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2021 年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷（理）
数学
一、选择题(本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．设集合M＝{x|0<x<4}，N＝，则M∩N 等于( )
A.
B.
C．{x|4≤x<5}
D．{x|0<x≤5}
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间
3．已知(1－i)2z＝3＋2i，则z 等于( )
A．－1－i
B．－1＋i
C．－＋i
D．－－i
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L＝5＋lg V．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(
)
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．已知F1，F2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，
则C 的离心率为( )
A. B. C. D.
6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－
EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )
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7．等比数列{an}的公比为q，前n 项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020 年12 月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三
角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，
B，C 三点，且A，B，C 在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，
∠A′B′C′＝60°.由C 点测得B 点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B 点测得
A 点的仰角为45°，则A，C 两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(
)
A．346 B．373 C．446 D．473
9．若α∈，tan 2α＝，则tan α 等于( )
A. B. C. D.
10．将4 个1 和2 个0 随机排成一行，则2 个0 不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
11．已知A，B，C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三
棱锥O－ABC 的体积为( )
A. B. C. D.
12．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2
＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f 等于( )
A．－ B．－ C. D.
二、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
14．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.
15．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1 的两个焦点，P，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|
PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
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16．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件>0 的最小正整数x 为
________．
三、解答题(共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题(共60 分)
17．(12 分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两
台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
18．(12 分)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n 项和，从下面①②③中选取两
个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．(12 分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B 为正方形，AB＝BC＝2，E，F 分
别为AC 和CC1的中点，D 为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D 为何值时，平面BB1C1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小？
20．(12 分)抛物线C 的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直线l：x＝1 交C 于P，Q 两点，
且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M 与l 相切．
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(1)求C，⊙M 的方程；
(2)设A1，A2，A3是C 上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M 相切．判断直线A2A3与⊙M 的
位置关系，并说明理由．
21．(12 分)已知a>0 且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．
(1)当a＝2 时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1 有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
(二)选考题(共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分)
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10 分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足AP＝AM，写出P 的轨迹C1的参
数方程，并判断C 与C1是否有公共点．
23．[选修4－5：不等式选讲](10 分)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.
(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；
(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a 的取值范围．
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答案精析
1．B [M∩N＝.]
2．C [对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5 万元的农户比率约为(0.02
＋0.04)×1×100%＝6%，故A 正确；对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低
于10.5 万元的农户比率约为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B 正确；对于
C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋
5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02
＋14×0.02＝7.68(万元)，故C 错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于
4.5 万元至8.5 万元之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，
故D 正确．]
3．B [z＝＝＝＝－1＋i.]
4．C [4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝
＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数
据约为0.8.]
5．A [设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C 的离心率e＝＝＝＝＝.]
6.D [根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，
结合选项可知该几何体的侧视图为D.]
7．B [当a1<0，q>1 时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．
当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若
a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．]
8.B [如图所示，
根据题意过C 作CE∥C′B′，交BB′于E，过B 作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE
＝100，C′B′＝CE＝.在△A′B′C′中，
∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又在B 点处测得A 点的仰角为45°，所以AD＝BD
＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋
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100≈373.]
9．A [方法一 因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二 因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α
＝，tan α＝＝.]
10．C [方法一 (将4 个1 和2 个0 视为完全不同的元素)4 个1 分别设为1A,1B,1C,1D,2 个
0 分别设为0A,0B，将4 个1 和2 个0 随机排成一行有A 种排法，将1A,1B,1C,1D，排成一
行有A 种排法，再将0A,0B 插空有A 种排法，所以2 个0 不相邻的概率P＝＝.
方法二 (含有相同元素的排列)将4 个1 和2 个0 安排在6 个位置，则选择2 个位置安排
0，共有C 种排法；将4 个1 排成一行，把2 个0 插空，即在5 个位置中选2 个位置安排
0，共有C 种排法．所以2 个0 不相邻的概率P＝＝.]
11．A [如图所示，
因为AC⊥BC，所以AB 为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1
＝＝＝，
所以三棱锥O－ABC 的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝.]
12．D [由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝
0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0.①
由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2 对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所
以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6.②
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于
直线x＝2 对称，且关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2×
2－2＝.]
13．5x－y＋2＝0
解析 y′＝′＝＝，所以y′|x＝－1＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
14．－
解析 c＝(3,1)＋(k,0)＝(3＋k,1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－.
15．8
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，
所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋
(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2
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的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.
16．2
解析 由题图可知，T＝－＝(T 为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝
2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f(x)
＝2cos，所以f ＝2cos＝2cos＝2cos＝1，f ＝2cos＝2cos＝0，所以>0，
即[f(x)－1]·f(x)>0，可得f(x)>1 或f(x)<0，所以cos>或cos<0.当x＝1 时，2x－＝2－∈，
cos∈，不符合题意；当x＝2 时，2x－＝4－∈，cos<0，符合题意．所以满足题意的最小正
整数x 为2.
