文档内容
专题 16 妙解离心率问题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................12
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题..........................................................................12
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率...............................................................................................................16
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题...................................................................................................................19
考点四：椭圆与双曲线的4a通径体.....................................................................................................................21
考点五：椭圆与双曲线的4a直角体.....................................................................................................................24
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题............................................................................................................26
考点七：双曲线的4a底边等腰三角形..................................................................................................................28
考点八：焦点到渐近线距离为b............................................................................................................................32
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形....................................................................................................36
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题................................................................................................38
考点十一：渐近线平行线与面积问题...................................................................................................................41
考点十二：数形结合转化长度角度.......................................................................................................................45
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
考点要求 考题统计 考情分析
离心率 2023年新高考I卷第5、16题，10分 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几
2023年甲卷第9题，5分 何性质的考查为主，一般不
2022年甲卷第10题，5分 会出太难，二轮复习我们需
2022年浙江卷第16题，4分 要掌握一些基本的性质和常
规的处理方法，挖掘椭圆双
2021年甲卷第5题，5分
曲线的几何性质下手．
2021年天津卷第8题，5分
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆
上的任意一点， ； 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线
上的任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，
若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆 ， 的离心率分别为 ， ．若 ，
则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由椭圆 可得 ， ， ，
椭圆 的离心率为 ，
， ， ，
，
或 （舍去）．
故选： ．
2．（2023•甲卷）已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】双曲线 的离心率为 ，
可得 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，
一条渐近线与圆 交于 ， 两点，圆的圆心 ，半径为1，
圆的圆心到直线 的距离为： ，所以 ．
故选： ．
3．（2022•甲卷）椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．若
直线 ， 的斜率之积为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】已知 ，设 ， ，则 ， ，
，
，
故 ①，
，即 ②，
②代入①整理得： ，
．
故选： ．
4．（2021•甲卷）已知 ， 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，
则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设 ， ，
则根据题意及余弦定理可得：
，解得 ，所求离心率为 ．
故选： ．
5．（2021•天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物
线的准线交双曲线于 ， 两点，交双曲线的渐近线于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心
率为
A． B． C．2 D．3
【答案】
【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为 ，
由题意可得： ，渐近线的方程为： ，
可得 ， ，
， ，
所以 ， ，
由 ，
解得： ，即 ，
所以双曲线的离心率 ．
故选： ．
6．（2022•甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点， 为
的上顶点．若 ，则 的方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为 ，则 ，
由平面向量数量积的运算法则可得：
， ，
则椭圆方程为 ．
故选： ．
7．（2022•全国）若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则 的离心率
为
A．5 B． C． D．
【答案】
【解析】由双曲线 的方程可得渐近线方程为 ，
由题意可得 ，
所以双曲线的离心率 ，
故选： ．
8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线 的两个焦点为 ， ，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 作
的切线与 交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为 ，设过 的切线与圆 相切于点 ，
则 ， ，又 ，
所以 ，
过点 作 于点 ，
所以 ，又 为 的中点，
所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
由双曲线的定义可知 ，
所以 ，可得 ，即 ，
所以 的离心率 ．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为 ，连接 ，则 ， ，过 作 于 ，则 ，因为 ，所以 ， ，
，即 ，
所以 ， 正确．
故选： ．
9．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．点 在 上，
点 在 轴上， ， ，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】（法一）如图，设 ， ， ，
设 ，则 ，
又 ，则 ，可得 ，
又 ，且 ，
则 ，化简得 ．
又点 在 上，
则 ，整理可得 ，
代 ，可得 ，即 ，解得 或 （舍去），
故 ．
（法二）由 ，得 ，
设 ，由对称性可得 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
在△ 中，由余弦定理可得 ，
即 ，则 ．
故答案为： ．
10．（2022•浙江）已知双曲线 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线交双曲线于
点 ， ，交双曲线的渐近线于点 ， 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
．
【答案】 ．
【解析】（法一）如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
由于 ， 且 ，则点 在渐近线 上，不妨设 ，设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 ，即 ，则 ，
，
又 ，则 ，
又 ，则 ，则 ，
点 的坐标为 ，
，即 ，
．
（法二）由 ，解得 ，
又 ，
所以点 的纵坐标为 ，
代入方程 中，解得 ，
所以 ，代入双曲线方程中，可得 ，
所以 ．
故答案为： ．考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
1 1
e= =
sinα+cosα π
√2sin(α+ )
椭圆： 4 ，根据α范围求解值域．
1 1
e= =
cosα−sinα π
√2cos(α+ )
双曲线： 4 ，根据α范围求解值域．
【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆 上一点 ，它关
于原点的对称点为 ，点 为椭圆右焦点，且满足 ，设 ，且 ，则该椭圆的
离心率 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为 ，连接 ，
则四边形 为矩形，
则 ，
所以 ，
在 中，由 ，
得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆 （a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为
B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设 ，且 ，则该椭圆的离心率e的取值范围为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设椭圆的左焦点为 ，连接 ， ．
则四边形 为矩形．
因此 ． ．所以 ， ．
．
，
，
，
，
其中 ，
．
．故选：A．
【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆 上有一点 ，它
关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，则该椭
圆的离心率 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点为 ，连接 ， ，可知四边形 为矩形，从而可知 ，
且 ，由 ，可得 ， ，结合 ，可得
，根据 ，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ， ，则
四边形 为矩形，
所以 ， ，
由 ，可得 ， ，
，即 ，
∵ ， ，
， ，
.
