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第 20 讲 椭圆的简单几何性质 10 种常见考法归类
1.掌握椭圆的简单几何性质．
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.
知识点1 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 － a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
顶点 A ( － a , 0) ， A ( a , 0) ,_ B (0 ，－ b ) ， B (0 ， b ) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a ) , B ( － b , 0) ， B ( b , 0)
1 2 1 2 1 2 1 2
轴长 长轴长＝，短轴长＝
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 |FF|＝
1 2
对称性 对称轴 x 轴和 y 轴 ，对称中心(0,0)
离心率 e＝(0b>0) a2 +m b2 +m (m>−b2 )
x2 y2 y2 x2
②有相同离心率： + =k（ ，焦点在 轴上）或 + =k（ ，焦点在 轴上）
a2 b2 k>0 a2 b2 k>0
知识点2 点与椭圆的位置关系
点P(x，y)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
0 0
点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1.
知识点3 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点4 直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
(2)根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x，y)，(x，y)，则弦长公式为：
1 1 2 2
|AB|＝·＝ ·.
注：（1）已知弦 是椭圆 （ ）的一条弦，中点 坐标为 ，则 的斜率
为 ，运用点差法求 的斜率，设 ， ； 、 都在椭圆上，
两式相减得： ，即 ，故
b2
（2）弦 的斜率与弦中心 和椭圆中心 的连线的斜率之积为定值：−
a2
1、用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
2、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－
c2，e＝等．
3、求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再
代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关
于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，
即可求得e的值或范围．
4、判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，
得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与
椭圆相离．
5、解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与
系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x，y)，B(x，y)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x，
1 1 2 2 0
y)是线段AB的中点，
0
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即k ＝－.
AB
6、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭
圆的范围．
7、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
考点一：由标准方程研究几何性质
例1．（2023秋·高二课时练习）椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023秋·高二课时练习）椭圆 与椭圆 的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
变式2．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，则 到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆上，如果
是直角三角形，求点 的坐标．
考点二：利用几何性质求标准方程
例2．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点 ；
(2)经过两点 和 ；
(3)经过 两点.
(4)过点 且与椭圆 有相同焦点.
变式1．（2023·高二课时练习）求与椭圆 的焦点相同，且经过点 的椭圆的标准方程.
变式2．（2023·高二课时练习）与椭圆 有相同的焦点，且短半轴长为 的椭圆方程是
（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三
等分，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．C． D．
变式4．（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦
点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 ，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B． 或
C． D．
考点三：点与椭圆的位置关系
（一）点和椭圆位置关系的判断
例3．（2023·全国·高二假期作业）已知椭圆 ，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023秋·高二课时练习）若点 在椭圆 上，则下列说法正确的是（ ）
A．点 不在椭圆上 B．点 不在椭圆上
C．点 在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系
变式2．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆 ，直线
，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
（二）根据点和椭圆位置关系求参数例4．（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
变式1．（2023·高二课时练习）点 在椭圆 的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023秋·高二课时练习）若点 在椭圆 的内部，则实数 的取值范围是______．
（三）点和椭圆位置关系的应用
例5．（2023秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知直线 与
椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围为___________.
变式1．（2023·全国·高二专题练习）如果直线l： 与椭圆C： （ ）总有公共
点，求实数a的取值范围.
变式2．（2023秋·湖南郴州·高二校考期中）已知点 和焦点在 轴上的椭圆： ，且过 作
椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．【多选】（2023春·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考开学考试）已知椭圆 的左、右焦点
分别为F，F，过F 的直线l 与过F 的直线l 交于点M，设M的坐标为(x，y)，若l⊥l，则下列结论正
1 2 1 1 2 2 0 0 1 2
确的有（ ）A． B． C． D．
考点四：椭圆的离心率问题
（一）求椭圆的离心率
例6．（2023秋·高二单元测试）设 ， 是椭圆 的两个焦点， 为直线
上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为_______.
变式1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： （
）的左，右焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·河北·高二校联考期末）如图所示，斜率为 的直线 交椭圆 于
M、N两点，交 轴、 轴分别于Q、P两点，且 ，则椭圆的离心率为______．
变式3．（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆 的右焦点为 ，过原点的直线 与 交于 两点，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023春·上海虹口·高二统考期末）已知 是等边三角形， 、 分别是边 和 的中
点.若椭圆以 、 为焦点，且经过 、 ，则椭圆的离心率等于________.
