高二数学选择性必修二第四章
数列知识点+题型归纳全集
4.1 数列的概念.............................................................................................6
模块一：基础知识.................................................................6
考点一：数列的概念..................................................................................................................................6
考点二：数列的分类..................................................................................................................................6
考点三：数列的通项公式..........................................................................................................................7
考点四：数列的递推公式..........................................................................................................................7
考点五：数列的性质..................................................................................................................................7
考点六：数列的前n 项和Sn.....................................................................................................................7
模块二：题型分类.................................................................8
题型一：数列的概念及分类......................................................................................................................8
题型二：根据规律求数列中的某项..........................................................................................................9
题型三：判断或写出数列中的项..............................................................................................................9
题型四：利用递推关系求数列的项或通项........................................................................................... 10
题型五：数列的单调性的判断及其应用............................................................................................... 12
题型六：求数列中的最大(小)项............................................................................................................13
题型七：数列的周期性问题....................................................................................................................13
题型八：根据数列的前n 项和Sn 求an................................................................................................ 14
模块三：综合巩固................................................................15
4.2 等差数列..............................................................................................19
模块一：基础知识................................................................19
考点一：等差数列的有关概念................................................................................................................19
考点二：等差中项....................................................................................................................................19
考点三：等差数列的通项公式................................................................................................................19
考点四：等差数列与一次函数................................................................................................................19
考点五：等差数列的单调性....................................................................................................................19
考点六：等差数列的四种判断方法........................................................................................................20
考点七：等差数列的性质........................................................................................................................20
模块二：题型分类................................................................20
题型一：等差数列的判定........................................................................................................................20
题型二：等差数列的通项公式及其应用............................................................................................... 21
题型三：等差数列通项公式基本量计算............................................................................................... 22
题型四：等差中项及其应用....................................................................................................................23
题型五：等差数列性质的应用................................................................................................................24
题型六：等差数列的单调性....................................................................................................................25
题型七：等差数列的最值........................................................................................................................26
题型八：构造等差数列............................................................................................................................27
题型九：等差数列的实际应用................................................................................................................27
题型十：等差数列在传统文化中的应用问题....................................................................................... 29
模块三：综合巩固................................................................29
4.3 等差数列的前n 项和公式......................................................................... 34
模块一：基础知识................................................................34
考点一：等差数列的前n 项和公式........................................................................................................34
考点二：等差数列前n 项和公式的函数特征........................................................................................34
考点三：等差数列前n 项和性质........................................................................................................... 34
模块二：题型分类................................................................35
题型一：等差数列前n 项和的基本量计算........................................................................................... 35
题型二：利用等差数列前n 项和公式判断........................................................................................... 36
题型三：等差数列片段和性质................................................................................................................37
题型四：两个等差数列前n 项和之比的问题....................................................................................... 37
题型五：等差数列前n 项和的最值问题............................................................................................... 38
题型六：有限制条件的最值问题............................................................................................................39
题型七：求数列{|an|}的前n 项和问题..................................................................................................40
题型八：等差数列奇数项偶数项和........................................................................................................41
题型九：根据等差数列前n 项的最值求参数....................................................................................... 42
题型十：数列求和基础：倒序相加法....................................................................................................43
题型十一：数列求和基础：裂项相消法............................................................................................... 43
模块三：综合巩固................................................................45
4.4 等比数列..............................................................................................48
模块一：基础知识................................................................48
考点一：等比数列的概念........................................................................................................................48
考点二：等比中项....................................................................................................................................48
考点三：等比数列的通项公式................................................................................................................48
考点四：等比数列的单调性....................................................................................................................48
考点五：等比数列的判断（证明）........................................................................................................48
考点六：等比数列常用性质....................................................................................................................48
模块二：题型分类................................................................49
题型一：等比数列的定义和认识............................................................................................................49
题型二：等比数列通项公式的应用........................................................................................................49
题型三：等比中项....................................................................................................................................50
题型四：等比数列的判断与证明............................................................................................................51
题型五：等比数列性质的应用................................................................................................................52
题型六：等比数列子数列的性质及应用............................................................................................... 53
题型七：构造等比数列求通项公式........................................................................................................53
题型八：正项等比数列的对数成等差数列的应用............................................................................... 54
题型九：等比数列的单调性....................................................................................................................55
题型十：求等比数列的最值....................................................................................................................55
题型十一：等比数列在传统文化中的应用........................................................................................... 56
模块三：综合巩固................................................................57
4.5 等比数列的前n 项和公式......................................................................... 60
模块一：基础知识................................................................60
考点一：等比数列前n 项和公式............................................................................................................60
考点二：等比数列前n 项和的性质........................................................................................................60
考点三：错位相减法求数列的和............................................................................................................60
模块二：题型分类................................................................60
题型一：等比数列前n 项和的基本量计算........................................................................................... 60
题型二：等比数列前n 项和的片段和性质........................................................................................... 61
题型三：等比数列奇、偶项和的性质....................................................................................................62
题型四：等比数列前n 项和与an 的关系............................................................................................. 63
题型五：等比数列前n 项和的其他性质............................................................................................... 64
题型六：分组求和法求和........................................................................................................................64
题型七：错位相减法求和........................................................................................................................65
题型八：等差数列与等比数列的综合问题........................................................................................... 66
题型九：等比数列求和在传统文化中的应用....................................................................................... 68
模块三：综合巩固................................................................69
4.6 数列的通项公式..................................................................................... 73
模块一：基础知识................................................................73
考点一：累加法........................................................................................................................................73
考点二：累乘法........................................................................................................................................73
考点三：构造法........................................................................................................................................74
考点四：倒数法........................................................................................................................................74
考点五：隔项等差数列............................................................................................................................75
考点六：隔项等比数列............................................................................................................................75
考点七：数列求通项（Sn 法、Tn 法）..................................................................................................75
模块二：题型分类................................................................76
题型一：累加法........................................................................................................................................76
题型二：累乘法........................................................................................................................................77
题型三：构造法........................................................................................................................................78
题型四：倒数法........................................................................................................................................78
题型五：an=Sn-Sn-1 法................................................................................................................................ 79
题型六：将an替换成Sn-Sn-1....................................................................................................................81
题型七：新数列前n 项和型....................................................................................................................82
题型八：对数变换法................................................................................................................................84
题型九：换元法........................................................................................................................................84
题型十：不动点法....................................................................................................................................84
模块三：综合巩固................................................................85
4.7 数列求和..............................................................................................89
模块一：基础知识................................................................89
考点一：倒序相加法................................................................................................................................89
考点二：分组求和法................................................................................................................................89
考点三：裂项相消法................................................................................................................................89
考点四：错位相减法................................................................................................................................90
考点五：奇偶项讨论求和........................................................................................................................90
模块二：题型分类................................................................90
题型一：倒序相加法................................................................................................................................90
题型二：分组求和法................................................................................................................................91
题型三：等差型裂项相消法....................................................................................................................92
题型四：无理型裂项相消法....................................................................................................................93
题型五：指数型裂项相消法....................................................................................................................94
题型六：“+”型裂项相消法....................................................................................................................95
题型七：错位相减法................................................................................................................................96
题型八：奇偶项讨论求和........................................................................................................................98
题型九：通项含绝对值数列求和..........................................................................................................100
模块三：综合巩固........................................................................................................................................102
4.8 数列递推与通项公式22 种归类................................................................ 107
模块一：题型分类...............................................................107
题型一：归纳法求通项..........................................................................................................................107
题型二：等差等比定义型......................................................................................................................108
题型三：累加法基础：等差等比与裂项求和型................................................................................. 109
题型四：累加法拔高：换元累加型..................................................................................................... 109
题型五：累加法拔高：构造..................................................................................................................110
题型六：累乘法......................................................................................................................................110
题型七：前n 项和型..............................................................................................................................111
题型八：二阶等比..................................................................................................................................111
题型九：二阶等差数列..........................................................................................................................112
题型十：sn 与an 型：消sn 型.............................................................................................................113
题型十一：sn 与an 型：消an 型.........................................................................................................114
题型十二：分式倒数递推......................................................................................................................114
题型十三：新数列前n 项和型..............................................................................................................115
题型十四：高次幂取对数型..................................................................................................................116
题型十五：二阶含n 等比数列型..........................................................................................................116
题型十六：二阶含n 等差数列型..........................................................................................................117
题型十七：因式分解型..........................................................................................................................118
题型十八：三阶递推..............................................................................................................................118
题型十九：前n 项积求通项..................................................................................................................119
题型二十：函数型递推..........................................................................................................................119
题型二十一：周期数列..........................................................................................................................120
题型二十二：奇偶讨论型......................................................................................................................121
模块二：高考真题...............................................................121
模块三：各地模拟...............................................................123
4.9 数列求和13 种归类（高考版）................................................................ 126
模块一：题型分类...............................................................126
题型一：等差等比数列求和..................................................................................................................126
题型二：分组求和..................................................................................................................................127
题型三：倒序求和..................................................................................................................................128
题型四：错位相消求和..........................................................................................................................129
题型五：裂项相消常规型......................................................................................................................130
题型六：分段求和..................................................................................................................................131
题型七：正负相间求和..........................................................................................................................132
题型八:
λ(an+1−an)
an+1⋅an
型裂项相消..............................................................................................................133
题型九:
λan
(an−t)(an+1−t)⋅型裂项相消....................................................................................................... 134
题型十:( −1)�−1 λ(an+1+an)
an+1⋅an
型裂项相消...............................................................................................135
题型十一:( −1)�−1 λ(an+1−an)
an+1⋅an
型裂项相消...........................................................................................136
题型十一：“分子分母有理化”型裂项............................................................................................... 136
题型十二：
��+�
(��+�)[�(�+1)+�] ⋅
1
��型裂项相消........................................................................................... 137
模块二：高考真题...............................................................138
模块三：各地模拟...............................................................141
高二数学选择性必修二第四章
数列知识点+题型归纳全集
4.1 数列的概念
模块一：基础知识
考点一：数列的概念
1.数列的概念
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个
位置上的数叫做这个数列的第1 项,常用符号
1a 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2 项,用
2a 表
示……第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项,用
na 表示.其中第1 项也叫做首项.
数列的一般形式是
1a ,
2a ,…,
na ,…,简记为{
}
na
.
2.数列与函数的关系
由于数列{
}
na
中的每一项
na 与它的序号n 有下面的对应关系：
所以数列{
}
na
是从正整数集N （或它的有限子集{1，2，…，n }）到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，
对应的函数值是数列的第n 项
na ，记为
( )
na
f n
.
也就是说，当自变量从1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值
(1)
f
，
(2)
f
，…，
( )
f n ，…就是数列{
}
na
.
另一方面，对于函数
( )
y
f x
，如果
( )
f n （n
N
）有意义，那么
(1)
f
，
(2)
f
，…，
( )
f n ，…构成
了一个数列{ ( )}
f n
.
考点二：数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间
的大小关
系
递增数列
1
n
n
a
a
其中n
N
递减数列
1
n
n
a
a
常数列
1
n
n
a
a
考点三：数列的通项公式
如果数列{
}
na
的第n 项
n
a 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个
数列的通项公式.
考点四：数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公
式.
考点五：数列的性质
1、数列的单调性
若数列{
}
na
满足对一切正整数n ，都有
1
n
n
a
a
（或者
1
n
n
a
a
），则称数列{
}
na
为递增数列（递减数
列）；
①求数列{
}
na
中最大项方法：当
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
时，则
n
a 是数列最大项；
②求数列{
}
na
中最小项方法：当
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
时，则
n
a 是数列最小项；
2、数列的周期性
一般地，若数列{
}
na
满足存在正整数T 使得
n T
n
a
a
对一切正整数n 都成立，则称数列{
}
na
为周期数列，
T 叫做数列{
}
na
的周期.
考点六：数列的前n 项和Sn
1、数列前n 项和的概念
我们把数列{
}
na
从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{
}
na
的前n 项和，记作
n
S ，即
1
2
n
n
S
a
a
a
2、数列前n 项和
n
S 与通项
na 的关系
当
1
n
时，
1
1
S
a
当
2
n
时，
1
1
2
1
n
n
S
a
a
a
①,
1
2
1
n
n
n
S
a
a
a
a
②
用
1
1
2
1
1
2
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
a
a
a
a
化简得：
1
n
n
n
a
S
S
所以：
1
1
1
2
n
n
n
a
n
a
S
S
n
模块二：题型分类
题型一：数列的概念及分类
1．下列结论中，正确的是（
）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1,2,3,
, }
n
）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(
)
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－
1
2 ，－1
3 ，－1
4 ，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1，
2 ，
3 ，
4 ，…，10
3.已知
*
1
6
5
N
n
n
a
a
n
，则数列
na
是（
）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不确定
4.下列叙述不正确的是（
）
A．1，3，5，7 与7，5，3，1 是相同的数列
B．1，3，1，3，…是常数列
C．数列0，1，2，3，…的通项公式为
na
n
D．数列
2
1
n
是递增数列
5.（多选）列结论正确的是（
）
A．数列1，2，3 与3，2，1 是两个不同的数列．
B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．
C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．
D．若数列
na
的前n 项和为
n
S ，则对任意
N
n
，都有
1
1
n
n
n
a
S
S
.
6.下列说法中正确的是（
）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，1
，2
与2
，1
，0，1 是相同的数列
C．数列
1
n
n
的第k 项为
1
1
k
D．数列0，2，4，6，可记为
2n
7.已知函数
1
( )
f x
x
x
，设
( )
na
f n
n
N
，则下列说法中错误
．．的是（
）
A．
na
是无穷数列
B．
na
是递增数列
C．
na
不是常数列
D．
na
中有最大项
题型二：根据规律求数列中的某项
1．数列
4 9 16
1,
,
,
,
3 5
7 的第8 项是（
）
A．64
15
B．32
13
C．64
13
D．32
15
2.根据下列数列的前4 项，写出它的一个通项公式：
(1)0，1，0，1，…；
(2)7，77，777，7777，…；
(3) 1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，…；
(4)
2
2
1
2
，
23
1
3
，
2
4
1
4
，
25
1
5
，…．
3.观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式：
(1)2，4，2，4，…；
(2)9，99，999，9999，…：
(3) 1
2 ，
3
4
，7
8 ，
15
16
，…．
4.数列{an}：1，
5
8
，
7
15 ，
9
24
，…，的一个通项公式是（
）
A．
1
2
2
1
( 1)n
n
n
a
n
n
n
N
B．
1
3
2
1
( 1)
3
n
n
n
a
n
n
n
N
C．
1
2
2
1
( 1)
2
n
n
n
a
n
n
n
N
D．
1
2
2
1
( 1)
2
n
n
n
a
n
n
n
N
5.写出下面各数列的一个通项公式：
(1) 2 ，4 ，6，8 ，……
(2)1，
1
2
，1
3 ，
1
4
，……
题型三：判断或写出数列中的项
1．若
1
1
n
n
a
a
n
，
1
1
a 则
10
a
（
）
A．55
B．56
C．45
D．46
2.已知数列
na
的通项公式为
2
1
3
n
n
n
a
，
2
79 3 是否是该数列中的项？若是，是第几项？
3.已知无穷数列1 2
，2 3
，3 4
，…，
1
n n
，…．
(1)求这个数列的第10 项和第31 项．
(2) 420 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
(3)证明：60 不是这个数列中的项．
4.在数列
na
中，
1
2
a
，
17
66
a
，通项公式
na
pn
q
，其中p，q 为常数，
0
p
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)88 是否是数列
na
中的项？
题型四：利用递推关系求数列的项或通项
1.已知数列
na
满足
1
1
1
1,
(
2)
n
n
a
a
a
n n
，则
5a =（
）
A．7
5
B．17
12
C．47
30
D．51
40
2．已知数列
na
满足
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，且
1
3
a
，则
2023
a
（
）
A．3
B．1
2
C．-2
D．4
3
3.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引
入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列
na
为“斐波那契数列”且满足：
*
1
2
3,
N
n
n
n
a
a
a
n
n
，则
4
8
a
a
（
）
A．12
B．16
C．24
D．39
4.下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个
数是（
）
A．
1
n n
B．
1
2
n n
C．
1
2
n n
D．
1
n n
5.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9 个圆环，解开九连环共需要256 步，解下
或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以
将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为
*
9,
N
na
n
n
，已
知
1
2
1,
1
a
a
，按规则有
*
1
2
2
1
3,
N
n
n
n
a
a
a
n
n
，则解下第5 个圆环最少需要移动的次数为（
）
A．4
B．7
C．16
D．31
6.如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第
1 条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1 条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2 条“雪花
曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n 条“雪花曲线”有
n
a 条边.
（1）写出
1
2
a
a
，
的值.
（2）求出数列
na
的递推公式.
7.数列
na
满足
1
2019
a
，且对
*
n
N ，恒有
3
2n
n
n
a
a
，则
7a （
）
A．2021
B．2023
C．2035
D．2037
8.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1 代“勾
股树”，重复图二的作法，得到图三为第2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代
“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（
）
A．2
1
n ；n
B．2
1
n ；
1
n
C．
1
2
1
n
；n
D．
1
2
1
n
；
1
n
题型五：数列的单调性的判断及其应用
1．已知
*
1
6
5
N
n
n
a
a
n
，则数列
na
是（
）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不确定
2.判断下列数列
na
的单调性：
(1)
7
na
n
；
(2)
7
2n
na
；
(3)
2
lg
1
na
n
；
(4)
2
2
1
1
n
n
a
n
．
3.已知
na
n
n
，则“0
2
”是“数列
na
是递增数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条
C．充要条件件
D．既不充分又不必要条件
4.数列
na
的通项公式为
2
na
n
kn
，那么“
1
k ”是“
na
为递增数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.（多选）下列数列
na
是单调递增数列的有（
）
A．
2
3
1
na
n
n
B．
1
2
n
na
C．
2
na
n
n
D．
ln
1
n
n
a
n
6.已知函数
1
( )
x
f x
x
，设数列
na
的通项公式为
( )
na
f n
，其中
*
N
n
；
(1)求证：0
1
n
a
；
(2)判断
na
是递增数列还是递减数列，并说明理由.
题型六：求数列中的最大(小)项
1.已知数列
na
的通项公式为
2
8
5
na
n
n
．
(1)写出这个数列的前5 项．
(2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？
2.已知数列
na
的通项公式为
1
2
15
n
n
a
，其最大项和最小项的值分别为（
）
A．1，
1
7
B．0，
1
7
C．1
7 ，
1
7
D．1，
1
11
3.已知数列
na
的通项公式为
*
2
2023
N
n
na
n n
，则当
na 最小时，n （
）
A．9
B．10
C．11
D．12
4.已知数列
na
的通项公式为
3
2
n
n
n
a
，试判断数列
na
的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．
5.已知
98
99
n
n
a
n
，求该数列前30 项中的最大项和最小项．
6.已知数列
na
的通项公式为
2
2
15
1
na
n
n
，画出该数列的图象，并判断该数列是否有最大项，若有，
指出第几项最大；若没有，试说明理由．
题型七：数列的周期性问题
1.数列
na
满足
1
1
1
1
,
2
n
n
a
a
a
，则
2024
a
.
2.若数列
na
满足，
1
2
a ，
1
1
1
n
n
n
a
a
a
，则
2023
a
（
）
A．
1
2
B．－2
C．3
D．
1
3
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，设
1
1
2
a
，
1
1
n
n
n
a a
a
，则
2024
S
（
）
A．
1
2
B．3
2
C．2021
2
D．1012
4.数列
na
满足
1
2
1
4
2
n
n
n
a
a
a
，且
1
1
a ，则数列
na
的前2024 项的和
2024
S
（
）
A．
253
6
B．
253
8
C．
1771
6
D．1771
8
5.数列
na
满足
1
1
2
,0
2
1
2
1,
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，若
1
2
5
a
，则
2023
a
等于（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
6.已知数列
na
中，
1
2
2
1
1,
3,
n
n
n
a
a
a
a
a
，则
2022
a
．
题型八：根据数列的前n 项和Sn 求an
1.若数列
na
的前n 项和为
2
2
3
1
n
S
n
n
，则
na
.
2.已知数列
na
的前n 项和
3
2
n
n
S
（n为正整数），则此数列的通项公式
na
.
3.已知
n
S 是数列
na
的前n 项和，且满足
2
*
2
2(
,
1)
n
S
n
n
n
n
N
，则数列
na
的通项公式
na
.
4.已知数列
nb
满足
1
2
3n
n
b
b
b
n
L
，则数列
nb
的通项公式为
.
5.已知数列
na
的前n 项和
2
14
2
n
S
n
n
，则数列
na
的通项公式为
.