故选：A.【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线 右支上非顶点的一点 关
于原点 的对称点为 ， 为其右焦点，若 ，设 且 ，则双曲线 离心率
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示，设双曲线的左焦点为 ，连接 ，
因为 ，所以四边形 为矩形，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
故选：C
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
x2 y2
+ =1(a>b>0)
是椭圆a2 b2
的焦点，点 在椭圆上，
∠F
1
PF
2
=θ
，则
cosθ≥1−2e2
（当且仅当
动点为短轴端点时取等号）．
【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上的一个动点，若使得满足 是直角三角形的动点 恰好有6个，则该椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
故选：C．
【变式2-1】（2024·江西抚州·高三统考期末）设 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 ,使
,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】F（-c，0），F（c，0），c＞0，设P ，则|PF |=a+ex ，|PF |=a-ex．
1 2 1 1 2 1
在△ 中，由余弦定理得 ，
解得 ．∵ ，∴0≤ ＜a2，即 ．且
∴ ．故椭圆离心率的取范围是 e∈
【变式2-2】（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，
若椭圆C上存在点 ，使得 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若椭圆C上存在点 ，使得 ，即以 为直径的圆与椭圆 有交
点，设 ， ，解得 ，即 ， ，又 ，故 .
故选：B.
【变式2-3】（2024·高三课时练习）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，若椭圆上存
在点 使得 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当动点 从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， 对两个焦点的张角 渐渐增大，当且仅当
点位于短轴端点 处时，张角 达到最大值．
∵椭圆上存在点 使得 是钝角，∴ 中， ，
∴ 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．椭圆离心率的取值范围是 ，故选B．
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
α α
sin2 cos2
2 2
+ =1
e e
椭 2 双 2 ，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ， 是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则当 取最大值时， ， 的值分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为： ， ， ，
．
设 ， ． ．则 ， ，∴ ， ．
因为 ，
所以 ，
即 ．
∴ ，∴ ，
∴ ，则 ，当且仅当 ， 时取等号．
故选：A．
【变式3-1】（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ， ， 分别是它们在
第一象限和第三象限的交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 最小值等
于 ．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴为 ，双曲线实半轴为 ， ， ，
为两曲线在第一象限的交点， 为两曲线在第三象限的交点，如图，由椭圆和双曲线定义与对称性知 ， ，
四边形 为平行四边形， ，
，而 ，则 ，因此 ，
即 ，于是有 ，则 ， ，
所以 ，当且仅当 ， 时取
等号．
故答案为：
【变式3-2】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别
为 ，且两条曲线在第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆
与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为 ，双曲线实半轴为 ， ， ，
是以 为底边的等腰三角形，点 在第一象限内，
，
即 ， ，且 ， ，
， ，解得： ．
在双曲线中， ， ；在椭圆中， ， ；
；
， ，则 ， ，
可得： ，
的取值范围为 .
故选：B.
考点四：椭圆与双曲线的4a通径体
椭圆与双曲线的4a通径体
如图，若 ，易知 ，若 ，则一定有 ，根据
可得 ，即
【例4】（2024·河南新乡·高三统考期末）设双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，
过 的直线交双曲线 的左支于 、 两点，若 ，且 ，则双曲线 的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：，由双曲线的定义可得 ，
所以， ，则 ，
由余弦定理可得 ，
，
因为 ，
故 ，整理可得 ，故该双曲线的离心率为 .