变式5．（2023春·湖北武汉·高二校联考期末）已知椭圆 的左､在顶点分别为 ，
且以线段 为直径的圆与直线 相切，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 ， ， 为 上的动点．若 ，且点 到直线 的最小距离为 ，则 的
离心率为______．
变式7．（2023·高二课时练习）已知椭圆 （ ）的一条弦所在的直线方程是
，弦的中点坐标是 ，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
（二）求椭圆的离心率的取值范围
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点为 ，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 关于 轴､ 轴均对称，焦点在 轴上，且焦距为
，若点 不在椭圆 的外部，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，
若椭圆C上存在一点P使得 ，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2023·全国·高二期末）已知点 是椭圆 的左右焦点，椭圆上存在不同两
点 使得 ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023春·上海青浦·高二统考期末）点 为椭圆 的右顶点， 为椭圆 上一点（不与 重合），若 （ 是坐标原点），则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023春·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点 ，使得 到椭圆两个焦点的距离之比为 ，
则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（三）由椭圆的离心率求参数（范围）
例8．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆 的离心率
，则 的值可能是（ ）
A．3 B．7 C．3或 D．7或
变式1．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的离心率为 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆 的离心率为 ，则椭
圆 的长轴长为___________.
变式3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，
则长轴与短轴的比值为______.
变式4．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若，则 （ ）
A． B． C． D．
考点五：直线与椭圆的位置关系
例9．（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
变式1．（2023秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）直线 ： 与椭圆
的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
变式2．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）直线 与曲线 的公共
点的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3．（2023秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）若直线 与 ： 没有交点，则过点
、 两点的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A．至多为 B． C． D．
变式4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线 与椭圆 (m>0)有且仅有
一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.
变式5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，离心率为 ，过 的直线分
别与 相切于 ， 两点，则直线 方程为（ ）
A． 或 B．C． D． 或
考点六：弦长及中点弦问题
（一）弦长问题
例10．（2023秋·高二课时练习）过椭圆 的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B
两点，则 等于________．
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、
两点，则弦 的长为_________．
变式2．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率
，直线 交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.
变式3．（2024秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）斜率为 的直线l与椭圆C： 交于
A，B两点，且 在直线l的左上方.若 ，则 的周长是______.
变式4．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是 ， ，并且经过
点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线 与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
变式5．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知点 在圆 上运动，过点 作 轴的垂线段为垂足， 为线段 的中点（当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合）．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)经过点 作直线 ，与圆 相交于 两点，与点 的轨迹相交于 两点，若 ，
求直线 的方程．
变式6．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆 的焦点坐标为 、
，点 为椭圆 上一点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)经过点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 相交于 、 两点， 为坐标原点，求 的面积.
变式7．（2023春·广东江门·高二统考期末）已知椭圆 的离心率为 ，且与双曲
线 有相同的焦距．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的左、右顶点分别为 ，过左焦点 的直线 交椭圆 于 两点（其中点 在 轴上方），
求 与 的面积之比的取值范围．
变式8．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知 分别为椭圆 的左､右
焦点，直线 过点 与椭圆交于 两点，且 的周长为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)直线 过点 ，且与 垂直， 交椭圆 于 两点，若 ，求四边形 面积的范围.
（二）中点弦问题例11．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知椭圆 的弦被点
平分，则这条弦所在的直线方程为______.
变式1．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点 的直线，与椭圆 相交于A，B
两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是___________________.
变式2．（2023·全国·高三对口高考）直线 截椭圆 所得弦的中点M与椭圆中心连线
的斜率为_________．
变式3．（2023秋·高二课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中
点的直线的斜率为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为 的动直线与椭圆 交于
两点，线段 的中点为 ，则 的轨迹长度为_________．
变式5．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知 ，P是平面内一
动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为 ．记点P的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为 ，求 ．
考点七：求椭圆的参数或范围问题例12．（2023秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知点A，B是椭圆 上不关于长轴对称
的两点，且A，B两点到点 的距离相等，求实数m的取值范围．
变式1．（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知椭圆 ，若椭圆上存在两点 、
关于直线 对称，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C： （ ）的右焦点 ，点
是椭圆C上的一个动点．求证： ．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的焦点为 ， ，椭圆上的动点 坐标
在第一象限，且 为锐角， 的取值范围为__________．
变式4．（2023·高二课时练习）已知椭圆 的两个焦点为 ， ， 为椭圆上任意一点，求
使 的x的取值范围．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若经过点 的直线l与椭圆 有A，B两个交点（其中
点A在x轴上方），求 的取值范围．
考点八：求椭圆的最值问题例13．（2023秋·高二课时练习）已知点 是椭圆 上一点，求点P到点 的距
离的取值范围．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右顶点为 ， 为 上一点，则 的最大
值为______.
