文档内容
专题 12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................10
考点一：倍长定比分线模型..................................................................................................................................10
考点二：倍角定理.................................................................................................................................................12
考点三：角平分线模型..........................................................................................................................................16
考点四：隐圆问题.................................................................................................................................................20
考点五：正切比值与和差问题..............................................................................................................................23
考点六：四边形定值和最值..................................................................................................................................26
考点七：边角特殊，构建坐标系...........................................................................................................................29
考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题..................................................................32
考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围.....................................................................................34
考点十：三角形中的几何计算..............................................................................................................................39
考点十一：三角形的形状判定..............................................................................................................................44
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小
题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
考点要求 考题统计 考情分析
正弦定理 2023年北京卷第7题，4分 【命题预测】2023年乙卷第4题，5分 预测2024年高考仍将重点考
2022年II卷第18题，12分 查已知三角形边角关系利用
2022年乙卷第17题，12分 正弦定理解三角形及利用正
余弦定理解平面图形的边、
余弦定理 2021年乙卷第15题，5分
角与面积，题型既有选择也
2021年浙江卷第14题，6分
有填空更多是解答题，若考
2023年甲卷第16题，5分
解答题，主要放在前两题位
2023年II卷第17题，10分
三角形的几何计算 置，为中档题，若为选题可
2022年天津卷第16题，15分
以为基础题，多为中档题，
2021年乙卷第9题，5分
也可为压轴题．
2022年上海卷第19题，14分
范围与最值问题 2022年甲卷第16题，5分
2022年I卷第18题，12分1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关
系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元
素．
2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当
选用公式，对于面积公式 ，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等
式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，
确定所求式的范围．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数
等知识．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用
三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基
本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性
求解．
7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊
边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，
再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．
1．（2023•北京）在 中， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由正弦定理 为三角形外接圆半径）可得：
， ， ，
所以 可化为 ，
即 ，
，又 ， ．
故选： ．
2．（2023•乙卷）在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，且
，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由 得 ，
得 ，
即 ，
即 ，得 ，
在 中， ，
，即 ，
则 ．
故选： ．
3．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．
如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为
“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”，则
海岛的高
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
【答案】
【解析】 ， ，故 ，即 ，
解得 ， ，故 表高．
另如图所示，连接 并延长交 于点 ，
，
，
表高．
故选： ．
4．（2022•上海）已知在 中， ， ， ，则 的外接圆半径为 ．
【答案】 ．
【解析】在 中， ， ， ，
利用余弦定理 ，整理得 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
5．（2023•上海）已知 中，角 ， ， 所对的边 ， ， ，则 ．
【答案】 ．
【解析】 ， ， ，由余弦定理得， ，
又 ，
，
．
故答案为： ．
6．（2021•乙卷）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， ，
，则 ．
【答案】 ．
【解析】 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， ， ，
，
又 ，（负值舍）
故答案为： ．
7．（2021•浙江）在 中， ， ， 是 的中点， ，则 ；
．
【答案】 ； ．
【 解 析 】 在 中 ： ， ，
，解得： 或 （舍去）．
点 是 中点， ， ，在 中： ， ；
在 中： ．
故答案为： ； ．
8．（2022•甲卷）已知 中，点 在边 上， ， ， ．当 取得最
小值时， ．
【答案】 ．
【解析】设 ， ，在三角形 中， ，可得： ，
在三角形 中， ，可得： ，
要使得 最小，即 最小，
，
其中 ，此时 ，
当且仅当 时，即 或 （舍去），即 时取等号，
故答案为： ．
9．（2022•新高考Ⅱ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别以 ， ， 为边长的三
个正三角形的面积依次为 ， ， ．已知 ， ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求 ．
【解析】（1） ，
，
，
，
解得： ，
， ，即 ，
，
，
解得： ，
．的面积为 ．
（2）由正弦定理得： ，
， ，
由（1）得 ，
已知， ， ，
解得： ．
10 ． （ 2022• 乙 卷 ） 记 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知
．
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求 的周长．
【解析】（1）证明： 中， ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
所以 ；
（2）当 ， 时， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 的周长为 ．
11．（2022•天津）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ，
．（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【解析】解（1）因为 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
解得： ；
（2） ， ，所以 ，
由 ，可得 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
可得 ，
所以 ；
（3）因为 ， ，
所以 ， ，
，可得 ，
所以 ，
所以 的值为 ．
考点一：倍长定比分线模型
在边 上，且满足 ， ，则延长 至 ，使 ，连接 ，易
如图，若
知 ∥ ，且 ， ． ．例1．（2023·河南安阳·高三统考期末）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，且AB边上的中线 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
如图，作出平行四边形ACBE，则 与 的面积相等.在 中， ， ，则
，∴ .
