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专题 12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题
目 录
01 倍长定比分线模型...........................................................................................................................2
02 倍角定理..........................................................................................................................................6
03 角平分线模型.................................................................................................................................10
04 隐圆问题........................................................................................................................................17
05 正切比值与和差问题.....................................................................................................................19
06 四边形定值和最值.........................................................................................................................24
07 边角特殊，构建坐标系.................................................................................................................30
08 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题.........................................................40
09 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围............................................................................44
10 三角形中的几何计算.....................................................................................................................55
11 三角形的形状判定.........................................................................................................................5901 倍长定比分线模型
1．（2023·四川成都·统考一模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 是
的中点， ，则 ， .
【答案】 /
【解析】空1：
在 中，则 ，即 ，
整理得： ，解得 或 （舍去），
故 ，
在 中，则 ，
故 ；
空2：
在 中，由 ，则 ，
在 中，由 ，则 ，
故 .
故答案为： ； .
2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在① ，②
，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在 中，内角 的对边分别为 ，且满足____．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 在边 上，且 ， ，求 的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【解析】（1）方案一：选条件①.
由 ，可得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
又 ，于是 ，即 ，
因为 ，所以
方案二：选条件②．
，由正弦定理得 ，
即 ， ，
由余弦定理得
又 ，所以
（2）由题意知 ，得 ．①
，即 ②
联立①②解得
而 ，由余弦定理得
，故
即 的值为
3．（2023·辽宁·高三校联考期末）在① ，② ，③
，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，
内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为 ，D在边AC上，且CD= CA，求BD的最小值．
【解析】（1）方案一：选条件①．
由 ，可得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
又 ，于是 ，即 ，
因为 ，所以 ．
方案二：选条件②．
因为 ，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得 ，即
，
因为 ，所以 ，又
所以 ，因为 ，所以 ．
方案三：选条件③．
，由正弦定理得 ，
即 ，∴ ，∴由余弦下定得 ．
又 ，所以 ．
（2）由题意知 ，得 ．
由余弦定理得 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ．
4．（2023·江苏南京·高三统考期末）如图，设 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 为
边上的中线，已知 ， ， ．
(1)求边 、 的长度；
(2)求 的面积；
(3)点 为 上一点， ，过点 的直线与边 、 （不含端点）分别交于 、 ．若
，求 的值．
【解析】（1）因为 ，所以， ，即 ，
所以， ，即 ，即 ．
又因为 ，所以 ， .
（2）设 ，因为 为 边上的中线，
所以， ，
则 ，
，
，①
整理得 ，即 ，
得 或 ，
由①，得 ，所以， ，则 ，
故 ，
因此， ．
（3）由（2）知， ， 为 的中点，则 ．
设 ， ，其中 、 ．
所以 ，得 ．
又 、 、 三点共线，则 、 共线，设 ，则 ，所以， ，
因为 、 不共线，则 ，即 ，
由 ，得 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
所以， ，所以， ，解得 ，
所以： ， ，
所以 ．
02 倍角定理
5．（2023·河南·高三校联考阶段练习）从① ；② ；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．
在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且________．
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）选择①：由 及余弦定理可得
；
即 ，
又 ，
所以 ，
即 ，可得 ．
又易知 ，可得 ，
所以 或 ，
即 或 （舍），
故 ．
选择②：由 及 ，得 ，
则由正弦定理得 ，
又 ，
，
即 ，
所以 ．
又 ，可得 ，
所以 ，
故 ．
选择③：由 可得 ，即 ，所以 ．
又 ，可得 ，
所以 ，
故 ．
（2）令 ，
由（1）可知 ，可得 ．
由锐角 可得 ，
即 ，解得 ，
所以 ．
令 ，
根据对勾函数的性质知 在 上单调递增，
可得 ，
即 的取值范围是 ．
6．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，
．(1)证明： ；
(2)若 ，且 为锐角三角形，求 的取值范围．
【解析】（1）证明：∵ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴A，B，C∈（0，π），∴ 即 ．
（2）∵ ，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴ ，
∵ 为锐角三角形，所以 ,
∴ ，∴ ，
由a＝2， ，所以 ，则 ，
且 ，
设 , ，
设 ，则 ，
∴ ， ，所以 , 为减函数，
∴ ．
7．（2023·湖南·高三校联考期末）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且
.
