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学科网（北京）股份有限公
第12 讲 破解离心率问题之内切圆问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共20 小题）
1．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线的右支上，
△
的内切圆的圆心为
，且
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：过点
作
的垂线，垂足为
，
，
设圆
与
轴切于点
，
，
则
，
，即
，则
，
与双曲线的右顶点重合，
则
，
解得
，
，
故离心率为：
．
故选：
．
2．如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
，
是双曲线右支上的一点，
，直线
与
轴交于点
，
的内切圆半径为
1，则双曲线的离心率是
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A．
B．
C．
D．2
【解答】解：
，
的内切圆半径为1，
在直角三角形
中，
，
可得
，
由双曲线的定义可得
，
，
，
由图形的对称性知：
，
．
，
，
．
故选：
．
3．椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆
上，△
的重心为
．若△
的内切圆
的直径等于
，且
，则椭圆
的离心
率为
A．
B．
C．
D．
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【解答】解：因为△
的重心为
，所以
在
上且
，
是△
边
上的高，
是△
的内切圆
的半径，
，所以
，
，
所以
，
所以
，所以离心率为
，
故选：
．
4．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
，
是双曲线右
支上两点，且
，设△
的内切圆圆心为
，△
的内切圆圆心为
，直
线
与线段
交于点
，且
，则双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如右图所示：
由题意知
为
的角平分线，由角平分线的性质得
，
因为
，所以
，
由双曲线的定义得
，因此
，
，
因为
，所以
，
，由双曲线的定义得
，
由勾股定理逆定理可得
，
由在
△
中，
，
即
，所以
，
．
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故选：
．
5．设椭圆
的焦点为
，
，
是椭圆上一点，且
，若△
的外接圆和内切圆的半径分别为
，
，当
时，椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：椭圆的焦点为
，
，
，
根据正弦定理可得
，
，
．
设
，
，则
，
由余弦定理得，
，
，
，
又
，
，即
，故
，
解得：
或
（舍．
故选：
．
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6．已知点
是椭圆
上一点，点
、
是椭圆
的左、右焦
点，若△
的内切圆半径的最大值为
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设△
的内切圆的半径为
，则
，
而
，
所以
，
所以
，
由题意可得
，
即
，
所以
，可得
，即
，
可得离心率
，
故选：
．
7．已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，过点
的直线与双曲
线
的右支交于
、
两点
在第一象限），若△
与△
内切圆半径
之比为
，则双曲线离心率的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，由题意设△
与△
内切圆圆心分别为
，
，对应的切点
分别是
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
所以
，而
，
故
，所以
，
，
设直线
的倾斜角为
，则
，
，
所以
，
，
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由题意，可得
，化弦后整理得
，
结合
，得
，所以
，
则要使直线
与双曲线右支交于两点，只需渐近线斜率满足
，
所以
，
故
即为所求．
故选：
．
8．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过右焦点作平行于其
中一条渐近线的直线交双曲线于点
，若△
的内切圆半径为
，则双曲线的离心率
为
A．
B．2
C．
D．3
【解答】解：设双曲线的左、右焦点，
，
，
设双曲线的一条渐近线方程为
，
可得直线
的方程
，
联立双曲线
，
可得
，
，
设
，
，
由三角形的面积的等积法可得，
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，
化简可得
①，
由双曲线的定义可得
②，
在三角形
中，
，
为直线
的倾斜角），
由
，
，
可得
，
可得
③，
由①②③化简可得
，
，
所以
（舍，
，
所以离心率
，
故选：
．
9．已知双曲线
，点
是该双曲线右支上的一点．点
，
分别为
左、右焦点，直线
与
轴交于点
，
的内切圆在边
上的切点为
，若
，则
的离心率为
A．
B．3
C．
D．
【解答】解：由双曲线的方程知，
，
，