6.已知数列
na
的前n 项和
2
*
3
2
n
S
n
n
n
N
，则数列
na
的通项公式为
．
模块三：综合巩固
1．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是（
）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
2．若数列
na
的通项公式为
4
5
na
n
，则关于此数列的图像叙述不正确的是（
）
A．此数列不能用图像表示
B．此数列的图像仅在第一象限
C．此数列的图像为直线
4
5
y
x
D．此数列的图像为直线
4
5
y
x
上满足
*
N
x
的一系列孤立的点
3.数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（
）
A．
1
3
4
n
na
n
B．
1
3
1
n
na
n
C．
1
1
3
4
n
na
n
D．
1
1
3
1
n
na
n
4.已知数列
na
满足
1
1
1
n
n
a
a
，若
1
2
a
，则
2023
a
（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．2
5.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
2,
5
5
4,
5
n
n n
S
n
n
，则
6a （
）
A．1
B．5
C．7
D．9
6.设数列
na
满足
1
2
3
2
1
n
a
a
n
a
n
，则
4a （
）
A．7
B．1
5
C．1
7
D．1
8
7.在数列2
7 ，3
11，4
15 ，5
19 ，…，
1
4
3
n
n
，…中，10
39 是它的（
）
A．第8 项
B．第9 项
C．第10 项
D．第11 项
8．(多选)下列说法正确的是（
）
A．数列4，7，3，4 的首项是4
B．数列
na
中，若
1
3
a
，则从第2 项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，…是无穷数列
D．a，-3，-1，1，b，5，7，9，11 能构成数列
9.已知数列{
}
na
满足
2n
na
kn
，若{
}
na
为递增数列，则k 的取值范围是（
）
A．( 2,
)
B．(2,
)
C．(
, 2)
D．(
,2)
10.（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（
）
A．
3
1
2
n
na
B．
1
3
1
2
n
na
C．
3
cos π
2
n
n
a
D．
2
1
3
sin
π
2
2
n
n
a
11.已知数列
na
满足：
6
(3
)
3,
7
,
7
n
n
a n
n
a
a
n
（
N
n
），且数列
na
是递增数列，则实数a 的可能取值
是（
）
A．2
B．9
4
C．11
4
D．3
12．已知数列
na
满足
2
6
n
n
a
n
，n 为正整数，则该数列的最大值是（
）
A．1
2
B．1
5
C．1
6
D．5
31
13．已知数列
na
的通项公式是
3
4
2
n
n
a
n
，则
na
（
）
A．不是单调数列
B．是递减数列
C．是递增数列
D．是常数列
14．给出下列数列：①2010～2017 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，
147，163，180；②无穷多个
3 构成数列
3 ，
3 ，
3 ，
3 ，…；③－2 的1 次幂，2 次幂，3 次幂，
4 次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….
其中，有穷数列是
，无穷数列是
，递增数列是
，常数列是
，摆动数列
是
．
15.数列
na
中，
2
11
na
n
n n
N
，则此数列最大项的值是
.
16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生
原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的
世界数学史上第一道数列题，其前10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则第11 项是
17．根据下列条件，写出数列
na
的前5 项：
（1）
2
1
na
n
；
（2）
1
2
(
)
1
1
n
na
n
；
（3）
1
1
2
a
，
1
4
1(
2)
n
n
a
a
n
；
（4）
1
1
4
a
，
1
1
1
(
2)
n
n
a
n
a
.
18．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）（
），4 ，9，（
），25 ，（
），49 ；
（2）1，
2
1
3 ，（
），
2
1
7 ，
2
1
9 ，（
），
2
1
13 ；
（3）1，
2 ，（
），2 ，5 ，（
），
7 ；
（4）1
2 ，1
6 ，（
），1
20 ，1
30 ，（
）.
19．已知数列
na
的第1 项是1，第2 项是2，以后各项由
1
2
2
n
n
n
a
a
a
n
给出.
（1）写出这个数列的前5 项；
（2）利用数列
na
，通过公式
1
n
n
n
a
b
a
构造一个新的数列
nb
，试写出数列
nb
的前5 项.
20．（1）已知数列{an}满足：
1
1
1,
2
1
n
n
n
n
a
a
a
n
N
a
，求{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.
4.2 等差数列
模块一：基础知识
考点一：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,
这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示．
考点二：等差中项
由三个数a ，A ,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, A 叫做a 与b 的等差中项.这三
个数满足关系式2A
a
b
.
考点三：等差数列的通项公式
首项为
1a ,公差为d 的等差数列{
}
na
的通项公式为
1
(
1)
na
a
n
d
.
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量
1a , d 和n 的表达式,所以由首项
1a 和公差d 可以求出数列中的
任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为
(
)
n
m
a
a
n
m d
,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求
出其他的任意一项.
考点四：等差数列与一次函数
等差数列
一次函数
表达式：
1
(
1)
na
a
n
d
1
(
)
na
dn
a
d
( )
(
0)
f x
kx
b k
不同点
①定义域N *.
②图象是一系列均匀分布在同一
直线上的孤立的点.
①定义域为R .
②图象是一条直线.
相同点
①当
0
d
时,等差数列的通项公式与一次函数的
解析式都是关于自变量的一次式.
②等差数列中的
1a ,d , n ,
na 四个量中知三求一和
一次函数中求k ,b 的方法都是解方程(组).
考点五：等差数列的单调性
①当
0
d
，等差数列{
}
na
为递增数列
②当
0
d
，等差数列{
}
na
为递减数列
③当
0
d
，等差数列{
}
na
为常数列
考点六：等差数列的四种判断方法
(1)定义法
1
n
n
a
a
d
（或者
1
2)
n
n
a
a
d n
（
）(d 是常数)
{
}
n
a
是等差数列．
(2)等差中项法：
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
a
n
(n
N
)
{
}
n
a
是等差数列．
(3)通项公式：
n
a
pn
q
( ,p q 为常数)
{
}
n
a
是等差数列．（
na 可以看做关于n 的一次函数）
(4)前n 项和公式：
2
n
S
An
Bn
(
,
A B 为常数)
{
}
n
a
是等差数列．(
n
S 可以看做关于n 的二次函数，
但是不含常数项C ）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
考点七：等差数列的性质
①
(
)
n
m
a
a
n
m d
②若n
m
p
q
，则
n
m
p
q
a
a
a
a
（特别的，当
2
n
m
p
，有
2
n
m
p
a
a
a
）
③若{
}
na
是等差数列,公差为d ,则
2
{
}
n
a
也是等差数列,公差为2d .
④若{
}
na
是公差为d 的等差数列,则
ka ，
k m
a ，
2
k
m
a
,…( ,k m
N
)组成公差为md 的等差数列.
⑤若数列{
}
na
为等差数列,公差为d ,则{
}
na
m
( ,m
为常数)是公差为d
的等差数列.
⑥若{
}
na
,{ }
nb
分别是以
1d ,
2
d 为公差的等差数列,则{
}
n
n
pa
qb
是以
1
2
pd
qd
为公差的等差数列.
模块二：题型分类
题型一：等差数列的判定
1．下列数列不是等差数列的是（
）
A．0,0,0,
,0,
B．2, 1,0,
,
3,
n
C．
1
1
2
5
1,
,
,
,
,
3
3
3
3
n
D．
1
1, 1,1,
,
1
,
n
2．已知等差数列
na
，则使数列
nb
一定为等差数列的是(
)
A．
n
n
b
a
B．
2
n
n
b
a
C．
n
n
b
a
D．
1
n
n
b
a
3.已知数列
na
满足：
m
，
*
nN ，
m n
m
n
a
a
a
.若
2022
2022
a
，则
1a （
）
A．1
B．2
C．3
D．2022
4.已知数列
na
的前n 项和为
2
3
n
S
n
n
，求证：数列
na
是等差数列．
5.已知数列
na
满足
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，证明：
na
为等差数列.
6.（多选）设数列
na
的前n 项和为
N
n
S
n
，则下列能判断数列
na
是等差数列的是（
）
A．
n
S
n
B．
2
n
S
n
n
C．
2n
n
S
D．
2
1
n
S
n
n
．
7.已知数列
na
的前n 项和为
2
2
n
S
n
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求证：数列
na
是等差数列．
8．给出下列命题：
①数列6，4，2，0 是公差为2 的等差数列；
②数列
1,
2
3
a a
a
a
,
,
是公差为1
的等差数列；
③等差数列的通项公式一定能写成
n
a
kn
b
的形式(k，b 为常数)；
④数列
2
1
n
n
N
是等差数列.
其中正确命题的序号是（
）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．③④
题型二：等差数列的通项公式及其应用
1．数列3，5，7，9，…的通项公式
na （
）
A．2n
B．2
1
n
C．2
1
n +
D．2
3
n
2.若数列
na
满足
1
2
a
，
1
1
n
n
a
a
，则数列
na
的通项公式为
na （
）
A．
2
1
n
B．
3
n
C．(
3)
2
n n
D．
1
n
3.已知数列
na
满足
1
2
a
，
1
1
2
2
0
n
n
n
n
a
a a
a
，则
na
．
4．数列
na
中，
1
2
a ，
1
1
n
n
a
a
，则
25
a
（
）
A．21
B．22
C．23
D．24
5.已知数列
na
满足
1
1
a ，且
2
1
1
2
2
n
n
na
n
a
n
n
.证明：数列
na
n
是等差数列，并求
na
的通项公
式.
6.已知数列
na
满足
1
7
4
a
，
1
2
2
1
n
n
a
a
，则当
0
na
时，n 的最大值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．7
7.在数列
na
中，
1
1
a ，
1
1
n
n
a
a
，则
na
.
8.在数列
na
中，对任意
*
,
m nN 总有
m
n
m n
a
a
a
，且
1
1
a ，则
2023
a
．
题型三：等差数列通项公式基本量计算
1.在等差数列
na
中，
(1)已知
1
1
a ，
3
d ，求
10
a ；
(2)已知
4
4
a
，
8
4
a ，求d；
(3)已知
1
1
a ，
3
d ，
2017
na
，求n.
2.已知数列
na
是等差数列．
(1)如果
1
5
a
，
2
2
a
，求公差d 和
3
a ；
(2)如果
3
5
a ，
2
2
a
，求公差d 和
1a ．
3.在等差数列
na
中，
(1)已知
1
3
a
，
2
d ，求
6a ；
(2)已知
3
10
a
，
9
28
a
，求
na ．
4.已知等差数列
na
中，
6
24
a
，
30
48
a
，求首项
1a 与公差d．
5．已知等差数列{
}
na
的通项公式
3
4
na
n
，则等差数列{
}
na
的公差d （
）
A．4
B．1
C．3
D．4
6．已知
na
为等差数列，数列
nb
满足：
1
1
2
a
b
，
2
*
2
n n
a b
n
n n
N
，且
4
3
5
7
a
a
，则
nb （
）
A．
2
2
1
n
n
B．n
C．
2
n
D．2
2
1
n
n
7．已知圆O的半径为5，且
3
OP
，过点P 的2023 条弦的长度组成一个等差数列
na
，最短弦长为
1a ，
最长弦长为
2023
a
，则其公差为（
）
A．
1
2022
B．
1
1011
C．
3
1011
D．1
505
题型四：等差中项及其应用
1．在等差数列
na
中，
2
8
10
a
a
，则
5a （
）
A．5
B．6
C．8
D．9
2．已知
1
2
1
a
，
1
2
1
b
，则a，b 的等差中项为（
）
A．2 2
B．
2
C．1
D．1
2
3．已知数列
na
是等差数列，且满足
2
10
4
a
a
，则
2
6
log a （
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4.在等差数列
na
中，若
3
9
26
a
a
，则
3
7
3
a
a
（
）
A．13
B．26
C．39
D．52
5.已知等差数列{
}
na
满足
2
4
6
π
a
a
a
，则
1
7
cos a
a
（
）
A．
1
2
B．1
2
C．
2
2
D．
3
2
6.已知数列
na
满足
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
a n
，且
2
5
5
13
a
a
，
，则
8a
.
7.在等差数列
na
中，
3
11
40
a
a
，则
6
7
8
a
a
a
（
）
A．36
B．48
C．60
D．72
8.在等差数列
na
中，若
1
2
3
4
5
120
a
a
a
a
a
，则
5
7
2a
a
.
9.已知数列
na
为等差数列，且
2
8
14
2
a
a
a
，则
4
12
a
a
．
题型五：等差数列性质的应用
1.在等差数列
na
中，若
2
5
8
3
a
a
a
，则
4
7
2a
a
（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
2.在等差数列{
}
na
中，
1
3
a ，
100
36
a
，则
2
3
98
99
a
a
a
a
（
）
A．39
B．76
C．78
D．117
3.在等差数列
na
中，
3
11
40
a
a
，则
4
5
6
7
8
9
10
a
a
a
a
a
a
a
的值为（
）
A．84
B．72
C．60
D．48
4.已知等差数列
na
的首项与公差d 均为正数，且
1
lg a ，
3
lg a ，
6
lga 成等差数列，则
1
lg a ，
3
lg a ，
6
lg a 的
公差为（
）
A．lg d
B．
2
lg 3
C．
3
lg 2
D．lg3d
5.等差数列
na
中，若
4
6
8
10
12
120
a
a
a
a
a
，则
9
11
1
3
a
a
的值是（
）
A．14
B．15
C．16
D．17
6.若等差数列
na
的前15 项和
15
30
S
，则
5
6
10
14
2a
a
a
a
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
7.在等差数列
na
中，
7
9
16
a
a
，
4
1
a ，求
12
a 的值．
8.已知数列
3
log
na
是等差数列，且
3
1
3
2
3
10
log
log
log
10
a
a
a
，求
5
6
a a ．
题型六：等差数列的单调性
1（多选）已知数列
na
的前n项和为
n
S ，且
1=6
a
，
1
2
n
n
a
a
，则（
）
A．
na
是等差数列
B．
na
是等比数列C．
na
是递增数列
D．
na
是递减数列
2.（多选）下面是关于公差
0
d
的等差数列{
}
na
的四个命题，其中的真命题为（
）.
A．数列{
}
na
是递增数列
B．数列{
}
n
na
是递增数列
C．数列{
}
na
n
是递增数列
D．数列
3
na
nd
是递增数列
3.在数列
na
中，
2
na
n
kn
，对任意的正整数n ，都有
1
n
n
a
a
恒成立，求实数k 的取值范围.
4.设等差数列
na
的公差为d，若
2 n
a
nb
，则“
0
d
”是“
1
n
n
b
b
（n
N ）”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型七：等差数列的最值
1.设
2
9
na
n
，则当数列{an}的前n 项和取得最小值时，n 的值为（
）
A．4
B．5
C．4 或5
D．5 或6
2.已知数列{
}
na
的通项公式为
2
5
14
na
n
n
.
（1）试问10 是数列{
}
na
中的项吗？
（2）求数列{
}
na
中的最小项.
3.已知数列
na
中，
*
1
1
1
1
,
2
2,
N
4
n
n
a
a
n
n
a
，数列
nb
满足
*
1
N
1
n
n
b
n
a
.
(1)求证:数列
nb
是等差数列，写出
nb
的通项公式；
(2)求数列
na
的通项公式及数列
na
中的最大项与最小项.
4.在首项为31，公差为－4 的等差数列中，绝对值最小的项是
.
题型八：构造等差数列
1.在数列
na
中，
1
4
a
，且
1
2
2
2
1
n
n
a
a
n
n
.则数列
na
的通项公式为
.
2.已知数列
na
满足
1
1
1,
2
1
n
n
n
a
a
a
a
，则
5a （
）
A．9
B．1
9
C．11
D．1
10
3.已知数列{
na }中，其中
1
1,
a
，且当n≥2 时，
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
，求通项公式
n
a .
4.已知数列
na
满足：
1
1
1
2 ,
2 ,
2
1
n
n
n
a
a
a
n
a
求通项
n
a .
题型九：等差数列的实际应用
1.某城市的绿化建设有如下统计数据：
年份
2015
2016
2017
2018
绿化覆盖率/%
17.0
17.8
18.6
19.4
如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过
0 0
23.4
？
2.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2 所示的一连串直角三角形演化
而成的，其中
1
1
2
2
3
7
8 1
OA
A A
A A
A A
，如果把图2 中的直角三角形继续作下去，记
1
OA ，
2
OA ，L，
n
OA 的长度构成的数列为
na
，则
25
a
（
）
A．25
B．24
C．5
D．4
3.某公司购置了一台价值为220 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，
每经过一年其价值就会减少d（d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10 年，超过10 年，它的
价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围．
4.某城市环境噪声平均值见下表：
年份
2014
2015
2016
2017
噪声/dB
57.8
57.2
56.6
56.0
如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017 年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？
题型十：等差数列在传统文化中的应用问题
1.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨
水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影
子长是12.5 尺，芒种的日影子长为4.5 尺，则立夏的日影子为
尺；
2.（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下
三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三
人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量
单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（
）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多
1
2 钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2 倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多1
3 钱
3.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的
解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定
理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将1 至2023 这2023 个数中，能被5 除余1 且被7 除余1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列
na
，
则此数列的项数为（
）
A．56
B．57
C．58
D．59
模块三：综合巩固
1．下列数列中，不成等差数列的是（
）．
A．2，5，8，11
B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，a
D．lg 2 ，lg 20 ，lg200 ，lg2000
2．已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（
）
A．8
B．6
C．4.5
D．3
3．现有下列命题：①若
1
π
2
n
n
a
a
n
，则数列
na
是等差数列；
②若
1
n
n
n
a
a
，则数列
na
是等差数列；
③若
na
bn
c
（b、c 是常量），则数列
na
是等差数列．
其中真命题有（
）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4．已知数列
na
，
nb
为等差数列，且公差分别为
1
2
d
，
2
1
d ，则数列
2
3
n
n
a
b
的公差为（
）
A．7
B．5
C．3
D．1
5.等差数列{
}
na
中，
5
7
a
，公差
4
d
，则479 是数列的第（
）
A．123项
B．97项
C．85项
D．187 项
6.在等差数列
na
中，若
3
5
16
a
a
，则
4a （
）
A．4
B．6
C．8
D．10
7.在数列
na
中，
1
2
a
，
1
2
2
1
n
n
a
a
n
N
，则数列
na
是（
）
A．公差为1的等差数列
B．公差为
1
2 的等差数列
C．公差为2 的等差数列
D．不是等差数列
8.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积
共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为（
）
A．10
11 升
B．65
66 升
C．67
66 升
D．37
33 升
9.在数列
na
中，
4
25
a
，
1
2
n
n
a
a
，则
6a （
）
A．121
B．100
C．81
D．64
10.首项为20
的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（
）
A．
20
9
d
B．
5
2
d
C．20
5
9
2
d
D．20
5
9
2
d
11．若
1a ，
2a ，
3
a ，…，
8a 为各项都大于0 的等差数列，公差
0
d
，则（
）．
A．
1
8
4
5
a a
a a
B．
1
8
4
5
a a
a a
C．
1
8
4
5
a
a
a
a
D．
1
8
4
5
a
a
a
a
12.在数列
na
中，
1
4
a
，
1
3
n
n
a
a
，若
2023
na
，则n等于（
）
A．671
B．673
C．674
D．675
13.已知数列
na
满足
1
3
n
n
a
a
n
N
，
1
6
a ，则
1
2
3
4
5
6
a
a
a
a
a
a
（
）
A．27
B．18
C．9
D．0
14．（多选）已知数列
na
的通项公式为
na
a
bn
（a，b 为常数），则下列说法正确的是（
）
A．若
2
1
a
a
，则
3
1
a
a
B．若
2
1
a
a
，则
3
2
a
a
C．若
3
1
a
a
，则
2
1
a
a
D．若
2
1
a
a
，则
1
2
1
a
a
a
15．（多选）已知等差数列
na
的公差
0
d
，则下列四个命题中真命题为（
）
A．数列
na
是递增数列
B．数列
na
是递增数列
C．数列
2
na
是递增数列
D．数列
3
na
nd
是递增数列
16.（多选）已知在数列
na
中，
1
1
a ，
1
1
n
n
n
a
a
n
a
N
，则下列结论正确的是（
）
A．
na
是等差数列
B．
na
是递增数列
C．
1
na
是等差数列
D．
1
na
是递增数列
17.已知
na
为等差数列，
2
4
5
3
6
a
a
a
a
a
，
9
10
3
a
a
，则
7a
．
18.已知等差数列
na
的首项
1
0
a
，而
9
0
a
，则
1
11
16
7
1
8
8
4
a
a
a
a
a
a
a
.