(1)证明： ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
【解析】（1）证明：依题意知 ，
故 ，即 ，
由余弦定理得 ，
代入 可得 ，
因为 ，所以 ，即 ；
（2）由题意 为锐角三角形，且 ，
由（1）知，则 ，
由正弦定理得，
，其中 为锐角，所以 ，
因为 ，则 ，解得 ，
则 ，则 ，即 ，因此 .
03 角平分线模型
8．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ， ， ，
已知 ．
(1)求角 和角 之间的等式关系；
(2)若 ， 为 的角平分线，且 ， 的面积为 ，求 的长．
【解析】（1）由 得 ，
因为 ，所以 ，故 ，
即 ， ，
由于 ，故 ，
则 或 ；
（2）由（1） 或 ，
因为 ，得 ， ，
为 的角平分线，故 ，
故 ，
因为 ，在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
由 的面积为 ，得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，故 ，所以 ，
所以 .
9．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）在 中，角A，B，C所对的边分
别a，b，c，且
(1)求角A的值；
(2)若 ，BC边上的中线长为1， 为角A的角平分线，求 的长．
【解析】（1） ，由正弦定理得，
，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ；
（2） ，由正弦定理得 ，即 ，
如图所示， 为 的中点，故 ，
由（1）可知， ，延长 至点 ，使 ，故 ，
连接 ，延长 ， 相交于点 ，
因为 ，所以 ≌ ，
故 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，且 ，
故 为等边三角形，
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
故 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
故 ，
所以 .
10．（2023·河南·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 的面积记为S，已
知 ， ．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，
由正弦定理可得 ，即
所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）设AE为BC边上的中线，可得 ，
如下图所示：
则 ，
所以 ，解得 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ；由 可得 ，
利用余弦定理可得 ，
所以 ．
11．（2023•甲卷）在 中， ， ， ， 为 上一点， 为 的平
分线，则 ．
【答案】2．【解析】如图， 在 中， ， ，
由正弦定理可得 ，
，又 ，
， ，
又 为 的平分线，且 ，
，又 ， ，
．
故答案为：2．
12．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ， ， 的角平分线交BC于点D，求 的长．
【解析】（1）∵ ，
∴由正弦定理得： ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，∴ ，则有 ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
（2）由 得， ，所以 ，
由（1）知， ，
由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
∴ ，
由 得： ，∴ ．
13．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知
， ．
(1)求边b的长；
(2)延长BC至D，使得 ，连接AD．已知 为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若
外接圆半径为 ．求 长．
【解析】（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
所以
又因为 ，所以 ，
∴ ，即 ，∴
（2）由（1）可知，
在 中，由正弦定理： ，
可得： ，所以 ，
∵ 为锐角，∴
由
可得：
即 ①
因为 ，所以 ，在 中，由余弦定理可求得 ，求得 ，
代入①可解得：
04 隐圆问题
14．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作
《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他
证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆
称为阿氏圆现有 ， ， ，则当 的面积最大时，它的内切圆的半径为 .
【答案】
【解析】∵ ，∴ 为非零常数，故点B的轨迹是圆.
以线段 中点为原点， 所在直线为x轴建立直角坐标系，则 ， ，设 ，
∵ ， ，
，整理得 ，
因此，当 面积最大时， 边上的高为圆的半径4.此时 ， ，
设内切圆的半径为r，则 ，解得 .
故答案为：
15．（2023·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考阶段练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世
界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平
面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有 ，，当 的面积最大时，则 的长为 .
【答案】
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，即 ，因为 ，不妨令 ， ，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设点 的坐标为 ，点 的轨迹方程满足： ，
整理可得： ， ，
即点 的轨迹是以 为圆心，4为半径的圆（除与 轴两交点外），
当点 的坐标 或 时三角形的面积最大，其最大值为 ，
由勾股定理可得 ．
故答案为： ．
16．（2023·四川·校联考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓
氏命名的“阿氏圆”，是“指平面内到两定点的距离的比值为常数 的动点轨迹”，设 的角A，
B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点， 的一个阿氏圆上，且 ， 的面
积为 ，则 .
