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第10 讲 几何法秒解离心率问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共19 小题）
1．过双曲线
的右焦点
，作圆
的切线，切点为
，延长
交双
曲线左支于点
，且
是
的中点，则双曲线离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，记右焦点为
，则
为
的中点，
为
的中点，
为△
的中位线，
，
为切点，
，
，
点
在双曲线上，
，
，
在
中，有：
，
，即
，
离心率
，
故选：
．
2．设
，
分别是双曲线
的左、右焦点．圆
与双曲线
的右支
交于点
，且
，则双曲线离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：可设
为第一象限的点，且
，
，
由题意可得
，①
由双曲线的定义可得
，②
由勾股定理可得
，③
联立①②③消去
，
，可得：
，即
，
则
，
故选：
．
3．如图，已知椭圆
，过原点的直线与椭圆交于
、
两点，点
为椭圆的右焦点，
且满足
，设
，且
，
，则椭圆离心率的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：设椭圆的左焦点为
，连接
，
，则四边形
为矩形．
因此
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
．
4．已知
，
是椭圆
的左、右焦点，过左焦点
的直线与椭圆
交于
，
两点，且
，
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，则
，
，
而由椭圆的定义可知
，
所以
，所以
，则
，
在
中，
，
所以在△
中，
，
即
，
整理可得：
，所以
，
故选：
．
5 ．设椭圆
的两个焦点是
，
，过点
的直线与椭圆
交于点
，
，若
，且
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，因为
，且
，所以
，可得
，
，故
．
过
作
，在直角三角形
中，
，
，
由
，可得
．
即可得
，
．
故选：
．
6．如图，
、
是椭圆
与双曲线
的公共焦点，
、
分别是
、
在第二、四象限的公共点，若
，且
，则
与
的离心率之和为
A．
B．4
C．
D．
【解答】解：
、
是椭圆
与双曲线
的公共焦点，
、
分别是
、
在第二、四象限的公共点，
若
，且
，可得：
，
，
，
，
代入椭圆方程可得：
，可得
，
可得
，解得
．
代入双曲线方程可得：
，
可得：
，
可得：
，解得
，
则
与
的离心率之和为：
．
故选：
．
7．设
是双曲线
的右焦点，
为坐标原点，过
的直线交双曲线的右支于点
，
，直线
交双曲线
于另一点
，若
，且
，则双曲线
的离心率为
A．3
B．2
C．
D．
【解答】解：设双曲线的左焦点为
，由双曲线的对称性可知四边形
为平行四边形．
，
．
设
，则
，
，即
，
．
，
，
又
，
在△
中，由余弦定理可得：
，
即
，
，
双曲线的离心率
．
故选：
．
8 ．设椭圆
的左、右两个焦点分别为
、
，右顶点为
，
为椭圆上一点，且
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设椭圆
的左、右两个焦点分别为
、
，右顶点为
，
为椭圆上一点，且
，
，
可知：
，
，设
，可得
，
，
，解得
，
可得
．
故选：
．
9．已知双曲线
过
的右焦点
作垂直于渐近线的直线交两渐近线于
、
两
点，
、
两点分别在一、四象限，若
，则双曲线
的离心率为
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点
，渐近线方程为
，
即
，
如下图所示：
由点到直线距离公式可知：
，
又
，
，
，
，
设
，
由双曲线对称性可知
，
而
，
，
由正切二倍角公式可知：
，
即
，
化简可得：
，即
，
由双曲线离心率公式可知：
．
故选：
．
10．设直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，
，若点
满足
，则该双曲线的离心率是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为
，
分别与
联立，解得
，
，
，
，
中点坐标为
，
，
点
满足
，
，
，
，