19.如图所示，已知某梯子共有5 级，从上往下数，第1 级的宽为35cm ，第5 级的宽为43cm ，且各级的宽
度从小到大构成等差数列
na
，求其余三级的宽度．
20．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝log2(an＋1)．
(1)判断
nb
是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列
na
的通项公式．
21．已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
13
a
，
2
1
2
2
6
n
n
n
a
a
a
n
．
(1)设
1
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的通项公式；
(2)求n 为何值时，
na 最小．
22．已知数列
na
满足：
1
1
a ，
1
1
1
3
n
n
n
a
a
a
，
*
N
n
且
2
n
．
(1)求证：数列
1
1
na
为等差数列；
(2)若数列
nb
满足
1
2
n
n
b
b
b
a
，求数列
nb
的通项公式．
4.3 等差数列的前n 项和公式
模块一：基础知识
考点一：等差数列的前n 项和公式
1、首项为
1a ，末项为
n
a 的等差数列的前n 项和公式
1
(
)
2
n
n
n a
a
S
2、首项为
1a ，公差为d 的等差数列的前n 项和公式
1
(
1)
2
n
n n
S
na
d
考点二：等差数列前n 项和公式的函数特征
等差数列前n 项和公式可变形为
2
1
(
)
2
2
n
d
d
S
n
a
n
.当
0
d
时，它是关于n 的二次函数，表示为
2
n
S
An
Bn
( A ，B 为常数)．
考点三：等差数列前n 项和性质
(1)若数列{
}
na
是公差为d 的等差数列,则数列{
}
n
S
n
也是等差数列,且公差为2
d
(2)设等差数列{
}
na
的公差为d ,
n
S 为其前n 项和,则
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
，
4
3
m
m
S
S
,…组成公差
为
2
m d 的等差数列
(3)在等差数列{
}
n
a
，{ }
nb
中，它们的前n 项和分别记为
,
n
n
S T 则
2
1
2
1
n
n
n
n
a
S
b
T
(4)若等差数列{
}
n
a
的项数为2n ,则
2
1
(
)
n
n
n
S
n a
a
=
S
S
nd
奇
偶
，
1
=
n
n
S
a
S
a
偶
奇
。
(5)若等差数列{
}
n
a
的项数为2
1
n ,则
(
1)
n
S
n
a
偶
，
=
n
S
na
奇
，
=
n
S
S
a
奇
偶
，
=
1
S
n
S
n
奇
偶
模块二：题型分类
题型一：等差数列前n 项和的基本量计算
1.已知数列
na
均为等差数列．
(1)设
1
50
a
，
8
15
a
，求
8S ；
(2)设
1
0.7
a
，
2
1.5
a
，求
7
S ；
(3)设
4
7
a
，求
7
S ．
2．已知等差数列
na
的前n项和为
n
S ，且
3
24
S
，
4
5
6
168
a
a
a
，则
7a （
）
A．81
B．86
C．88
D．192
3.已知数列
na
为等差数列，前n 项和为
n
S ，求解下列问题：
(1)若
2
5
19
a
a
，
5
40
S
，求
1a ；
(2)若
12
84
S
，
20
640
S
，求
28
S ；
(3)若
10
30
a
，
20
50
a
，
242
n
S
，求n．
4.等差数列
na
中，
10
20
30,
50
a
a
.
(1)求数列的通项公式；
(2)若
242
n
S
，求n.
5.一个物体第1s 下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．
(1)如果它从山顶下落，经过5s 到达地面，那么这山的高度是多少米？
(2)如果它从1960m 的高空下落到地面，要经过多长时间？
6.已知数列
na
是等差数列．
(1)若
1
7
a
，
50
101
a
，求
50
S ；
(2)若
1
2
a
，
2
5
2
a
，求
10
S ；
(3)若
1
1
2
a
，
1
6
d
，
5
n
S ，求n．
题型二：利用等差数列前n 项和公式判断
1.已知数列
na
的前n 项和
2
25
2
n
n
n
S
.
（1）求证：
na
是等差数列；
2.已知数列
na
的前n 项和
2
*
3
4
.
n
S
n
n n
N
1 求数列
na
的通项公式
na ；
2 求证：数列
na
是等差数列．
3.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，点
,
N
n
S
n
n
n
均在函数
2
3
y
x
的图象上，则数列
na
的通项公式
na
．
4.已知一个数列
na
的前n 项和
2
25
2
n
S
n
n
r
．
(1)当
0
r
时，求证：该数列
na
是等差数列；
(2)若数列
na
是等差数列，求r 满足条件．
题型三：等差数列片段和性质
1．等差数列
na
中，
3
6
3,
9
S
S
，则
9S （
）
A．12
B．18
C．24
D．30
2．设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
14
7
7
S
S
，则
21
14
S
S
（
）
A．18
7
B．3
2
C．11
7
D．11
6
3.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
S
，
8
20
S
，则
9
10
11
12
a
a
a
a
等于（
）
A．12
B．8
C．20
D．16
4.等差数列
na
的前n 项和
n
S ，若
3
1,
5
n
n
n
S
S
S
，则
4n
S
（
）
A．10
B．20
C．30
D．15
5.在等差数列
na
中，已知
6
10
S
，
12
30
S
，则
18
S
（
）
A．90
B．40
C．50
D．60
6.等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
3
16
S
，
6
8
S
，则
12
S
（
）
A．50
B．60
C．70
D．80
7.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
30
m
S
，
2
100
m
S
，则
3m
S
.
题型四：两个等差数列前n 项和之比的问题
1.等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别是
n
S 与
nT ，且
*
3
1,
1
n
n
S
n
n
T
n
N
，则
6
6
a
b
；
9
7
a
b
.
2.等差数列
,
n
n
a
b
的前n 项和分别是
n
S 与
nT ，且
*
3
1,
1
n
n
S
n
n
T
n
N
，则
6
6
a
b
.
3.设等差数列
na
、
nb
的前n 项和分别为
n
S 、
nT ，若对任意的
*
N
n
，都有
2
3
4
3
n
n
S
n
T
n
，则
2
14
3
13
5
11
a
a
b
b
b
b
．
4.已知等差数列{
}
na
和{ }
nb
的前n 项和为分别为
n
S 和
nT ，若
5
2
3
1
n
n
S
n
T
n
，则
11
20
a
b
的值为（
）
A．103
64
B．103
118
C．193
64
D．193
118
5.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
A ，等差数列
nb
的前n 项和为
n
B ，且
2
3
3
2
n
n
A
n
B
n
，求
8
8
a
b
.
6.已知等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT ，且
3
5
4
6
n
n
S
n
T
n
，则
7
8
a
b （
）
A．2
3
B．3
4
C．10
13
D．13
19
题型五：等差数列前n 项和的最值问题
1.记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
5
a ，
3
5
3
0
a
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
n
S 以及
n
S 的最小值．
2.记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和，已知
2
27
a
，
7
17
a
.
(1)求等差数列{
}
na
的通项公式；
(2)求
n
S 的最小值及对应的n 值．
3.等差数列
na
中，已知
1
0
a
，前n 项和为
n
S ，且
7
17
S
S
，则
n
S 最小时n 的值为（
）
A．11
B．11 或12
C．12
D．12 或13
4.（多选）设数列
na
是公差为d 的等差数列，
n
S 是其前n 项和，
1
0
a
且
6
9
S
S
，则（
）
A．
0
d
B．
8
0
a
C．
7
S 或
8S 为
n
S 的最大值
D．
5
8
S
S
5.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S .若
1
4
8
,
10
2
a
S
，则
n
S 的最大值为
.
6.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
5
9
2
a
a
，
3=57
S
.
(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)求
n
S 的最大值.
题型六：有限制条件的最值问题
1.（多选）设等差数列
na
的公差为d，前n 项和为
n
S ，若
3
12
13
12,
0,
0
a
S
S
，则下列结论正确的是（
）
A．数列
na
是递增数列
B．
5
60
S
C．
24 , 3
7
d
D．数列
n
S
中最大项为第6 项
2.设等差数列{
na }的前n 项和为
n
S ，若
19
7
14
0,
0
S
a
a
，则当
n
S 取得最大值时，n ＝（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
3.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2023
2024
0,
0
S
S
，则下列结论正确的是（
）
A．数列
na
是递增数列
B．
1013
1012
a
a
C．当
n
S 取得最大值时，
1013
n
D．
1013
1010
S
S
4.已知等差数列
na
的前n项和为
n
S 有最小值，且
9
10
1
0
a
a
，则使
0
n
S
成立的正整数n的最小值为（
）
A．9
B．10
C．17
D．18
5.（多选）设
na
是公差为d 的等差数列，
n
S 是其前n 项的和，且
1
0
a
，
1999
2023
S
S
，则（
）
A．
0
d
B．
2011
0
a
C．
4022
0
S
D．
2012
n
S
S
6.（多选）设
na
是等差数列，
n
S 是其前n 项和，且
5
6
S
S
，
6
7
8
S
S
S
，则下列结论正确的是（
）.
A．
0
d
B．
7
0
a
C．
9
5
S
S
D．
6
S 与
7
S 均为
n
S 的最大值
题型七：求数列{|an|}的前n 项和问题
1．已知数列
na
的前n项和
2
14
1
n
S
n
n
，若
1
2
3
n
n
T
a
a
a
a
，则
30
T
（
）
A．578
B．579
C．580
D．581
2.若等差数列
na
的首项
1
13
a
，
4
d ，记
1
2
n
n
T
a
a
a
，则
nT
．
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
15
2
2
n
S
n
n
.
(1)求
na
的通项公式
(2)若
n
n
c
a
，求
nc
的前n 项和
nT .
4.从①
10
5
5
10
5
S
S
，②
8
4
8
S
S
，③
5
1
a 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
9
S
，且__________，求数列
na
的前100项和
100
T
．
5.在公差为d 的等差数列
na
中，已知
1
10
a
，且
2
3
1
2
5
2
2
a
a
a
.
(1)求,
n
d a ；
(2)若
0
d
，求
1
2
3
15
a
a
a
a
.
6.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
5
3
a ，
5
35
S
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
7.已知数列
na
满足
2
2024
na
n
，求数列
na
的前n 项和
n
S ．
题型八：等差数列奇数项偶数项和
【注意参照公式，自己总结技巧】
1.已知等差数列
na
共有
*
2n n
N
项，若数列
na
中奇数项的和为190，偶数项的和为210 ，
1
1
a ，则
公差d 的值为（
）
A．2
B．4
C．5
4
D．5
2
2.一个等差数列共100 项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（
）
A．1
4
B．2
C．1
3
D．2
5
3.已知等差数列
na
中，前m（m 为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且
1
18
m
a
a
，求通项
公式．
4.已知等差数列
na
的前30 项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且
45
B
A
，2
615
A
B
，则
na
（
）
A．3
2
n
B．3
1
n
C．3
1
n
D．3
2
n
5.已知等差数列
na
共有2
1
n + 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则
1
na 的值为（
）．
A．30
B．29
C．28
D．27
6.已知等差数列
na
的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则
5a （
）
A．8
B．9
C．10
D．11
题型九：根据等差数列前n 项的最值求参数
1.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
23
24
0,
0
S
S
，则下列结论正确的是（
）
A．数列
na
是递增数列
B．
13
0
a
C．当
n
S 取得最大值时，
13
n
D．
13
12
a
a
2．已知数列
na
是公差不为0 的无穷等差数列，
n
S 是其前n 项和，若
n
S 存在最大值，则（
）
A．在
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
中最大的数是
1S
B．在
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
中最大的数是
2023
2023
S
C．在
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S S
S
中最大的数是
1S
D．在
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S S
S
中最大的数是
2023
S
题型十：数列求和基础：倒序相加法
【注意：针对这个知识点，在后面会有专题练习】
1.已知函数
( )
y
f x
满足
( )
(1
)
1
f x
f
x
，若数列
na
满足
1
2
1
(0)
(1)
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
，
则数列
na
的前20 项和为（
）
A．100
B．105
C．110
D．115
2.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对1 2
3
100
L
的求和运算中，提
出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为
高斯算法.现有函数
4
( )
4
2
x
x
f x
，则
1
2
3
2018
(
)
(
)
(
)
(
)
2019
2019
2019
2019
f
f
f
f
等于（）
A．1008
B．1009
C．2018
D．2019
3.已知
2
2
1
x
f x
x
，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得
1
2
2022
2023
2023
2023
f
f
f
．
4.已知函数
R
1
2
2x
x
f x
x
，等差数列
na
满足
2022
0
a
，则
1
2
3
(
)
f a
f a
f a
4043
f a
．
题型十一：数列求和基础：裂项相消法
【注意：针对这个知识点，在后面会有专题练习】
1.数列
na
中，
1
1
na
n
n
，
9
n
S
，则n （
）
A．97
B．98
C．99
D．100
2.记
n
S 为等差数列
na
的前n 项和，已知
2
5
a
，
6
12
S
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3.已知
*
2 ,
N
na
n n
，若数列
4
2
n
n
a
a
的前n 项和为
nT ，则
nT 的取值范围为
.
4.已知数列
na
的前n 项和为
1
,
1
n
S
a ，且当
2
n
时，
2
1
2
n
n
S
n
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足：
2
1
n
n
b
n
a
，求
nb
的前n 项和
nT .
5.记递增的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
5
85
S
，且
6
1
7
a
a
．
(1)求
na 和
n
S ；
(2)设
1
5
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
6.已知等差数列
na
的前n 项和为
*
2
4
,
3,
16,
n
S
a
S
n
N
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
模块三：综合巩固
1.已知等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
S
，
7
35
S
，则
5a （
）
A．3
B．5
C．7
D．9
2.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，
n
S 和d 求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九
个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该
问题中老人的长子的岁数为（
）
A．35
B．32
C．29
D．26
3.数列
na
的前n 项和
2
4
N
n
S
n
n
m n
，则
n
S 取最大值时n 的值为（
）
A．2
B．2
C．4
D．4
4.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
3
9
12
a
a
，则
11
S
（
）
A．66
B．72
C．132
D．144
5.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
20
S
，
20
10
S
，则
30
S
（
）
A．0
B．10
C．30
D．40
6．已知等差数列
na
，
1
1
a ，
1
d ，则数列
1
1
n
n
a a
的前100 项和（
）
A．100
101
B．99
101
C．99
100
D．101
100
7．已知数列
na
，
2 sin 2
n
n
a
n
，则数列
na
的前100 项和为（
）
A．5000
B．5000
C．5050
D．5050
8．在等差数列
na
中，
n
S 为其前n 项和.若
2020
0
S
，
2021
0
S
，则下列判断错误的是（
）
A．数列
na
递增B．
1010
0
a
C．数列
na
前2020 项和最小
D．
1011
0
a
9.已知等差数列
na
和等差数列
nb
的前n 项和分别为
n
S 和
nT ，且
5
63
3
n
n
S
n
T
n
，则使得
n
n
a
b 为整数的正整
数n 的个数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
10.已知
na
为等差数列，前n 项和为
n
S ，
1
10
a
，公差
2
d ，则数列
na
的前10 项和为（
）
A．10
B．50
C．60
D．70
11.在数列
na
中，
1
2
1
1
1
n
n
a
n
n
n
n
N
，
1
1
n
n
n
b
a a
，则数列
nb
的前n 项和
10
S
（
）
A．10
11
B．20
11
C．30
11
D．40
11
12.(多选)公差为d 的等差数列
na
，其前n 项和为
11
12
,
0,
0
n
S
S
S
，下列说法正确的有（
）
A．
0
d
B．
7
0
a
C．
n
S
中
6
S 最大
D．
4
9
a
a
13.(多选)已知
na
为等差数列，前n 项和为
n
S ，
1
10
a
，公差d = −2 ，则（
）
A．
4
S =
7
S
B．当n = 6 或7 时，
n
S 取得最小值
C．数列
na
的前10 项和为50
D．当n≤2023 时，
na
与数列
3
10
m
（mN）共有671 项互为相反数．
14.已知等差数列
na
中，
1
10
a
，当且仅当
5
n
时，前n 项和
n
S 取得最小值，则公差d 的取值范围
是
.
15.数列
na
的通项为
1
1
n
n
a
n
，其前n 项和为
n
S ，若
9
n
S
，则项数n
．
16.已知
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，且
7
9
4
3,
3
a
S
a
.
(1)求数列
na
的通项公式与前n 项和
n
S ；
(2)若
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
17.已知数列
na
是等差数列，且
2
3
5
25,2
50
a
a
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
na
的前n 项和为
n
S ，求
n
S 的最小值．
18．设
na
为等差数列，
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
7
7
S
，
15
75
S
．
(1)证明：数列
n
S
n
为等差数列；
(2)求数列
n
S
n
的前n 项和
nT ．
19．记数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
7
a ，
2
6
a ，
1
1
N ,
R
n
n
a
ka
n
k
.
(1)证明数列
na
为等差数列，并求通项公式
na ；
(2)记
1
2
3
n
n
T
a
a
a
a
，求
20
T .
4.4 等比数列
模块一：基础知识
考点一：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(
0
q
)
符号语言
1
n
n
a
q
a
（或者
1
(
2)
n
n
a
q n
a
）( q 为常数，
0
q
，n
N
)
考点二：等比中项
如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，
b 成等比数列⇔
2
G
ab
.
考点三：等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{
}
n
a
的第n 项
na 有公式
1
1
n
n
a
a q
.这就是等比数列{
}
n
a
的通项公式，其中
1a
为首项，q 为公比．
考点四：等比数列的单调性
已知等比数列{
}
n
a
的首项为
1a ，公比为q
1、当
1
0
1
a
q
或
1
0
0
1
a
q
时，等比数列{
}
n
a
为递增数列；
2、当
1
0
0
1
a
q
或
1
0
1
a
q
时，等比数列{
}
n
a
为递减数列；
3、当
1
q
时，等比数列{
}
n
a
为常数列（
0
na
）
4、当
0
q
时，等比数列{
}
n
a
为摆动数列.
考点五：等比数列的判断（证明）
1、定义：
1
n
n
a
q
a
（或者
1
(
2)
n
n
a
q n
a
）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证
2
1
2
n
n
n
a
a a
（特别注意
0
na
）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于n 的指数型函数（只可判断）
考点六：等比数列常用性质
设数列{
}
na
是等比数列，
n
S 是其前n 项和．
（1）
n m
n
m
a
a q
(2)若m
n
p
q
，则
m
n
p
q
a a
a a
，其中
, , ,
m n p q
N
.特别地，若
2
m
n
p
，则
2
m
n
p
a a
a
，其
中
, ,
m n p
N
.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
ka ，
k m
a
，
2
k
m
a
，…仍是等比数列，公比为
m
q ( ,k m
N
).
(4)若数列{
}
na
，{ }
nb
是两个项数相同的等比数列，则数列{
}
n
ba
，{
}
n
n
pa
qb
和{
}
n
n
pa
qb
(其中b ，p ，q
是非零常数)也是等比数列．
模块二：题型分类
题型一：等比数列的定义和认识
1．下列三个数依次成等比数列的是（
）
A．1，4，8
B．1
，2，4
C．9，6，4
D．4，6，8
2．下列数列一定是等比数列的是（
）
A．数列1，2，6，18，…
B．数列
na
中，
2
1
2
a
a
，
3
2
2
a
a
C．常数列a ，a ，…，a ，…
D．数列
na
中，
1
0
n
n
a
q q
a
3．下面四个数列中，一定是等比数列的是（
）
A．q，2q，4q，6q
B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q
D．1
q ，
2
1
q ，
3
1
q ，
4
1
q
题型二：等比数列通项公式的应用
1.在等比数列
na
中，
(1)已知
1
3
a ，
2
q =
，求
5a ；
(2)已知
1
1
a ，
2
q =
，
16
na
，求n ；
(3)已知
1
1
3
a
，
7
9
a
，求q；
(4)已知
3
2
q
，
4
27
a
，求
1a ．
2.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，且
2
1
n
n
S
a
，则
na
.
3.已知数列{
}
na
的首项
1
1
a ，且
1
2
(
N,
1)
n
n
a
a
n
n
，那么
3a
；数列{
}
na
的通项公式为
na
.
4.已知数列
na
是公比为q 的等比数列．
(1)若
2
2
a
，
5
54
a
，求
na
的通项公式；
(2)若
1
125
a
，
0.2
q
，
4
3.2 10
na
，求n．
5.知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
2
1
n
n
S
a
，则数列
na
的通项公式为（
）
A．
2n
na
B．
2 n
na
C．
1
2n
na
D．
12
n
na
6.已知各项均为正数的等比数列
na
满足
1
1
a ，且
2
4
3
2
8
a a
a
，则
na
题型三：等比中项
1．数1 与4 的等差中项，等比中项分别是（
）
A．
5
2
，2
B．
5
2
，2
C．5
2 ，2
D．5
2 ，2
2.若a，G，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项．
(1)求45 和80 的等比中项；
(2)已知两个数
9
k 和6
k
的等比中项是2k，求k．
3.在等比数列
na
中，
2a ，
10
a 是方程
2
6
4
0
x
x
的两根，则
3
9
6
a a
a
（
）
A．2
B．2
C．2
或2
D．3
5
4.已知等差数列
na
的公差不为0，若
1a ，
3
a ，
6a 成等比数列，则这个等比数列的公比是（
）
A．2
3
B．3
2
C．2
D．4
5.已知数列
na
是等比数列，函数
2
5
6
y
x
x
的零点分别是
2
10
,
a a ，则
6a （
）
A．2
B．
6
C．
3
D．
6
题型四：等比数列的判断与证明
1.如果数列
na
是等比数列，那么（
）
A．数列
lg
na
是等比数列
B．数列
2 n
a
是等比数列
C．数列
2
na
是等比数列
D．数列
n
na
是等比数列
2.函数
logk
f x
x
（k 为常数，
0
k
且
1
k ），数列
n
f a
是首项为4，公差为2 的等差数列，求证：
数列
na
是等比数列．
3.已知数列{
}
na
满足
1
2
a ，且
1
3
6
n
n
a
a
，求{
}
na
的通项公式．
4.在数列
na
中，
1
2
a
，
*
1
4
3
2,
N
n
n
a
a
n
n
．
(1)求证：
1
na
是等比数列；
(2)求数列
na
的通项公式．
5.已知数列
na
中
1
1
a ，
1
2
3
n
n
a
a
，
*
N
n
.证明：数列
3
na
是等比数列；
6．若数列
na
的通项公式为
1
2
n
na
，则（
）
A．数列
1
n
n
a
a
是首项为1
4 ，公比为1
2 的等比数列
B．数列
1
n
n
a
a
是首项为
1
4
，公比为
1
2
的等比数列
C．数列
1
n
n
a
a
是首项为
1
4
，公比为1
2 的等比数列
D．数列
1
n
n
a
a
是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列
题型五：等比数列性质的应用
1.等比数列
na
中，
3
7
15
8
6,
3
a a a
a
，则
9a （
）
A．2
3
B．3
2
C．2
D．12
2.已知数列
na
是正项等比数列，数列
nb
满足
2
log
n
n
b
a
.若
12
2
5
8
2
a a a
，
1
2
3
9
b
b
b
b
（
）
A．24
B．32
C．36
D．40
3.在正项等比数列
na
中，
1 13
36
a a
，则
5
9
4
a
a
的最小值是（
）
A．12
B．18
C．24
D．36
4.在正项等比数列
na
中，
3
a 与
8a 是方程
2
30
10
0
x
x
的两个根，则
1
2
10
lg
lg
lg
a
a
a
.