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设内切圆与
，
分别相切于点
，
，
，
，
由内切圆的性质知，
，
，
由对称性知，
，
，
由双曲线的定义知，
，
，
离心率
．
故选：
．
10．设椭圆
的焦点为
，
，
是椭圆上一点，且
，若
△
的外接圆和内切圆的半径分别为
，
，当
时，椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：椭圆的焦点为
，
，
，
根据正弦定理可得
，
，
．
设
，
，则
，
由余弦定理得，
，
，
，
又
，
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，即
，故
，
解得：
或
（舍．
故选：
．
11．过双曲线
的右焦点
的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于
，
两点，且
，
为坐标原点，若
内切圆的半径为
，则该双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，设
的内切圆圆心为
，则
在
轴上，过点
分别作
于
，
于
，
由
得，四边形
为正方形，
焦点
到渐近线
的距离
，
又
，
，
，
，
，
离心率
．
故选：
．
12．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线的右支上，
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△
的内切圆的圆心为
，
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，
设圆
与
轴切于点
，
，则
，
，即
，则
，
又
，
且
，
，得
，
又
，联立解得
，
，
双曲线的离心率为
．
故选：
．
13 ．已知椭圆
的焦点为
，
，
是椭圆上一点，且
，若△
的内切圆的半径
满足
，则
椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，
，
所以
，即
，
在三角形
中，
，
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解得
，则
，
又由三角形
的内切圆半径为
，
由等面积法可得
，则
，
由已知
可得
，
所以
，整理可得
，解得
或
（舍去），
所以椭圆的离心率
，
故选：
．
14．已知点
，
分别是双曲线
的左、右焦点，点
是
右支上
的一点．直线
与
轴交于点
，
的内切圆在边
上的切点为
，若
，则
的离心率为
A．
B．3
C．
D．
【解答】解：双曲线
的
，
设
的内切圆在边
上的切点为
，在边
上的切点为
，
如图可设
，
，
，
，
由双曲线的定义可得
，
即有
，
所以
．
故选：
．
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15．已知点
，
是椭圆
的左、右焦点，点
是椭圆上位于第一象
限内的一点，经过点
与△
的内切圆圆心
的直线交
轴于点
，且
，则
该椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】：△
内切圆的圆心
，则
是三角形的角平分线的交点，
由角平分线定理可得
，
所以离心率
，
故选：
．
16．点
是双曲线
右支上的一点，
，
分别是双曲线的左、右焦
点，点
是△
的内切圆圆心，记
，
，△
的面积分别为
，
，
，
若
恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
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【解答】解：设△
的内切圆半径为
，则
，
，
，
所以
，所以
，所以
，
故选：
．
17．点
是双曲线
右支上的一点，
，
分别是双曲线的左、右焦
点，点
是△
的内切圆圆心，记
，
，△
的面积分别为
，
，
，
若
恒成立，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．2
D．3
【解答】解：设△
的内切圆半径为
，
则
，
，
，
所以
，
所以
，所以
，
故选：
．
18．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是双曲线
上的一点，若
，且△
外接圆与内切圆的半径之比为
，则双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：设△
外接圆半径为
，内切圆的半径为
，
设
，
，
则
，
，
，
又
，
即
，即
，
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又
，
得
，即
，
△
的面积
，
即
，
，
，
即
，
平方得
，
即
，
即
，
，
即
，
得
，得
，得
，
即
，
故选：
．
19．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，若
上存在一点
，
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使得
，且△
内切圆的半径大于
，则
的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，△
内切圆的半径为
，
因为
，所以在三角形
中，
由余弦定理可得：
，
则
，
由等面积法可得
，
整理得
，故