．
故选：
．
11．设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过点
作
轴的垂线与双曲线
在第一象限的交点为
．已知
，
，点
是双曲线
右支上的动点，且
恒成立，则双曲线离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：令
代入双曲线的方程可得
，
由
，可得
，
即为
，
即有
①，
因为
恒成立，
由双曲线的定义，可得
恒成立，
由
，
，
共线时，
取得最小值
，
可得
，
即有
②，
由
，结合①②可得，
的范围是
．
故选：
．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
．若椭圆
上存在一点
，
使得
，则椭圆
的离心率的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在△
中，由正弦定理知
，
，
，即
，①
又
在椭圆上，
，②
联立①②得
，
即
，
同除以
得，
，得
．
椭圆
的离心率的取值范围为
．
故选：
．
13．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线
支上，
满足
，
，又直线
与双曲线
的左、右两支各交于一
点，则双曲线
的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：以
，
为边，作平行四边形
，
如图所示：
则
，
，
又
，所以
，
因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以
，
根据双曲线的性质，可知
，
因为
，所以
，
即
，
，
在
△
中，有
，
又
，所以
，
所以
，
因为
，
，即
，
所以
，解得
，
又因为双曲线的离心率
，所以
，
由题意知，双曲线的渐近线方程为
，
又直线
与双曲线
的左右两支各交于一点，
所以直线的斜率大于双曲线的渐近线
的斜率，
所以
，即
，
所以
，解得
（或
舍去），
综上所述，
．
故选：
．
14．已知
为坐标原点，
是椭圆
的左焦点，
，
分别为
的左，右顶点．
为
上一点，且
轴．过点
的直线与线段
交于点
，与
轴交于点
．若直线
经过
的三等分点
（靠近
点），则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，由
，
，
，
所以
，得
．
所以
．
故选：
．
15．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
，
是
右支上一点，
与
轴交于点
，
的内切圆在边
上的切点为
，若
，则
的离心率是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
的内切圆在边
上的切点为
，在
上的切点为
，
则
，
，
，
由双曲线的对称性可得
，
由双曲线的定义可得
，解得
，
又
，即有
，
离心率
．
故选：
．
16．已知双曲线
的左顶点为
，过双曲线的右焦点
作
轴的垂线交
于点
，
点
位于第一象限，若△
为等腰直角三角形，则双曲线
的离心率为
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：把
代入双曲线
，解得
，
，
△
为等腰直角三角形，
，
，
，即
，
，即
，
解得
或
（舍．
故选：
．
17．已知双曲线
的右顶点为
，以
为圆心，
为半径作圆
，圆
与双曲线
的一条渐近线交于
，
两点，若
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：
，即
，
由题意可得
，所以
到渐近线的距离
，
圆
的半径为
，因为
，
所以可得
，
所以
，
所以可得离心率
，
故选：
．
18．已知双曲线
的右顶点为
，以
为圆心，
为半径作圆
，圆
与双曲线
的一条渐近线交于
，
两点．若
，则双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：双曲线
的右顶点为
，
以
为圆心，
为半径做圆
，圆
与双曲线
的一条渐近线交于
、
两点．
若
，可得
到渐近线
的距离为：
，
可得：
，即
，可得离心率为：
．
故选：
．
19．过椭圆
的左顶点
作圆
是椭圆的焦距）两条切线，切点分别
为
，
，若
，则该椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：左顶点
