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难点与新考法 15 圆中相关计算、切线、内切圆、阴影面积等问题
（7 大热考题型）
题型一：与圆周角有关计算
题型二：与垂径定理有关计算
题型三：与圆内接四边形有关计算
题型四：切线的判定问题
题型五：与切线性质有关计算
题型六：三角形的内心及内切圆
题型七：阴影部分面积计算
题型一：与圆周角有关计算
圆周角定理及其推论
常
见
形
式
方 找到同弧所对的圆周角和圆心角,通过其角度的2倍关系进 根据直径所对的圆 利用同弧或等弧
法 行计算 周角是 90°进行计 所对的圆周角相
算 等进行计算
结 ∠ACB=90° ∠ACB=∠ADB
论
∠ACB= ∠AOB
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 是 的内接三角形，若 ，则
．
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【答案】 /62度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接 ，利用等腰三角形的
性质，三角形内角和定理求出 的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【典例1-2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图， 内接于 ，AD是直径，若 ，
则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接 ，根据直径所对的圆周角是直角
得出 ，根据同弧所对的圆周角相等得出 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余，
即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 内接于 ，AD是直径，
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∴ ，
∵ , ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
【典例1-3】（2024·四川眉山·中考真题）如图， 内接于 ，点 在 上， 平分 交
于 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判
定和性质，延长 ， 交于 ，由圆周角定理可得 ， ，进而
可证明 ，得到 ，即得 ，利用勾股定理得 ，再证明
，得到 ，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长 ， 交于 ，
是 的直径，
， ，
平分 ，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
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， ，
，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【典例1-4】（2024·陕西·中考真题）如图， 是 的弦，连接 ， ， 是 所对的圆周角，
则 与 的和的度数是 ．
【答案】90°/90度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的
关键．根据圆周角定理可得 ，结合三角形内角和定理，可证明 ，
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再根据等腰三角形的性质可知 ，由此即得答案．
【详解】 是 所对的圆周角， 是 所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【典例1-5】（2024·山东泰安·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为 上任意
一点，点 为 的中点，连接 交 于点 ，延长 与 相交于点 ，若 ， ，则
的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是
解题关键．
先证 可得 从而得到 ，求得 ，再运用勾股定理可
得 ，再根据圆周角定理以及角的和差可得 ，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 是 的切线，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·西藏·中考真题）如图， 为 的直径，点B，D在 上， ， ，
则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到
， ，根据 得到 ，最后根据勾股定理求解即可得到答
案
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【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【变式1-2】（2024·北京·中考真题）如图， 的直径 平分弦 （不是直径）.若 ，则
【答案】55
【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由垂径定理得到 ，由 得到 ，故 ．
【详解】解：∵直径 平分弦 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1-3】（2024·江苏常州·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 ．
若 ，则 ．
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【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内
角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵ 是 的直径， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【变式1-4】（2024·江苏镇江·中考真题）如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上，
，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理
得 ，再根据正 边形的边数 中心角，即可得出结论．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：10．
【变式1-5】（2025·广东·模拟预测）如图，点A，B，C在 上，若 ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相
关的定义，先根据等腰三角形性质得出 ，再根据三角形内角和定理求出
，再根据圆周角定理求出结果即可．
【详解】解： ，
，
，
，
．
故选：B．
【变式1-6】（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形 内接于 ， ， 为对角线， 经过圆心
O．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是 是解题的关键．由 经过圆心O，即
是 的直径，可得 ，再根据圆周角定理可得 ，即可求出 的
度数．
【详解】解： 经过圆心O，即 是 的直径，
，
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又 ，
．
故选：B．
【变式1-7】（2025·广西·模拟预测）如图， 是 的直径，点 、 在 上．若 ，
，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，
先连接 ，根据等弧所对的圆心角相等得 ，再根据圆周角定理得出答案．
【详解】如图所示，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型二：与垂径定理有关计算
垂径定理及其推论
1.定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
2.解题思路:如图①,有直角三角形,直接利用勾股定理解题:如图②.③,无直角三角形作半径和弦心距,构造直
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角三角形.
知识拓展 如果一条直线满足下列 5个结论中的2个,便可推出其他3个结论(记为“知二推三”):①过圆
心;②垂直于弦:③平分弦(不是直径):④平分弦所对的优弧:⑤平分弦所对的劣弧.