5.已知数列{
}
na
是等差数列，数列{ }
nb
是等比数列，
7
9
4π
3
a
a
，且
2
6 10
8
b b b
，则
3
8
13
4 8
1
a
a
a
b b
（
）
A．π
4
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
6.已知在等比数列
na
中，
2a ，
10
a 是方程
2
13
14
0
x
x
的两个实数根，则
6a
．
7.正项等比数列
na
中，
3
6
4
a
a
，则
2
1
2
2
2
8
log
log
log
a
a
a
的值是
．
8．已知公比不为1 的正项等比数列
na
满足
2
*
3
,
N
m
n
a
a a
m n
，则4
1
m
n
的最小值为（
）
A．6
B．2
C．3
2
D．1
2
题型六：等比数列子数列的性质及应用
1．已知数列
na
满足
1
1
5,
2n
n
n
a
a a
，则
7
3
a
a （
）
A．4
B．2
C．5
D．5
2
2．已知数列
na
的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且
1
1
a ，2
2
a
，3
4
6
a
a
，5
6
11
a
a
，
则
7
8
a
a
（
）
A．16
B．18
C．19
D．20
3．实数a 、b 满足
0
a
b
，按顺序a 、
2
a
b
、b 、
ab 可以构成的数列（
）
A．可能是等差数列，也可能是等比数列
B．可能是等差数列，但不可能是等比数列
C．不可能是等差数列，但可能是等比数列
D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列
题型七：构造等比数列求通项公式
1.已知数列
na
，
1
1
a ，
1
2
1
2
n
n
a
a
n
，则数列
na
的通项公式为
.
2.已知数列
na
的首项
1
6
a
，且满足
1
1
4
2n
n
n
a
a
．求数列
na
的通项公式；
3.在数列{
}
na
中，
1
2
a
，
*
1
2
2(
)
n
n
a
a
n
N
(1)证明：数列{
2}
na
是等比数列；
(2)若
2
log (
2)
n
n
b
a
，
1
1
n
n
n
c
b b
，求数列{ }
nc
的前n 项和Sn．
4.已知数列
na
满足
1
1
1,
3
2
n
n
a
a
a
，证明
1
na
为等比数列，并求
na
的通项公式.
5.数列
na
满足
1
1
1
1,
1
2
2
n
n
a
a
a
n
.
(1)若
2
n
n
b
a
，求证：
nb
为等比数列；
(2)求
na
的通项公式．
6.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
2
1
n
n
a
a
n
N
.
(1)写出该数列的前5项；
(2)求数列
na
的通项公式.
题型八：正项等比数列的对数成等差数列的应用
1．设
na
为等比数列，则“对于任意的
*
N
n
，
2
n
n
a
a
”是“
na
为递减数列”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知等差数列
na
的前项和为
n
S ，且
11
10
12
S
S
S
，若
2023 n
a
nb
，数列
nb
的前n项积为
nT ，则使
1
nT
的最大整数n 为（
）
A．20
B．21
C．22
D．23
3．等比数列
na
中，
1012
1
a
，
1011
1012
a
a
，则满足
1
2
1
2
1
1
1
0
n
n
a
a
a
a
a
a
的最大正整数n
为（
）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2024
题型九：等比数列的单调性
1．等比数列
na
公比为
1
q q
，1
0
a
，若
1
2
3
n
n
T
a a a
a
（n
N ），则“
1
q
”是“数列
nT
为递增数列”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设等比数列
na
的公比为q，前n 项积为
nT ，并且满足条件
1
1
a ，
6
7
1
a a ，
6
7
1
0
1
a
a
，则下列结论正
确的是（
）
A．
6
8
1
a a
B．0
1
q
C．
1
q
D．
nT 没有最大值
3．设等比数列
na
的公比为q，其前n项和为
n
S ，前n 项积为
nT ，且满足条件
1
1
a ，
2022
2023
1
a
a
，
2022
2023
1
0
1
a
a
，则下列选项不正确的是（
）
A．
na
为递减数列
B．
2022
2023
1
S
S
C．
2022
T
是数列
nT
中的最大项
D．
4045
1
T
题型十：求等比数列的最值
1．已知正项等比数列
na
满足
8
11
12
1
8,
4
4
a
a
a
，则
1
2
n
a a
a
取最大值时n 的值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
2．设等比数列{
}
na
的公比为q，其前n 项之积为
nT ，并且满足条件：
1
1
a ，
2019
2020
1
a
a
，
2019
2020
1
0
1
a
a
，
给出下列结论：①0
1
q
；②
2019
2021
1
0
a
a
；③
2019
T
是数列{ }
nT
中的最大项；④使
1
nT 成立的最大
自然数等于4039；其中正确结论的序号为（
）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
3．设数列
m
A
：1a ，2a ，…，
2
m
a
m
，若存在公比为q 的等比数列
1
m
B
：1b ，2b ，…，
1
m
b ，使得
1
k
k
k
b
a
b
，
其中
1
k ，2，…，m，则称数列
1
m
B
为数列
m
A
的“等比分割数列”.若数列
10
A
的通项公式为
2
1,2,
,10
n
na
n
，其“等比分割数列”
11
B
的首项为1，则数列
11
B
的公比q 的取值范围是（
）
A．
9
10
2 ,2
B．
10
11
2 ,2
C．
10
9
2,2
D．
11
10
2,2
题型十一：等比数列在传统文化中的应用
1.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出
了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单
音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．3 2 f
B．3
2
2 f
C．12
5
2 f
D．12
7
2 f
2.在第24 届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿
景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一
段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1 个图中的三角形的周长为3，则
第4 个图形的周长为
.
3.谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），
沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续
以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1 三角形的边长为2，
则图4 被挖去的三角形面积之和是（
）
A．7 3
16
B．9 3
16
C．27 3
64
D．37 3
64
4.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1 将线段AB 等分为线段
,
,
AC CD DB，
如图2.以CD 为底向外作等边三角形CMD，并去掉线段CD ，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2
的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3 的曲线.设线段AB 的长度为1，则图3 中曲线
的长度为（
）
A．2
B．16
9
C．64
27
D．3
模块三：综合巩固
1．在等比数列
na
中，
3
7
1,
9
a
a
，则
5a （
）
A．-3
B．3
C．3 或-3
D．1
3 或
1
3
2．已知等比数列
na
满足
5
1
3
1
3
a
a
a
a
，则
10
2
6
2
a
a
a
a
（
）
A．1
B．3
C．4
D．15
3．已知数列
na
是以2 为首项，1为公差的等差数列；
nb
是以1为首项，2 为公比的等比数列，则
1
2
3
4
b
b
b
b
a
a
a
a
（
）
A．18
B．19
C．30
D．34
4.设
na
是等比数列，且
1
3
3
a
a
，
3
5
6
a
a
，则
9
11
a
a
（
）
A．24
B．36
C．48
D．64
5.在等比数列
na
中，
1
8
a ，
4
64
a
，则q （
）
A．3
B．3
C．2
D．2
6.数列1，1，1，…，1，…必为（
）
A．等差数列，但不是等比数列
B．等比数列，但不是等差数列
C．既是等差数列，又是等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
7.已知等比数列
na
的各项均为正数，若
2
1
a ，
8
6
4
2
3
a
a
a
，则
9a （
）
A．18 3
B．36 3
C．27
D．27 3
8.已知数列
na
满足
1
1
3
n
n
a
a
，若
4
5
4
a
a
，则
2
3
a
a
（
）
A．4
9
B．4
3
C．12
D．36
9．已知正项等比数列
na
中，
2
2023
4
a a
，则
2
1
2
2
2
2024
log
log
log
a
a
a
（
）
A．1012
B．2024
C．
1012
2
D．
2024
2
10．已知数列
na
各项均为正数，
1
3
a
，且有
1
2
3
n
n
a
a
，则
na （
）
A．
1
2
1
n
B．
3
2
1
n
C．
1
4
2
1
n
D．
1
2
2
1
n
11.已知公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1a ，
2
6
a
a
，
4a 成等比数列，则
10
20
S
S
（
）
A．1
20
B．1
22
C．3
20
D．3
22
12.分形几何是一门新兴学科，图1 是长度为1 的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得
到图2，称为一次分形；同样把图2 的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5 次
分形后图形长度为（
）
A．
10
2 27
B．13
381
C．
52
4 243
D．
451
5 729
13.正项等比数列
na
中，
3
1
2
2
a
a
a
，若
2
1
16
m
n
a a
a
，则4
1
m
n
的最小值等于（
）
A．1
B．3
5
C．13
6
D．3
2
14.（多选）已知数列
na
的首项为4，且满足
*
1
2(
1)
0
N
n
n
n
a
na
n
，则（
）
A．
na
n
为等差数列
B．
na
为递增数列
C．
na
n
为等比数列
D．
1
2
n
n
a
的前n 项和
2
2
n
n
n
T
15.(多选)下列命题中，正确的有（
）
A．数列
na
中，“
1
2
2,
n
n
a
a
n
n
N
”是“
na
是公比为2 的等比数列”的必要不充分条件
B．数列
na
的通项为
2
2
na
n
n
，若
na
为单调递增数列，则
4
C．等比数列
na
中，
2a ，
10
a 是方程
2
8
4
0
x
x
的两根，则
6
2
a
D．等差数列
na
，
nb
的前n 项和为分别为
n
S ，
nT ，若
5
7
15
13
S
T
，则
3
4
21
13
a
b
16.已知
1
1
a ，
1
3
2
N
n
n
a
a
n
，则通项公式
na
.
17.记等比数列
nb
的前n 项和为
nT ，且
3n
nT
a
，则
a
.
18.数列
na
的满足
1
3
a
，
*
1
2
1
N
n
n
a
a
n
，
2
log
1
n
n
b
a
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)将数列
nb
中去掉数列
na
的项后余下的项按原来的顺序组成数列
nc
，求数列
nc
的前50 项和
50
S ．
19.设各项都是正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a ，且
2
2
n
n
n
a
a
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
b ，
1
2
3
n
a
n
n
b
b
，求数列
nb
的通项公式．
4.5 等比数列的前n 项和公式
模块一：基础知识
考点一：等比数列前n 项和公式
若等比数列的首项为
1a ,公比为q ,则它的前n 项和
1
1
1
(1
) ,
1
1
n
n
na
q
S
a
q
q
q
考点二：等比数列前n 项和的性质
公比为q 的等比数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ,关于
n
S 的性质常考的有以下四类:
(1)数列
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
，
4
3
m
m
S
S
,…组成公比为
m
q （
1
q ）的等比数列
(2)当n 是偶数时, S
S
q
奇
偶
;当n 是奇数时,
1
S
a
S
q
奇
偶
(3)
m
n
n m
m
n
n
m
S
S
q S
S
q S
(4)若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n 项和Sn＝a1
1－q
(1－q
n)＝A(q
n－1)．其中A＝a1
q－1
.
考点三：错位相减法求数列的和
推导等比数列前n 项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所
构成的数列的前n 项和.
模块二：题型分类
题型一：等比数列前n 项和的基本量计算
1.已知数列
na
为等比数列，前n 项和为
n
S ．
(1)如果
6
189
4
S
，
1
2
q
，求
1a ；
(2)如果
3
14
S
，
1
2
a
，求q；
(3)如果
5
15
S
，
10
60
S
，求
15
S ．
2.求下列等比数列
na
的前n 项和．
(1)
1
1
a ，
3
q
，
10
n
；
(2)
1
1
2
a
，
1
3
q
，
6
n
；
(3)
1
1
3
a
，
1
3
q
，
1
6561
na
；
(4)
1
6
a
，
2
q =
，
192
na
．
3.已知等比数列
na
的前n 项和
2n
n
S
a
.
(1)求实数a 的值；
(2)若
127
m
S
，求m .
4.已知数列
na
是等比数列.
(1)若
1
1
2
a
，
1
2
q
，求
8
S ；
(2)若
1
27
a
，
9
1
243
a
，
0
q
，求
8
S ；
(3)若
1
8
a ，
1
2
q
，
31
2
n
S
，求n.
5．若数列
na
满足
1
1
a ，
1
2n
n
n
a
a
，则
10
a
（
）
A．511
B．1023
C．1025
D．2047
6．已知
1
1
a ，
2
1
a ，
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
（
3
n
，
*
N
n
），
n
S 为其前n 项和，则
60
S
（
）
A．
30
2
31
B．
30
4
31
C．
30
2
30
D．
30
4
30
题型二：等比数列前n 项和的片段和性质
知识点：数列
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
，
4
3
m
m
S
S
,…组成公比为
m
q （
1
q ）的等比数列
1.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
3
S
S
，则
4
12
S
S
（
）
A．3
2
B．1
3
C．2
3
D．1
7
2.设等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
20
10,
20
S
S
，则
30
S
（
）
A．20
B．30
C．35
D．40
3.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
4
S
S
，则
16
4
8
S
S
S
（
）
A．8
B．9
C．16
D．17
4.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ．若
4
8
1
4
S
S
，则
12
4
S
S
（
）
A．13
B．16
C．9
D．12
5．已知
n
S 是等比数列
na
的前n项和，且
2
3
S ，
6
4
5
12
S
S
，则
4
S （
）
A．11
B．13
C．15
D．17
题型三：等比数列奇、偶项和的性质
1．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（
）.
A．8
B．2
C．4
D．2
2．在数列
na
中，
1
1
a ，
1
2n
n
n
a a
，若
1
9
248
m
m
m
a
a
a
，则m （
）
A．3
B．4
C．5
D．6
3.已知一个项数为偶数的等比数列
na
，所有项之和为所有偶数项之和的4 倍，前3项之积为64 ，则
1a
（
）
A．1
B．4
C．12
D．36
4.已知等比数列
na
的前10项中，所有奇数项的和为
1
85 4 ，所有偶数项的和为
1
170 2 ，则
3
6
9
12
S
a
a
a
a
的值为
．
5.在等比数列
na
中，若
1
3
99
150
a
a
a
，且公比
2
q =
，则数列
na
的前100 项和为
．
6.已知数列
na
的前n 项和
1
2
1
n
n
S
，则数列
na
的前10 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为
（
）
A．1
2
B．2
C．172
341
D．341
172
7.已知项数为奇数的等比数列{
}
na
的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项
数为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
8.已知等比数列
na
中，
1
1
a ，
1
3
2
1
85
k
a
a
a
，
2
4
2
42
k
a
a
a
，则k （
）
A．2
B．3
C．4
D．5
9.在等比数列
na
中，
1
2
q
，
100
150
S
，求
2
4
6
100
a
a
a
a
的值.
题型四：等比数列前n 项和与an 的关系
1．已知数列{
na }满足：
*
1
1
1,
N
n
n
a
S
a
n
，则
2022
S
（
）
A．
2020
2
B．
2021
2
C．
2022
2
D．
2023
2
2．在等比数列
na
中，若
1
2
2
1
n
n
a
a
a
＝
，则
2
2
2
1
2
...
n
a
a
a
（
）
A．
2
2
1
n
（
）
B．1 (4
1)
3
n
C．1 (2
1)
3
n
D．4
1
n
3．设
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
1
2
a
，
1
3
2
n
n
S
S
，则下列各选项在正确的是（
）
A．
1
1
2
3
n
na
B．
1
3n
na
C．
2 3
4
n
n
S
D．
3
1
n
n
S
题型五：等比数列前n 项和的其他性质
1．在等比数列
na
中，
2
2
a
，
5
16
a
．设t 为实数，
2n
S
为该数列的前2n 项和，
nT 为数列
2
na
的前n 项
和，且
2n
n
S
tT
，则t 的值为（
）
A．2
B．2
C．3
D．4
2．设
na
是等比数列，且
1
2
4
a
a
a
，下列正确结论的个数为（
）
①数列
na
具有单调性；
②数列
na
有最小值为
1a ；
③前n 项和Sn 有最小值
④前n 项和Sn 有最大值
A．0
B．1
C．2
D．3
3．已知数列
na
的各项均为实数，
n
S 为其前n 项和，若对任意
2022
k
，都有
1
k
k
S
S
，则下列说法正
确的是（
）
A．
1
3
5
2
1
,
,
,
,
n
a a a
a
为等差数列，
2
4
6
2
,
,
,
,
n
a a a
a
为等比数列
B．
1
3
5
2
1
,
,
,
,
n
a a a
a
为等比数列，
2
4
6
2
,
,
,
,
n
a a a
a
为等差数列
C．
1
2
3
2022
,
,
,
,
a a a
a
为等差数列，
2022
2023
2024 ,
,
,
,
n
a
a
a
a
L
为等比数列
D．
1
2
3
2022
,
,
,
,
a a a
a
为等比数列，
2022
2023
2024 ,
,
,
,
n
a
a
a
a
L
为等差数列
题型六：分组求和法求和
【后面章节会细讲】
1.已知数列
na
满足:
*
1
1
3,
3
4
2,
N
n
n
a
a
a
n
n
.
(1)证明:
2
n
a
n 是等比数列;
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S .
2.已知数列
na
的首项为
1
1
3
a
，且满足
1
2
n
n
n
a
a
a
.
(1)求证：数列
1
1
na
为等比数列；
(2)若
1
2
1
1
1
2024
n
a
a
a
，求满足条件的最大整数n .
3.已知数列
na
满足
1
2
0
a
a
，且
na
n
为等比数列，
*
nN .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求满足
1
2
2024
n
a
a
a
的最大整数n .
4.已知等比数列
na
中，
2
2
a
，
5
16
a
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
1
n
n
b
a
n
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
题型七：错位相减法求和
1.已知等差数列
na
满足
2
4
a
，
4
5
2
7
a
a
，公比不为1
的等比数列
nb
满足
3
4
b
，
4
5
1
2
8
b
b
b
b
.
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a b
，求
nc
的前n 项和
n
S .
2.已知数列
na
的前n 项和为
*
1
1
,
1,
1
1
N ,
2
n
n
n
S
a
a
S
n
且
1
2
3
3 ,4
,
13
a
a a
成等差数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
4
1
log
n n
n
a b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
3.在等差数列
na
中，
4
7
a
，
3
8
2
35
a
a
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且3
2
1
n
n
b
S
.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)若
n
n
n
a
c
b
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
4.已知各项均为正数的数列
na
，
nb
满足：
1
1
a ，
2
2
1
2
1
n
n
a
a
n
，
3
log
n
n
a
b
．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列
n n
a b
的前n 项和
n
S ．
题型八：等差数列与等比数列的综合问题
1.（多选）已知
na
为等比数列，
n
S 是其前n 项和.若
3
7
5
4
16
,
a a
a a
与
5
2a 的等差中项为20，则（
）
A．
1
1
a
B．公比
2
q
C．
1
2n
na
D．
2
1
n
n
S
2.已知数列
na
是以3 为首项，公差不为0 的等差数列，且
1a ，
3
a ，
9a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
27
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3.在数列
na
中，
1
2
0,
2
a
a
，若
2
1
2
2
1
,
,
n
n
n
a
a
a
成等差数列，
2
2
1
2
2
,
,
n
n
n
a
a
a
成等比数列，则
8a
.
4.已知等差数列
na
中，
2
3
a
，公差
0
d
;等比数列
nb
中，
3
1
b
a
，
1 b 是
2a 和
3
a 的等差中项，
2b 是
1a 和
2a 的等差中项．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列{
}
n
n
a
b
的前n 项和
n
S ；
(3)记
,
n
n
n
c
a
b
比较
1
nc 与
nc 的大小.
