文档文本内容
学科网（北京）股份有限公
第14 讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结
一．解答题（共16 小题）
1．已知椭圆
的两个焦点分别为
、
，短轴的两个端点分别是
、
．
（1）若△
为等边三角形，求椭圆
的标准方程；
（2）若椭圆
的短轴长为2，过点
的直线与椭圆
相交于
、
两点，且以
为直
径的圆经过点
，求直线的方程．
2．已知动圆过定点
，且在
轴上截得的弦
的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹
的方程；
（Ⅱ）已知点
，设不垂直于
轴的直线与轨迹
交于不同的两点
，
，若
轴是
的角平分线，证明直线过定点．
3．设椭圆
的左焦点为
，上顶点为
．已知椭圆的短轴长为4，离
心率为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点
在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
为直线
与
轴的交点，点
且
为原点），求直线
的斜率．
4．已知椭圆
，抛物线
，点
，斜率为
的直线
交
抛物线于
、
两点，且
，经过点
的斜率为
的直线
与椭圆相交于
、
两点．
（1）若抛物线的准线经过点
，求抛物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在
，使得四边形
的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及
的值；若不存在，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公
5．已知椭圆
过点
，左右焦点分别为
，
，且线段
与
轴的交点
恰好为线段
的中点，
为坐标原点．
（1）求椭圆
的离心率；
（2）与直线
的斜率相同的直线与椭圆
相交于
，
两点，求当
的面积最大
时直线的方程．
6．已知椭圆
的离心率为
，且过点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线
与椭圆
交于
，
两点（不同于点
，记直线
，
的斜率
分别为
，
，试判断是否存在定值
，使当
变化时
总成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知椭圆
经过点
，离心率
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）设
是经过右焦点
的任一弦（不经过点
，直线
与直线
相交于点
，
记
，
，
的斜率分别为
，
，
，求证：
，
，
成等差数列．
8．已知椭圆
的左焦点为
，离心率为
，点
在椭圆上，直
线
的斜率为
，直线
被圆
截得的线段的长为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点
在椭圆上，若直线
的斜率大于
，求直线
为原点）的斜率的取
值范围．
9．已知抛物线
的焦点为
，
是抛物线
上一点，且在第一象限，满
足
，
学科网（北京）股份有限公
（1）求抛物线
的方程；
（2）已知经过点
的直线交抛物线
于
，
两点，经过定点
和
的直线
与抛物线
交于另一点
，问直线
是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明
理由．
10．设直线与抛物线
相交于不同两点
、
，与圆
相切于
点
，且
为线段
的中点．
（1）若
是正三角形
为坐标原点），求此三角形的边长；
（2）若
，求直线的方程；
（3）试对
进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）
11．如图，已知椭圆
与圆
在第一象限相交于点
，椭圆
的左、右焦点
，
都在圆
上，且线段
为圆
的直径．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设直线与椭圆
相交于
，
两点，且直线与
轴相交于
点，
为线段
的
中点，
为坐标原点，若
，求
的最大值．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，椭圆上一点
与
椭圆右焦点的连线垂直于
轴．
（1）求椭圆
的方程；
（2）与抛物线
相切于第一象限的直线，与椭圆
交于
，
两点，与
轴交于
点
，线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求直线
斜率的最小值．
13．已知圆
的圆心
在直线
上，且与直线
相切于点
．
（1）求圆
的方程；
（2）过点
的直线与圆
交于
，
两点，线段
的中点为
，直线与直线
的交点为
．判断
是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，
说明理由．
14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学
学科网（北京）股份有限公
习，请你思考后，将答案补充完整．
（1）圆
上点
，
处的切线方程为 ．理由如下： ．
（2）椭圆
上一点
，
处的切线方程为
；
（3）
是椭圆
外一点，过点
作椭圆的两条切线，切点分别为
，
，
如图，则直线
的方程是 ．这是因为在
，
，
，
两点处，椭圆
的
切线方程为
和
．两切线都过
点，所以得到了
和
，由这两个“同构方程”得到了直线
的方程；
（4 ）问题（3 ）中两切线
，
斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为
，由
，得
，
化简得△
得
．
若
，则由这个方程可知
点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ．
（5）抛物线
上一点
，
处的切线方程为
；
（6）抛物线
，过焦点
的直线与抛物线相交于
，
两点，分别过点
，
作抛物线的两条切线
和
，设
，
，
，
，则直线
的方程为
．
直线
的方程为
，设
和
相交于点
．则①点
在以线段
为直径的圆
上；②点
在抛物线
的准线上．
15．如图1，在平面直角坐标系
中，椭圆
的方程为
，
，
为
椭圆的左右顶点，
、
是左、右焦点．
（1）已知椭圆内有一点
，在椭圆上有一动点
，则求
的最
大值和最小值分别是多少？
学科网（北京）股份有限公
（2）如图1，若直线经过点
且垂直于轴，点
是椭圆上异于
，
的任意
一点，直线
交于点
，设过点
垂直于
的直线为
．求证：直线
过
定点，并求出定点的坐标．
（3）如图2，若直线过左焦点
交椭圆于
，
两点，直线
，
分别交
直线
于
，
两点，求证：以线段
为直径的圆恒过两个定点．
（4）如图3，若
，
是椭圆
上关于原点对称的两点，点
是椭圆上除
，
外的任意一点，当直线
，
的斜率都存在，并记为
为定值．
（5）如图4，若动直线
与椭圆
有且只有一个公共点，点
，
是
直线上的两点，且
，
，求四边形
面积
的最大值．
（6）如图5，若过点
且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于
，
两点．试探究：
线段
上是否存在点
使得
，若存在，求出实数
的取
值范围，若不存在，说明理由．
（7）如图6，若点
为抛物线
上的动点，设
为坐标原点，是否存在
同时满足下列两个条件的
？①点
在椭圆
上；②点
为
的重心，
若存在，求出点
的坐标，若不存在，说明理由．
16．已知直线
与抛物线
交于
，
、
两点，过点
与直线
垂直的直线交抛物线
于点
，
．如图所示．
（1）求抛物线
的焦点坐标；
（2）求经过
、
两点的直线与
轴交点
的坐标；
学科网（北京）股份有限公
（3）过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点
、
的直线
是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请
说明理由．