又 ，∴ ，
∴ ，
故 面积的最大值为 .
故选：A
例2．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）设a，b，c分别为 的内角A，B，C的对边，AD为
BC边上的中线，c＝1， ， ．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为 的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
【解析】（1）依据题意，由 可得
，则 ， ，， ，解得 ，
，解得AD为
（2）G为 的重心， ， ，
， ， ，
， ，
例3．（2023·辽宁·校联考二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
，
(1)求角B的大小；
(2)若 ，D为边AB上一点，且 ，求 的值．
【解析】（1） ，
，
所以 ，即 ，
故 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，即 ，故 ，所以 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， .
所以 的值为 或1.
考点二：倍角定理
，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1：
推论2：
例4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）在 中，AB＝4，AC＝3．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若A＝2B，求BC的长．
【解析】（1）在 中，设角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
由余弦定理得 ，
即 ，得 或 （舍），
由 ， ，得 ，
所以 的面积 ．
（2）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ．在 中，再由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ．
例5．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）在锐角 中，角 所对的边为 ，且
.
(1)证明:
(2)若 ，求 的取值范围.
【解析】（1）∵ ，
由正弦定理，得 ，
即 ，
∴ ，
∴ 或 （舍），即 ，
（2）由锐角△ABC，可得 ， ， ．
即 ， ∴ ．
由正弦定理可得： ，
所以 .
所以 的取值范围为： .
例6．（2023·四川绵阳·统考一模）在锐角 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，且
．
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围．
【解析】（1）∵ ，
由正弦定理，得 ，
即 ，
∴ ，
∴ 或 （舍），即 ，
∴ ，
∴ ．（2）由锐角△ABC，可得 ， ， ．
即 ， ∴ ．
∵ ．
令 ， ，
因为 在 上单调递增，
所以当 ，
当 ，
∴ ．
例7．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考一模）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，S为
的面积， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求S的取值范围．
【解析】(1)证明：由 ，即 ，
， ， ，
， ，
， ，
，
， ，
，
，B， ， ．
(2) ， ，
．
且 ，，
，
为锐角三角形， ，
， ，
为增函数，
．
考点三：角平分线模型
角平分线张角定理：如图， 为 平分线， （参考一轮复习）
斯库顿定理：如图， 是 的角平分线，则 ，可记忆：中方=上积一下
积．例8．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)边 上存在点 ，使 为 的角平分线，若 ，求 的周长.
【解析】（1）因为在 中， ，
所以 ，
所以由正弦定理得 ，
即 ，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
且
所以 ，
由余弦定理得： ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 的周长为 .
例9．（2023·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ， 的角平分线交 于 ，求 的值.
【解析】（1）∵ ，
由正弦定理得， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ .
（2）由余弦定理得， ，
∴ ，解得 或 （舍去），
由 ，
∴ ，
∴ .
例10．（2023·福建福州·高三校联考期中） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
.
(1)求A；
(2)若AD为∠BAC的角平分线，且 ，求 的最小值.
【解析】（1） ，
即： ，
由正弦定理可得： ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
（2） 为 的角平分线， .
由 ，得 ，
又 ，所以 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时， 的最小值为9.
例11．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习） 的内角 ， ， 的对边分别记为 ， ，，若 ， ，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
① ；② ；③ ．
(1)求 的面积；
(2)若 的角平分线与边 交于点 ，延长 至点 使得 ，求 ．
【解析】（1）若选① ，则 ，
，又 ．
若选② ， ，则 ， ，
，
由正弦定理可得： ．
若选③ ，由 得 ，且 ，
则
，
由 得 ，
则 ，
由正弦定理可得： ；
（2）由角平分线的性质知： ，∴ ， ，
在 中， ，∵ ，∴ ，由余弦定理知：
，
故 ，
在 中，由正弦定理知： ，即 ，故 ．
在 中， ， ，
由余弦定理知：
，
故 ．
考点四：隐圆问题
若三角形中出现 ，且 为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．
例12．（2023·全国·高三专题练习）若 满足条件 ， ，则 面积的最大值为 .
