中点的横坐标为
，代入直线
，得中点的纵坐标为
，
所求中点坐标为
，
．
17．已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内
切，圆心
的轨迹为曲线
．
（1）求
的方程；
（2）若直线
与曲线
相切，求
的值．
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【解答】解：（1）圆
，圆
，
设动圆
半径为
．
在
内，
动圆只能在
内与
内切，不能是
在动圆内，即：
动圆
与圆
外切，则
，
动圆
与圆
内切，则
，
，即
到
和
到
的距离之和为定值．
是以
、
为焦点的椭圆．
的中点为原点，故椭圆中心在原点，
，
，
，
，
，
的方程为
；
（2）由
，得：
，
若直线和曲线
相切，
则△
，
解得：
．
18．已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内
切，圆心
的轨迹为曲线
．求
的方程．
【解答】解：圆
，圆
，
设动圆
半径为
．
在
内，
动圆只能在
内与
内切，不能是
在动圆内，即：
动圆
与圆
外切，则
，
动圆
与圆
内切，则
，
，即
到
和
到
的距离之和为定值．
是以
、
为焦点的椭圆．
的中点为原点，故椭圆中心在原点，
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，
，
，
，
，
的方程为
．
19．已知圆
的方程为
，定点
，求过定点
且和圆
外切的动圆
圆心
的轨迹方程．
【解答】解：
圆
与圆
外切，如图，
，即
，
，
由双曲线的定义，点
的轨迹是以
，
为焦点，2 为实轴长的双曲线的左支，其中
，
，
．
故所求轨方程为
．
20．已知两圆
，
．动圆
与两圆都相切，求动圆圆
心
的轨迹方程．
【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆
，
，动圆
与两圆
，
都相切，
，即
点在线段
，
的垂直平分线上
又
，
的坐标分别为
与
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其垂直平分线为
轴，
动圆圆心
的轨迹方程是
；
②若一内切一外切，不妨令与圆
内切，与圆
外切，
则
到
的距离减去
到
的距离的差是
，由双曲线的定义知，点
的轨迹是
以
与
为焦点，以
为实半轴长的双曲线左支，故可得
，故
此双曲线的方程为
．
同理与圆
外切，与圆
内切，此双曲线的方程为
．
此双曲线的方程为
．
综①②知，动圆
的轨迹方程为
或
．
21．在三角形
中，
，
的内切圆与
相切于点
，
，
求顶点
的轨迹方程．
【解答】解：如图，
设
、
分别为圆与
、
的两个切点，
则
，
，
又
，
，
点
的轨迹为以
，
为焦点的双曲线的右支
，
且
，
，
，
轨迹方程为
．
故答案为：
．
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22．直角三角形
的直角顶点
为动点，
，
，
，作
于
，
动点
满足
，当动点
运动时，点
的轨迹为曲线
，
（1）求曲线
的轨迹方程；
（2）求曲线
的轨迹方程；
（3）设直线
与曲线
交于
、
两点，坐标原点
到直线
的距离为
，求
的
最大值．
【解答】解：（1）直角三角形
的直角顶点
的轨迹为圆：
；
（2）设
，
，
，则
，
，
，
动点
满足
，
，解得
，
，
代入曲线
的轨迹方程可得
，化为
．
（3）当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为：
，
．
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为：
，
，
，
，
．
坐标原点
到直线
的距离为
，
，化为
．
联立
，化为
，
则
，
．
又
．
当且仅当
时取等号．
综上可得：
的最大值为2．
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23．动点
到点
的距离与它到直线
的距离相等，求动点
的轨迹方程．
【解答】解：由抛物线的定义知点
的轨迹是以
为焦点的抛物线，其开口方向向右，且
，
解得
，所以其方程为
．
故答案为：
．
24．若动圆
与圆
外切，又与直线
相切，求动圆圆心的轨迹方
程．
【解答】解：设动圆圆心为
，半径为
，
圆
，
定圆圆心为
，半径
，
两圆外切，
，
又
动圆
与直线
相切，
圆心
到直线
的距离
，
，即动点
到定点
的距离等于它到直线
的距离，
由抛物线的定义可得，点
的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线，且