故选：B.
【变式4-1】（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）已知 ， 分别是椭圆 ： 的
左、右焦点，过点 的直线交椭圆C于M，N两点.若 ，且 ，则椭圆C 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以可设 ， ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，
在 中， ， ，
由 ，可得 ，
即椭圆 的离心率为 .
故选：B.
【变式4-2】（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 、
，过 作直线 与椭圆相交于 、 两点， ，且 ，则椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，设 ， ，设 ，则 ，
在 中， ，
由椭圆定义可知 ， ，
，解得 ，
所以 ， ，
在 中，可得 ，在 中，由余弦定理可得 ，
，
，即 0，
解得 ，所以椭圆离心率 .
故选：D.
考点五：椭圆与双曲线的4a直角体
|λ−1|
如左图，若 AF 2 ⊥AB ，AB过原点，且 ⃗AF 1 =λ⃗F 1 B ， ∠AF 1 F 2 =α ，则
ecosα=
λ+1 可得离心率．
如右图，若
BF
2
⊥AC
，AB过原点，且
⃗AF
2
=λ⃗F
2
C(0<λ<1)
，通过补全矩形，可得
AF
1
⊥AC
，
λ+1 b2 |λ−1|
|AF|= ⋅ ecosα=
2 2 a ，借助公式 λ+1 可得离心率．【例5】（2024·山东济南·校联考）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直
线交椭圆于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，不妨令 ，
过 的直线交椭圆于 ， 两点，由椭圆的定义可得， ， ，
则 ， ，
又 ，所以 ，则 和 都是直角三角形，
则 ，即 ，解得 ，
所以 ， ，又 ， ，
所以 ，因此 ，所以椭圆 的离心率为 .
故选：C.
【变式5-1】（2024·安徽池州·高三统考期末）设 分别是椭圆 的左、右焦点，
过点 的直线交椭圆 于 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，再由是等腰直角三角形
，故选D,
【变式5-2】（2024·湖北黄冈·高三统考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，过 的直线交椭圆于A，B两点， ，且 ，椭圆 的离心率为 ，则实数
（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】因为 ，设 ，由椭圆的定义可得： ，则
，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，又因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，则有 ，
所以 ，则 ，则 ，
由 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得： ，
故选： .
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
【例6】已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.若 ，
2
，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有．在 中，由余弦定理推论得
．在 中，由余弦定理得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 和 中，由余弦定理得
，又 互补， ，两式消去
，得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
【变式6-1】（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）已知双曲线 左右焦点为 ，
，过 的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且 ，若 为以Q为顶角的等腰三角形，
则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，
又 ，所以 ，从而 ， ， ，
中， ，中． ，
所以 ， ，所以 ，
故选：C．
【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线 左右焦点为 ，
，过 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，且 ，若 为以 为顶角的等腰三角形，
则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，
又 ，所以 ，从而 ， ， ，
中， ，
中． ，
所以 ， ，所以 ，
故选：C．
考点七：双曲线的4a底边等腰三角形
当 或者 时，令 ,则一定存在① ，②
【例7】（2024·河南·高三校联考阶段练习）设 为双曲线 ： （ ， ）的右焦点，直线 ： （其中 为双曲线 的半焦距）与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点，若
，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线 的左焦点为 ，如图，取线段 的中点 ，连接 ，则 ．因为
，所以 ，即 ，则 ．设 ．因为
，所以 ，则
，从而 ，故 ，解得 ．因为直线 的斜
率为 ，所以 ，整理得 ，即 ，
故选：D．
【变式7-1】（2024·贵州·校联考模拟预测）设 为双曲线C： 的右焦点，直线l：
（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若
，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线C的左焦点为 ，如图，取线段 的中点H，连接 ，则 ．因为 ，所以 ，即 ，则 ．
设 ．因为 ，
所以 ，则 ，从而 ，故
，解得 ．
因为直线l的斜率为 ，所以 ，整理得 ，即 ，则
，故 ．
故选：C
【变式7-2】（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线 的左､右
焦点分别为 ，过点 作斜率为 的直线 与双曲线 的左､右两支分别交于 两点，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图，设 为 的中点，连接 .