【答案】
【解析】如图，以 的中点为原点， 为x轴， 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ，设 ，由 ，
得 ，
化简可得 ,
则点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
且去掉点 ， 和 ， ；
所以 的面积的最大值为 ，
故答案为： .例13．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在 中， ，则
的面积最大值为 ．
【答案】3
【解析】因为 ，所以由正弦定理得 ，即 ，
以线段 所在直线为x轴，以 的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，
由 得 ，
因为 ，所以整理得 ，
由此可知点C的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，
所以当点C在圆上运动时，点C到x轴的最大距离为半径 ，
所以 的面积 在 上单调递减，
所以 ．
故答案为： .
例14．（2023·福建·高三统考阶段练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥
曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过
这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿
波罗尼斯圆.现有 ， ，则当 的面积最大时，AC边上的高为
.
【答案】
【解析】 ， ,即 ．根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆, 以线段AC中
点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系,求出B的轨迹方程，进而得出结论．
为非零常数，
根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹是圆.
以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系则 ，设 ，∵
∴
，整理得
因此，当 面积最大时，BC边上的高为圆的半径 .
例15．（2023·安徽马鞍山·高三和县第二中学校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、
欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离
之比为定值 （ ）的动点的轨迹.已知在 中，角 的对边分别为 ，
则 面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】由已知条件结合余弦定理，可求出 ， ，建立坐标系求出点 所在的圆的方程，
求出点 到 距离的最大值，即可求出结论.依题意， ，得 ，
即 ，以 边所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴
建立直角坐标系，则 ，设 ，
由 ，则 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边 高的最大值为 ，
∴ .
故答案为：
例16．（2023·四川眉山·统考三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓
名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数 的动点的轨迹．已知在 中，
角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得 ，设 的外接圆半径为 ，
则 ，
以 的中点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则 、 ，
设点 ，由 ，可得 ，
化简可得 ，
所以， 的边 上的高的最大值为 ，因此， .
故选：A.
考点五：正切比值与和差问题
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式） 中， ．
例17．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知 的三个内角A，B，C满足 ，
则（ ）A． 是锐角三角形 B．角 的最大值为
C．角 的最大值为 D．
【答案】D
【解析】由 得 ，则 ，所以 是钝角三角形，故A不正确；
由 得 ，则 ，整理得 ，
所以 ，当且仅当 等号成立，∴ ，故B不正确；
由 得 ，化简可得 ，则
，
因为 为钝角，所以 为锐角，取 ，得 ， ，
符合题意，即 可以取大于 的值，故C错误；
由 得 ， ， ，所以 ，即
，结合正弦定理可得 ，故D正确.
故选：D.
例18．（2023·河南安阳·高三统考阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ，若
，且 ，则 ．
【答案】
【解析】 中， ， ，
，
由正弦定理有 ， ，
由 ，得 ，
有 ，即 ，
，得 ，由 ，可得 ，
即 ，代入 ，
得 ，∴ ，
由余弦定理，
，得 ，
故答案为：
例19．（2023·江苏南通·高三统考期中）在 中，点D在边BC上，且 ，记 .
(1)当 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的值.
【解析】（1）当 ， 时， ， ，
设 ， ， ， ，
∴在△ACD中，根据余弦定理得： ，
．
（2）分别过 作 ， ， ， ，
易知 ，
，且 ，， ，
．
例20．（2023·河南焦作·高三统考期中）在锐角 中， 分别为角 所对的边， ，且
的面积 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最大值．
【解析】（1） ，解得： ；
， ， ，
由余弦定理得： ，解得： .
（2） ，即 ，
由正弦定理得： ，
，
，
；
， ， ，
则当 时， 取得最小值 ， 的最大值为 .