17．解 (1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是＝0.75，乙机床生产
的产品中一级品的频率是＝0.6.
(2)根据题表中的数据可得
K2＝＝≈10.256.
因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
18．解 ①③⇒②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，
所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．
①②⇒③.
已知{an}是等差数列，{}是等差数列．
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n 的一次函数，则a1－＝0，即d＝
2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③⇒①.
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
设数列{}的公差为d，d>0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝
n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n 的一次函数，且a1＝d2满足
上式，所以数列{an}是等差数列．
19．(1)证明 因为E，F 分别是AC 和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
所以CF＝1，BF＝.
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如图，连接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，得BF⊥AB，于是AF＝＝3，所以AC＝＝2.由
AB2＋BC2＝AC2，得BA⊥BC，故以B 为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，
y，z 轴建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，BF＝(0,2,1)．
设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m,0,2)，
于是DE＝(1－m,1，－2)．
所以BF·DE＝0，所以BF⊥DE.
(2)解 易知平面BB1C1C 的一个法向量为n1＝(1,0,0)．
设平面DFE 的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
则
又DE＝(1－m,1，－2)，EF＝(－1,1,1)，
所以
令x＝3，得y＝m＋1，z＝2－m，
于是平面DFE 的一个法向量为n2＝(3，m＋1,2－m)，
所以cos〈n1，n2〉＝.
设平面BB1C1C 与平面DFE 所成的二面角为θ，
则sin θ＝，
故当m＝时，平面BB1C1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小，为，即当B1D＝时，
平面BB1C1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小．
20．解 (1)由题意知，直线x＝1 与C 交于P，Q 两点，且OP⊥OQ，设C 的焦点为F，P
在第一象限，
则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1,1)，Q(1，－1)．
设C 的方程为y2＝2px(p>0)，则1＝2p，得p＝，
所以C 的方程为y2＝x.
因为圆心M(2,0)到l 的距离即⊙M 的半径，且距离为1，
所以⊙M 的方程为(x－2)2＋y2＝1.
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(2)直线A2A3与⊙M 相切，理由如下：
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3 时，满足条件，此时直线
A2A3与⊙M 相切．
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
则＝1，即(y－1)y＋2y1y2＋3－y＝0，
同理可得(y－1)y＋2y1y3＋3－y＝0，
所以y2，y3是方程(y－1)y2＋2y1y＋3－y＝0 的两个根，
则y2＋y3＝，y2y3＝.
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
设点M 到直线A2A3的距离为d(d>0)，则d2＝＝＝1，即d＝1，
所以直线A2A3与⊙M 相切．
综上可得，直线A2A3与⊙M 相切．
21．解 (1)当a＝2 时，f(x)＝(x>0)，
f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，则0<x<，此时函数f(x)单调递增，
令f′(x)<0，则x>，此时函数f(x)单调递减，
所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)曲线y＝f(x)与直线y＝1 有且仅有两个交点，
可转化为方程＝1(x>0)有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解．
设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝(x>0)，
令g′(x)＝＝0，得x＝e，
当0<x<e 时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，
当x>e 时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
故g(x)max＝g(e)＝，
且当x>e 时，g(x)∈，
又g(1)＝0，所以0<<，所以a>1 且a≠e，
即a 的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．
22．解 (1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
即x2＋y2＝2x，
整理得(x－)2＋y2＝2.
(2)设P 的坐标为(x，y)，
则AP＝(x－1，y)，因为AP＝AM，
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所以AM＝，
所以M，
因为M 为C 上的动点，
所以2＋2＝2，
化简得(x＋－3)2＋y2＝4，
即P 点的轨迹C1的方程为(x＋－3)2＋y2＝4，
化成参数方程为
(t 为参数)，
圆心C1(3－，0)，r1＝2，
C(，0)，r＝，
因为|3－－|<2－，所以C 与C1没有公共点．
23．解 (1)f(x)＝
g(x)＝
作出图象，如图所示．
(2)由(1)得f(x)＝
函数f(x＋a)的图象即为将函数f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位长度，
当a≤0 时，即为将函数f(x)的图象向右平移|a|个单位长度得到f(x＋a)的图象，此时函数f(x
＋a)的图象始终有部分图象位于函数g(x)的图象下方，无法满足f(x＋a)≥g(x)，
则要满足f(x＋a)≥g(x)，
需a>0，f(x＋a)＝|x＋a－2|，
当函数y＝|x＋a－2|的图象过点时，＝4，
解得a＝或a＝－(舍去)，
根据图象可得若f(x＋a)≥g(x)，则a≥，
即a∈.