易知 ，所以 ，所以 .
因为 为 的中点，所以 .
设 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
因为 是 的中点， ，所以 .在Rt 中， ；
在Rt 中， .
所以 ，解得 .
所以 .
因为直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 ，
，所以离心率为 .
故选：A
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，
过 的直线与双曲线 的左支交于 ， 两点，连接 ， ，在 中， ，
，则双曲线 的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【解析】设 ，则由双曲线定义可得 ， ， ，由 可得
，再在 中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.设 ，则由双曲线定义可得
，，则 ，
则 ，解得 ，从而 .
在 中， ，
即 ，解得 .
故选：D.
考点八：焦点到渐近线距离为b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线 ， ，过右焦点作 ， ，
由于渐近线方程为 ，故 ，且斜边 ，故 ，故
， .
【例8】（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，过 作双曲线 的一条渐近线的垂线 ，垂足为 ，直线 与双曲线 的左支交于 点 ，且 恰
为线段 的中点，则双曲线 的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】连结 ，因为点 分别为 和 的中点，
所以 ，且
设点 到一条渐近线 的距离 ，所以
，又 ，所以 ，中，满足 ，
整理为： ，
双曲线的离心率 .
故选：D
【变式8-1】（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，
，以 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 （异于坐标原点 ），若线段 交双曲线于点 ，
且 则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设渐近线的方程为 ，因为 ， 为 的中点，
所以 为 的中点，
将直线 ， 的方程联立 ，可得 ，
又 ，所以 即 ，
又 点在双曲线上，所以 ，解得 ，
所以该双曲线的离心率为 ，
故选：A.【变式8-2】（2024·山西运城·高三统考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
以 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 ，若线段 交双曲线于点 ，且 ，则双
曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，不妨取点 在第二象限，题中条件，得到 ，记 ，求出
，根据双曲线定义，得到 ， ，在 中，由余弦定理，即可得出结果.
因为以 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 ，不妨取点 在第二象限，
所以 ，则 ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，则 ，所以 ；
记 ，则 ，由 解得 ，
因为 ，由双曲线的定义可得 ，所以 ， ，
由余弦定理可得： ，
则 ，所以 ，整理得 ，解得 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：C.【变式8-3】（2024·辽宁·统考模拟预测）已知双曲线 ： 的一个焦点为 ，过 作双
曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为 .若 ( 为坐标原点)的面积等于 ( 为双曲线 的半焦距)，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设双曲线 ： 的右焦点 ，
双曲线 的一条渐近线方程设为 ，
可得 ， ，
的面积为 ，即有 ，
化为 ， ，解得 .
故选：A.
【变式8-4】（2024·广西南宁·统考）已知双曲线 的左焦点为 ，过点 的直线
与两条渐近线的交点分别为 两点(点 位于点M与点N之间)，且 ，又过点 作
于P(点O为坐标原点)，且 ，则双曲线E的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设 在第二象限， 在第三象限，如下图所示：
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
【例9】（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习） 是双曲线 的左焦点，过
点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 ，交另一条渐近线于点 ．若 ，则此双曲线的离心
率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得： ，双曲线渐近线方程为：
若 为直线 与 交点， 为直线 与 交点
则 直线 方程为： ，与 联立可得：
直线 方程与 联立可得：
由 得： ，即
，即 ，解得： 或 （舍）由双曲线对称性可知，当 为直线 与 交点， 为直线 与 交点时，结论一致
故选：
【变式9-1】（2024·广西玉林·校考模拟预测）过双曲线C： (a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近
线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．( ，+∞) B．( ，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意双曲线C： 的渐近线 ，右焦点 ，
不妨设过右焦点 与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与 联立得 ，所以 ， ，所以交点坐标为 ，因
为交点在第二象限，所以 ，因为 ， ， ，所以 ， ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，即
故选：A
【变式9-2】（2024·江西新余·统考）已知双曲线 ，过右焦点 作 的一条渐近
线的垂线 ，垂足为点 ， 与 的另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
所以， ，则 ，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，所以， ，
， ，
由二倍角的正切公式可得 ，即 ，可得 ，
因此， .
故选：A.