【答案】
【解析】由已知，不妨设 ， ，
，
解得 ，则 ，
由余弦定理有 ，
所以 .
17．（2023·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为 ，则三角形的面积为
，其中 .这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯
（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点 的距离的和等于常数
（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知 中， ，则
面积的最大值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．2
【答案】C
【解析】用材料一：根据海伦-秦九韶公式， ，其中 ，
由题意，可知 ， ， ，且 ，故 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
用材料二：以 的中点为原点， 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，
由椭圆的定义易知，椭圆方程为 ，
所以 面积 （ 为 到 的距离），，
可知当点 位于短轴的顶点时， 取到最大值为4，
所以 ，
当且仅当 时取等号.
故选：C.
05 正切比值与和差问题
18．（2023·江苏南京·高三金陵中学校考期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为
a，b，c．R为△ABC外接圆半径．
（1）若R＝1，且满足 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，
所以由正弦定理，得 ，
又由余弦定理，得 ，所以 ，
即 ，所以 ，
又因为△ABC为锐角三角形，所以 ，
所以，
因为△ABC为锐角三角形，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 .
（2）因为 ，
所以 ，即 ，
又因为△ABC为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以由正弦定理，得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ,
两边同时除以 ，得 ，
因为 且△ABC为锐角三角形，
所以 ，所以
所以 ，所以
，
令 ，则 ，
所以
，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
19．（多选题）（2023·湖北咸宁·高三统考期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的面积为 D． 的周长为
【答案】BC
【解析】因为 ， ，所以 ，
由正弦定理知 ，
化简得 ，
所以 A，
因为 ，所以 ，所以 又因为 ，所以 ，
故B正确；
由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，即 故A错误；
故 的面积为： ，故C正确；
由余弦定理知 ，
所以 ， ，故 的周长为 ，故D错误；
故选：BC.
20．（2023·湖北·统考一模）锐角 中，角A所对的边为 ， 的面积 ，给出以下结论：①
；② ；③ ；
④ 有最小值8.其中结论正确的是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】分析：由三角形的面积公式得 ，结合正弦定理证得①正确；把①中的 用 表示，
化弦为切证得②正确；由 ，展开两角和的正切证得③正确；由 ，结合
②转化为关于 的代数式，换元即可求得最值，证得④正确.
由 ，得 ，
又 ，得 ，故①正确；
由 ，得 ，
两边同时除以 ，可得 ，故②正确；
由 且 ，
所以 ，整理移项得 ，
故③正确；
由 ， ，
且 都是正数，得 ，
设 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时取“=”，
此时 ， ，
所以 的最小值是 ，故④正确，故选D.
21．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的值．
【解析】（1）由题意得 ，所以 ，
则由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ．
（2） ，则
，
又 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，所以 ，则 ．
06 四边形定值和最值
22．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅
游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长
廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中
P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、
观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设 ．
(1)当 时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；
(2)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是
否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时 的值；若没有，请说明理由．
【解析】（1）∵ ，∴在 中，
令AD=x，CD=y， 在 中，
∴ ，
∵ ，
∴ （当且仅当x=y时，取等号）
∵ ，∴ （平方百米）
所以三角形区域ADC内的湖面面积最大值 平方百米．
（2）∵点P和点D关于直线AC对称，∴ ，PC=CD=8由（1）知 ，∴
∵ ，∴ ∵点P在 区域内
∴ ，∴ ，
∵在 中，
在 中，
∴
解得 或 （舍去），
∵ ，∴四边形ABCP内的湖面面积有最大值，
所以当 时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值，最大值为32平方百米
23．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在平面四边形 中， ， ， ，
.
(1)若 ，求 的面积.
(2)求 的最大值.
【解析】（1）
由 ， ， ，
则 ，即 ，有 ，故 ，
由 ， ，则 为正三角形，
即有 ， ，
则 ；
（2）
由 ， ，
作出 外接圆，令圆心为 ，
则 外接圆半径 ，
即有 ， ，
则 ，则 ，
即有 ，
即 ，
则 ，当且仅当 、 、 三点共线时等号成立，
即 的最大值为 .
24．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
满足 .(1)求 的大小；
(2)如图， ，在直线 的右侧取点 ，使得 ，求 为何值时，四边形 面积
的最大，并求出该最大值．
【解析】（1）由题意， ，
由正弦定理得
即
又因为 中， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ．
又 ，故 .