考点六：四边形定值和最值
正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是
拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
勒密定理：在四边形 中，有 ，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，
等号成立．例21．（2023·全国·高三专题练习）如图．在平面四边形 中， ．设
，证明： 为定值．
【解析】证明：设 ，则 ．
在 中，因为 ， ，所以 ．
在 中，由余弦定理 ，
即 ，
则 ，即 ，
故 为定值．
例22．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）如图，平面四边形 的对角线分别为 ， ，
其中 ， ， ．
(1)若 ， 的面积为 ，求 的面积；
(2)若 ， ，求 的值．【解析】（1）由题意得， ， ，
在 中，由余弦定理得， ．
由余弦定理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ，
∴ ．
（2）在 中，由正弦定理得， ，
∴ ．
在 中， ， ，
由正弦定理得， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
解得 ．
例23．（2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）在四边形 中， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .【解析】（1）在三角形ABD中，根据余弦定理可得， ，
由题得： ，所以 ，
在三角形BCD中，根据余弦定理可得，
，
所以， .
（2）设 ，在三角形ABD中，根据余弦定理可得，
，
在三角形BCD中，根据余弦定理可得， ，
所以 ，得： 或 （舍），
则 .
考点七：边角特殊，构建坐标系
利用坐标法求出轨迹方程
例24．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形 中， ，角 的平分线交 于
点 ，若 ，则三角形 面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在 中 ，在 中 ，
故 ， ，
因为 ，故 ，
又角 的平分线交 于点 ，则 ，故 .故 .
以 为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为 ， ，
故 ， ，设 ，则 ，
即 ，故 ，
化简可得 ，即 ，故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（除
去 ）.
故当 纵坐标最大，即 时 面积取最大值为 .
故选：C
例25．（2023·山东聊城·统考三模）在 中， ，点 在边 上，且 ，若
，则 长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】如图，
以 点为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，
设 ，因为 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 点轨迹是一个圆，圆心 ，半径 ，
， ， ，
求 长度的最大值即为求 长度的最大值,
在 中，由正弦定理 ，
则 ，当 时，即 与圆 相切时， ，
则 长度的最大值为4， 长度的最大值为5.故选：C.
例26．（2023·全国·高三专题练习）在等边 中， 为 内一动点， ，则 的最
小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
以 的BC边的中点O为原点，BC为x轴，过O点垂直于BC的直线为y轴，建立建立直角坐标系如
图，
再将 延x轴翻折得 ，求得 的外接圆的圆心为Q， ， M点 的
劣弧 上，
不妨设等边 的边长为2，可得： ， ， ， ，
点 所在圆的方程为： .
设参数方程为： ，
，
，其中 ，
即 ，解得 ， ；
故选：C.
考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用
公式，对于面积公式 ，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
例27．（2023·四川·高三校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的周长.
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
（2）由 ，又 ，
所以 ，所以 ，由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
即 的周长为 .
例28．（2023·湖北宜昌·高三统考期中）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，
．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ，求 的周长和面积．
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 是等腰三角形．
（2）因为 ，
所以 ，
所以 的周长为 ，
的面积 ．
例29．（2023·全国·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且
．
(1)求 ；
(2)若 为 的中点，且 ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
化简得 ．因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）因为 为 的中点，所以 ，
等式两边平方得 ，
即 ①．
在 中，由余弦定理得 ②，
联立①②解得 ，
所以 ．
考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，
求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定
所求式的范围．
例30．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
．
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 的面积S的取值范围．
【解析】（1）由题意及正弦定理，得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
又因为 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，由正弦定理 ，得 ，
所以 ，
因为 是锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，
从而 ．
例31．（2023·全国·模拟预测）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)若 ，求c的值以及 的面积；
(2)若 ，求 的值以及 的取值范围．
【解析】（1）由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
所以 的面积 ．
（2）因为 ，所以 ，
解得 ，
在 中，由正弦定理得 ，则 ，
因为 ，故 ，所以 ，即 的取值范围为 .
例32．（2023·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考阶段练习）在锐角 中，内角 的对边分别
为 ，已知 .
(1)求A;
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 为锐角三角形，可知 ，
则 ，所以 ，
且 ，所以 .
DC =b
（2）因为 ，可知 ，即 ，
且 为锐角三角形，则 ，解得 ，
又因为
，
由 ，可知 ，则 ，
所以 .
例33．（2023·全国·模拟预测）已知 为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为 ， ， ，
.
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【解析】（1）因为 为锐角三角形，所以 ， ， .
又因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，因为 为锐角三角形，所以 ，即 ，
解得 ，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
（2）因为 ，由（1）知， ，
由正弦定理 ，得
，
故 的周长 ，
令 ，由（1）知 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 周长的取值范围为 .
