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2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：椭圆的基本量与方程
一、选择题（共20小题；）
9
1. 设定点 F (0,−3)，F (0,3)，动点 P 满足条件 ∣PF ∣+∣PF ∣=a+ (a>0)，则点 P
1 2 1 2 a
的轨迹是 ()
A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段
x2 y2 x2 y2
2. 曲线 + =1 (m<6) 与曲线 + =1 (5b>0）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为 √3c
1 2 a2 b2
（c 为半焦距）的点，且 ∣F F ∣=∣F P∣，则椭圆的离心率是 ()
1 2 2
√3−1 1 √5−1 √2
A. B. C. D.
2 2 2 2x2 y2
8. 过椭圆 + =1 (a>b>0) 的左焦点 F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F 为右焦点，若
a2 b2 1 2
∠F PF =60∘，则椭圆的离心率为 ()
1 2
√2 √3 1 1
A. B. C. D.
2 3 2 3
9. 椭圆 x2+4 y2=1 的离心率为 ()
√3 3 √2 2
A. B. C. D.
2 4 2 3
x2 y2
10. 已知 F ，F 为椭圆 + =1（a>b>0）的焦点，M 为椭圆上一点，M F 垂直于 x 轴，
1 2 a2 b2 1
且 ∠F M F =60∘，则椭圆的离心率为 ()
1 2
1 √2 √3 √3
A. B. C. D.
2 2 3 2
x2 y2
11. 已知方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是 ()
m2 m+2
A. (−∞,−1)∪(2,+∞) B. (−2,+∞)
C. (−1,2) D. (−2,−1)∪(2,+∞)
x2 y2
12. 已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F ，F ，点 P 在椭圆上，若 P，F ，F 是一个
16 9 1 2 1 2
直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为 ()
9 9√7 9
A. B. 3 C. D.
5 7 4
13. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 F ，F 是
1 2
一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 ∠F PF =60∘ 时，这一对
1 2
相关曲线中椭圆的离心率为 ()
√3 √3 √2 1
A. B. C. D.
3 2 2 2
x2 y2
14. 已知椭圆 + =1(a>b>0) 的长轴端点为 A， B，若椭圆上存在一点 P 使
a2 b2
∠APB=120∘，则椭圆离心率的取值范围是 ()
( √6] [√6 ) (√6 ) [√6 )
A. 0, B. ,1 C. ,1 D. ,+∞
3 3 3 3
x2 y2
15. 已知椭圆 + =1(a>b>0)，F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线
a2 b2 1 2
AF 交椭圆于另一点 P，若 ∣PF ∣=∣PA∣，则椭圆的离心率为 ()
2 1
√3 1 √2 1
A. B. C. D.
3 3 2 216. 已知椭圆 C 的焦点为 F (−1,0)，F (1,0)，过 F 的直线与 C 交于 A，B 两点．若
1 2 2
∣AF ∣=2∣F B∣，∣AB∣=∣BF ∣，则 C 的方程为 ()
2 2 1
x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
2 3 2 4 3 5 4
x2 y2
17. 椭圆 + =1 上的一点 M 到左焦点 F 的距离为 2，N 是 M F 的中点，则
25 9 1 1
∣ON∣ 等于 ()
3
A. 2 B. 4 C. 8 D.
2
x2 y2 1
18. 设椭圆 + =1(a>0,b>0) 的离心率 e= ，右焦点 F(c,0)，方程 ax2+bx−c=0 的两
a2 b2 2
个根分别为 x ，x ，则点 P(x ,x ) 在 ()
1 2 1 2
A. 圆 x2+ y2=2 内 B. 圆 x2+ y2=2 上
C. x2+ y2=2 外 D. 以上三种情况都有可能
19. 已知 F 、F 是椭圆的两个焦点，过 F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点，若
1 2 1
△ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是 ()