5.已知等差数列
na
公差为2，且
1a ，
2a ，
4a 恰为等比数列
nb
的前三项．
(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)若数列
nc
满足
1
n
n
n
n
c
a
b
，求
nc
的前n 项和
n
S ．
6.设
na
是公差不为0 的等差数列，
3
8
a
，
1
3
11
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式：
(2)设
1
3
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
题型九：等比数列求和在传统文化中的应用
1.某书院数科考试中有这样一道题：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，
复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒．故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，
如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山．问：夫子切了六斤桃花一共饮了几壶酒？（
）
A．15
8
B．47
16
C．23
8
D．
31
16
2.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六
日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走
的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为（
）
A．6
B．12
C．18
D．42
3.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列
na
本身不是等差数列，
但从
na
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
nb （则称数列
na
为一阶等差数列），
或者
nb
仍旧不是等差数列，但从
nb
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
nc
（则
称数列
na
为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定
义高阶等比数列，设数列
na
：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则
10
3
1
log
n
n
a
的值为（参考公式：
2
2
2
1
2
1
2
1
6
n
n
n
n
）（
）
A．60
B．120
C．240
D．480
4．（1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其
数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、
除以七余二，求这个整数.设这个整数为a ，当
10
2,2
a
时，试求符合条件的a 的个数.
（2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果
'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的
墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天
的打洞进度是前一天的2
3 倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的
1
2 倍.问第300 天结束时，两只老鼠“壮
壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由.
模块三：综合巩固
1．等比数列
na
中，
3
9
a
，且前三项和为
3
27
S
，则公比q 的值是（
）
A．1
B．
1
2
C．1 或
1
2
D．－1 或
1
2
2．设等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
5
1
2
S
S
，则
15
5
S
S
（
）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．3
4
3．若等比数列
na
中的
5a ，2019
a
是方程
2
4
3
0
x
x
的两个根，则
3
1
3
2
3
3
3
2023
log
log
log
log
a
a
a
a
等
于（
）
A．2024
3
B．1011
C．2023
2
D．1012
4.设
n
S 为公比为q的等比数列
na
的前n 项和，且
3
2
2
7
S
a
，则q （
）
A．15
2
B．2
C．
1
2 或15
4
D．
1
2 或2
5.已知数列
na
是递增的等比数列,且
1
4
9
a
a
,
2
3
8
a a
,则数列
na
的前n 项和为（
）
A．2
1
n
B．
1
16 1
2
n
C．
1
2
1
n
D．
1
1
16 1
2
n
6.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次是0 、2 、4、
8、12、18、24 、32、40 、50.其通项公式为
2
2
1,
2
,
2
n
n
n
a
n
n
为奇数
为偶数
如果把这个数列{
}
na
排成如下图形状，
并记
( , )
A m n 表示第m 行中从左向右第n 个数，则
(11,8)
A
的值为（
）
A．1984
B．2048
C．5724
D．5832
7.若
1 3
9
3 n
f n
，则
f n 的值为（
）
A．3
1
n
B．3
1
2
n
C．
1
3
1
2
n
D．
1
3
1
2
n
8.在等比数列
na
中，
2
4
32
a
a
，
6
8
16
a
a
，则
10
12
14
16
a
a
a
a
（
）
A．8
B．10
C．12
D．14
9.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
4
S
S
，则
16
4
8
S
S
S
（
）
A．8
B．9
C．16
D．17
10．已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
3
S
S
，则
4
12
S
S
（
）
A．3
2
B．1
3
C．2
3
D．1
7
11.数列
1
2n
na
，其前n 项和为
nT ，若不等式
2
log
4
1
2
3
n
n
T
n
n
对一切
*
nN 恒成立，则实数
的取值范围为（
）
A．3
4
B．
2 2
C．
2 2
3
D．
1
12.(多选)已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
3
2
a
，
3
42
S
，则数列
na
的公比可能是（
）
A．
1
4
B．1
4
C．
1
5
D．1
5
13.(多选)等差数列
na
的公差为d ，前n 项和为
n
S ；等比数列
nb
的各项均为正数，公比为q，前n项和
为
nT ，下列说法正确的是（
）
A．
2 n
a
是等比数列，公比为2d
B．
2
log
nb
是等差数列，公差为
2
log q
C．若
*
N
k
，则
kS ，
2k
k
S
S
，
3
2
k
k
S
S
成等差数列，公差是kd
D．若
*
k N ，则
kT ，
2k
k
T
T
，
3
2
k
k
T
T
成等比数列，公比是
k
q
14．已知数列
na
是等比数列，且
1
1
a ，
8
7
5
4
27
a
a
a
a
，则
1
na
的前n 项和为（
）
A．
2
3
1
n
B．3
1
1
2 3n
C．3
1
1
4
3
n
D．
3
1
4
n
15．在等比数列{
na }中，
1
4
8,
1
a
a
．记
1
2
1,2,
n
n
T
a a
a
n
，则数列{
nT }（
）
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
16.在等比数列
na
中，
2
5
2,
16
a
a
，则
1
1
2
3
( 1)n
n
a
a
a
a
.
17.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
5 3n
n
S
t
，则t
.
18.已知等差数列
na
中，
2
3
a
，公差
0
d
;等比数列
nb
中，3
1
b
a
，
1 b 是
2a 和
3
a 的等差中项，2b 是
1a 和
2a 的等差中项．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列{
}
n
n
a
b
的前n 项和
n
S ；
(3)记
,
n
n
n
c
a
b
比较
1
nc 与
nc 的大小.
19.已知公差为正数的等差数列
na
满足
1
1
3
4
1,2 ,
1,
1
a
a a
a
成等比数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
2
5
,
a a 分别是等比数列
nb
的第1 项和第2 项，求使数列
2
nb
的前n 项和
299
300
nT
的最大正整数n ．
4.6 数列的通项公式
模块一：基础知识
考点一：累加法
若数列
n
a
满足
)
(
)
(
*
1
N
n
n
f
a
a
n
n
，则称数列
n
a
为“变差数列”，求变差数列
n
a
的通项时，利
用恒等式
)
2
(
)1
(
)
3
(
)
2
(
)1(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
3
1
2
1
n
n
f
f
f
f
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
求
通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
2
1
(1)
a
a
f
3
2
(2)
a
a
f
4
3
(3)
a
a
f
1
(
1)
n
n
a
a
f n
将上述
1
n 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
2
1
3
2
4
3
1
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
=
(1)
(2)
(3)
(
1)
f
f
f
f n
整理得：
1
na
a
=
(1)
(2)
(3)
(
1)
f
f
f
f n
考点二：累乘法
若数列
n
a
满足
)
(
)
(
*
1
N
n
n
f
a
a
n
n
，则称数列
n
a
为“变比数列”，求变比数列
n
a
的通项时，利用
)
2
(
)1
(
)
3
(
)
2
(
)1(
1
1
3
4
2
3
1
2
1
n
n
f
f
f
f
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
2
1
(1)
a
f
a
3
2
(2)
a
f
a
4
3
(3)
a
f
a
1
(
1)
n
n
a
f n
a
将上述
1
n 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
2
3
4
1
2
3
1
(1)
(2) (3)
(
1)
n
n
a
a
a
a
f
f
f
f n
a
a
a
a
整理得：
1
(1)
(2) (3)
(
1)
n
a
f
f
f
f n
a
考点三：构造法
类型1：用“待定系数法”构造等比数列
形如
p
ka
a
n
n
1
（
p
k,
为常数，
0
kp
）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
)
(
1
m
a
k
m
a
n
n
（其中：
1
k
p
m
），由此构造出新的等比数列
m
an
，先求出
m
an
的通项，从而
求出数列
na
的通项公式.
标准模型：
p
ka
a
n
n
1
（
p
k,
为常数，
0
kp
）或
1
n
n
a
ka
p
（
p
k,
为常数，
0
kp
）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如
)
(
*
1
1
N
n
q
p
qa
a
n
n
n
，可通过两边同除
1
n
q
，将它转化为
p
q
a
q
a
n
n
n
n
1
1
，从而构造数列
n
n
q
a
为等差数列，先求出
n
n
q
a
的通项，便可求得
na
的通项公式.
（2）形如
1
*
1
(
)
n
n
n
a
ka
q
n
N
，可通过两边同除
1
n
q
，将它转化为
1
1
1
n
n
n
n
a
a
k
q
q q
，换元令：
n
n
n
a
b
q
，
则原式化为：
1
1
n
n
k
b
b
q
，先利用构造法类型1 求出
nb ，再求出
na
的通项公式.
（3）形如
)
0
(
1
1
k
a
ka
a
a
n
n
n
n
的数列，可通过两边同除以
n
n a
a
1
，变形为
k
a
a
n
n
1
1
1
的形式，从而
构造出新的等差数列
n
a
1
，先求出
n
a
1
的通项，便可求得
na
的通项公式.
考点四：倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如
q
pa
qa
a
n
n
n
1
（
q
p, 为常数，
0
pq
）的数列，通过两边取“倒”，变形为
q
p
a
a
n
n
1
1
1
，
即：
q
p
a
a
n
n
1
1
1
，从而构造出新的等差数列
n
a
1
，先求出
n
a
1
的通项，即可求得
n
a .
类型2：形如
1
n
n
n
ka
a
pa
q
（
q
p, 为常数，
0
p
，
0
q
，
0
k
）的数列，通过两边取“倒”，变形
为
1
1
1
n
n
q
p
a
k a
k
，可通过换元：
1
n
n
b
a
，化简为：
1
n
n
q
p
b
b
k
k
（此类型符构造法类型1：用“待
定系数法”构造等比数列：形如
p
ka
a
n
n
1
（
p
k,
为常数，
0
kp
）的数列，可用“待定系数法”将
原等式变形为
)
(
1
m
a
k
m
a
n
n
（其中：
1
k
p
m
），由此构造出新的等比数列
m
an
，先求出
m
an
的通项，从而求出数列
na
的通项公式.）
考点五：隔项等差数列
已知数列{
}
na
，满足
1
( )
(1)
n
n
a
a
f n
，
则
2
1
(
1)
(2)
n
n
a
a
f n
；
1
(
1)
(3)
n
n
a
a
f n
2
(2)
(1) :
n
n
a
a
d
（其中d 为常数）；或
1
1
(1)
(3) :
(
2)
n
n
a
a
d n
则称数列{
}
na
为隔项等差数
列，其中：
①
1
3
5
7
,
,
,
a a a a 构成以
1a 为首项的等差数列，公差为d ；
②
2
4
6
8
,
,
,
a a a a 构成以
2a 为首项的等差数列，公差为d ；
考点六：隔项等比数列
已知数列{
}
na
，满足
1
( )
(1)
n
n
a
a
f n
，
则
2
1
(
1)
(2)
n
n
a
a
f n
；
1
(
1)
(3)
n
n
a
a
f n
2
(2) :
(1)
n
n
a
q
a
（其中q 为常数）；或
1
1
(1) :
(
2)
(3)
n
n
a
q n
a
则称数列{
}
na
为隔项等比数列，其中：
①
1
3
5
7
,
,
,
a a a a 构成以
1a 为首项的等比数列，公比为q ；
②
2
4
6
8
,
,
,
a a a a 构成以
2a 为首项的等比数列，公比为q ；
考点七：数列求通项（Sn 法、Tn 法）
1 对于数列{
}
na
，前n 项和记为
n
S ；
①
1
2
3
1
n
n
n
S
a
a
a
a
a
；②
1
1
2
3
1 (
2)
n
n
S
a
a
a
a
n
1 -②：
1
(
2)
n
n
n
S
S
a
n
n
S 法归类
角度1：已知
n
S 与
na
的关
系；或
n
S 与n 的关系
用
1
n
n
S
S
，得到
na
例子：已知
2
4
1
n
n
S
a
，求
na
角度2：已知
na
与
1
n
n
S
S
的
关
系
；
或
na
与
1
n
n
S
S
的关系
1
n
n
S
S
替换题目中
的
na
例子：已知
1
2
(
2)
n
n
n
a
S S
n
；
已知
1
1
n
n
n
S
a
S
角度3：已知等式中左侧含
有：
1
n
i
i
i
a b
作差法（类似
1
n
n
S
S
）
例子：已知
1
2
3
2
3
2n
n
a
a
a
na
求
na
2 对于数列{
}
na
，前n 项积记为
nT ；
①
1
2
3
1
n
n
n
T
a a a
a
a
；②
1
1
2
3
1 (
2)
n
n
T
a a a
a
n
①②：
1
(
2)
n
n
n
T
a
n
T
nT 法归类
角度1：已知
nT 和n
的关系
角度1：用
1
n
n
T
T
，得到
na
例子：
nb
的前n 项之积
(
1)
*
2
2
N
n n
nT
n
.
角度2：已知
nT 和
na 的关系
角度1：用
1
n
n
T
T
替换题目中
na
例子：已知数列
na
的前n 项积为
nT ，且
1
2
1
n
n
a
T
.
模块二：题型分类
题型一：累加法
1. 已知数列{
}
na
满足
1
1
2
1
1
n
n
a
a
n
a
，
，求数列{
}
na
的通项公式。
2.已知数列
na
满足
1
1
1,
3
2(
2)
n
n
a
a
a
n
n
，则
na
的通项公式为（
）
A．
2
3
na
n
B．
2
3
n
a
n
n
C．
2
3
2
n
n
n
a
D．
2
3
4
n
n
n
a
3.满足
1
2
n
n
a
a
n
，
1
13
a
，则
na
n 取最小值时，n （
）
A．3
B．4
C．5
D．6
4.已知数列
na
满足
1
*
1
3n
n
n
a
a
n
N
，
1
3
a
，则
na
．
5.若数列
na
满足：
1
1
a ，
1
2n
n
n
a
a
，则数列
na
的通项公式为
na
．
6.已知数列{
n
a }中，
1
2
a
，且
1
(
1)
1
n
n
n n
a
a
.其中
*
N
n
，
(1)求数列{
na }的通项公式；
7.在数列
na
中，
1
2
a
，且
1
1
ln 1
n
n
a
a
n
，求数列
na
的通项公式．
题型二：累乘法
1.已知数列
na
满足
1
1
1
1,
,
2
n
n
a
n
a
n
a
n
，则
na （
）
A．n
1
B．
1
1
n
C．n
D．1
n
2.在数列
na
中，若
1
2
a
，
1
1
2 1
n
n
a
a
n
，则
na
的通项公式为
．
3.在数列
na
中，
1
2
n
n
n
a
a
n
（n∈N*），且
1
4
a
，则数列
na
的通项公式
na
.
4.若数列
na
的首项
1
1
a ，且
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
n
，则数列
na
的通项公式为
.
5.已知：
1
1
3
a
，
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
n
（
2
n
）求数列
na
的通项.
6.已知数列
na
满足：
1
1
2
a
，
1
1
2
n
n
n
a
a
n
，求数列
na
的通项公式.
7.已知数列{
}
na
满足
1
1
2(
1)5
3
n
n
n
a
n
a
a
，
，求数列{
}
na
的通项公式。
题型三：构造法
1.数列
na
中，
1
1
a ，
1
3
2(
2)
n
n
a
a
n
，则此数列的通项公式
na
.
2.已知数列
na
满足
1
1
2
1,
1
n
n
a
a
a
，则
na
的通项公式（
）
A．
1
2n
na
B．
1
2
1
n
na
C．
2n
na
D．
2
1
n
na
3.已知数列
na
中，
1
1
4,
4
6
n
n
a
a
a
，则
na 等于（
）
A．
2
1
2
2
n
B．
2
1
2
2
n
C．
2
1
2
2
n
D．
2
1
2
2
n
4.已知数列
na
满足
1
3
2
n
n
a
a
，
3
2
22
a
a
，则满足
160
na
的最小正整数n
．
5.已知数列
na
满足
1
1
a ，且
1
1
1
2
3
3
n
n
n
a
a
n
，则数列
na
的通项公式
na
．
6.已知在数列
na
中，
1
5
6
a
，
1
1
1
1
3
2
n
n
n
a
a
，则
na
．
题型四：倒数法
1.已知数列
na
满足
1
1
2
a
，且
+1= 3
+1
n
n
n
a
a
a
，则数列
na
的通项公式为
=
na
．
2．（多选）已知数列
na
满足
1
1
1,
2
3
n
n
n
a
a
a
a
，则下列结论正确的有（
）
A．
1
3
na
为等比数列
B．
na
的通项公式为
1
1
2
3
n
n
a
C．
na
为递增数列
D．
1
na
的前n 项和
2
2
3
4
n
nT
n
3.已知函数
2
2
x
f
x
x
.
(1)若在数列
na
中，
1
1
a ，
*
1
n
n
a
f a
n
N
，计算
2a 、
3
a 、
4a ，并由此猜想通项公式
na ；
(2)证明（1）中的猜想．
4.已知数列的递推公式
1
3
4
1
n
n
n
a
a
a
，且首项
1
5
a
，求数列
na
的通项公式．
5.已知数列
na
的通项公式为
1
3
5
a
，
1
3
2
1
n
n
n
a
a
a
(1)求数列
na
的通项公式.
(2)若
1
2
3
1
1
1
1
100
n
a
a
a
a
，求满足条件的最大整数值.
题型五：an=Sn-Sn-1法
1.已知数列
na
的前n项和
3
2
n
n
S
，
na
的通项公式为
.
2．（多选）设
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
3
a
，
m
，
N
n
，
m n
m
n
S
S S
，则（
）
A．
na
是等比数列
B．
4
54
a
C．
8
5
6
7
8
9
3
a
a
a
a
a
D．
3n
n
S
3.已知数列
na
的前n项和
2
2
n
S
a
n
n
a
，
*
nN ．若
na
是等差数列，则
na
的通项公式
为
．
4.已知各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
n
a
a
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足，
*
1
1
1
1
0,
2,
N
n
n
n
b
b
n
n
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
5.已知各项为正的数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
2
1
1
4
n
n
S
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列满足
nb
，
1
1
b
a
，
2
2
3
b
a
a
，
3
4
5
6
b
a
a
a
，
4
7
8
9
10
b
a
a
a
a
，…，依此类推，求
nb
的
通项公式.
6.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
*
4
2
3
n
n
n
S
a
a
n
N
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)将数列
na
和数列
2n 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列
nb
，求
nb
的前100 项
和.
题型六：将an替换成Sn-Sn-1
1.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
a
，
1
1
n
n
n
S
S
a
，则
na
．
2.已知正项数列
na
的前n 项和为
1
,
1
n
S a ，且
1
2
n
n
n
a
S
S
n
.
(1)求
na ；
(2)设
1
n
n
b
S
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
7
4
nT
.
3．（多选）已知数列
na
的前n 项和为
0
n
n
S
S
，且满足
1
4
0
2
n
n
n
a
S
S
n
，
1
1
4
a
，则下列说法正
确的是（
）
A．数列
na
的前n 项和为
4
n
S
n
B．数列
na
的通项公式为
1
4
1
na
n n
C．数列
na
不是递增数列
D．数列
1
n
S
为递增数列
4.已知数列
na
，
1
1
3
a
，其前n 项的和为
n
S ，且满足
2
3
1 3
0
2
n
n
n
S
S
a
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)证明：
1
2
3
1
1
1
2
2
3
3
n
S
S
S
S
n
L
．
5.设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a ，当
2
n
时，
1
n
n
n
S
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
满足
1
1
b ，且
1
1
2n
n
n
n
b
b
a
，求数列
nb
的通项公式．
6.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
2
n
n
n
S S
S
.
(1)若
1
n
S ，证明：数列
1
1
n
S
为等差数列.
(2)若
1
2
a
，
1
1000
na
，求n 的最小值.
题型七：新数列前n 项和型
1．（多选）已知数列
na
满足
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
，则（
）
A．
2
2
na
n
B．
na
的前n 项和为(
3)
n n
C．
( 1)n
n
a
的前100 项和为100
D．
10
na
的前20 项和为284
2.已知数列
na
满足
1
2
3
2
1
1
1
1
2
2
2
n
n
a
a
a
a
n
，
*
N
n
，记数列
2
na
n
的前n 项和为
n
S ，则
n
S （
）
A．
2
2
1
2
2
n
n
n
B．
2
1
2
2
2
2
n
n
n
C．
2
2
2
2
n
n
n
D．
2
2
3
2
2
n
n
n
3.数列
na
满足
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
n
n
a
a
a
a
a
n
L
，
*
nN ，且
1
1
a .