，
即
，
故动圆圆心的轨迹方程为
．
25．设
为坐标原点，动点
在椭圆
上，过
作
轴的垂线，垂足为
，
点
满足
．求点
的轨迹方程．
【解答】解：设
，
，由题意可得
，
，
设
，由点
满足
．
可得
，
，
可得
，
，
即有
，
，
代入椭圆方程
，可得
，
即有点
的轨迹方程为圆
；
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故答案为：
．
26 ．在平面直角坐标系
中，点
，
为动点，
，
分别为椭圆
的左、右焦点．已知△
为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线
与椭圆相交于
，
两点，
是直线
上的点，满足
，
求点
的轨迹方程．
【解答】解：（Ⅰ）设
，
，
．
由题得
，即
，整理得
，得
（舍，或
，
所以
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
，可得椭圆方程为
，直线方程为
．
，
的坐标满足方程组
，
消
并整理得
，
解得
，
，得方程组的解为
，
，
不妨设
，
，
．
设点
的坐标为
，则
，
，
由
得
①，
由
即
．
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将①代入化简得
，
代入①化简得
．所
以
，
因此点
的轨迹方程为
．
27．设
，点
的坐标为
，点
在抛物线
上运动，点
满足，
经
过点
与
轴垂直的直线交抛物线于点
，点
满足
，求点
的轨迹方程．
【解答】解：由
知
，
，
三点在同一条垂直于
轴的直线上，故可设
，
，
则
即
①
再设
，
由
得
将①代入②式得
又点
在抛物线
将③代入得
整理得
因为
所以
故所求的点
的轨迹方程：
28．已知抛物线
的焦点为
，平行于
轴的两条直线
，
分别交
于
，
两点，交
的准线于
，
两点．
（Ⅰ）若
在线段
上，
是
的中点，证明
；
（Ⅱ）若
的面积是
的面积的两倍，求
中点的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：连接
，
，
由
，
及
，得
，
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，
是
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
（Ⅱ）设
，
，
，
，
，
，准线为
，
，
设直线
与
轴交点为
，
，
的面积是
的面积的两倍，
，
，即
．
设
中点为
，由
得
，
又
，
，即
．
中点轨迹方程为
．
29．已知点
，
，动点
满足
为
和
的等差中项．
（1）求动点
的轨迹
的方程；
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（2）过
作直线
交
于
，
两点，求
的中点
的轨迹方程．
【解答】解：（1）
，
，
，
是
与
的等差中项，
，
即
，
点
在以
，
为焦点的椭圆上，
，
，
又
，
，
椭圆的方程是
；
（2）设
中点
，
，
，
，
，
，
，
在椭圆
上，
①，
②，
①
②得：
，
即
．
，整理得：
．
而
适合上式，
的中点
的轨迹方程为
．
30．已知点
，圆
，过点
的动直线与圆
交于
，
两点，线
段
的中点为
，
为坐标原点．求
的轨迹方程．
【解答】解：圆
的方程可化为
，
所以圆心为
，半径为4．
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设
，则
，
．
由题设知
，
（6 分）
故
，即
．
由于点
在圆
的内部，所以
的轨迹方程是
．
（12 分）
31．在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数，
．
（1）求曲线
的直角坐标方程；
（2）已知直线的参数方程为
为参数，
，点
，并且直线与曲
线
交于
，
两点，求
．
【解答】解：（1）曲线
的参数方程为
为参数，
，整理得曲线
的普
通方程
．
（2）直线的参数方程为
为参数，
，代入
；
得到
，
所以
，
；
故
．
32 ．如图，椭圆
，
，
为常数），动圆
，
．点
，
分别为
的左，右顶点，
与
相交于
，
，
，
四点．
（Ⅰ）求直线
与直线
交点
的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆
与
相交
，
，
，
四点，其中
，
．若
矩形
与矩形
的面积相等，证明：
为定值．
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【解答】