，
又
，则
，
从而
，
故选：
．
20．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
为
上一点，
，△
的内切圆与外接圆的半径分别为
，
，若
，则
的离心
率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，则
．
因为
，
所以
，
则
，则
．
由等面积法可得
，
整理得
，
因为
，所以
，故
．
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故选：
．
二．多选题（共2 小题）
21．过双曲线
的右焦点
作直线，直线与双曲线
的一条渐
近线垂直，垂
足为
，直线与另一条渐近线交于点
，
在
轴同侧）．设
为坐
标原点，则下列结论正确的有
A．
B．若双曲线
的一条渐近线的斜率为
，则双曲线
的离心率等于2
C．若
，则双曲线
的一条渐近线的斜率为
D．若
的内切圆的半径为
，则双曲线
的离心率等于
【解答】解：由题意如图所示：设
，因为
，可得
，
，
所以
，所以
正确；
中，由双曲线
的一条渐近线的斜率为
，即
，所以离心率
，所以
不正确；
中，由题意可得
，所以可得
，则
，
可得
，
而直线
的方程为
与渐近线
联立可得
，
，
所以
，可得
，
，整理可得：
，解得
或
，所以
不正确；
中，若
，
在
轴同侧，不妨设
在第一象限．
如图，设
内切圆的圆心为
，则
在
的平分线
上，过点
分别作
于
，
于
，
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由
得四边形
为正方形，由焦点到渐近线的距离为
得
，又
所以
，
又
，所以
，
所以
，从而可得
，故
正确；
故选：
．
22．已知双曲线
的左．右焦点分别为
，
，过
的直线
与双曲线交于
，
两点，
在第一象限，若
为等边三角形，则下列结论一
定正确的是
A．双曲线
的离心率为
B．△
的面积为
C．△
内切圆半径为
D．△
的内心在直线
上
【解答】解：对于
，设△
的内心为
，过
作
，
，
的垂线，垂足分别
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为
，
，
，如图：
则
，所以
，则△
的内心在直线
上，故
正确；
因为
为等边三角形，当
，
都在同一支上时，则
垂直于
轴，可得
，
由题意可得
，又
，
，
所以可得
，
，解得：
；
△
的面积
，
设△
内切圆的半径为
，
则由等面积法可得
，
；
当
，
都在双曲线的左，右两支上时，设
，
，由双曲线的定义可知
，得
，
在△
中由余弦定理，
，得
，
△
的面积
，
设内切圆的半径为
，则
，得
，故
错误；
而不论什么情况下△
的面积为
，故
正确．
故选：
．
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三．填空题（共16 小题）
23．椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线交椭圆
于
、
两点，
、
两点的坐标分别为
，
，
，
，若
，且
内切圆的面积为
，则椭圆
的离心率为
．
【解答】解：（1）由性质可知△
的周长为
，内切圆半径为1，
则
，
又
，可得
，即
．
故答案为：
．
24．双曲线
的离心率是
，点
，
是该双曲线的两焦点，
在双曲线上，
且
轴，则△
的内切圆和外接圆半径之比
．
【解答】解：由
，得
，则
，
设
，
，
，
，
因为
轴，所以
，所以
，
所以△
的内切圆半径为
，
△
的外接圆半径为
，
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所以△
的内切圆和外接圆半径之比
．
故答案为：
．
25．过双曲线
右焦点
作直线，且直线与双曲线
的一条渐
近线垂直，垂足为
，直线与另一条渐近线交于点
．已知
为坐标原点，若
的
内切圆的半径为
，则双曲线
的离心率为
或
2
．
【解答】解：（1）若
，
在
轴同侧，不妨设
在第一象限．
如图，设
内切圆的圆心为
，则
在
的平分线
上，过点
分别作
于
，
于
，
由
得四边形
为正方形，由焦点到渐近线的距离为
得
，又
所以
，
又
，所以
，
所以
，从而可得
；
（2）若
，
在
轴异侧，不妨设
在第一象限如图，易知
，
，
，
所以
的内切圆半径为
，
所以
，
又因为
，所以
，
，
所以
，
，
则
，从而可得
．
综上，双曲线
的离心率为
或2．
故答案为：2 或
．
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26．已知点
是椭圆
上一点，点
、
是椭圆
的左、右焦点，
若△
的内切圆半径的最大值为
，则椭圆
的离心率为
．
【解答】解：设△
的内切
圆半径为
，则，
，
，
所以
，即
的最大值为
，
由题意可得
，
所以可知
，即
，
可得
所以椭圆的离心率
故答案为：
．
27．已知点
、
是椭圆
的左、右焦点，点
是椭圆上位于第一象
限内的一点，经过点
与△
的内切圆圆心
的直线交
轴于点
，且
，
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，则该椭圆的离心率取值范围为
，
．
【解答】解：△
内切圆的圆心
，则
是三角形的角平分线的交点，
由角平分线定理可得
，即
，
因为
，所以
，
故答案为：
，
．
28．已知椭圆：
的左、右焦点分别为
，
，
为椭圆上的一点，
与椭圆交于
．若△
的内切圆与线段
在其中点
处相切，与
切于
，则
椭圆的离心率为
．
【解答】解：