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交
于点 ，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出 的长；设圆心为O，连接 ，在
中，可用半径 表示出 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的
直径长．
【详解】解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴直线 经过圆心，设圆心为 ，连接 ．
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中， ，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得： ；
故轮子的半径为 ，
故选：C．
【典例2-2】（2023·广西·中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱
桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知， ， ，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到 ，再利用勾股
定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知， ， ，主桥拱半径R，
，
是半径，且 ，
，
在 中， ，
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，
解得： ，
故选B
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
【典例2-3】（2023·陕西·中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②
是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图． 是 的一部分， 是 的中点，连接 ，
与弦 交于点 ，连接 ， ．已知 cm，碗深 ，则 的半径 为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【答案】A
【分析】首先利用垂径定理的推论得出 ， ，再设 的半径 为 ，
则 ．在 中根据勾股定理列出方程 ，求出 即可．
【详解】解： 是 的一部分， 是 的中点， ，
， ．
设 的半径 为 ，则 ．
在 中， ，
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，
，
，
即 的半径 为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设 的半径 为 ，列出关于 的方程是解题的
关键．
【典例2-4】（2023·湖北荆州·中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所
在圆的圆心， 为 上一点， 于 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理求出 长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.
【详解】解： ，点 是这段弧所在圆的圆心，
，，
， ，
，
.
， ，
.
设 ，则 ，
在 中， ，
，
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.
，
，
.
故选：B.
【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所
求弧长所对应的圆心角度数.
【典例2-5】（2023·浙江温州·中考真题）图1是 方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 ，
现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形 作为
题字区域(点 ， ， ， 在圆上，点 ， 在 上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．
若点 ， ， 在同一直线上， ， ，则题字区域的面积为 ．
【答案】 5
【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得 ，连
接 ，取 的中点 ，连接 ，在 中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意， ，
∵过左侧的三个端点 作圆， ，
又 ，
∴ 在 上，连接 ，则 为半径，
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∵ ，
在 中，
∴
解得： ；
连接 ，取 的中点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， ， 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
∵ ，
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设 ，则
在 中，
即
整理得
即
解得： 或
∴题字区域的面积为
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯
底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于
、 、 、 四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 ， ， ．请你帮忙计算
纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出 ， 的长，设 ，由勾股定理
得到 ，求出 的值，得到 的长，由勾股定理求出 长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图， ， 过圆心 ，连接 ， ，
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，
∵ ，
，
， ，
设 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为 ．
故选：B．
【变式2-2】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 是弧
的中点， 与 相交于点 ，连接 交 于点 ．若 为 的中点， ，则 的长为
（ ）
A． B． C．6 D．
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【答案】B
【分析】先由垂径定理得到 ， ，再由 是直径，得到 ，结合 是 的中
点，可证明 ，得到 ，再由中位线得到 ，即可得到半径 ，
最后在 中，利用勾股定理计算 即可．
【详解】解：∵点 是弧 的中点，
∴ ， ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线．
【变式2-3】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为
拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接 ，先证明 ，
，再进一步的利用勾股定理计算即可；
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 为 的中点， 为拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心， ，
∴ ， ，
设拱门所在圆的半径为 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴拱门所在圆的半径为 ；
故选B
【变式2-4】（2023·湖南永州·中考真题）如图， 是一个盛有水的容器的横截面， 的半径为 ．
水的最深处到水面AB的距离为 ，则水面AB的宽度为 ．
【答案】
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【分析】过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，依题意，得出 ，进而在
中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，
∵水的最深处到水面AB的距离为 ， 的半径为 ．
∴ ，
在 中，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【变式2-5】（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾
股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长
一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图， 是 的直径，弦 于点E， 寸，
寸，则直径 长为 寸．
【答案】26
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设 寸，则 寸，由垂径定理得到
寸，再由勾股定理可得方程 ，解方程即可得到答案．
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【详解】解：设 寸，则 寸，
， 是直径，
寸，
在 中，由勾股定理得 ，
，
，
寸，
故答案为：26．
题型三：与圆内接四边形有关计算
圆内接四边形的性质
性质1:圆内接四边形的对角互补
性质2:任意一个外角等于它的内对角.