(1)求数列
na
的通项公式；
4.已知数列
na
的前n项之积为
nb ，且
2
*
1
2
1
2
2
n
n
a
a
a
n
n n
b
b
b
N
．
(1)求数列
n
n
a
b
和
nb
的通项公式；
5.已知数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
3
1
2
1
2
3
n
a
a
a
a
n
n
，
*
nN ．
(1)求数列{
}
na
的通项公式；
6.已知数列
na
满足
1
2
3
1
1 4
1
2
3
1
6
n
n
n n
n
a
a
a
n
a
na
．求
na 的值；
题型八：对数变换法
1.已知数列{
}
na
满足
5
1
2 3n
n
n
a
a
，
1
7
a
，求数列{
}
na
的通项公式。
题型九：换元法
1.已知数列{
}
na
满足
1
1
1 (1
4
1
24
)
1
16
n
n
n
a
a
a
a
，
，求数列{
}
na
的通项公式。
题型十：不动点法
1.已知数列{
}
na
满足
1
1
21
24
4
4
1
n
n
n
a
a
a
a
，
，求数列{
}
na
的通项公式。
模块三：综合巩固
1．数列5,2, 3, 10,
的通项公式可能是（
）
A．
2
6
na
n
B．
3
6
na
n
C．
6
na
n
D．
8
3
na
n
2．已知数列
na
的前n项和
3
n
S
n
，则
1
5
1
5
2
a
a
的值为（
）
A．125
B．135
C．145
D．155
3．已知数列
na
满足
1
1
a ，且
1
1
n
n
n
a
a
na
，则
10
a
（
）
A．1
45
B．1
46
C．1
55
D．1
56
4．在数列
na
中，
0
na
，
1
1
a ，
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
a
a
n
a
a
，则
113
a
（
）
A．4 14
B．15
C．
223
D．10
5．已知数列{an} 满足a1=1，且
1
1
1
( ) (
2
3
3
n
n
n
a
a
n
，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为
A．
3
2
n
na
n
B．
2
3
n
n
n
a
C．an=n+2
D．an=（n+2）·3 n
6．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列
na
：1，1，2，3，5，8…，其中从第3
项起，每一项都等于它前面两项之和，即
1
2
1
a
a
，
2
1
n
n
n
a
a
a
，这样的数列称为“斐波那契数列”.若
3
6
9
174
2
1
m
a
a
a
a
a
，则m （
）
A．175
B．176
C．177
D．178
7．已知数列
na
满足
*
1
2
2
1
2
2
1
1,
1,
N
,
n
n
n
n
a
a
n
a
a
a
n
则集合{
|
20}
m
m a
中元素的个数为（
）
A．14
B．20
C．24
D．25
8．定义
,
max
,
,
a a
b
a b
b a
b
．若数列
na
的前n 项和为
2
20
R,
N
n
S
n
n
n
，数列
nb
满足
1
1
1
1
2,2n
n
n
n n
b
b
b
b b
，令
max
,
n
n
n
c
a b
，且
3
nc
c
恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
4, 3
B．
3, 2
C．
2
1
,
0
3
2
D．
2
3,
0
3
9．(多选)若数列{
}
na
满足
4
9
a
，且
1
1
(
1)(
3
)
0(
*)
n
n
n
n
a
a
a
a
n
N
，则首项
1a 可能是（
）
A．6
B．5
3
C．2
D．1
3
10．(多选)已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
1
n
n
n
a
a
a
，则（
）
A．
na
是递减数列
B．
,
3
na
n n
C．
2021
2022
2
a
D．
1
2
1
1
1
1
1
1
1
n
a
a
a
11．(多选)已知正项数列
na
满足：
2
1
1
1
1,
1
n
n
n
na
a
a
na
，则（
）
A．
2
5
1
2
a
B．
na
是递增数列
C．
1
1
1
n
n
a
a
n
D．
1
1
1
1
n
n
k
a
k
12．(多选)已知数列
na
满足
1
1
3,2
3
2
n
n
a
a
a
，则（
）
A．
3
17
4
a
B．
2
na
是等差数列
C．
3
2
log
2
na
是等差数列
D．数列
3
1
3
2
2
2
1
log
2
log
2
n
n
a
a
的前100 项和为100
101
13．设
n
S 是数列
na
的前n 项和，且
2
cos
π
3
n
n
S
n
，则
6a
.
14．若
na
满足：
*
1
0
1
n
n
a
a
n
N
，则满足上述条件数列
na
的一个通项公式为
．
15．已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
1
n
a
n
，
2
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
，
*
N
n
.则集合
20
m
m a
中元素的个数
为
.
16．
1
2
3
,
,
,
,
n
A
a a a
a
，
1,0,1
1,2,3,
,
ia
i
n
为一个有序实数组，
f
A 表示把A 中每个-1 都变为
1
，0，每个0 都变为1
，1，每个1 都变为0，1 所得到的新的有序实数组，例如：
1,0,1
A
，则
1,0, 1,1,0,1
f
A
．定义
1
k
k
A
f
A
，
1,2,3,
k
，若
1
1,1
A
，
n
A 中有
nb 项为1，则
nb
的前2n
项和为
．
17．在数列
na
中，
1
2
a
，
17
66
a
，通项公式
na
pn
q
，其中p，q 为常数，
0
p
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)88 是否是数列
na
中的项？
18．已知数列
na
满足
1
1
a ，且
1
1
1
n
n
na
n
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
n
n
a
b
的前n项和为
n
S ，且
3
1
2
n
n
S
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
19．数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
*
1
1
1,2
N
n
n
a
S
na
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
2n
na
的前n 项和
nT ．
20．记数列
na
的前n 项和为
n
S ，对任意正整数n，有2
n
n
S
na
，且
2
3
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
2
n
n
n
a
b
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
4
n
T
.
4.7 数列求和
模块一：基础知识
考点一：倒序相加法
即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前
n 项和.
考点二：分组求和法
1 如果一个数列可写成
n
n
n
c
a
b
的形式，而数列
na
，
nb
是等差数列或等比数列或可转化为能够求
和的数列，那么可用分组求和法.
2 如果一个数列可写成
n
n
n
a
n
c
b
n
为奇数
为偶数
的形式，在求和时可以使用分组求和法.
考点三：裂项相消法
1、等差型
①
)
1
1
(
1
)
(
1
k
n
n
k
k
n
n
特别注意
n
n
n
n
k
n
n
n
n
k
1
1
1
)1
(
1
,1
;
1
1
1
)1
(
1
,1
②
1
1
1
1
(
)
(
1)(
1)
2
1
1
kn
kn
kn
kn
如：
)
1
2
1
1
2
1
(
2
1
1
4
1
2
n
n
n
（尤其要注意不能丢前边的2
1 ）
2、无理型
①
)
(
1
1
n
k
n
k
n
k
n
如：
1
1
1
n
n
n
n
3、指数型
①
1
1
(
1)
1
1
(
)(
)
n
n
n
n
n
a
a
a
k a
k
a
k
a
k
如：
1
1
2
1
1
(2
)(2
)
2
2
n
n
n
n
n
k
k
k
k
4、通项裂项为“ ”型
如：①
2
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
②
1
3
1
2
2
2
( 1)
( 1
1
)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
本类模型典型标志在通项中含有( 1)n
乘以一个分式.
考点四：错位相减法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个
数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列
nc
的通项公式
n
n
n
c
a
b
，其中
n
a
、
nb
中
一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的
公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法．
考点五：奇偶项讨论求和
1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
n
n
n
a
n
c
b
n
为奇数
为偶数
角度1：求
n
n
n
a
n
c
b
n
为奇数
为偶数
的前2n 项和
2n
T
角度2：求
n
n
n
a
n
c
b
n
为奇数
为偶数
的前n 项和
nT
2、通项含有( 1)n
的类型；例如：
( 1)n
n
n
c
a
模块二：题型分类
题型一：倒序相加法
1.设函数
1
1 ln
x
f x
x
，设
1
1
a ，
1
2
3
1
,
2
n
n
a
f
f
f
f
n
n
n
n
n
n
N
L
．
(1)计算
1
f x
f
x
的值．
(2)求数列
na
的通项公式．
2.已知函数
3
( )
(
1)
2
f x
x
，数列{
}
na
为等比数列，
0
na
，且
1009
e
a
，利用课本中推导等差数列前n 项和
的公式的方法，则
1
2
2017
(ln )
(ln
)
(ln
)
f
a
f
a
f
a
（
）
A．2017
2
B．2017
C．4034
D．8068
3.已知函数
y
f x
满足
1
1
f
x
f
x
，若数列
na
满足
1
2
1
(0)
(1)
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
，
则数列
na
的前20 项的和为（
）
A．230
B．115
C．110
D．100
4.设
4
( )
4
2
x
x
f x
，若0
1
a
，试求：
（1）
( )
(1
)
f a
f
a
；
（2）
1
2
3
1000
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f
．
5.已知函数
4
( )
4
2
x
x
f x
，则
( )
(1
)
f x
f
x
；数列
na
满足
2016
n
n
a
f
，则这个数列的前
2015 项的和等于
.
题型二：分组求和法
1.已知数列
na
的前n项和
n
S ，且
2
n
S
n
n
；
(1)求它的通项
na
(2)若
1
2n
nb
，求数
n
n
a
b
的前n 项和
nT .
2.已知等差数列
na
的前三项分别为2 ,3,
3
a
a
(1)求
na
的通项公式
(2)若
3 n
a
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
3.已知数列
na
满足:
*
1
1
3,
3
4
2,
N
n
n
a
a
a
n
n
.
(1)证明:
2
n
a
n 是等比数列;
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S .
4.已知等比数列{
}
na
的各项满足
1
n
n
a
a
，若
2
3
a
，且
2
3a ，
3
2a ，
4a 成等差数列．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)求数列{
}
na
n
的前n 项和．
题型三：等差型裂项相消法
1.已知等差数列
na
满足
6
3
6
a
a
，且
1a 与
3
a 的等差中项为5.
(1)求数列{
}
na
的通项公式；
(2)设
1
1
(
N )
n
n
n
b
n
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
2.已知
na
是等差数列且
5
1
1,
25,
n
a
S
S
为数列
na
的前n 项和，
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
n
n
n
c
a a
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
3.已知各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
n
a
a
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足，
*
1
1
1
1
0,
2,
N
n
n
n
b
b
n
n
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
4.设
na
是公差不为0 的等差数列，
3
8
a
，
1
3
11
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式：
(2)设
1
3
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
题型四：无理型裂项相消法
1.已知数列
na
满足
1
1
na
n
n
，求数列
na
的前n 项和
n
S ．
2.数列
1
1
n
n
的前2022 项和为（
）
A．
2022
1
B．
2022
1
C．
2023
1
D．
2023
1
3.已知数列
na
的前n 项和
1
*
3
3
N
2
n
n
S
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
3
1
3
1
log
log
n
n
a
a
的前n 项和为
nT ，若
9
n
T
，求n 的值．
4.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，公差为d ，若
2
d
，
9
99
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
n
n
n
b
a
a
（
*
N
n
），求数列
nb
的前n 项和
nT .
题型五：指数型裂项相消法
1.已知递增等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，
6
3
9
S
S
，
1
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a
，且
1
2
3
b
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
nb
的前n 项和
nT ．
2.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且2
3
1
n
n
S
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
3
1
1
n
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
1
2
8
4
n
n
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记
1
1
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，若不等式
1
2
2 2
1
n
n
n
T
a
对任意
*
N
n
恒成立，
求实数的取值范围．
4.将正奇数数列1，3，5，7，9，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表.
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列
na
，求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
1
n
n
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
5.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
1
a ，且数列
2
3
n
n
S
a
是公比为1
3 的等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
2
3
1
1
n
n
n
n
b
a
a
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
1
4
nT
．
题型六：“+”型裂项相消法
1.已知数列
na
满足：
1
1
1 ,
4
2
n
n
n
a
a
a
n
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
( 1) (2
1)
n
n
n
b
n
a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
2.设
n
S 为数列
na
的前n 项和，满足
1
1
S ，
1
2
n
n
S
na
其中
*
N
n
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，满足
2
1
4
4
1
n
n
n
n
a
b
a
，则
2023
T
．
3.已知数列
na
的前n项和为
n
S ，满足
1
1
a ，
1
1
1
n
n
nS
n
S
n n
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
1
1
n
n
n
n
a
b
S
n
，求数列
nb
的前20 项和
20
T .
4.设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
3
5
a ，且
2
1
4
4
1
n
n
a
S
n
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
( 1)
2
n
n
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
题型七：错位相减法
1.已知数列
na
的首项
1
3
a
，其前n项和为
n
S ，且
1
3
2
3
n
n
S
S
n
，
*
N
n
.
(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)设
1
n
n
b
n a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
2.已知等差数列
na
满足
2
4
a
，
4
5
2
7
a
a
，公比不为1
的等比数列
nb
满足
3
4
b
，
4
5
1
2
8
b
b
b
b
.
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a b
，求
nc
的前n 项和
n
S .
3.已知数列
na
的前n项和为
*
1
1
,
1,
1
1
N ,
2
n
n
n
S
a
a
S
n
且
1
2
3
3 ,4
,
13
a
a a
成等差数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
4
1
log
n n
n
a b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
4.在等差数列
na
中，
4
7
a
，
3
8
2
35
a
a
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且3
2
1
n
n
b
S
.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)若
n
n
n
a
c
b
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
题型八：奇偶项讨论求和
1.设等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
1
3
14,
14
a
a
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
,
log
,
n
n
n
a n
b
a n
为偶数
为奇数，数列
nb
的前2n 项和为
2n
T ，求
2n
T .
2.已知数列
na
为正项等差数列，数列
nb
为递增的正项等比数列，
1
1
a ，
1
1
2
2
4
3
0
a
b
a
b
a
b
.
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)数列
nc
满足
,
,
n
n
n
a n
c
b n
为奇数
为偶数，求数列
nc
的前2n 项的和.
3.已知等差数列
na
的前n项和为
n
S ，且满足
5
2
2
15
a
a
，
9
81
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
,
3 ,
n
n
n
a n
b
n
为奇数
为偶数，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T ．
4.数列
na
满足
1
16n
n
n
a a
，
1
2
N
a
n
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
,
,
n
n
n
a n
b
b
n n
为奇数
为偶数，求数列
nb
的前2n 项和
2n
S
．
5.已知数列
,
n
n
a
b
满足
1
1
1
1
1,
2,
2
n
n
n
n
a
b
a
b
b
a
.
(1)求
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)设数列
nc
满足
,
,
,
.
n
n
n
n
n
n
n
a
a
b
c
b
a
b
求
nc
的前n 项和
n
S .
6.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
n
为奇数
为偶数.
(1)记
2
n
n
b
a
，写出
1b 、
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
(2)求
na
的前n 项和
nT .
7.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
3
n
n
S
a
，且
1
3
a
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)已知
1
3
log
,
,
n
n
n
a n
b
a n
为奇数
为偶数
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
8.已知正项数列
na
的前n 项和
n
S ，且
*
2
N
4
n
n
n
a
a
S
n
，数列
nb
为单调递增的等比数列，
1
2
3
1 2 3
13,
27
b
b
b
bb b
.
(1)求数列
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)设
,
,
n
n
n
a n
c
b n
为奇数
为偶数，求
1
2
3
n
c
c
c
c
.
题型九：通项含绝对值数列求和
1.设单调递减的等差数列
na
的前n项和为
2
8
3
7
,
4,
12
n
S
a
a
a
a
.
(1)求数列
na
的通项公式
na 及前n 项和
n
S ；
(2)设数列
na
的前n 项和为
nT ，求
nT .
2.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，其中
2
10
a
，
6
42
S
．
(1)求数列
na
的通项；
(2)求数列
na
的前n 项和为
nT ．
3.已知数列
na
的前n项和为
n
S ，且
2
1
15
2
2
n
S
n
n
.
(1)求
na
的通项公式
(2)若
n
n
c
a
，求
nc
的前n 项和
nT .
4.在等比数列
na
中，
0
n
a
n
N
，公比
0,1
q
，且
3
5
4
6
3
9
2
100
a a
a a
a a
，4 是
4a 与
6a 的等比中项．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
log
n
n
b
a
，
1
2
n
n
S
b
b
b
，求
n
S ．
模块三：综合巩固
1．已知等比数列{an}的首项
1
3
a
，公比
2
q =
，则
5S 等于（
）
A．93
B．－93
C．45
D．－45
2．已知等差数列
na
中，
3
4
a
，
7
10
a
，求数列
na
的前9 项和
9S （
）
A．64
B．63
2
C．63
D．28
3．已知
na
为等差数列，
n
S 为其前n 项和，
2
5
3
1,
8
a
S
S
，则
9S （
）
A．36
B．45
C．54
D．63
4．已知
na
，
nb
都是等差数列，且
1
1
a ，1
2
b
，10
10
10
a
b
，则数列
n
n
a
b
的前10 项和
10
S 为（
）
A．60
B．65
C．70
D．75
5．已知从冬至日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影长
减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）.若雨水的日影长为95 寸，冬至､小寒､大寒､立春的日影长之和为480
寸，则冬至的日影长为（
）
A．135 寸
B．130 寸
C．125 寸
D．120 寸
6．已知数列
3
1
n
与数列
4
1
n
，其中
*
N
n
.它们的公共项由小到大组成新的数列
na
，则
na
的前20
项的和为（
）
A．2380
B．2400
C．2420
D．2440
7．在等比数列
na
中，若
4
2022
506
a a
，
3
4
5
2021
2022
2023
2024
a
a
a
a
a
a
，则
3
4
5
2021
2022
2023
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知等比数列
na
的前n 项和为
3
6
,
9,
243
n
S
a
a
，若关于n 的不等式
2
3
2
730
0
n
n
a
S
恒成立，则
实数的取值范围为（
）
A．
,27
B．
,54
C．
,27
D．
,54
9．(多选)已知数列
na
满足
1
2
3
2
1
2
n
a
a
n
a
n
，其中
2
1
n
n
a
b
n
，
n
S 为数列
nb
的前n 项和，
则下列四个结论中，正确的是（
）
A．
1
2
a
B．数列
na
的通项公式为：
2
2
1
na
n
C．数列
nb
的前n 项和为：
2
2
1
n
n
S
n
D．数列
na
为递减数列
10．(多选)数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
1
n
n
a
a
n
，下列说法正确的是（
）
A．若
na
为等差数列，则
na
的公差为1
B．若
na
为等差数列，则
na
的首项为1
C．
30
435
S
D．
2
4
3
n
S
n
11．(多选)已知正项等比数列
na
的公比为q，前n 项和为
4
6
,
2,
8
n
S
a
a
，则（
）
A．
2
q =
B．
10
256
a
C．数列
1
na
是递减数列
D．
1
1
2
4
n
n
S
12．(多选)已知数列
na
的首项
1
1
1
1,
n
n
n
n
a
a
a
a a
，则（
）
A．
1
na
为等差数列
B．
10
10
a
C．
na
为递增数列
D．
1
n
n
a
的前20 项和为10
13．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三
十日，问共织布
尺．
14．如图，第一个正六边形
1
1
1
1
1
1
A B C D E F 的面积是1，取正六边形
1
1
1
1
1
1
A B C D E F 各边的中点
2
2
2
2
2
2
,
,
,
,
,
A B C D E F ，
作第二个正六边形
2
2
2
2
2
2
A B C D E F ，然后取正六边形
2
2
2
2
2
2
A B C D E F 各边的中点
3
3
3
3
3
3
,
,
,
,
,
A B C D E F ，作第三个
正六边形，依此方法一直继续下去，则前n个正六边形的面积之和为
．
15．已知等差数列
na
满足
1
2
8
a
a
，
3
4
24
a
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
na
的前n 项和为
n
S .
16．记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
5
85
S
，且
6
1
7
a
a
．
(1)求
na 和
n
S ；
(2)设
1
5
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
前n 项和
nT ．
17．已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
3
3
5
5,
a
S
a
.
(1)求数列
na
的通项公式;
(2)若数列
nb
满足
2 n
a
n
n
b
a
，求数列
na
的前n 项和
nT .
18．已知数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT ，且满足
3n
n
n
b
a
，
1
1
a ，
1
2
n
n
S
a
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
102
nT
，求n 的取值范围．
19．已知数列
na
的首项为2 ，且
2
2
1
1
1
2
4
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a a
a
，
0
na
，
*
nN .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
n
n
b
S
，求数列
nb
的前2023项和.
20．已知两个等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT
. 若
5
5
2
a
b ，则
9
9
S
T
.
21．设
n
S 是等差数列
na
的前n 项和
1,
n
n
N ，若
2
4
6
9
a
a
a
，则
7
S
.
22．已知数列
na
的前n 顶和为
n
S .且
*
1
1
1
1,
3
n
n
a
S
a
n
N
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)在数列
nb
中，
4
log
n
n
n
b
a
S
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
23．数列
na 的前n 项和
n
S ，已知
2
1
4
a
a
，
2
n
n
S
na
n
k n
N
，k 为常数.
(1)求常数k 和数列
na
的通项公式；
(2)数列
1
n
S
的前n 项和为
nT ，证明：4
1
3
3
2
1
2
nT
n
.
24．已知数列
na
满足
1
1
a ，且点
1
1
1
,
n
n
a
a
在直线
2
y
x
上
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)数列
1
{
}
n
n
a a
前n 项和为
nT ，求能使
3
12
nT
m
对
*
nN 恒成立的m （mZ ）的最小值．
4.8 数列递推与通项公式22 种归类
模块一：题型分类
题型一：归纳法求通项
1.数列
9 27
1,1,
,
,
5
7
的一个通项公式为________.
2.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第
5 项的图形和点数.
（1）
__________
1
6
11
16
(
)
（2）
__________
1
4
7
10
(
)
（3）
__________
3
8
15
24
(
)
3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式
na __________．
【提分笔记】
基本规律
先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据
na 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，
最后再证明.