为
的中点，
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，
△
的内切圆与线段
在其中点
处相切，与
切于
，
由内切圆的性质可得，
，
为椭圆上的一点，
，
，
，
，
设△
的内切圆与
切于
，
结合内切圆的性质可得，
，
与椭圆交于
，
，
，
为切点，
由内切圆的性质可得，
，
又
，
，
△
为等边三角形，
，
．
故答案为：
．
29．如图，焦点在
轴上的椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
是椭圆
上位于第一象限内的一点，且直线
与
轴的正半轴交于
点，
的内切圆在边
上的切点为
，若
，则该椭圆的离心率为
．
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【解答】解：设
的内切圆的圆心为
，
、
与圆
的切点分别为
、
，
连结
、
、
，
由题意得
，
，
，
，
则
，
所以
，
故答案为：
．
30．在平面直角坐标系
中，椭圆
的左、右焦点分别为
、
与
轴垂直的直线经过
，交
于
、
两点．记
．若
内切圆的半径为
，则
的离心率为
．
【解答】解：不妨设
在第一象限，则直线
方程为
，
把
代入
可得
，故
，
．若
内切圆的半径为
，
学科网（北京）股份有限公
可得
，
，可得
椭圆的离心率
．
故答案为：
．
31．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，直线过点
与
轴交于点
，与双曲线
的右支交于点
，
的内切圆与边
切于点
，若
，则双曲线
的离心率为
．
【解答】解：根据题意画图：
设
，
分别为
内切圆与
，
的切点，
故
，
，
，
根据双曲线的定义
，
又
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，
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故答案为：
．
32．椭圆
短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角
形内切圆的半径为
，则该椭圆的离心率为
．
【解答】解：由椭圆
短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面
积
，
该三角形的周长为
，由题意得
，即
，
所以
．
故答案为：
．
33．已知点
为双曲线
的左焦点，
为该双曲线渐近线在第一象限
内的点，过原点
作
的垂线交
于点
，若
恰为线段
的中点，且
的内切
圆半径为
，则该双曲线的离心率为
．
【解答】解：设
，
，
由题意知，点
在渐近线
上，点
在渐近线
上，
，
，
，
，
为线段
的中点，且
，
，解得
，
学科网（北京）股份有限公
，
，
，
的内切圆半径为
，
，即
，
化简得，
，
离心率
．
故答案为：
．
34．已知抛物线
的准线与双曲线
的渐近线分别交于
，
两点，
是坐标原点．若
的内切圆的周长为
，则内切圆的圆心坐标为
，
，双曲线
的离心率为 ．
【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：
，
由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为
，
设三角形
的内切圆半径为
，则
，所以
，
所以圆心坐标为
，
，
且圆心到直线
的距离为
，
解得
，所以
，
则双曲线的离心率为
，
学科网（北京）股份有限公
故答案为：
，
．
35 ．已知椭圆
的焦点为
，
，
是椭圆上一点，且
，若△
的内切圆的半径
满足
，则椭圆
的离心率为
．
【解答】解：由题意，
，
，即
，
在△
中，
，可得
，
得
，
又△
的内切圆的半径
，由等面积法可得：
，
则
，由已知
，可得
，
则
，结合正弦定理可得
，
，整理可得
，解得
或
（舍．
故答案为：
．
36．如图，已知
为双曲线
的右焦点，过点
的直线交两渐近线于
，
两点．若
，
内切圆的半径
，则双曲线的离心率为
．
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【解答】解：过
作
垂直渐近线
于
，则
，
，
，
，
在
中，由余弦定理知，
，
即
，
解得
，
设
的内心为
，作
于
，则
，
，
，
，
，即
，
．
故答案为：
．
37．点
是双曲线
右支上的一点，
，
分别是双曲线的左、右焦
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点，点
是△
的内切圆圆心，记
，
，△
的面积分别为
，
，
，
若
恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是
，
． ．
【解答】解：设三角形
内切圆的半径为
，
则
，
，
，
，
，即
，
，又
，
．
故答案为：
，
．
38．如图，
中，
，
为
上一点，且
，
的内切圆与边
相切于
，且
．设以
，
为焦点且过点
的椭圆的离心率为
，以
，
为焦点且过点
的双曲线的离心率为
，则
的值为
．
【解答】解：如图，设
，
分别是
，
与圆的切点．
由圆的切线的性质可得
，
，
，
又因为
，所以
，即
，
设
，由
，可得
，则
，
，
在
中，
，即
所以以
，
为焦点且经过点
的椭圆的离心率为
；
以
，
为焦点且经过点
的双曲线的离心率为
，
所以
．
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故答案为：
．