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图， 是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足
， ，则弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，由圆内接四边形对
角互补得到求出 ，再证明 是等边三角形，得到 ， ，再根据弧长公
式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接
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，
，
，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
的长为 ，
故选：B．
【典例3-2】（2024·四川泸州·中考真题）如图， ， 是 的切线，切点为A，D，点B，C在 上，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是
解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得 ，由 得 ，由切线长
定理得 ，即可求得结果．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， 是 的切线，根据切线长定理得，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【典例3-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接 ，由 是 的直径得到 ，
根据圆周角定理得到 ，得到 ，再由圆内接四边形对角互补
得到答案.
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
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∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
故选：B
【典例3-4】（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形 的两组对边，延长线相交于
点E，F．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得 ， ．根据三角形外
角定理可得 ， ，由此可得 ，又由
，可得 ，即可得解．
本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形 是 的内接四边形
∴ ，
， ，
，
， ， ，
，
解得 ，
，
．
故选：C
【典例3-5】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形，点 在四边形
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内部，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则
的度数为 ．
【答案】 /105度
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接 ，利用等边
对等角得出 ， ，利用切线的性质可求出 ，然后利
用圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解∶连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
故答案为： ．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·吉林·中考真题）如图，四边形 内接于 ，过点B作 ，交 于点
E．若 ，则 的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据 得到 ，再由四边形 内接于 得到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ,
故选：C．
【变式3-2】（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在 内，若圆周角 ，则圆心角 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧 上取一点 ，连接 ，利用圆
内接四边形的性质得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数，掌握知识点的应
用是解题的关键．
【详解】解：在优弧 上取一点 ，连接 ，如图，
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∵四边形 是 内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【变式3-3】（2024·湖北宜昌·二模）如图，点O是 的外心，若 ，求弦 所对的圆周
角 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，分两种情况：当 是锐角三角形时；当
是钝角三角形时，分别求解即可得解．
【详解】解：当 是锐角三角形时，
∵ ，
∴ ，
当 是钝角三角形时，
∵ ，
∴ ，
综上所述，弦 所对的圆周角为 或 ，
故答案为： 或 ．
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【变式3-4】（2024·北京·模拟预测）平面中有四个点 交 于点 使得
．三角形 的外接圆为 ．表示 和 的关系
【答案】 或
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，先证明
，得到 ，则A、B、C、D四点共圆，即A、B、C、D都在 上，再分，
当A、M在直线 两侧时，当A、M在直线 同侧时，利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴A、B、C、D四点共圆，即A、B、C、D都在 上，
如图所示，当A、M在直线 两侧时，由圆周角定理可得
如图所示，当A、M在直线 同侧时，由圆周角定理可得 ，
由圆内接四边形对角互补可知 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
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题型四：切线的判定问题
1.连半径,证垂直
连接圆心与交点,证明直线垂直半径,即“连半径,证垂直”.常见的情形如下
条件 图形 提示
已知∠C=90° 证明半径 OE//AC
已知∠ABC=90° 证明△ODC≌△OBC
已知AB是⊙0的直径,D是⊙0上 证明∠ADO=∠BDC,结合等腰三角
的点,即∠ADB=90° 形,利用等角的余角相等“倒角”
2.作垂直,证相等
过圆心作直线的垂线段,证明垂线段长等于半径,即“作垂直,证相等”证明圆心到直线的距离等于半径的常
见证明方法:①利用角平分线上的点到角两边的距离相等:②证明三角形全等.