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
b
y= x
以 F 1 F 2为直径作圆，交一条渐近线 a 于点B， BF 1交另一条渐近线于点A，则令 ∠BOF 2 =α ,则
α
∠BF 1 F 2 = 2， e= √1+tan2α
【例10】（2024·全国·校联考）过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线，与双曲线 及
其一条渐近线在第一象限分别交于 两点，且 为坐标原点），则该双曲线的离心率是
( )
A．2. B． C． D．
【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为 ，由 得到 ，由 得到 ，
而 ， ，即点A是线段FB的中点，
所以 ，所以 .
故选：D
【变式10-1】（2024·山西晋城·统考）设 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，以线
段 为直径的圆与直线 在第一象限交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】由题意可得 ，
即有 为等腰三角形，
设 ，
则 ，
所以
即为 ，
所以 ，故选：A
【变式10-2】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线 的
左，右焦点分别为F，F，若以FF 为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF 恰好为正三角形，
1 2 1 2 2
则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ， 设 ，
则由题意可得 是直角三角形，
由 恰好为正三角形得， ，
∴ ，∴ ，
，
．
故选：C．
【变式10-3】（2024·陕西宝鸡·统考）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，
且以 为直径的圆与双曲线 的渐近线在第四象限交点为 ， 交双曲线左支于 ，若 ，则
双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得 点坐标，由 可表示出 点坐标， 点坐标代
入双曲线方程整理后可求得 ． ，圆方程为 ，
由 ， 由 ， ，解得 ，即 ，设Q(x，y)，由 ， ，得 ， ，
0 0
因为 在双曲线上，
∴ ， ，
解得 （ 舍去），
故选：A
考点十一：渐近线平行线与面积问题
a2b2
①双曲线C： 上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
c2
②双曲线C： 上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于A，B两点，则
c2 ab a2 −b2
|PA||PB| 是一个常数 4 ， S AOBP = 2 ， O⃗A⋅O⃗B= 4
【例11】（2024·北京·人大附中校考）已知 ， 分别为双曲线C： 的左、右焦点，
过 作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若 ，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】易知MN关于x轴对称，令 ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ．， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选: C.
【变式11-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知双曲线 上一点 坐标为
为双曲线 的右焦点，且 垂直于 轴.过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，
它们与两条渐近线围成的图形面积等于 ，则该双曲线的离心率是 .
【答案】 或
【解析】由题意知， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，如图所示，
直线 的方程为 ，
将其与 联立，解得 ， ，即 ， ，
，
点 ， 到直线 的距离为 ，
所围图形面积等于1，
，即 ，
化简得 ，
点 ， 在双曲线上， ，即 ，
，
又 ， ， 或 ， ，
离心率 或 ．
故答案为： 或 ．【变式11-2】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）过双曲线 ： （ ， ）
右支上一点 作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点 ， ， 为坐标原点，设 的面积
为 ，若 ，则双曲线 的离心率取值范围为 ．（用区间作答）
【答案】
【解析】设 ， 是过P与渐近线 平行的直线，交y轴于 点，与渐近线
交于 ，
则 ，即 ，
联立 解得 ，
则 ，由题知四边形 是平行四边形，
又 在双曲线上，应满足 ，即
则
则 ，解得 ，
可得离心率所以离心率的范围为 ，
故答案为：
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
【例12】（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知 分别为双曲线
的左、右焦点， 是 左支上一点， ，若存在点 满足
，则 的离心率为 .
【答案】
【解析】
因为 ，所以 是 的中点，又 为 的中点，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
设 ，则 ， ，且 在双曲线上，
则 ，即 ，又 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
【变式12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在 上，且 ，射线 分别交 于 两点（ 为坐标原点），若
，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】由双曲线的对称性得 ，由 ，得 ，
不妨设点 在 的右支上，且 ，
在 中，由双曲线定义知 ，
由勾股定理得 ，
则 ，
且
又 ， ，所以 ，
则在 中，由 ，得 ，
化简得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，化简得 .
所以 的离心率为 .
故答案为： .
【变式12-2】（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为 是C上位于第一象限内的一点，且直线 轴的正半轴交于A点，
的内切圆在边 上的切点为N，若 ，则双曲线C的离心率为 .【答案】
【解析】设 的内切圆在边 的切点分别为 ，如图：
则 得 ，
又 ，则 ，
得 ，
又 ，得 ，所以双曲线的离心率为 ，
故答案为： .