一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。
4.若数列的前4 项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是
A．
1
1 [1
( 1)
]
2
n
na
B．
1 [1
cos( ·180 )]
2
na
n
C．
2
sin ( ·90 )
na
n
D．
1
1
(
1)(
2)
[1
( 1)
]
2
n
na
n
n
5.已知数列1、0 、1、0 、L，可猜想此数列的通项公式是（
）.
A．
1
*
1
1
n
na
n
N
B．
*
1 1
1
2
n
na
n
N
C．
1
*
1 1
1
1
2
2
n
na
n
n
n
N
D．
*
1 1
cos
2
na
n
n
N
题型二：等差等比定义型
1.数列
na
的各项都是正数，
1
2
a
，
2
2
1
2
n
n
a
a
，那么此数列的通项公式为
na ________．
2.在数列
na
中，
1
2
a
，
1
2
n
n
a
a
，则数列
na
的通项公式为________．
【提分笔记】
基本规律
等差数列判定：
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；
②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；
③函数结论法：即an 为一次函数或Sn 为无常数项的二次函数.
等比数列的判定方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证an＋1
an
＝q(q≠0 的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证a2n＋1＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
3.已知数列
na
是单调递增的等差数列，若它的前5 项的和为105，第2 项､第4 项､第8 项成等比数列，
则它的通项公式为（
）
A．
7
na
n
或
21
na
B．
2
7
2
n
n
a
C．
7
na
n
D．
7
1
2
n
n n
a
4.成等差数列的三个正数的和等于6 ，并且这三个数分别加上3、6 、13后成为等比数列
nb
中的
3b 、
4b 、
5b ，则数列
nb
的通项公式为
A．
1
2n
nb
B．
1
3n
nb
C．
2
2n
nb
D．
2
3n
nb
题型三：累加法基础：等差等比与裂项求和型
1.在数列{an}中,a1=3,
1
3
(
1)
n
n
a
a
n n
,则通项公式an
= ______.
【提分笔记】
基本规律
累加法：
若在已知数列中相邻两项存在：
1
( )
(
2)
n
n
a
a
f n
n
的关系，可用“累加法”求通项.
其中f（n）是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和
2.已知
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，其中
3
4
6,
10
S
S
，数列
nb
满足
1
1
b ，且
1
n
n
n
b
a
b
，则数列
nb
的通项公式为（
）
A．
2
2
2
n
B．
2
2
2
n
n
C．
2
2
n
D．
2
2
2
n
n
3.已知等比数列
na
满足
4
7
8
0
a
a
，
1
2
3
,
1,
a a
a
且成等差数列．若数列
nb
满足
1
n
n
n
b
a
b
（n∈N*），
且
1
1
b ，则数列
nb
的通项公式
nb
A．
12
n
B．2
1
n
C．2
1
n
D．
2
2
1
n
题型四：累加法拔高：换元累加型
1.在数列
na
中，
1
2
a
，
1
1
ln 1
1
n
n
a
a
n
n
n
，则
na （
）
A．
8a
B．
2
1 ln
n
n
C．1
ln
n
n
D．2
ln
n
n
n
2.已知数列
na
满足：
1
13
a
，
1
(
1)
2
1
n
n
n
a
na
n
，
*
n
N
，则下列说法正确的是（
）
A．
1
n
n
a
a
B．
1
n
n
a
a
C．数列
na
的最小项为
3a 和
4a
D．数列
na
的最大项为
3a 和
4a
【提分笔记】
基本规律
通过换元，转化为
1
( )
(
2)
n
n
a
a
f n
n
累加求通项，最后再反解回去。
3.已知数列
na
满足
1
3
2
a
，
1
1
2
n
n
n
n
n
a
a
n
.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列
na
的前n 项和为
n
S ，求满足
12
n
S
的所有正整数n 的取值集合.
题型五：累加法拔高：构造
1.已知数列{
}
na
满足
*
1
3
(
1)
1(
),
2
n
n
na
n
a
n
N
a
，则
2021
a
______.
2.已知数列
na
满足
1
1
2
a
，
1
1
(
1)
n
n
n
n
n n
a
a
a
a
，则数列
na
的通项公式
na ____．
3.已知数列
na
满足
*
1
1
1
1,
(
1)(
2)
n
n
n
n
a a
a
a
a
n
N
n
n
，则
n
na 的最小值是（
）
A．2
5
B．3
4
C．1
D．2
题型六：累乘法
1. 已知数列
n
a
（
*
n
N
）满足
1
1
a ，且
1
1
n
n
n
a
a
n
，则通项公式
na ________.
【提分笔记】
基本规律
对于递推公式为
1
n
n
a
f n
a
，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为
1
n
n
a
a
f n
，
一般利用累加法求出数列的通项公式；
2.数列
na
满足：
1
2
3
a
，
2
1
*
1
2
1
2
2
N
n
n
n
n
a
a
n
，则
na
的通项公式为_____________.
3.若数列
na
满足
1
1
1,
2n
n
n
a
a
a
则数列
na
的通项公式
na ____________.
题型七：前n 项和型
1. 已知数列
n
a
的前n项和为
2
4
3
n
S
n
n
，则
n
a
的通项公式为______
【提分笔记】
基本规律
若在已知数列中存在：
(
)
( )
n
n
n
S
f a
S
f n
或
的关系，可以利用项和公式
1
1
(
1)
(
2)
n
n
n
S
n
a
S
S
n
，求数
列的通项.
2.数列
na
的前n项和为
n
S ，若
2
1
2
n
S
n
an
，且
2
a ，
4a ，
5a 成等比数列，则该数列的通项公式为（
）
A．
7
2
n
a
n
B．
6
1
na
n
C．
2
3
na
n
D．
6
na
n
3.已知数列
na
的前n项和
2
3
n
n
S
，则数列
na
的通项公式是______.
题型八：二阶等比
1. 设数列
na
满足
1
4
a
，
1
1
2
3
n
n
a
a
，则
na
的通项公式
na ___________.
【提分笔记】
基本规律
二阶等比构造法有两种方法：
1.形如
1
q
p(
01, ,
n
n
a
a
q
p q
，
为常数）,构造等比数列
p
,
1
na
q
。特殊情况下，
当q 为2 时，=p，
2.形如
1
0
n
n
a
q p
p
q
a
，变形为
1
1
0,
1
n
n
n
n
n
a
q
pq
p
p
p
a
p
，新数列累加法即可
2.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1
(
2)
2
3
n
n
n
a
a
n
a
，则通项公式
na _______.
3.已知数列{an}中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），，则数列{an}通项公式an 为
A．3n﹣1
B．3n+1﹣8
C．3n﹣2
D．3n
题型九：二阶等差数列
1.在数列{
}
na
中，
1
1
3
a
，
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
.
（1）求
2a ，
3a ；（2）证明：数列
1
n
a
为等差数列，并求数列{
}
na
的通项公式；
2.已知数列��, ��满足�1 = 1，��+1 = 1 −
1
4��，��=
2
2��−1，其中�∈�+．
(1)求证：数列�n 是等差数列，并求出数列�n 的通项公式；
(2)略．
3.已知数列
na
有
0
na
，
n
S 是它的前n 项和，
1
3
a
且
2
2
2
1
3
,
2
n
n
n
S
n a
S
n
．（1）求证：数列
1
n
n
a
a
为等差数列.
（2）略.
题型十：sn 与an 型：消sn 型
1.记
n
S 为数列
na
的前n 项和．若
1
1
a ，
2
1
n
n
S
a
n
，则数列
na
的通项公式为______．
【提分笔记】
基本规律
n
S 与
na 的递推关系求
na ，常用思路是：利用
1,
2
n
n
n
a
S
S
n
转化为
na 的递推关系，再求其通项公
式；
1
1
,
1
,
2
n
n
n
S n
a
S
S
n
时，一定要注意分
1,
2
n
n
两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否
整合在一起.
2.已知数列
na
的前n 项和为
n
S .若
1
1
9 ,
2
2
n
n
a
a
S
，则数列
na
的通项公式为
na ___________.
3.已知数列
na
的前n项和为
n
S ，若
1
2
a
，且
1
2
1
n
n
S
S
，则数列
na
的通项公式为
na ___________.
题型十一：sn 与an 型：消an 型
【基础知识点】
n
S 与
na 的递推关系求
na ，也可以结合式子结构与数据，利用
1
1
,
1
,
2
n
n
n
S n
a
S
S
n
转化为
n
S 的递推关系，
先求出
n
S 与n 之间的关系，再求
na . 应用关系式
1.已知数列
na
的各项均为正数，其前n项和为
n
S ，若
1
1
a ，且
*
1
1
n
n
n
S
S
a
n
N
，则数列
na
的
通项公式为______．
2.已知数列
na
的前n 项和为
0
n
n
S
S
，且满足
1
4
0
2
n
n
n
a
S
S
n
，
1
1
4
a
，则
na 的通项公式为
_________．
3.已知各项为正数的数列
na
的前n项和为
n
S ，且
1
1
a ，
2
1
1
n
n
S
S
a
2,
n
n
N
，则数列
na
的
通项公式为_________.
题型十二：分式倒数递推
1. 已知在数列
na
中，
1
1
a ，
1
3
2
n
n
n
a
a
a
，则数列
na
的通项公式为
na ______.
【提分笔记】
基本规律
形如
1
1
n
n
n
pa
a
qa
p
，可以取倒数变形为
1
1
1
n
n
q
a
a
p
2.在数列
na
中，
1
1
a ，且
1
1
n
n
n
a
a
na
，则其通项公式为
na （
）
A．
2
1
1
n
n
B．
2
1
2
n
n
C．
2
2
1
n
n
D．
2
2
2
n
n
3.已知数列
na
满足
1
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
，且
1
1
a ，则数列
na
的通项公式为（
）
A．
2
1
n
n
a
n
B．
1
2n
na
-
=
C．
1
2
1
na
n
D．
2
na
n
题型十三：新数列前n 项和型
1.数列
na
满足，
1
2
3
2
3
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
n
n
a
a
a
a
n
，写出数列
na
的通项公式__________.
【提分笔记】
基本规律
形如
1
2
f(1)a
f(2)a
f(n)a
(n)
n
g
。。。
，可以设
1
2
c =f(n)a
c
n
s
f(1)a
f(2)a
f(n)a
s
s
n
n
n
n
n
n
n
，的前项和为，
。。。
，则转化为求通项型
2.数列
na
满足：
1
1
2
a
，
2
1
2
n
n
a
a
a
n
a
，则数列
na
的通项公式
na ___________.
3.已知
2
1
1
2
3
2
2
...
2
9
6
n
n
a
a
a
a
n
，则数列
na
的通项公式
na ________．
题型十四：高次幂取对数型
1.数列{
}
na
中，若
3
1
(
)
n
n
a
a
n
N
，
1
3
a
，则{
}
na
的通项公式为________.
【提分笔记】
基本规律
形如
t
1
m
n
n
a
a
，可以通过取对数构造等比数列求通项公式
2.已知数列
na
，
1
1
2
n
n
n
n
n
a
a
，
1
e
a
，则数列
na
的通项公式为
na ______.
3.设正项数列
na
满足
1
1
a ，
2
1
2
2
n
n
a
a
n
，则数列
na
的通项公式是______．
题型十五：二阶含n 等比数列型
1. 已知数列
na
满足
1
7
3
a
，
*
1
3
4
2
n
n
a
a
n
n
N
．数列
nb
满足
2
n
n
b
a
n
，则数列
nb
的通项公
式为________．
【提分笔记】
基本规律
形如
1
t
f (n)
n
n
a
a
，可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，如果配凑不容易观察，可以待
定系数来构造
2.已知数列
na
满足
1
1
2
3 5 ,
6
n
n
n
a
a
a
，则数列
na
的通项公式
na _________.
3.已知首项为2 的数列
na
的前n项和为
n
S ，若
1
3
2
1
n
n
n
S
S
a
n
，则
na
的通项公式为________．
题型十六：二阶含n 等差数列型
1.已知数列
na
中，
1
1
a ，
1
3
3n
n
n
a
a
，求数列
na
的通项公式___________
【提分笔记】
基本规律
形如
n
1
t
m
n
n
a
a
，可以同除来构造等差数列求通项。，
2.已知数列{an}中，a1＝1，
1
1
2
2n
n
n
a
a
，则数列{an}的通项公式an＝________.
3.已知数列{
}
na
的前n项和
1
1
( )
2
2
n
n
n
S
a
（
*
n
N
），则数列{
}
na
的通项公式
na __________．
题型十七：因式分解型
1.设
na
是首项为1 的正项数列且
2
2
*
1
1
(
1)
(2
1)
0(
N )
n
n
n
n
na
n
a
n
a a
n
，且
1
n
n
a
a ，求数列
na
的通
项公式_________
2.设
na
是首项为1 的正项数列，且
2
2
*
1
1
(
2)
2
0(
N )
n
n
n
n
n
a
na
a
a
n
，求通项公式
na =___________
3.设数列
na
是首项为1 的正项数列，且
2
2
1
1
1
0
n
n
n
n
n
a
na
a
a
，则它的通项公式
na ______.
题型十八：三阶递推
1.已知
n
S 是数列
na
的前n项和，
1
1
3
2
1
n
n
n
a
a
a
，1
1
a ，2
4
a
，求数列
na
的通项公式___________.
【提分笔记】
基本规律
形如
1
1
s
t
r
0
n
n
n
a
a
a
，常凑配系数构等比数列。
2.已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
2
a
，且
1
1
2
3
n
n
n
a
a
a
（
2
n
，
*
N
n
），则数列
na
的通项公式为
na ______．
3.在数列
na
中，1
1
a ，2
3
a
，且对任意的
*
N
n
，都有
2
1
3
2
n
n
n
a
a
a
，则数列
na
的通项公式为______．
题型十九：前n 项积求通项
1.已知
na 为数列
nb
的前n 项积，若
1
2
1
n
n
b
a
，则数列
na
的通项公式
na
A．3
2n
B．3
2n
C．3
4n
D．1 2n
2.设正项数列{an}的前n 项和为Sn，数列{Sn}的前n 项之积为Tn，且Sn＋Tn＝1，则数列{an}的通项公式是
__________.
3.设正数数列
na
的前n项和为
n
S ，数列
n
S
的前n项之积为
nT ，且
2
1
n
n
S
T
，则数列
na
的通项公式
是______．
题型二十：函数型递推
1.若
1
2
1
( )
(1
)
2,
(0)
( )
( )
...
(
)
(1)
n
n
f x
f
x
a
f
f
f
f
f
n
n
n
(
*
n
N
)，则数列{
}
na
的通项公式是
___________.
2.已知
1
( )
(
)
3
2
g x
f x
是R 上的奇函数，
1
(0)
( )
na
f
f n
1
(
)
(1)
n
f
f
n
,n
N ,则数列{
}
na
的通项
公式为（
）
A．
1
na
n
B．
3
1
na
n
C．
3
3
na
n
D．
2
2
3
na
n
n
3.已知
1
( )
1
2
F x
f
x
是R 上的奇函数，
*
1
2
1
(0)
(1)(
)
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
n
N
，则数列
na
的通项公式为（
）
A．
na
n
B．
2
na
n
C．
1
na
n
D．
2
2
3
na
n
n
题型二十一：周期数列
1.已知数列
na
中，
1
2
a
，
*
1
1
,
1
n
n
a
n
N
a
则
2020
S
___________.
【提分笔记】
基本规律
周期数列
1.若数列{an}满足
1
2
a
a
a
a
n
n
n
n
，则
周期T=6
2.若数列{an}满足
1
a
a
s
a
n
n
n
，则
周期T=2
3.若数列{an}满足
1
2
a
a
a
s
a
n
n
n
n
，则
周期T=3
4.若数列{an}满足
1
a
a
s
a
n
n
n
，则
周期T=2
5.若数列{an}满足
1
2
a
a
a
s
a
n
n
n
n
，则
周期T=3
6.
1
1
ma
b
a
m
d
0
a
2
ca
d
n
n
n
n
T
，
，则
的周期
2.已知数列
na
满足
1
2
a
，
1
1
1
n
n
n
a
a
a
，
*
(
)
n
N
，则
1
2
3
2009
2010
a a
a
a
a
_________．
3.数列
na
中，
1
3
a
，
1
1
n
n
n
a
a a
( n
N )，
n
A 表示数列
na
的前n 项之积，
2020
A
________.
题型二十二：奇偶讨论型
1.已知数列
na
满足
1
1
n
n
n
a
a
n
，则
na
的前40 项和为__________．
【提分笔记】
基本规律
讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列
2.已知数列
na
满足
1
2
a
，
1
1
n
n
n
a
a
，则数列
na
的通项公式为______．
3.已知数列
na
满足
1
1
2
a
，
2
1
a ，数列
na
的奇数项单调递增，偶数项单调递减，若
1
1
2
1
n
n
a
a
n
，在
数列
na
的通项公式为______．
模块二：高考真题
1.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1,
n
n
S
a
a
是公差为1
3 的等差数列．
(1)求
na
的通项公式；(2)证明：
1
2
1
1
1
2
n
a
a
a
．
2.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
9
4
a
，且
1
4
3
9
n
n
S
S
.
（1）求数列
na
的通项；
（2）设数列
nb
满足
*
3
(
4)
0(
)
n
n
b
n
a
n
N
，记
nb
的前n 项和为
nT ，若
n
n
T
b
对任意
N
n
恒成立，求实数的取值范围.
3.设数列{an}满足a1=3，
1
3
4
n
n
a
a
n
．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n 项和Sn．
4.设数列
na
满足
1
2
3
(2
1)
2
n
a
a
n
a
n
.
（1）求
na
的通项公式；（2）求数列2
1
na
n
的前n项和．
5.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，
1
4
3
4
n
n
n
a
a
b
，
1
4
3
4
n
n
n
b
b
a
.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
模块三：各地模拟
1.数列1 1
1
1
,
,
,
,...
2 6 12 20
的一个通项公式是（
）
A．
1
(
1)
na
n n
B．
1
2(2
1)
na
n
C．
1
1
1
na
n
n
D．
1
1
na
n
2.在等差数列
na
中，
1
3
a
，且
1
a ，
4a ，
10
a 成等比数列，则
na 的通项公式为（
）
A．
2
1
na
n
B．
2
na
n
C．
2
1
na
n
或
3
na
D．
2
na
n
或
3
na
3.已知数列
na
满足
1
1
1,
3
2(
2)
n
n
a
a
a
n
n
，则
na
的通项公式为（
）
A．
2
3
na
n
B．
2
3
n
a
n
n
C．
2
3
2
n
n
n
a
D．
2
3
2
n
n
n
a
4.已知数列{
}
na
满足
1
1
a
，
1
1
n
n
n
n
a
a
na a
*
(
)
n
N
，则
na __________．
5.已知数列
na
中，
1
2
a
，
1
1
n
n
n
n a
a
a
，
*
N
n
，则
na
n
的取值范围是_____________．
6.已知
1
1
a ，
1
n
n
n
a
n a
a
n
N
，则数列
n
a
的通项公式是
na （
）
A．2
1
n
B．
1
1
n
n
n
C．
2
n
D．n
7.已知函数
na
的前n 项和满足
1
2
1
n
n
S
，则数列
na
的通项公式为（
）
A．
2 n
na
B．
2
na
n
C．
3
1
2 ,
2
n
n
n
a
n
，
D．
3
1
2 ,
2
n
n
a
n n
，
8.已知首项为1 的数列
na
的前n项和为
n
S ，且
1
12
5
n
n
n
S
S
a
，则数列
na
的通项公式为
na ___________.
9.设数列
na
的前n项和为
n
S ，若
1
1
a ，
*
1
1
0
3
n
n
S
a
n
N
，则
na
的通项公式为__________．
10.各项均不为零的数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
3
0(
2)
n
n
n
a
S S
n
，
1
1
3
a
，则数列
na
的通项公式
为_________．
11.设数列
na
满足
*
1
1
4
1,
4
n
n
a
a
n
N
a
（1）求证：数列
1
2
na
是等差数列；（2）略.
12.数列
na
满足
1
1
1,
2
1
n
n
n
a
a
a
a
，则数列
na
通项公式为
na =________.
13.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
1
n
n
a
a
a
a
a
n
n
．数列
na
的通项公式是______．
14.已知数列
na
满足
1
2
a
，
2
1
n
n
a
a
，则数列
na
的通项公式为
na （
）
A．2
1
n
B．
1
2n
C．
1
22
n
D．
2
n
15.若数列
na
满足
1
1
a ，
1
1
6
2n
n
n
a
a
，则数列
na
的通项公式
na ________.
16.已知数列
na
中，
1
2
a
,
1
2
3 2n
n
n
a
a
,则数列
na
的通项公式
na ______．
17.已知正项数列
na
的前n 项和
n
S 满足
2
2
2
1
n
n
S
n
n
S
n
n
=
0 n
N
,
(1)求数列
na
的通项公式;
(2)设
nb =
1
3
,
n
n
n
T
a a
是数列
nb
的前n 项和,证明:对于任意n
N 都有
3
4
nT
.