解：设
，
，
，
，则
，
，
，
，则直线
的方程为
①
直线
的方程为
②
由①
②可得：
③
，
在椭圆
上，
代入③可得：
；
证明：设
，
，
矩形
与矩形
的面积相等
，
均在椭圆上，
，
．
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，
为定值．
33．已知
是抛物线
的顶点，
、
是
上的两个动点，且
．
（1）试判断直线
是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点
是
的外接圆圆心，求点
的轨迹方程．
【解答】解：（1）因为点
是抛物线
的顶点，
故点
的坐标为
，
根据题意可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为：
，
设
，
，
，
，
故
，
因为
，
则
，
因为
、
是
上的两个动点，
则有
，
，
故
，
整理可得
，解得
，
由
，消去
可得
，
则有
，
，
所以
，解得
，
故直线
的方程为
，
所以直线经过一个定点
．
（2）线段
的中点坐标为
，
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又直线
的斜率为
，
所以线段
的垂直平分线的方程为
，①
同理，线段
的垂直平分线的方程为
，②
由①②解得
，
设点
，则有
，
消去
，得到
，
所以点
的轨迹方程为
．
34．已知椭圆
与抛物线
有公共的焦点，且抛物线的准
线被椭圆截得的弦长为3．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
的右焦点作一条斜率为
的直线交椭圆于
，
两点，交
轴于点
，
为弦
的中点，过点
作直线
的垂线交
于点
，问是否存在一定点
，使得
的长度为定值？若存在，则求出点
，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线
的焦点为
，
可得
①，
抛物线的准线
被椭圆截得的弦长为3，
由
代入椭圆方程可得
，即有
②，
解①②可得
，
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）设直线
，
，
，
，
，
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联立直线与椭圆方程
，
消去
可得
，
则
，
，
所以
，
，
所以
，
，直线
③，
直线
的方程
中，令
可得
，所以
，
因为直线
，所以直线
的方程为
④，
将③④联立相乘得到
，即
，
所以点
的轨迹为以
，
为圆心，
为半径的圆，
所以存在定点
，
，使得
的长为定值
．
35．已知椭圆
的离心率为
，椭圆
的下顶点和上顶点分别为
，
，且
，过点
且斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）当
时，求
的面积；
（Ⅲ）求证：直线
与直线
的交点
的纵坐标为定值．
学科网（北京）股份有限公司
【解答】解：（Ⅰ）因为
，
所以
，即
，
因为离心率为
，
所以
，
设
，则
，
，
又
，即
，
解得
或
（舍去），
所以
，
，
，
所以椭圆的标准方程为
．
（Ⅱ）联立
，得
，
所以
，
所以△
，
所以直线与椭圆无交点，
所以
的面积不存在．
（Ⅲ）证明：由题意知，直线的方程为
，设
，
，
，
，
则
，得
则
因为直线和椭圆有两个交点，
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所以△
，则
，
设
，
因为
，
，
在同一条直线上，
则
，
因为
，
，
在同一条直线上，则
，
由于
，
所以
，
所以交点
恒在一条直线
上，
所以交点
的纵坐标为定值为
．
36．已知椭圆
的离心率为
，直线
被椭圆截得的线段长为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设过椭圆
的右焦点
与坐标轴不垂直的直线交
于点
，
，交
轴于点
，
为线段
的中点，
且
为垂足．问：是否存在定点
，使得
的长为定值？
若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：
，
，化简得
，
故
的方程为：
，
将
代入椭圆
的方程得：
，
学科网（北京）股份有限公司
所以
，解得：
，所以
，
所以椭圆
的方程：
；
（2）设
，
，
，
，
，
，直线
的方程为
，
则直线
与
轴的交点为
，
由
，
，得
又
，
，所以
，故
的方程为
，
由
得：
，
所以直线
的方程为
，即
