文档内容
专题 16 妙解离心率问题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................6
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题............................................................................6
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率.................................................................................................................7
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题.....................................................................................................................8
考点四：椭圆与双曲线的4a通径体.......................................................................................................................9
考点五：椭圆与双曲线的4a直角体.....................................................................................................................10
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题............................................................................................................10
考点七：双曲线的4a底边等腰三角形..................................................................................................................11
考点八：焦点到渐近线距离为b............................................................................................................................12
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形....................................................................................................13
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题................................................................................................14
考点十一：渐近线平行线与面积问题...................................................................................................................15
考点十二：数形结合转化长度角度.......................................................................................................................16
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
考点要求 考题统计 考情分析
离心率 2023年新高考I卷第5、16题，10分 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几
2023年甲卷第9题，5分 何性质的考查为主，一般不
2022年甲卷第10题，5分 会出太难，二轮复习我们需
2022年浙江卷第16题，4分 要掌握一些基本的性质和常
规的处理方法，挖掘椭圆双
2021年甲卷第5题，5分
曲线的几何性质下手．
2021年天津卷第8题，5分
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆
上的任意一点， ； 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线
上的任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，
若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆 ， 的离心率分别为 ， ．若 ，
则
A． B． C． D．
2．（2023•甲卷）已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则
A． B． C． D．
3．（2022•甲卷）椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．若
直线 ， 的斜率之积为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
4．（2021•甲卷）已知 ， 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，
则 的离心率为
A． B． C． D．
5．（2021•天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物
线的准线交双曲线于 ， 两点，交双曲线的渐近线于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心
率为
A． B． C．2 D．3
6．（2022•甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点， 为
的上顶点．若 ，则 的方程为A． B．
C． D．
7．（2022•全国）若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则 的离心率为
A．5 B． C． D．
8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线 的两个焦点为 ， ，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 作
的切线与 交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
9．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．点 在 上，
点 在 轴上， ， ，则 的离心率为 ．
10．（2022•浙江）已知双曲线 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线交双曲线于
点 ， ，交双曲线的渐近线于点 ， 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
．
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
1 1
e= =
sinα+cosα π
√2sin(α+ )
椭圆： 4 ，根据α范围求解值域．1 1
e= =
cosα−sinα π
√2cos(α+ )
双曲线： 4 ，根据α范围求解值域．
【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆 上一点 ，它关
于原点的对称点为 ，点 为椭圆右焦点，且满足 ，设 ，且 ，则该椭圆的
离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆 （a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为
B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设 ，且 ，则该椭圆的离心率e的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆 上有一点 ，它
关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，则该椭
圆的离心率 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线 右支上非顶点的一点 关
于原点 的对称点为 ， 为其右焦点，若 ，设 且 ，则双曲线 离心率
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
x2 y2
+ =1(a>b>0)
是椭圆a2 b2
的焦点，点 在椭圆上，
∠F
1
PF
2
=θ
，则
cosθ≥1−2e2
（当且仅当
动点为短轴端点时取等号）．
【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，
点 是椭圆上的一个动点，若使得满足 是直角三角形的动点 恰好有6个，则该椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·江西抚州·高三统考期末）设 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 ,使
,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，
若椭圆C上存在点 ，使得 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2024·高三课时练习）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，若椭圆上存
在点 使得 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
α α
sin2 cos2
2 2
+ =1
e e
椭 2 双 2 ，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ， 是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则当 取最大值时， ， 的值分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式3-1】（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ， ， 分别是它们在
第一象限和第三象限的交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 最小值等
于 ．
【变式3-2】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别
为 ，且两条曲线在第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆
与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四：椭圆与双曲线的4a通径体
椭圆与双曲线的4a通径体
如图，若 ，易知 ，若 ，则一定有 ，根据
可得 ，即【例4】（2024·河南新乡·高三统考期末）设双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，
过 的直线交双曲线 的左支于 、 两点，若 ，且 ，则双曲线 的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）已知 ， 分别是椭圆 ： 的
左、右焦点，过点 的直线交椭圆C于M，N两点.若 ，且 ，则椭圆C 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 、
，过 作直线 与椭圆相交于 、 两点， ，且 ，则椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
考点五：椭圆与双曲线的4a直角体
|λ−1|
如左图，若 AF 2 ⊥AB ，AB过原点，且 ⃗AF 1 =λ⃗F 1 B ， ∠AF 1 F 2 =α ，则
ecosα=
λ+1 可得离心率．
如右图，若
BF
2
⊥AC
，AB过原点，且
⃗AF
2
=λ⃗F
2
C(0<λ<1)
，通过补全矩形，可得
AF
1
⊥AC
，
λ+1 b2 |λ−1|
|AF|= ⋅ ecosα=
2 2 a ，借助公式 λ+1 可得离心率．
【例5】（2024·山东济南·校联考）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·安徽池州·高三统考期末）设 分别是椭圆 的左、右焦点，
过点 的直线交椭圆 于 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·湖北黄冈·高三统考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，过 的直线交椭圆于A，B两点， ，且 ，椭圆 的离心率为 ，则实数
（ ）
A． B．2 C． D．3
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
【例6】已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.若 ，
2
，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）已知双曲线 左右焦点为 ，
，过 的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且 ，若 为以Q为顶角的等腰三角形，
则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线 左右焦点为 ，
，过 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，且 ，若 为以 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
考点七：双曲线的4a底边等腰三角形
当 或者 时，令 ,则一定存在① ，②
【例7】（2024·河南·高三校联考阶段练习）设 为双曲线 ： （ ， ）的右焦点，直
线 ： （其中 为双曲线 的半焦距）与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点，若
，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·贵州·校联考模拟预测）设 为双曲线C： 的右焦点，直线l：
（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若
，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线 的左､右
焦点分别为 ，过点 作斜率为 的直线 与双曲线 的左､右两支分别交于 两点，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线 的左支交于 ， 两点，连接 ， ，在 中， ，
，则双曲线 的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
考点八：焦点到渐近线距离为b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线 ， ，过右焦点作 ， ，
由于渐近线方程为 ，故 ，且斜边 ，故 ，故
， .