2
√2 √3 √2 √3
A. B. C. D.
3 3 2 2
x2 y2
20. 椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左右焦点分别为 F 、F ，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的
a2 b2 1 2
点 P，使得 △F F P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ()
1 2
(1 2) (1 )
A. , B. ,1
3 3 2
(2 ) (1 1) (1 )
C. ,1 D. , ∪ ,1
3 3 2 2
二、填空题（共5小题；）
x2 x2
21. 已知 F ，F 是椭圆 C: + =1 的焦点，则在 C 上满足 PF ⊥PF 的点 P 的个数为
1 2 8 4 1 2
．
x2 y2
22. 如图，把椭圆 + =1 的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半
25 16
部 分 于 P ， P ， P ， P ， P ， P ， P 七 个 点 ， F 是 椭 圆 的 一 个 焦 点 ， 则
1 2 3 4 5 6 7
∣P F∣+∣P F∣+∣P F∣+∣P F∣+∣P F∣+∣P F∣+∣P F∣=
1 2 3 4 5 6 7
．x2 y2
23. 椭圆 + =1 的一个焦点为 (0,1) ，则 m 等于 ．
m2 3−m
x2 y2
24. 椭圆 + =1(a>b>0) 的两个焦点是 F ，F ，以 F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平
a2 b2 1 2 1 2
分三角形的另两边，则椭圆的离心率为 ．
25. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设 A 、 B 为两个定点，k 为正常数，∣⃗PA∣+∣⃗PB∣=k，则动点 P 的轨迹为椭圆；
x2 y2 x2
②双曲线 − =1 与椭圆 + y2=1 有相同的焦点；
25 9 35
③方程 2x2−5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
16 5 x2 y2
④和定点 A(5,0) 及定直线 l:x= 的距离之比为 的点 M 的轨迹方程为 − =1．
5 4 16 9
其中真命题的序号为 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 当 k 为何值时，直线 y=kx+1 与曲线 x2+4 y2=1 只有一个交点?
27. 在 Rt△ABC 中，⃗AB=(2,3)，⃗AC=(1,k)，求 k 值．
( √3)
28. 已知椭圆 C 的两个焦点为 F (−1,0)，F (1,0)，且经过点 E √3, ．
1 2 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点（点 A 位于 x 轴上方），若
1
⃗AF =λ⃗F B，且 2≤λ<3，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
1 1
29. 在平面直角坐标系中，已知三点 A(4,0)，B(t,2)，C(6,t)，t∈R，O 为坐标原点．
（1）若 △ABC 是直角三角形，求 t 的值；
（2）若四边形 ABCD 是平行四边形，求 ∣⃗OD∣ 的最小值．
x2 y2
30. 设 F 是椭圆 + =1 的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同的点 P（i=1,2,3,⋯），使
7 6 i
∣FP ∣，∣FP ∣，∣FP ∣，⋯，组成公差为 d 的等差数列，求 d 的取值范围．
1 2 3答案
9 √ 9
1. D 【解析】提示：a+ ≥2 a⋅ =6，当且仅当 a=3 时，取得等号．而 ∣F F ∣=6，所
1 2
a a
以 ∣PF ∣+∣PF ∣≥∣F F ∣，故点 P 的轨迹是椭圆或线段．
1 2 1 2
x2 y2
2. A 【解析】提示：由 + =1 (m<6) 知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，
10−m 6−m
x2 y2
由 + =1 (5√2c，从而 e< ．
2
7. D 【解析】∣F F ∣=2c，∣F P∣=
√ (a2
−c )
2
+(√3c) 2，由 ∣F F ∣=∣F P∣ 得
1 2 2 c 1 2 2
c √2
e= = ．
a 2(
b2
)
b2 2b2
8. B 【解析】因为 P −c,± ，再由 ∠F PF =60∘，及椭圆定义有 + =2a，从而可
a 1 2 a a
c √3
得 e= = ．
a 3
9. A
10. C
11. D
12. D
x2 y2
13. A 【解析】不妨设椭圆： + =1(a >b >0)，
a2 b2 1 1
1 1
x2 y2
双曲线： − =1(a >b >0)．
a2 b2 2 2
2 2
c
∣F F ∣=2c，∣PF ∣+∣PF ∣=2a ，∣∣PF ∣−∣PF ∣∣=2a ，e = ，
1 2 1 2 1 1 2 2 1 a
1
1 c