，因为
，由椭圆的对称性可得
，
所以
，即
，
所以离心率
，
故选：
．
二．填空题（共11 小题）
20．已知
是双曲线
的一个焦点，
是
上的点，线段
交以
的实轴为直径的圆于
，
两点，且
，
是线段
的三等分点，则
的离心率为
．
【解答】解：如图：
，
，
，
是
的中点，也是
的中点，
设
，
，
，
，
可得：
，
，
消去
可得：
，
即
，即
，
，
，解得
，所以
．
故答案为：
．
21 ．设椭圆
的两个焦点是
、
，过
的直线与椭圆
交于
、
，若
，且
，则椭圆的离心率为
．
【解答】解：设椭圆的标准方程为：
，
由
，设
，
，
，过
做
，
则
，由椭圆的定义可得：
，
，
，即
，①，
，
由
，即
，
整理得：
解得
，即
，则
故答案为：
．
22．如图，
，
是椭圆
与双曲线
的公共焦点，
，
分别是
，
在第二、四象限
的公共点．若四边形
为矩形，则
的离心率是
．
【解答】解：设
，
，
点
为椭圆
，
，
，
；
，即
；①
又四边形
为矩形，
，②
由①②解得
，
，
设双曲线
的实轴长为
，焦距为
，
则
，
，
的离心率是
．
故答案为：
．
23．已知双曲线
，若矩形
的四个顶点在
上，
，
的中点为
的两
个焦点，且
，则
的离心率是
2
．
【解答】解：令
，代入双曲线的方程可得
，
由题意可设
，
，
，
，
由
，可得
，即为
，
由
，
，可得
，
解得
（负的舍去）．
故答案为：2．
24．已知直线
与双曲线
相交于不同的两点
，
，
为双曲线
的左焦点，
且满足
，
为坐标原点），则双曲线
的离心率为
．
【解答】解：设
，则
，
取双曲线的右焦点
，连接
，
，
可得四边形
为平行四边形，
可得
，设
在第一象限，可得
，即
，
由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，
可得
，
化为
，则
．
故答案为：
．
25．双曲线
的左、右焦点分别是
、
，直线
与曲线
交于
，
两点，
，且
，则双曲线
的离心率是
．
【解答】解：设
，因为
，则
，
，所以
，
，
，
在三角形
中，由余弦定理可得：
，
整理可得：
，
所以离心率
，
故答案为：
．
26．已知双曲线
的右焦点为
，
，
是双曲线的一条渐近线上关于原点对称
的两点，
且线段
的中点
落在另一条渐近线上，则双曲线
的离心率为
2
．
【解答】解：如图，由题知
，
则
，点
是线段
的中点，则
，
故
，
则
，所以
．
故答案为：2．
27．设双曲线
的中心为点
，若有且只有一对相交于点
、所成的角为
的直线
和
，使
，其中
、
和
、
分别是这对直线与双曲线
的交点，则该双曲线的离心率的取值
范围是
．
【解答】解：不妨设双曲线的方程是
，
由
及双曲线的对称性知
，
，
，
关于
轴对称，如图，
又
满足条件的直线只有一对，
当直线与
轴夹角为
时，双曲线的渐近线与
轴夹角大于
，
双曲线与直线才能有交点
，
，
，
，
若双曲线的渐近线与
轴夹角等于
，则无交点，
且不可能存在
，
当直线与
轴夹角为
时，双曲线渐近线与
轴夹角小于
，
双曲线与直线有一对交点
，
，
，
，
若双曲线的渐近线与
轴夹角等于
，也满足题中有一对直线，
但是如果大于
，则有两对直线．不符合题意，
，则
，
，
，
解得
．
故答案为
．
28．已知点
是椭圆
的右焦点，点
是短轴的一个端点，线段
的延长线交椭
圆
于点
，且
，则椭圆
的离心率为
．
【解答】解：如图，
，
作
轴于点
，则由
，
得：
，
所以，
，
即
，
由椭圆的第二定义得
，
又由
，得
，
，解得
，
故答案为：
．
29．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
，
是
右支上的一点，
与
轴交于点
，
的内切圆在边
上的切点为
．若
，则
的离心率是
．
【解答】解：设
的内切圆在边
上的切点为
，在
上的切点为
，
则
，
，
，
由双曲线的对称性可得
，
由双曲线的定义可得
，解得
，
又
，即有
，
离心率
．
故答案为：
．
30．已知双曲线
的右顶点为
，且以
为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲
线的一条渐近线相交于
，
两点，若
则双曲线
的离心率的取值范围是
，
．
【解答】解：由题意可得
，渐近线的方程为：
，由双曲线及渐近线的对称性圆交
于
，
，
过
作
于
，由题意可得
，
因为
则
，
，所以
，
则
，
而由点到直线的距离公式可得
，
所以
，即
，
即
，
，
故答案为：
，