，
所以直线
过定点
，
所以
在以
为直径的圆
上，
所以存在定点
，使
的长为定值
．
37 ．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
．点
在
上，
，△
的周长为
，面积为
．
（1）求
的方程．
（2）设
的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与
交于
，
两点，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填
到横线上并给出解答）．
①求直线
和
交点的轨迹方程；
②是否存在实常数
，使得
恒成立；
③过点
作关于
轴的对称点
，连结
，
得到直线
，试探究：直线
是否恒过定点．
【解答】解：（1）依题意，
，解得
，
所以椭圆
的方程为：
．
（2）设直线的方程为
，
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选择①，联立方程
，化简整理得：
，
假设
，
，
，
，由韦达定理，得
，
所以
，
直线
的方程：
；直线
的方程：
，
联立方程，得
，
两
式
相
除
，
得
即
，解得
，
所以直线
和
交点的轨迹方程是直线
．
选择②联立方程
，化简整理，得
，
假设
，
，
，
，由韦达定理，得
，
所以
于
是
学科网（北京）股份有限公司
故存在实数
，使得
恒成立．
选择③：设
，
，
，
，
，
，
联立方程，得
，化简整理，得
，
由韦达定理，得
，
直线
与
轴交于点
，说明
，
，
三点共线，于是
，
假设
，即
，亦即
，
则
，
所
以
即
，解得
，
所以直线
恒过定点
．
38 ．已知抛物线
，直线
交于抛物线
于
、
两点，
．
（1）求抛物线
的方程．
（2）互相垂直的直线
、
分别切抛物线
于
、
两点，试求两切线交点的轨迹方程．
【解答】解：（1）联立方程组
，消去
得：
，
，即
．
抛物线
的方程为
．
（2）设
，
，
，
，
由于
，故
，不妨设
，
，
由
可得
，
当
时，
，即
，当
时，
，即
．
学科网（北京）股份有限公司
又
，
在抛物线
上，
，
故直线
的方程为：
，即
，即
，①
同理可得直线
的方程为：
．②
由①②可得：
，
是关于的方程
，即
的两根．
，
，
互相垂直，
，即
．
，
，即
．
两切线交点的轨迹方程为
．
39．已知椭圆
的离心率为
，其中一个顶点是双曲线
的
焦点．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过点
的直线与椭圆
相交于不同的两点
，
，过点
，
分别作椭圆的
两条切线，求其交点的轨迹方程．
【解答】解：（1）
椭圆
的离心率为
，其中一个顶点是双曲线
的焦点．
双曲线
的焦点
，
，
椭圆
中，
，
解得
，
，
，
椭圆
的标准方程为：
．
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
设
，
，
，
，
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设在
，
处切线方程为
，
与椭圆
联立
，
消去
，得
，
由△
，得
，
化简，得
，
由
，得
，
，
上式化为
，
，
，
椭圆在点
处的切线方程为
，①
同理，得椭圆在点
处的切线方程为
，②
联立①②，消去
，得：
，解得
，
、
都在直线上，
，
，
，即此时的交点的轨迹方程为
．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，则
，
，
则椭圆在点
处的切线方程为
，椭圆在
处的切线方程为
，此时无交点．
综上所述，过点
，
所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程为
．
40．
为一定点，
是
轴上的一动点，
轴上的点
满足
，若点
满足
，求：
（1）点
的轨迹曲线
的方程；
（2）曲线
的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．
【解答】解：（1）
，
点
，
关于点
对称，
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设
，则
，
在
轴上，
，即
．
，
，
，
，
，即
．
点
的轨迹曲线
的方程是
．
（2）设曲线
的两条互相垂直的垂线的交点坐标为
，
，切线的斜率为
，则
切线方程为
，
联立方程组
，消元得：
，
△
，即
．
，
．
曲线
的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹是直线
．