例34．（2023·江西·高三临川一中校联考阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 ．
(1)求B；
(2)若 ， ，从下面两个条件中选一个，求 的最小值．
①点M，N分别是边 ， 上的动点（不包含端点），且 ；
②点M，N是边 上的动点（不包含端点且 ），且 ．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）由正弦边角关系得 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，所以 ，又 ，则 ．
（2）由（1）及题设，则 ，
选①，此时 ，设 ， ，
由余弦定理得 ，即 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ．
选②，此时 ， ，
设 ，因为 ，则 ，
在 中由余弦定理得 ，
在 中由余弦定理得 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ．
例35．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 是 上的一点，且 ，求 的最小值．
【解析】（1） ，又 ，则 或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，又 ，不符合题意，舍去，
综上所述 .
（2）
①，又 ②，
①÷②得：
令 ，又 ，
，
令
令 ，
令 ，
当 时 ，当 时 ，
由对勾函数性质可得当 时， 为减函数，故 ，
同理当 时 ，
所以当三角形 为等边三角形时 最小，最小值为考点十：三角形中的几何计算
解决三角形中几何计算的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选
择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可
以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更
加直观化.
例36．（2023·广东珠海·高三统考期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)已知 ，D为边 上的一点，若 ， ，求 的长．
【解析】（1）∵ ，根据正弦定理得， ，
即 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 ， ， ，根据余弦定理得
，∴ ．∵ ，∴ ．
在 中，由正弦定理知， ，∴ ，
∴ ， ，所以
∴ ，∴ ．
例37．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图，在 中， 为 的中点，且
,
(1)证明： ；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1）证明：在 中， 为 的中点，所以 ，
则 ，
即 ，又因为 ，
则 ，则 ．
（2）设 ，则 ，因为 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
两式相加得：
在 中，由余弦定理得： ，
得： ，
又 ，所以 ．
例38．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在梯形 中， ， ， ， ．(1)若 ，求梯形 的面积；
(2)若 ，求 ．
【解析】(1)设 ，在 中，由余弦定理 得：
，即 ，而x>0，解得 ，
所以 ，则 的面积 ，
梯形 中， ， 与 等高，且 ，
所以 的面积 ，
则梯形 的面积 ；
(2)在梯形 中，设 ，而 ，
则 ， ， ， ，
在 中，由正弦定理 得： ，
在 中，由正弦定理 得： ，
两式相除得： ，
整理得 ，
即
解得 或 ，
因为 ，则 ，即 ．
例39．（2023•新高考Ⅱ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 面积为 ，
为 的中点，且 ．（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ， ．
【解析】（1） 为 中点， ，
则 ，
过 作 ，垂足为 ，如图所示：
中， ， ， ，解得 ，
， ，
故 ；
（2） ，
，
， ，
则 ，
①，
，即 ②，
由①②解得 ，
，
，又 ，
．
例40．（2023·广东惠州·高三统考阶段练习）如图，在平面四边形 中， ，
， ．(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1）在 中， ，所以 ，
在 中， ，所以 ，又 ，
所以 ，
在 中由余弦定理 ，
即 ，
所以 .
（2）由已知可得 ，又 ，所以 ， ，
设 ， ，则 ，
在 中由正弦定理 ，即 ，所以 ，
在 中由正弦定理 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 或 ，
由 ，
当 时 ，
当 时 ，所以 或 .
考点十一：三角形的形状判定
a0
，则 是锐角三角形；
若
a2 +b2 −c2 =0
，则 是直角三角形；
若
a2 +b2 −c2 <0
，则 是钝角三角形；
例41．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）已知 的三条边 和与之对应的三个角
满足等式 则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】由余弦定理，可得
，
整理，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 或 ，故三角形为等腰三角形.故选：A
例42．（2023·四川内江·统考一模）在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，若 ，
则 的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，整理得到 ，
又由正弦定理 ，得到 ，
所以 ，得到 ，
又 ，所以 ，得到 ，又 ，所以 ，
故选：B.
例43．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，已知
．若 ， ， 成等比数列，则 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】因为 ，由诱导公式得 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 .
又因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
由余弦定理得 ，解得 ，
所以 为等边三角形.
故选：B.
例44．（2023·甘肃酒泉·统考三模） 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且
，则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形 D．钝角三角形【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 为钝角三角形.
故选：D.