（2）由（1）知， ，
因为 ，所以 为等边三角形，
在 中，由余弦定理得，
，
而 ，
，
所以四边形 的面积为
，
因为 ， ，当 ，即 时， 取得最大值，为 ，
故四边形 面积的最大值为 ．
25．（2023·辽宁·高三统考期中）如图，已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ， ．
(1)求 ；
(2) 是 外一点，连接 ， 构成平面四边形 ，若 ，求 的最大值．
【解析】（1）由已知 ，
则 ，
所以 ，
化简可得 ，
又在 中， ，所以 ，
则 ，即 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，且 ，
即 ，
在 中，
由余弦定理得 ，
即 ，
由 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值为 ，
所以 的最大值为 .
26．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意
图，在 四个点分别建造了供老年人活动的器械. 四个点所围成的四边形即为老年人的活
动区域.为了便于老年人在草坪上行走，小区建造了 ， ， ， ， ， 六条步行道，其中
， ， ， .设 ， ， 为四边形 的面积.
(1)若 ，求 的值:
(2)求 的最大值，并求 取到最大值时 的值.
【解析】（1）在 中，由余弦定理得，，
在直角 中， ，故 ，
设 和 分别为 和 的面积，
故 ，
，
故 .
（2）在 中，由余弦定理得，
，
在直角 中， ，
设 和 分别为 和 的面积，
故 ， ，
可得 ，
故 ，当且仅当 时取到.
27．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园
音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求 ， ，
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，四边形ABCD面积为4，求 的值．【解析】（1）在 中，∵ ，则
∴ ．
在 中，由正弦定理得， ，
∴ ．
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ．
（2）在 、 中，由余弦定理得，
，
，
从而 ①，
由 得，
②，
得， ，
即 ，
∴ ．
07 边角特殊，构建坐标系
28．（2023·江苏南京·统考一模）在△ABC中，角 所对的边分别为 ．若 ，
则△ABC的面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】方法1：在△ABC中，以线段 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，则 ， ，设 ，
因为 ，所以 .
得 ，
整理得 ，即 是如图1所示的圆上的动点.
如图2，当点C在y轴上时，即 时，△ABC面积最大，
故 ，当 时，即 时，△ABC面积取得最大值为 .
方法2：如图3，CD是△ABC边AB上的高，设 ， ， ，由 ，得
，即 ，又 ，得 当且仅
当 时取等号)，所以 ，
又 ，
当且仅当 时，等号成立，即 ，
将 与 代入 中，得 .所以△ABC面积的最大值为 .
方法3:由三角形面积公式，得 ，即 ，
由 ，得 ，由余弦定理，得 ，
所以
(当且仅当 时取等号)，
当 时，即 时， 取得最大值 ，即 ，所以△ABC面积的最大值为 .
(也可以用基本不等式求 的最大值，
即 ，
当 时，即 时取等号，所以△ABC面积的最大值为 .)
方法4：在△ABC中，由余弦定理，得 ，由 ，得
，即 ，又 ，所以 ，即
，故 ，又 ，所以 ，令 ，，得 ，令 ，得 ，
0
极大值
即当 时， ， ，所以△ABC面积的最大值为 .
29．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ， ， ．若 ，在
所在的平面内存在点 ，使得 ，则 的面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】以 所在直线为 轴， 边的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设
， ， ， ， ， .
由 ，得 ，即 ①，又 ，
故 ②，其中①式可以看作以(0，0)为圆心，半径为 的圆的轨迹方程，②式可以看作
以 为圆心，半径为 的圆的轨迹方程，
由题意知两圆有公共点，即点 ，则 ③，
又 ，得 ④，由③，④得 ，因为 ，所以 ，
当 时， 取得最大值 ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
30．（2023·河北张家口·高三统考开学考试）在 中， ， 为 边上的中线， ，
则该三角形面积最大值为 ．
【答案】8
【解析】法一：如图建立直角坐标系，
设 ，由 得： ，
即： ，
所以点A的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆， ，
所以当A到x轴距离最大时，即为半径 时， 面积最大.
