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学科网（北京）股份有限公
第13 讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类
一．选择题（共15 小题）
1．已知椭圆
的左、右顶点分别为
和
，
是椭圆上不同于
，
的一点．设直线
，
的斜率分别为
，
，则当
取
最小值时，椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
2．已知椭圆
的左、右顶点分别为
和
，
是椭圆上不同于
，
的
一
点
．
设
直
线
，
的
斜
率
分
别
为
，
，
则
当
取最小值时，椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆
的左，右顶点分别为
，
，点
是椭圆
上与
，
不重合的动点，若直线
，
斜率之积为
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
4．设
，
为椭圆
的左、右顶点，
为椭圆上异于
，
的点，直
线
，
的斜率分别为
，
，若
，则该椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线
，
，
是双曲线上关于原点对称的两点，
是双
曲线上的动点，直线
，
的斜率分别为
，
，若
的最小值为
2，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
6．双曲线
，
为双曲线上关于原点对称的两点，
为双曲线上
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的点，且直线
，
斜率分别为
，
，若
，则双曲线离心率为
A．
B．2
C．
D．
7．双曲线
，
、
为双曲线上关于原点对称的两点，
为双曲线
上的点，且直线
、
斜率分别为
、
，若
，则双曲线离心率为
A．
B．
C．2
D．
8．设直线与双曲线
交于
，
两点，若
是线段
的中点，
直线与直线
是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线
的离心率为
A．2
B．3
C．
D．
9．过双曲线
的右焦点
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
，
两点，若
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．2
D．
10．已知双曲线
的右焦点为
，若存在过点
的直线与双
曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点
，且
，
则双曲线
的离心率的取值范围是
A．
，
B．
C．
，
D．
11．已知斜率为
的直线分别交双曲线
的左、右支于点
，
，
线段
的中点为
，若
（点
为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．2
D．
12．已知椭圆
上关于原点对称的两点为
，
，点
为椭圆
上
异于
，
的一点，直线
和直线
的斜率之积为
，则椭圆
的离心率为
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A．
B．
C．
D．
13．如图，已知
，
，
是双曲线
上关于原点对称的两点，
点
为双曲线
上异于
，
且不与
，
关于坐标轴对称的任意一点，若直线
，
的斜率之积为
，且双曲线
的焦点到渐近线的距离为
，则双曲线
的离
心率为
A．2
B．
C．
D．
14．已知
，
分别为椭圆
的左、右顶点，
，
是椭圆上的不同两
点且关于
轴对称，设直线
，
的斜率分别为
，
，若
，则该椭圆的离心率
为
A．
B．
C．
D．
15．已知
、
分别是椭圆
的左、右顶点，
、
是椭圆
上两
点关于
轴对称，若
、
的斜率之积为
，则椭圆
的离心率是
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共10 小题）
16．椭圆
的右焦点
，其右准线与
轴的交点为
，在椭圆上存在点
满足线段
的垂直平分线过点
，则椭圆离心率的取值范围是 ．
17．已知
是椭圆
的一个焦点，
是短轴的一个端点，线段
的延长线交
于点
，
且
，则
的离心率为 ．
18．如图，已知
是椭圆
的一个焦点，
是短轴的一个端点，线段
的延长线交椭圆
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于点
，且
，则椭圆
的离心率为
．
19．已知
是椭圆
的一个焦点，
是短轴的一个端点，线段
的延长线交椭圆
于点
，且
，则椭圆
的离心率为 ．
20．设椭圆
的左、右顶点分别为
，
，点
在椭圆上且异于
，
两点，
为坐标原点．若直线
与
的斜率之积为
，则椭圆的离心率为 ．
21．已知双曲线
，
，
是双曲线上关于原点对称的两点，
是
双曲线上的动点，直线
，
的斜率分别为
，
，若
的最小
值为1，则双曲线的离心率为
．
22．在平面直角坐标系
中，已知点
是双曲线
上的异于顶点的
任意一点，过点
作双曲线的切线，若
，则双曲线离心率等于 ．
23．过双曲线
右顶点且斜率为2 的直线，与该双曲线的右支交于两
点，则此双曲线离心率的取值范围为 ．
24．经过双曲线
的右焦点，倾斜角为
的直线与双曲线有且只有
一个交点，则此双曲线的离心率为
．
25．已知双曲线
，若存在过右焦点
的直线与双曲线
相交于
、
两点，
且
，则双曲线
的离心率的最小值为
．