变式2．（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆 的离心率为 ，下顶点为
，点 为 上的任意一点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，
则 的最小值为___________.
变式4．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）若 ，且 在 上， 在圆 上，
则 的最小值为______.
变式5．（2023秋·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知点 是曲线
上的动点则 的取值范围是_________.
考点九：椭圆的定点、定值问题
例14．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆 离心率为 ，焦距为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 分别作斜率和为 的两条直线 与 ，设 交 于 、 两点， 交 于 、 两点， 、
的中点分别为 、 .求证：直线 过定点.
变式1．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知椭圆 ： 的离
心率为 ，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点， 面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AP、BQ的斜率分别为 、 ，且 .求证：直线PQ经过定点.
变式2．（福建省泉州市部分中学2022-2023学年高二下期末联考数学试题）已知 为坐标原点，点 到点
的距离与它到直线 的距离之比等于 ，记 的轨迹为 ．点 在 上， 三点共线，
为线段 的中点．
(1)证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
(2)直线 与 相交于点 ，试问以 为直径的圆是否过定点，说明理由．
变式3．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知椭圆 的离心率是 ，其左、右焦点
分别为 、 ，过点 且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 .
(1)设 ，求 的值；
(2)求证： ；
(3)设 ，过椭圆Γ右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是点 关于 轴
的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不
存在，说明理由.例15．（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆 经过点 ，且
离心率为 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点 ，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与
AQ的斜率之和为定值.
变式1．（2023秋·江苏扬州·高二校考期中）已知 分别为椭圆W： 的左、右焦点，M为椭
圆W上的一点．
（1）若点M的坐标为 （ ），求 的面积；
（2）若点M的坐标为(x，y)，且 是钝角，求横坐标x 的范围；
0 0 0
（3）若点M的坐标为 ，且直线 （ ）与椭圆W交于两不同点 ，求证： 为
定值，并求出该定值；
变式2．（2023·高二课时练习）已知点M为椭圆 上的任一点，它与此椭圆的短轴两
端点 、 的连线分别交x轴于点P、Q．求证： 为定值．（O为坐标原点）
变式3．（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知点 在椭圆 上，点
为椭圆 上异于顶点的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ．
记直线 的斜率分别为 ．
(1)求证： 为定值；(2)若 ，求证： 为定值．
考点十：椭圆的实际应用问题
例16．（2023春·河北邯郸·高二统考期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：
每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星 看作一个质点， 绕太
阳的运动轨迹近似成曲线 ，行星 在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，
距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星 的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千
米），近日点距离和远日点距离之积是16，则 （ ）
A．39 B．52 C．86 D．97
变式1．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在 处时，在如图所示的截面
里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面 ，水面宽 ，那么当水位上升 时，水面宽度
为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、
梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重
要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在
平面截桥面为线段 ，且 过椭圆的下焦点， 米，桥塔最高点 距桥面 米，则此椭圆的离
心率为（ ）A． B． C． D．
变式3．（2023秋·河南郑州·高二郑州四中校考期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出
的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆
的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点 处，灯丝与反射镜的顶点 的距离 ，过焦点
且垂直于轴的弦 ，在 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝
（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 上、下顶点分别为 ，且短轴长
为 ，T为椭圆上（除 外）任意一点，直线 的斜率之积为 ， ， 分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年
外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证
明：由焦点 发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点 ．（提示：光线射
到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C交
于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形
面积的二倍，求直线 的方程．
4．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、
下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．5．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆 的一个焦点为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，点
是椭圆 上关于 轴对称的两点.若直线 的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·高二课时练习）若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆，该卫星近地点离地面的距
离为 km，远地点离地面的距离为 km，地球的半径为 km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（
）
A． B．
C． D．
4．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知椭圆 ： ，若矩形的四个顶点都在 上，则称 为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形 的外接椭圆的短轴长为 ，则 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的