故 ．
法二：设 ，则 ，在 中，
由余弦定理可知， ， ，
而 ， ，由图可知， 为半圆上的点与 连线的斜率，其最小值为直线 的斜率 ，
故 面积的最大值为 .
故答案为：8.
31．（2023·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）在 中，内角 所对的三边分别为 ，
且 ，若 的面积为 ，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】因为△ABC的面积为1，所以 ，
可得 ，由 ，可得
，
设 ，其中 ，
因为 表示点 与点 连线的斜率，
如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP中， ，可得 ，
所以斜率的最小值为 ，
所以m的最大值为 ，所以 ，所以 ，
即BC的最小值为 ，
故答案为：
32．（2023·全国·高三专题练习） 为等边 内一动点，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，
不妨设等边 的边长为2， 为 的中点，
延长 至 ，使得 ，以点 为圆心， 为半径作圆弧 ，
为 内一动点， ，
点 在弦 所对的弧 上，
由图可知：当点 取与 轴的交点时， ，
以 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系，
可得： ， ， ， ．
点 所在圆的方程为： ．设参数方程为： ，
，
令 ，化为： ，
设 ， ，
则 ，
解得 ， ，故 的最小值为 ．
故答案为： .
33．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）正三角形 中， 为 中点， 为三角形内满足
的动点，则 最小值为 .
【答案】
【解析】不妨设正三角形 的边长为 ，
以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则 ， ， ，
设 ，则 ， ，
， ，
，即 ，
点轨迹为： ，
；
当 时， ， ；
当 时，令 ，则 表示 与 连线的斜率，
设直线 与圆 相切，
则圆心到直线距离 ，解得： 或 ，，
则当 时， 取得最小值 ， ；
综上所述： 的最小值为 .
故答案为： .
34．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为
，有以下四个命题中正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．当 ， 时， 不可能是直角三角形
C．当 ， ， 时， 的周长为
D．当 ， ， 时，若 为 的内心，则 的面积为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：
（当且仅当 时取等号）．
令 ， ，故 ，
因为 ，且 ，
故可得点 表示的平面区域是半圆弧上的点，如图所示：目标函数 上，表示圆弧上一点到点 点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 ，即 时，取得最小值 ，
故可得 ，
又 ，故可得 ，
当且仅当 ， ，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为 ，所以由正弦定理得 ，若 是直角三角形的斜边，
则有 ，即 ，得 ，故选项B错误；
对于选项C，由 ，可得 ，由 得 ，
由正弦定理得， ，即 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以化简得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 的周长为 ，故选项C正确；对于选项D，由C可知， 为直角三角形，
且 ， ， ，
所以 的内切圆半径为 ，
所以 的面积为 .
所以选项D正确.
故选：ACD
35．（2023·福建·统考模拟预测）在 中， ， ， ， 为 所在平面上的一
点， ，则 的最大值为（ ）
A． B．25 C． D．
【答案】B
【解析】以 为原点， ， 分别为 轴， 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ，设 ，则 ， ， ，
所以 ，
而 与 的距离为 ，故其最大值为 ，
的最大值为 ．
故选：B08 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
36．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在 中， 所对的边分别为 ，且
，
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又因为 ，
即 ，则 ，
且 ，则 ，可得 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 的面积为 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
整理得 ，可得 ，
所以 的周长为 .
37．（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）已知函数
(1)当 ，求 的最值，及取最值时对应的 的值；
(2)在 中， 为锐角，且 ，求 的面积．【解析】（1）
，
，
，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
（2）由 ，即 ，
而 为锐角， ，则 ，
，
又 ，
由余弦定理得 ，即 ，即 ，
.
38．（2023·四川甘孜·统考一模）已知① ，② ，③
，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在 中，内
角 的对边分别为 ，并且满足__________.
(1)求角 ；
(2)若 为角 的平分线，点 在 上，且 ，求 的面积.
【解析】选①：由 ，得 ，
因为 ，则sinB>0，
可得 ，
所以 .
选②：由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
选③：由 得
则
即 ，
且 ，可知 ，则 ，
解得 ，即 ，
，故 .
（2）由 ，得 ，
即 .
由余弦定理得 ，所以 .
解得 （舍去）或 ，所以 .