【例8】（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，过 作双曲线 的一条渐近线的垂线 ，垂足为 ，直线 与双曲线 的左支交于 点 ，且 恰
为线段 的中点，则双曲线 的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
【变式8-1】（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，
，以 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 （异于坐标原点 ），若线段 交双曲线于点 ，
且 则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·山西运城·高三统考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
以 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 ，若线段 交双曲线于点 ，且 ，则双
曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．
【变式8-3】（2024·辽宁·统考模拟预测）已知双曲线 ： 的一个焦点为 ，过 作双
曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为 .若 ( 为坐标原点)的面积等于 ( 为双曲线 的半焦距)，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式8-4】（2024·广西南宁·统考）已知双曲线 的左焦点为 ，过点 的直线
与两条渐近线的交点分别为 两点(点 位于点M与点N之间)，且 ，又过点 作
于P(点O为坐标原点)，且 ，则双曲线E的离心率 （ ）
A． B． C． D．
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
【例9】（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习） 是双曲线 的左焦点，过
点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 ，交另一条渐近线于点 ．若 ，则此双曲线的离心
率为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式9-1】（2024·广西玉林·校考模拟预测）过双曲线C： (a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近
线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．( ，+∞) B．( ，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
【变式9-2】（2024·江西新余·统考）已知双曲线 ，过右焦点 作 的一条渐近
线的垂线 ，垂足为点 ， 与 的另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
b
y= x
以 F 1 F 2为直径作圆，交一条渐近线 a 于点B， BF 1交另一条渐近线于点A，则令 ∠BOF 2 =α ,则
α
∠BF 1 F 2 = 2， e= √1+tan2α
【例10】（2024·全国·校联考）过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线，与双曲线 及
其一条渐近线在第一象限分别交于 两点，且 为坐标原点），则该双曲线的离心率是
( )
A．2. B． C． D．
【变式10-1】（2024·山西晋城·统考）设 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，以线
段 为直径的圆与直线 在第一象限交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为
（ ）A． B．
C． D．2
【变式10-2】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线 的
左，右焦点分别为F，F，若以FF 为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF 恰好为正三角形，
1 2 1 2 2
则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2024·陕西宝鸡·统考）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，
且以 为直径的圆与双曲线 的渐近线在第四象限交点为 ， 交双曲线左支于 ，若 ，则
双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点十一：渐近线平行线与面积问题
a2b2
①双曲线C： 上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
c2
②双曲线C： 上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于A，B两点，则
c2 ab a2 −b2
|PA||PB| 是一个常数 4 ， S AOBP = 2 ， O⃗A⋅O⃗B= 4
【例11】（2024·北京·人大附中校考）已知 ， 分别为双曲线C： 的左、右焦点，
过 作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若 ，则C的离心率为（ ）A．2 B． C． D．
【变式11-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知双曲线 上一点 坐标为
为双曲线 的右焦点，且 垂直于 轴.过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，
它们与两条渐近线围成的图形面积等于 ，则该双曲线的离心率是 .
【变式11-2】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）过双曲线 ： （ ， ）
右支上一点 作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点 ， ， 为坐标原点，设 的面积
为 ，若 ，则双曲线 的离心率取值范围为 ．（用区间作答）
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
【例12】（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知 分别为双曲线
的左、右焦点， 是 左支上一点， ，若存在点 满足
，则 的离心率为 .
【变式12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ，点 在 上，且 ，射线 分别交 于 两点（ 为坐标原点），若
，则 的离心率为 ．
【变式12-2】（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为 是C上位于第一象限内的一点，且直线 轴的正半轴交于A点，
的内切圆在边 上的切点为N，若 ，则双曲线C的离心率为 .