e = = ．
2 e a
1 2
在 △PF F 中，由余弦定理得
1 2
4c2=∣PF ∣ 2+∣PF ∣ 2−2∣PF ∣⋅∣PF ∣cos60∘=(∣PF ∣+∣PF ∣) 2−3∣PF ∣∣PF ∣=(∣PF ∣−∣PF ∣) 2+∣PF ∣∣PF ∣
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
所以 16c2=(∣PF ∣+∣PF ∣) 2+3(∣PF ∣−∣PF ∣) 2=4a2+12a2 ，即 4= +3e2 ，
1 2 1 2 1 2 e2 1
1
1
解得
e2=
或
e2=1（舍去），
1 3 1
√3
所以 e = ，
1 3
故选A．
14. B 【解析】不妨设 P(x,y)(0≤xb>0）．
a2 b2因为 ∣AF ∣=2∣F B∣，∣AB∣=∣BF ∣，
2 2 1
所以 ∣BF ∣=3∣F B∣．
1 2
又因为 ∣BF ∣+∣F B∣=2a，
1 2
a 3
所以 ∣F B∣= ，则 ∣AF ∣=a，∣AB∣=∣BF ∣= a，
2 2 2 1 2
∣AF ∣=a．
1
方法一：在 △ABF 中，由余弦定理，
1
(3a) 2
+a2−
(3a) 2
∣AB∣ 2+∣AF ∣ 2−∣BF ∣ 2 2 2 1
得 cos∠BAF = 1 1 = = ．
1 2∣AB∣⋅∣AF ∣ 3a 3
1 2⋅ ⋅a
2
因为椭圆 C 的焦点为 F (−1,0)，F (1,0)，
1 2
所以 c=1，∣F F ∣=2．
1 2
在 △AF F 中，由余弦定理，得
1 2
∣F F ∣ 2=∣AF ∣ 2+∣AF ∣ 2−2∣AF ∣∣AF ∣⋅cos∠BAF ，
1 2 1 2 1 2 1
1
即 4=a2+a2−2a2 ⋅ ，解得 a2=3，
3
所以 b2=a2−c2=2，
x2 y2
所以椭圆 C 的标准方程为 + =1．
3 2
方法二：
因为 ∣AF ∣=∣AF ∣=a，
1 2
所以点 A 为椭圆的上、下顶点．不妨设 A(0,−b)，F (1,0)，
2
因为 ⃗AF =2⃗F B，
2 2
9 b2
(3 b)
所以 B , ，代入椭圆方程得 4 4 ，解得 a2=3．
2 2 + =1
a2 b2
又因为 c=1，
所以 b2=a2−c2=2，
x2 y2
所以椭圆 C 的标准方程为 + =1．
3 2
17. B 【解析】如图，F 为椭圆的右焦点，连接 M F ，
2 2则 ON 是 △F M F 的中位线，
1 2
1
所以 ∣ON∣= ∣M F ∣，
2 2
又 ∣M F ∣=2，
1
∣M F ∣＋∣M F ∣=2a=10，
1 2
所以 ∣M F ∣=8，
2
所以 ∣ON∣=4．
1
18. A 【解析】由 e= 不难得到 a=2c，b=√3c．故方程 ax2+bx−c=0 化简后得
2
2x2+√3x−1=0．
所以
{ √3
x +x =− ，
1 2 2
1
x x =− ．
1 2 2
√7
设点 P 和圆心之间的距离为 d，则 d=√x2+x2= 2a−2c 1 1
的点 P 时，有 ，解得 ∣AB∣ 时是椭圆，所以①不正确；x2 y2 x2
双曲线 − =1 与椭圆 + y2=1 有相同的焦点，焦点在 x 轴上，焦点坐标为 (±√34,0)，所
25 9 35
以②正确；
1
方程 2x2−5x+2=0 的两根为 或 2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以③正确；
2
√(x−5) 2+ y2 5
= x2 y2
设 M(x,y)，则 16 4，整理得 − =1，所以 ④ 正确．
∣x− ∣ 16 9
5
√3
26. k=± ．
2
27. 当 A=90∘ 时，⃗AB⋅⃗AC=0，∴ 2×1+3×k=0．
3
∴ k=− ；
2
当 B=90∘ 时，⃗AB⋅⃗BC=0，
⃗BC=⃗AC−⃗AB=(1−2,k−3)=(−1,k−3)，
∴ 2×(−1)+3×(k−3)=0，
11
∴ k= ；
3
当 C=90∘ 时，⃗AC⋅⃗BC=0，∴ −1+k(k−3)=0，
3±√13
∴ k= ．
2
3 11 3±√13
综上知，k=− 或 k= 或 k= ．
2 3 2
x2 y2
28. （1） 设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0)．
a2 b2
c=1,
{
3 3
则 + =1, ，可得 a=2，b=√3．
a2 4b2
a2=b2+c2
x2 y2
所以椭圆 C 的方程为 + =1．
4 3
（2） 设直线 l:y=k(x+1)(k>0)．
{y=k(x+1),
由 x2 y2 得 ( 3 +4 ) y2− 6 y−9=0．
+ =1 k2 k
4 3
6k −9k2
设 A(x ,y )，B(x ,y )，则 y + y = ，y y = ．
1 1 2 2 1 2 3+4k2 1 2 3+4k2(y + y ) 2 (1−λ) 2 −4 1 4
又 y =−λ y ，所以 1 2 = = ，即 λ+ −2= ．
1 2 y y −λ 3+4k2 λ 3+4k2
1 2
1 1 4 1 4 4
由于 2≤λ<3，所以 ≤λ+ −2< ，即 ≤ < ．
2 λ 3 2 3+4k2 3
√5
又 k>0，所以 00，则 a ≤a+c=√7+1，a ≥a−c=√7−1，且
n 1
1
0