39．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．(1)若 的面积为 ，求a的最小值；
(2)若 ，BC边上的中线长为 ，且 的外接圆半径为 ，求 的周长．
【解析】（1）
，
又 ，则 ，
又 ，则 . ，
又 ，所以 ，
则 ，解得 ，当且仅当b＝c＝1时取等号，故a的最小值为1；
（2）由正弦定理得 ，
设BC的中点为E，则 ，两边平方得 ，
即 ①
由余弦定理得 ②，
①－②得 ，又 ，解得 ，
故 的周长为 ．
40．（2023·江西上饶·高三校联考期末）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任
意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形
的顶点”.如图，在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 ， ， .
(1)求角A；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【解析】（1）因为 ，
有余弦定理可得 ，
即 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）如图，连接 ， ，则 ， ，正 面积 ，∴ ，
而 ，则 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，则 ，
在 中， ， ，由余弦定理得 ，
则 ，∴ ， ，
∴ ，所以 的周长为 .
09 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
41．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 .
所以 ，
所以 ，
所以 ．因为在 中， ，
所以 ，由 ，
得 ．
（2）在锐角 中， ，，
因为 ，得 ，C为锐角，
故 ，故 ，令 ，
又函数 在 上都单调递增，则 在 上都单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以 ．
42．（2022•上海）如图，在同一平面上， ， ， 为 中点，曲线 上任一点到
距离相等，角 ， ， 关于 对称， ；
（1）若点 与点 重合，求 的大小；
（2） 在何位置，求五边形 面积 的最大值．
【解析】（1）点 与点 重合，由题意可得 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，在 中，由正弦定理得 ，所以 ，解得 ，
所以 的大小为 ；
（2）如图，连结 ， ， ， ，
曲线 上任意一点到 距离相等，
，
， 关于 对称，
点在劣弧 中点或劣弧 的中点位置， ，
则 ，
则五边形面积
，其中 ，
当 时， 取最大值 ，
五边形 面积 的最大值为 ．43．（2020•新课标Ⅱ） 中， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 周长的最大值．
【解析】（1）设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
因为 ，
由正弦定理可得 ，
即为 ，
由余弦定理可得 ，
由 ，可得 ；
（2）由题意可得 ，
又 ，可设 ， ， ，
由正弦定理可得 ，
可得 ， ，
则 周长为 ，
，
当 ，即 时， 的周长取得最大值 ．另 ， ，又 ，
，
由 ，则 （当且仅当 时，“ ”成立），
则 周长的最大值为 ．
44．（2022•新高考Ⅰ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值．
【解析】（1） ， ， ．
，
化为： ，
，
， ，
，
， ．
（2）由（1）可得： ，
可得 为钝角， ，
．
在三角形中， ，
，当且仅当时取等号．
的最小值为 ．
45．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，
.
(1)求角 ；
(2)若 为钝角三角形，且 ，求 的取值范围.
【解析】（1）由 ，得 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 且 ，所以 .
（2）由正弦定理，得 ，
所以 ，所以 ，
因为 是钝角三角形，不妨设 为钝角，则 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .46．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且a，b， 成等比数列．
(1)若 ，求角C；
(2)若 的面积为S，求 的取值范围．
【解析】（1）由题设 ，即 ，且 ，
由 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 或 （舍），可得 ，故 .
（2）由（1）知 ， 为锐角三角形，则 ，可得 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又 ， ，故 ，
整理得 ，令 ，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
故 在 上递减， ，即 ，
所以 在 上递减，故 .47．（2023·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H为锐角 的垂心， 为三角形
的三条高线，且满足 .
(1)求 的值.
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）记 的三个内角为 .
因为H为锐角 的垂心， 为三角形的三条高线，
所以 ，故 ，
所以 ，
同理可得 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
（2）因为 ， ，
故 ，
即 ，
设 ，则 ，解得 ，
故当 时，等号成立，
又 为锐角三角形，故当 等号成立，
所以当 时， 取得最小值，
当 时， 取得最大值，
因此， 的范围是 .
48．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形 中，
为边 的中点．
(1)若 ，求 的面积；
(2)求 的最大值．
【解析】（1）因为 ， ，由余弦定理可得，
，
则 ，且 ， ，所以 ，
则 的面积为 .