18.已知数列
na
满足
1
2
1
2
2
n n
n
a a
a
，数列
na
的通项公式是______．
19.已知函数
2
1,
0
( )
{
(
1) 1,
0
x
x
f x
f x
x
，把函数( )
( )
g x
f x
x
的零点按照从小到大的顺序排成一个数列
na
，则该数列的通项公式为．
A．
(
1)
2
n
n n
a
*
(
)
n
N
B．
(
1)
na
n n
*
(
)
n
N
C．
1
na
n
*
(
)
n
N
D．
2
2
n
na
*
(
)
n
N
20.在数列
na
中，若
1
2
1,
2
a
a
，并有
1
1
=
n
n
n
a
a
a
对
1
n
且
*
n
N
恒成立；则
2020
2021
a
a
_______________．
21.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a
，
1
2
n
n
n
S
a
a
，则
20
S
A．200
B．210
C．400
D．410
4.9 数列求和13 种归类（高考版）
模块一：题型分类
题型一：等差等比数列求和
1.已知数列
na
是等差数列，其前n 项和为
n
S ，且
3
6
a
,
3
12
S
，设
2
n
a
nb
.
（1）求
na ；（2）求数列
nb
的前n 项和
nT .
【提分笔记】
基本规律
等差等比求和公式：
等差：前n 项和公式：Sn＝na1＋nn－1
2
d＝na1＋an
2
.
等比：前n 项和公式：Sn＝
na1，q＝1，
a11－qn
1－q
＝a1－anq
1－q
，q≠1.
2.在等差数列
na
中，
2
4
7
4,
15
a
a
a
.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设
2
2
n
a
nb
，求
1
2
3
10
b
b
b
b
的值.
3.已知等差数列
na
的公差不为零，
1
25
a
，且
1
11
13
,
,
a a
a 成等比数列．
（1）求
na
的通项公式；（2）求
1
4
7
3
2
n
a
a
a
a
．
题型二：分组求和
1.已知在等比数列
na
中，
1
1
a
，且
2a 是
1a 和
3
1
a 的等差中项.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足
*
2
n
n
b
n
a
n
N
，求
nb
的前n 项和
n
S .
【提分笔记】
基本规律
分组求和法：
1.形如an＝b
c
n
n
（等差）（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝b
c
n
n
（等差比）（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝b
c
b
c
n
n
n
n
，（，为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减
2.已知正项等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足关于x 的不等式
2
1
2
2
0
a x
S x
的解集为(1,2).
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足
2
2log
2
1
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
3.已知正项数列
na
满足：
1a
a
，
2
2
1
1
4
2
0
n
n
n
n
a
a
a
a
，n
N .
（1）判断数列
na
是否是等比数列，并说明理由；
（2）若
2
a
，设
n
n
a
b
n
，n
N ，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
题型三：倒序求和
1.已知函数
3
3
( )
log 1
x
f x
x
．
（1）证明函数
( )
f x 的图像关于点1
(
,1)
2
对称;
（2）若
1
2
1
( )
( )
...
(
)(
,
2)
n
n
S
f
f
f
n
N
n
n
n
n
，求
n
S ；
【提分笔记】
基本规律
倒序求和，多是具有中心对称的
2.设奇函数��对任意�∈�都有�(�) = �(�−1) +
1
2 .
(1)求�
1
2 和�(
�
�) + �(
�−�
�)(�= 0,1,2, …, �)的值；
(2)数列��满足：��= �0 + �
1
�+ �
2
�+ ⋯�
�−1
�
+ �1 −�
1
2 ，数列��是等差数列吗？请给予证
明；
3.已知f(x)＝
1
4
2
x
(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2 的中点P 的
横坐标是1
2 .
（1）求证：点P 的纵坐标是定值；
（2）若数列{an}的通项公式是an＝
*
N ,
1,2,3,
,
n
f
m
n
m
m
，求数列{an}的前m 项和Sm.
题型四：错位相消求和
1.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
2
4
S
S
，
2
1
2
1
a
a
.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列
nb
满足
2
1
4
n
n
n
a
b
，求数列
nb
的前n 项和
n
R .
【提分笔记】
基本规律
错位相减法：形如an＝b
c
n
n
（等差）（等比），用错位相减法求解．
2.设{
}
n
a
是公比不为1 的等比数列，
1a 为
2
a ，
3
a 的等差中项．（1）求{
}
n
a
的公比；
（2）若
1
1
a ，求数列{
}
n
na
的前n项和．
2.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
4
a
，且对任意正整数n ，点
1,
n
n
a
S
都在直线
3
2
0
x
y
上.（1）
求
na
的通项公式；
（2）若
n
n
b
na
，求
nb
的前n 项和
nT .
题型五：裂项相消常规型
1.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
15
S
，
7
35
S
.
（1）求
na
的通项公式
na ；
（2）若
1
2
1
n
n
a b
n
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【提分笔记】
基本规律
裂项相消法：常用的裂项公式有：
①
1
nn＋1＝1
n－1
n＋1
；
②
1
2n－12n＋1＝1
2
1
2n－1
－
1
2n＋1 ；
③
1
n＋n＋1
＝n＋1－n；
④
2n
2n－12n＋1－1＝
1
2n－1
－
1
2n＋1－1
；
⑤
n＋1
n2n＋22＝1
4×(n+2)2－n2
n2(n+2)2 ＝1
4×[
1
(n+2)2－1
n2]
2.设数列
na
满足：
1
1
a
，且
1
1
2
n
n
n
a
a
a
（
2
n
），
3
4
12
a
a
.
（1）求
na
的通项公式：
（2）求数列
2
1
n
n
a a
的前n 项和.
3.已知公差不为零的等差数列
na
满足：
3
8
20
a
a
，且
5a 是
2a 与
14
a 的等比中项.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列
nb
满足
1
1
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
题型六：分段求和
1.设
na
是等差数列，
nb
是等比数列.已知
1
1
a
，
1
2
b
，
2
2
2
b
a
，
3
3
2
2
b
a
.
（1）求
na
和
nb
的通项公式；
（2）数列
nc
满足
1,
2 (
)
,
2
k
n
k
n
n
c
k
N
a n
，设数列
nc
的前n 项和为
n
S ，求
2n
S
.
【提分笔记】
基本规律
分段数列求和：
1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
2.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
2
a
，
1
1
0
2
n
n
n
n
S S
S
S
n
.
（1）求证：数列
1
n
S
是等差数列；
（2）若
1
,
3
2
,
n
n
n
S
n
C
n
n
奇
偶
为
数
为
数
，设数列
n
C
的前n 项和为
nT ，求
2n
T
.
3.已知等比数列{ }
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a
，且4
n
S ，
1
3
n
S ，
2
2
n
S 成等差数列.
（1）求{ }
na
的通项公式；
（2）若数列{ }
nb
满足
1
0
b
，
1
1
n
n
b
b
，设
,
2
1,
,
2 ,
n
n
n
a n
k
k
Z
c
b n
k k
Z
，求数列{ }
nc
的前2n 项和.
题型七：正负相间求和
1.已知数列
na
的前n 项和是
n
S ，且
2
1
n
n
S
a
n
*
N
.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）令
2
log
n
n
b
a
，求数列
2
1
n
nb
前2n 项的和T .
【提分笔记】
基本规律
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后
的奇数项通项。
2.设
n
S 是数列
na
的前n 项和，已知
1
1
a
，
1
2
2
n
n
S
a
⑴求数列
na
的通项公式；
⑵设
1
2
1
log
n
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3.已知等差数列
na
满足：
2
4
a
，
5
3
2
2
0
a
a
.
（1）求
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足：
*
1
n
n
n
b
a
n n
N
，求
nb
的前n 项和
n
S .
题型八:
�(��+�−��)
��+�⋅��
型裂项相消
1.数列
na
满足
1
1
a
，2
3
a
且
*
2
1
2
1
1
2
N
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a
a
a
a
.（1）设
1
n
n
n
n
a
b
a
a
，证明：数列
nb
是等差数列；（2）设
2
1
1
n
n
n
n
a
c
a a
，求数列
nc
的前n 项和为
n
S .
【提分笔记】
基本规律
1.形如a-b
ab ，可列为
a-b
1
1
ab
b
a
型。其中，分子a-b 是隐藏比较深的分母相减结果，需要注意构造出
这种形式。
2.如果分子次幂比较高，可以先分离常数，再构造分母之差的形式。
2.正项数列
na
的前n 项和Sn 满足：
2
2
2
(
1)
(
)
0
n
n
S
n
n
S
n
n
(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)令
2
2
1
(
2)
n
n
n
b
n
a
，数列{bn}的前n 项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜5
64
.
3.等差数列
na
满足
1
3
a
，
2
1
a ，
5
1
a
，
9
5
a
成等比数列，数列
nb
满足
1
1
b
，
1
n
n
n
b
b
a
.
（Ⅰ）求数列
na
，
nb
的通项公式；（Ⅱ）数列
1
n
n
n
a
b b
的前n 项和为
nT ，证明
1
nT .
题型九:
���
(��−�)(��+�−�)⋅型裂项相消
1.已知数列
na
满足
1
1
a
，
1
4
2
n
n
n
a
a
.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）令
1
2
1
1
n
n
n
n
b
a
a
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，若对于任意的n
N ，均有
n
m
T
恒成立，
求实数m 的取值范围.
【提分笔记】
基本规律
形如
+1
f (n)
t
t
n
n
a
a
指数型，其中f（n）可构造为
+1
f(n)
[
t
t ]
n
n
a
a
，化为
a-b
1
1
ab
b
a
。
注意构造过程中指数幂的运算。
2.在数列
na
中，
1
1
a
，
2
3
a
，且对任意的nN
*，都有
2
1
3
2
n
n
n
a
a
a
.
（Ⅰ）证明数列
1
n+
n
a
a
是等比数列，并求数列
na
的通项公式；
（Ⅱ）设
1
2n
n
n
n
b
a a
，记数列
nb
的前n 项和为
n
S ，若对任意的nN
*都有
1
n
n
S
m
a
，求实数m 的取
值范围.
3.在数列
na
中，
1
1
a
，
2
2
a
，
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
.
（1）求
na
的通项公式；
（2）
2
1
5
2
3
n
n
a
b
，
n
S 是数列
n
n
b
b
的前n 项和，
n
n
n
b
T
S
，求证：
1
2
3
2
n
T
T
T
．
题型十:( −1)�−1 �(��+�+��)
��+�⋅��型裂项相消
1．已知
n
S 是公差不为零的等差数列
na
的前n 项和，
3
3
6,
S
a
是
1a 与
9a 的等比中项.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列
*
2
4
( 1)
4
1
n
n
n
a
b
n
N
n
，数列
nb
的前2n项和为
2n
P ，若
2
1
1
2020
n
P
，求正整数n 的最小
值.
【提分笔记】
基本规律
形如
1
1
f (n)
1
a
a
n
n
n
g
型，可构造
1
f(n)
a
a
n
n
（
），化为
a
b
1
1
ab
b
a
利用正负相间裂项相消求和。
2.已知数列{an}的中a1=1，a2=2，且满足
1
1
1
1
1
n
i
i
i
n
n
a
a
a
.（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn
2
1
1
( 1)n
n
n
n
a
a a
，记数列{bn}的前n 项和为Tn，若|Tn+1|
1
2020
，求n 的最小值.
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
*
1
1
2
8,
,
8
n
n
S
a
n
n
N
a
，设
2
n
n
b
a
.（1）证明：
nb
是
等比数列；（2）设
1
( 1)
2
1
2
1
n
n
n
n
n
a
c
，求
nc
的前n 项和
nT ，若对于任意
*,
n
n
N
T
.
恒成
立，求取值范围.
题型十一:( −1)�−1 �(��+�−��)
��+�⋅��型裂项相消
1.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
na 是4 与
n
S 的等比中项.（1）求
na
的通项公式；
（2）求数列
1
1
1
n
n
n
n
a
a
的前2n项和
2n
T
.
【提分笔记】
基本规律
形如
1
1
f (n)
1
a
a
n
n
n
g
型，可构造
1
f(n)
a
a
n
n
（
），化为a
b
1
1
ab
b
a
利用正负相间裂项相消求和。
注意构造过程中指数幂的运算。
题型十一：“分子分母有理化”型裂项
1.数列
na
满足
1
1
a
，
2
1
2
n
n
a
a
.（1）求证:数列
na
是等比数列，并求出
na
的通项公式；
（2）若
2
7
2
6
2
log
log
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的前2019 项和.
【提分笔记】
基本规律
一般情况下，无理型
1
n
k
n
k
n
n
k
2.设{an}是各项都为整数的等差数列，其前n 项和为
n
S ，
nb
是等比数列，且
1
1
1
a
b
，
3
2
7
a
b
，
5 2
50
S b
，
*
n
N
.（1）求数列
na
，
nb
的通项公式；
（2）设cn＝log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn，
1
2
3
n
n
n
n
c
n
n
c
c
c
T
a
a
a
a
.
（i）求Tn；（ii）求证：
2
1
n
i
iT
i
＜2.
3.已知数列
na
的前项和满足
2
n
n
S
na
n n
N
，且
2
3
a
.
（1）求证：数列
1
2
1
na
n
n
是常数数列；
（2）设
1
1
1
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
，
nT 为数列
nb
的前n 项和，求使
9
20
nT
成立的最小正整数n 的值.
题型十二：
��+�
(��+�)[�(�+1)+�] ⋅
1
��型裂项相消
1.已知正项数列
na
满足：
1
1
a
，
2
1
1
n
n
n
a
S
S
，其中
n
S 是数列
na
的前n 项和．
（1）求数列
na
的通项公式；（2）设
1
2
1
2
1 3 n
n
n
a
n
n
a
b
a
a
，证明：
1
2
1
4
n
b
b
b
．
【提分笔记】
基本规律
形如
1
(
)[ (
c
1)
]
n
n
kn
b k n
b
a
型“等差指数幂”裂项型，分子n
c
可构造为
n 1
n
[ (
1)
]a
(
)a
k n
b
kn
b
，化为
a
b
1
1
ab
b
a
裂项求解。
2.设
na
是等差数列，
nb
是等比数列，公比大于0，已知
1
1
b
，2
3
2
1
b
b
，
2
6
4
1
a
a
b
，4
2
5
3
a b
a
a
（1）求数列
na
，
nb
的通项公式；（2）设
1
1
(
2)
nc
n n
，
*
1
2
3
(
)
n
n
S
c
c
c
c
n
N
（i）求
n
S （ii）求
*
1
1
(
)
n
k
k
k
k
b
b
n
N
kS
．
3.已知
na
为单调递增数列，
n
S 为其前n 项和，
2
2
n
n
S
a
n
(Ⅰ)求
na
的通项公式；
(Ⅱ)若
2
1
1
,
2
n
n
n
n
n
n
a
b
T
a
a
为数列
nb
的前n 项和，证明：
1
2
nT
.
模块二：高考真题
1.等差数列
na
的首项为1，公差不为0 ．若
2a 、
3a 、
6a 成等比数列，则
na
的前6项的和为（
）
A．24
B．3
C．3
D．8
2.记
n
S 为数列
na
的前n 项和．已知2
2
1
n
n
S
n
a
n
．
(1)证明：
na
是等差数列；
(2)若
4
7
9
,
,
a a a 成等比数列，求
n
S 的最小值．
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
9
4
a
，且
1
4
3
9
n
n
S
S
.
（1）求数列
na
的通项；
（2）设数列
nb
满足
*
3
(
4)
0(
)
n
n
b
n
a
n
N
，记
nb
的前n 项和为
nT ，若
n
n
T
b
对任意
N
n
恒成立，
求实数的取值范围.
4.设
na
是首项为1 的等比数列，数列
nb
满足
3
n
n
na
b
．已知
1a ，
2
3a ，
3
9a 成等差数列．（1）求
na
和
nb
的通项公式；
（2）记
n
S 和
nT 分别为
na
和
nb
的前n 项和．证明：
2
n
n
S
T
．
5.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
为奇数
为偶数
（1）记
2
n
n
b
a
，写出
1b ，
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
（2）求
na
的前20 项和.
6.等比数列
na
的各项均为正数，且
2
1
2
3
2
6
2
3
1,
9
a
a
a
a a
.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列
1
nb
的前n项和
nT .
7.已知数列{
}
na
满足
2
1
2
(
1)
*,
1,
2
n
n
a
qa q
q
n
N
a
a
为实数，且
，
，且
2
3
3
4
4
5
,
,
a
a a
a a
a
+
+
+
成等差数列.
（Ⅰ）求q的值和{
}
na
的通项公式；
（Ⅱ）设
*
2
2
2
1
log
,
n
n
n
a
b
n
a
N ，求数列
nb
的前n项和.
8.已知数列{an}的前n 项和
2
1
(
)
2
n
S
n
kn k
N
,且Sn 的最大值为8.
（1）确定常数k，求an；
（2）求数列9
2
2
n
n
a
的前n 项和Tn．
9.已知公比大于1的等比数列{
}
na
满足
2
4
3
20,
8
a
a
a
．
（1）求{
}
na
的通项公式；
（2）求
1
1
2
2
3
1
( 1)n
n
n
a a
a a
a a
.
10.设{
}
na
是公比不为1 的等比数列，
1a 为
2a ，
3a 的等差中项．
（1）求{
}
na
的公比；
（2）若
1
1
a ，求数列{
}
n
na
的前n项和．
模块三：各地模拟
1.已知数列
na
是等差数列，其前n 项和为
n
S ，且
3
6
a
,
3
12
S
，设
2
n
a
nb
.
（1）求
na ；
（2）求数列
nb
的前n 项和
nT .
2.已知等差数列{ }
na
中，
2
5
a
，
5
14
a
，数列{ }
nb
的前n 项和
2
1
n
n
S
b
.
（1）求
na ，
nb ；
（2）若
n
n
n
c
a
b
，求{ }
nc
的前n 项和
nT .
3.设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
是函数
2
1
log
2
1
x
f x
x
的图象上任意两点，且
1 (
)
2
OM
OA
OB
，已
知点M 的横坐标为1
2
．（1）求证：M 点的纵坐标为定值；
（2）若
*
1
2
1
...
,
,
2
n
n
S
f
f
f
n
N
n
n
n
n
且
求
n
S ；
4.已知数列
na
中，
1
1
a
，
0
na
，前n 项和为
n
S ，若
1
n
n
n
a
S
S
（
*
n
N
，且
2
n
）.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）记
1
3
2
n
n
n
a
c
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
5.在等差数列
na
中，
1
8
a ，
2
4
3
a
a
．
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设
*
4
12
n
n
b
n
N
n
a
，
nT 为数列
nb
的前n 项和，若
9
5
n
T
，求n 的值．
6.已知
na
为等差数列，
nb
为等比数列，
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
3
a
，
1
1
b
，
2
2
10
b
S
，
5
2
3
2
a
b
a
.
（1）求数列
na
和
nb
的通项公式；
（2）令
2 ,
,
n
n
n
n
S
c
b
n
为奇数
为偶数
，数列
nc
的前n 项和
nT ，求
2n
T
.
7.已知数列
na
为等比数列，
2
4
a
，
3
2
a
是
2a 和
4a 的等差中项.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设
2
2log
( 1)n
n
n
b
a
n
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
8.已知数列
na
满足
1
4
a
，且当
2
n
时，
1
1
2
2
n
n
n
a
n a
n
.（1）求证：数列
n
a
n
是等差
数列；
（2）记
2
2
1
n
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
9.已知数列{��}的前�项和为��，且��=
��+�
2 .（1）若数列{��+ �}是等比数列，求�的取值；
（2）求数列{��}的通项公式；（3）记��=
1
��+1 +
1
����+1，求数列{��}的前�项和��.
10.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
1
2
2
n
n
n
S
a
a
．（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足
2
1
1
2
n
n
n
n
b
S
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
11.在①
2a ，
3a ，
4
4
a
成等差数列；②
1S ，
2
2
S
，
3S 成等差数列；③
1
2
n
n
a
S
中任选一个，补充
在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列
na
中，前n 项和为
n
S ，已知
1
2
a
，且______.
（1）求数列
na
通项公式；（2）数列
nb
的通项公式
1
2
1
1
n
n
n
n
b
a
a
，
*
n
N
，求数列
nb
的
前n 项和
nT .
12.数列{ }
na
是等比数列，公比大于0，前n 项和
*
(
)
n
S
n
N
，{ }
nb
是等差数列，已知
1
1
2
a
，
3
2
1
1
4
a
a
，
3
4
6
1
a
b
b
，
4
5
7
1
2
a
b
b
．（Ⅰ）求数列{ }
na
，{ }
nb
的通项公式
na ，
nb ；（Ⅱ）设{
}
n
S
的前n 项和为
*
(
) :
nT n
N
（ⅰ）求
nT ；（ⅱ）若
1
1
3
1
2
(
)
n
n
n
n
n
n
T
b
b
c
b
b
，记
1
n
n
n
n
R
C
，求
n
R 的取值范围．