历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞
的伞面是一个半径为 的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为 时，伞面在地面
形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知椭圆 的离心率为 ，左､右焦点分别为
，过左焦点 作直线与椭圆在第一象限交于点 ，若 为等腰三角形，则直线 的斜率为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过作垂直于 轴的直线，在第二象限分别交 及圆 于点 ，若 为 的中点， 为 的上顶点，
则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 到两个定点 ，
的距离的积等于 ，记点 的轨迹为曲线 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．曲线 关于坐标轴对称 B． 周长的最小值为
C． 面积的最大值为 D．点 到原点距离的最小值为
9．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知 分别为曲线 与圆
上的动点，若存在 ，使得三角形 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆 与圆
交点的轨迹为 ，过平面内的点 作轨迹 的两条互相垂直的切线，则点 的
轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题11．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）已知椭圆 的两个焦点为
是椭圆 上的动点，且 的面积最大值是 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率是
B．若 是左，右端点，则 的最大值为
C．若 点坐标是 ，则过 的 的切线方程是
D．若过原点的直线交 于 两点，则
12．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦点在 轴上，且 分别为椭圆 的左、
右焦点， 为椭圆 上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的离心率为
C．存在 ，使得
D． 面积的最大值为
13．（2023春·河南许昌·高二统考期末）椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
以下说法正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．过点 的直线与椭圆 交于 、 两点，则 的周长为C．椭圆 上存在点 ，使得 的面积为
D． 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则 的最大值为
14．（2023春·湖北·高二统考期末）“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中
国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在
以月球球心 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在 点处变轨进入以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕
月飞行，最后在 点处变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 ，圆形轨
道Ⅲ的半径为 ，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C．若 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随 的增大而增大
D．若 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随 的增大而增大
15．（2023秋·高二单元测试）已知 ， 是椭圆 ： 的左右顶点，过点 且斜率不为零的
直线与 交于 ， 两点， ， ， ， 分别表示直线 ， ， ， 的斜率，则下列
结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线 与 的交点的轨迹方程是
三、填空题
16．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 作 的角平分线交椭圆 的长轴于点 ，则点 的坐标为__________.
17．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知点 是椭圆 ： 的右焦点，点 关于直
线 的对称点 在 上，其中 ，则 的离心率的取值范围为_______.
18．（2023春·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习） 是椭圆 内接
的内切圆，且 在y轴右侧，则 ______.
19．（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 ，
则椭圆上一点 处的切线方程为 ．试运用该性质解决以下问题：椭圆C： ，
点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，
则 面积的最小值为______．
20．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
过点 作直线 交椭圆 于 两点，若 ， 则椭圆 的离心率为
____________.
21．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，左顶点是A，
左、右焦点分别是 ， ， 是 在第一象限上的一点，直线 与 的另一个交点为 ．若 ，
且 的周长为 ，则直线 的斜率为________．四、解答题
22．（2023春·河南·高二校联考期末）已知椭圆C： 的焦距为 ，离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 ，E为直线 上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：
.
23．（2023秋·四川内江·高三期末）已知点 是圆 上的任意一点，点 ，线段
的垂直平分线交 于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若过点 的直线交轨迹 于 、 两点， 是 的中点，点 是坐标原点，记 与 的面
积之和为 ，求 的最大值.
河北省邢台市2023-2023学年高二下学期期末数学试题）椭圆 的两焦点为 ，
，且椭圆过点 .
(1)求椭圆的方程；
(2) 是坐标原点， 是椭圆上两点， 是平行四边形，求以 为直径的圆的方程.
25．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆 的中心为 ，离心率为 .圆 在 的内部，半径为 ， 、
分别为 和圆 上的动点，且 ， 两点的最小距离为 .
(1)建立适当的坐标系，求 的方程；
(2)若直线 与圆 相切，且与 相交于A，B两点.
①求证：以 为直径的圆过原点；
②求 面积的取值范围.26．（2023春·广东阳江·高二统考期末）已知椭圆 的焦距为 ，点 在
上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 与直线 相交于不同的两点 、 ， 为弦 的中点， 为椭圆 的
下顶点，当 时，求 的取值范围．
27．（安徽省安庆、池州、铜陵三市2023-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题）已知椭圆：
的一个焦点为 ，椭圆上的点到 的最大距离为3，最小距离为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆左右顶点为 ，在 上有一动点 ，连接 分别和椭圆交于 两点， 与
的面积分别为 ．是否存在点 ，使得 ，若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2023春·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知椭圆G： 的离心率为 ，
且过点 ．
(1)求椭圆G的方程；
(2)若过点M（1，0）的直线与椭圆G交于两点A，B，设点 ，求 的范围．