（2）取线段 的中点为 ，连接 ，
设 ， ，因为 ，
由余弦定理可得， ，
由正弦定理可得， ，则 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得，
，
由 可得， ，
所以当 时，即 时， 取得最大值 ，
所以 的最大值为 .
49．（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
.(1)若 ，求 ；
(2)求 的最大值.
【解析】（1）由题意知 ， ， ，所以 .
在 中， ， ，
所以 .
在 中，由余弦定理得，
，
所以 .
（2）过点 作 于点 ，由 ， ， ， ，
可得 ， ，
设 ，当 时，点 在点 的右侧，如图①， ，则 .
当 时，点 在点 的左侧，如图②， ，则 .又 ，所以当 ，且 时，
.
当 时，点 与点 重合， ，满足上式，
所以 ，其中 .
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，此时 取得最大值 ，
因为 ，所以 为锐角，
所以当 时， 取得最大值 .
50．（2023·山东青岛·高三统考期中）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
．
(1)若 ，求C；
(2)若 ，且 ，求 的最小值．
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 或者 ，
由 ，得 ，从而 ，
由 得
，
∴ ，则 ，而 ，故
综上， 或 ；
（2）∵ ，∴ ，即 ，
由（1）知 ， ，
又 ，∴ ，
∴ ，
由正弦定理， ， ，
，当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值为 .
10 三角形中的几何计算51．（2023·广东汕头·高三统考期中）在凸四边形 中，对角线 交于点 ，且
.
(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求边 的长.
【解析】（1）因为 ，所以 ，设 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ；
（2）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，又 为三角形的内角，所以 ，
所以 ， ，且 ，
所以 ，又 ，
在 中，由余弦定理得，所以 .
52．（2023·河南·高三内黄县第一中学校联考阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角
的平分线，CB与AD相交于点O， ， ， .
(1)求CO的长；
(2)若 ，求 的面积.
【解析】（1）在 中，由余弦定理得 ，
解得 或 （舍去）.
因为 ，所以 .
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .（2）在 中，由正弦定理可得 ，
则 ，由于 为锐角，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，解得 .
因为 ，
所以
，
所以 .
53．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）在 中， ， 的面积为 ， 为
的中点， 于点 于点 .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 的值.【解析】（1）在四边形 中， ， ，
故 ，
故 ，
作 于点 ， 于点 ，
又 为 的中点，
则 ，
，
故 .
（2）设 的三条边 ， ， 分别为 ， ， ，
由 ，知 ，
延长 到点 ，使 ，连接 ，
则 ， ，
则在 中， ， ，
故由 与 可得， ，则 ，
，则 ，由正弦定理得 ，
则 .
11 三角形的形状判定
54．（2023·全国·高三专题练习）设△ 的三边长为 ， ， ，若 ，
，则△ 是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】设 ，△ 的内切圆半径为r，如图所示，
法一：
∴ ①； ②.
①÷②，得： ，即 ．
于是 ，
， ，
从而得 或 ，
∴ 或 ．故△ 为等腰三角形或直角三角形，
（1）当 时，内心I在等腰三角形 的底边上的高 上，，从而得 ．
又 ，代入①式，得 ，即 ，
上式两边同时平方，得： ，化简 ，即 ．即△ 直角三角形，
∴△ 为等腰直角三角形．
（2）当 时，易得 ．
代入②式，得 ，此式恒成立，
综上，△ 为直角三角形．
法二：
利用 ， 及正弦定理和题设条件，得 ①，
②.
∴ ③； ④.
由③和④得： ，即 ， ，
因为 为三角形内角，
∴ 或 ，即 或 ．
（1）若 ，代入③得： ⑤又 ，将其代入⑤，得： ．
变形得 ，
即 ⑥，
由 知A为锐角，从而知 ．
∴由⑥，得： ，即 ，从而 ， ．
因此，△ 为等腰直角三角形．
（2）若 ，即 ，此时③④恒成立，
综上，△ 为直角三角形．
故选：B
55．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高三海拉尔第一中学校考阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，
且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形或直角三角形
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，即 ，
又由余弦定理可得 ，
∴ ，可得：
∴ 是以∠C为直角的直角三角形．
故选：B．
56．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，则 为（ ）
A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C【解析】由 结合正弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故 为直角三角形，
故选：C