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，
， ，以O为圆心， 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
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①过点A作切线 ，且 （点C在A的上方）；
②连接 ，交 于点D；
③连接 ，与 交于点E．
(1)求证： 为 的切线；
(2)求 的长度．
【答案】(1)画图见解析，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到 ，然后证明出
，得到 ，即可证明出 为 的切线；
（2）首先根据全等三角形的性质得到 ，然后证明出 ，利用相似三角形的性质
求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵点D在 上，
∴ 为 的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴解得 ．
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判
定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【典例4-2】（2024·山东东营·中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径，点 在 上，点
是 的中点， ，垂足为点D， 的延长线交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含30°的直角三
角形性质，是解决问题的关键．
（1）连接 ，由 ， ，推出 ，得到 ，由 ，得到
，即得；
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（2）由直径性质可得 ，推出 ，根据含30°的直角三角形性质得到 ，
根据 ，得到 ．
【详解】（1）证明：∵连接 ，则 ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【典例4-3】（2024·湖北·中考真题）如图，在 中， ，点 在 上，以CE为直径的
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经过AB上的点 ，与 交于点 ，且 ．
(1)求证：AB是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）连接 ，可得 ，得到 ，即得 ，即可求证；
（ ）设 的半径为 ，则 ，在 中由勾股定理得 ，可得 ，即得
，得到 ，进而得到 ，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，则 ，
， ，
，
，
．
是 的半径，
AB是 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则 ，
∵ ，
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∴ ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
，
，
，
的长为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出
是解题的关键．
【典例4-4】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将 沿过点 的直线翻折并展开，点 的对应点 落
在边 上，折痕为 ，点 在边 上， 经过点 、 ．若 ，判断 与 的位置关
系，并说明理由．
【答案】 与 相切，理由见解析
【分析】连接 ，由等腰三角形的性质得 ，再由折叠的性质得 ，进而证
明 ，则 ，因此 ，然后由切线的判定即可得出结论．
【详解】解： 与 相切．
证明：连接 ．
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∵ ，
∴ ．
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点 落在边 上，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴由 ，得 ，即 ．
∴ 与 相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，
熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．
【典例4-5】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心，
长为半径的 与AD相切于点 ，与 相交于点 ．
(1)求证：AB与 相切．
(2)若正方形 的边长为 ，求 的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点 是半径 上的一个动点，过点 作 交 于点 ．当
时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
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(2)
(3)
【分析】（1）方法一：连接 ，过点 作 于点 ，四边形 是正方形， 是正方形的对
角线，得出 ，进而可得 为 的半径，又 ，即可得证；
方法二：连接 ，过点 作 于点 ，根据正方形的性质证明 得出 ，
同方法一即可得证；
方法三：过点 作 于点 ，连接 ．得出四边形 为正方形，则 ，同方法一即可
得证；
（2）根据 与AD相切于点 ，得出 ，由（1）可知 ，设 ，
在 中，勾股定理得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而根据 建
立方程，解方程，即可求解．
（3）方法一：连接 ，设 ，在 中，由勾股定理得： ，在 中，由勾股
定理得： ，结合题意 得出 ，即可得出 ；
方法二：连接 ，证明 得出 ，进而可得 ，同理可得
方法三：连接 ，证明 得出 ，设 ，则 ，进而可得
，进而同方法一，即可求解．
【详解】（1）方法一：证明：连接 ，过点 作 于点 ，
与AD相切于点 ，
．
四边形 是正方形， 是正方形的对角线，
，
，
为 的半径，
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为 的半径，
，
与 相切．
方法二：
证明：连接 ，过点 作 于点 ，
与AD相切于点 ， ，
，
四边形 是正方形，
，
又 ，
，
，
为 的半径，
为 的半径，
，
与 相切．
方法三：
证明：过点 作 于点 ，连接 ．
与 相切， 为 半径，
，
，
，
，
又 四边形 为正方形，
，
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四边形 为矩形，
又 为正方形的对角线，
，
，
矩形 为正方形，
．
又 为 的半径，
为 的半径，
又 ，
与 相切．
（2）解： 为正方形 的对角线，
，
与AD相切于点 ，
，
由（1）可知 ，设 ，
在 中，
，
，
， ，
又 正方形 的边长为 ．
在 中，
，
，
，
．
∴ 的半径为 ．
（3）方法一：
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解：连接 ，设 ，
，
，
，
．
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
又 ，
．
．
方法二：
解：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
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，
，
，
．
方法三：
解：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
．
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又 ，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，
相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2024·山西运城·模拟预测）阅读与思考
直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并
完成相应的任务．
欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，
切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的
切线…
证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理
来证明．
添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．
图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨
盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个
固定长度的“连杆” ， 的连接点P在 上， ，垂足为O，当点P在 上转动时，带动
点A，B分别在射线 ， 上滑动，当点B恰好落在 上时， ，请判断此时 与
的位置关系并说明理由．
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小王的解题思路如下： 与 相切．
理由：连接 ．
∵点B恰好落在 上，
．（依据1）
，
．
，
，
．
，（依据2）
，
∴ 与 相切．
任务：
(1)依据1：_____________________________．
依据2：________________________________．
(2)在图2中， 的半径为6， ，求 的长．
【答案】(1)同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形的内角和等于
(2)
【分析】（1）结合圆周角定理及三角形内角和定理求出 ，根据切线的判定定理即可得解；
（2）过点 作 于点 ，根据直角三角形的性质及角的和差求出 ，根据“两角对
应相等的两个三角形相似”求出 ，根据相似三角形的性质求出 ，结合勾股
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定理及比例的性质求出 ， ， ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：（1）如图2，连接 ．
点 恰好落在 上，
（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
．
，
，
．
（三角形内角和是 ，
，
与 相切．
故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是 ；
（2）解：如图2，过点 作 于点 ，
，
与 相切，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
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，
，
， ，
，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，三角形的内
角和定理等，熟记相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质是解题的关键．
【变式4-2】（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知 是 边 上的一点，以 为圆心、 为半径
的 与边 相切于点 ，且 ，连接 ，交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ．
(1)求证： 是 切线；
(2)求证： ；
(3)若 是 中点，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，由切线的性质可知 ．证明 得出
，即 ，说明 是圆O的切线；
（2）证明 得出 ，整理得 ；
（3）设 ，则 ．由勾股定理求出x的值，得出 ．由 ，
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可设 ，则 ， ，即可求出 ，从而得出 ，解出y的值，即可求
出 ，即 半径为 ．由直角三角形斜边中线的性质得出 ，结合等边对
等角，得出 ，进而可证 ，得出 ，代入数据，即可求出 ，最
后由 求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
与圆 相切于点 ，
，即 ，
，
，
，即 ，
是圆 的切线；
（2）证明： ，
．
，
．
又 ，
，
，
；
（3）解： ，
，
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设 ，则 ．
，
，
解得： 舍去负值 ，
．
，
，
设 ，
则 ，
，
，
解得： ，
，即 半径为 ．
是 中点，
，
．
，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
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．
【点睛】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形
的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用
的辅助线是解题关键．
【变式4-3】（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形 中， 是边 的动点，以 为圆
心， 为半径作圆， 与 相切于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2， 与 相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，当满足 时，试判断
与 的位置关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 是 的切线，证明见解析
【分析】（1）利用圆的切性的性质定理，正方形的性质和全等三角形的判定定理得到
，则 ，再利用全等三角形的判定定理解答即可；
（2）利用（1）的结论得到 ，利用正方形的性质和同圆的半径相等的性质得到 ，利用全
等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到 ，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出
结论．
【详解】（1）证明：∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2） 是 的切线，理由如下：
证明：由（1）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握
相关知识并灵活运用是解题关键．
【变式4-4】（2024·广东东莞·一模）如图1， 是 中 的平分线， ，以 为
半径的 与 相交于点 ，且 ．
(1)求证： 是 切线；
(2)如图2，设 与 的切点为 ，连接 ．当 时，求 的半径；
(3)若 是线段 的中点，连 与 交于 ，在（2）的条件下，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点 作 于 ，根据角平分线的性质得出 ，根据“经过半径的外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线”，即可证得 是 切线；
（2）连接 ，根据切线得出 ，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出
，推出 ，根据等边对等角，由 ，得出 ，则
，公共角 ，证明 ，得出 ，由
，得 ，计算求出 、 ，计算 ，最后根据
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，计算即可求得 的半径；
（3）连接 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，由（2）得 ， ，
， ， ，得出 ， ，结合勾股定理得出
，求出 、 ，根据 ，求出 ，根据勾股定理计算
，根据 与 的切点为 ，得出 ， ，根据勾股定理计算
，得出 ，由 ，得出 ，求出
，根据 是线段 的中点，求出 ，推出 ，根据“平行于三
角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，得出
， ，结合 ，计算 ，根据
计算，求出 的值，根据 的边 上的高和 的边 上的高相等，则
，得出答案即可．
【详解】（1）证明：如图，过点 作 于 ，
∵ 是 的平分线， ， ， 为半径，
∴ ，点 也在圆上，即 也为半径，
又∵ ，
∴ 是 切线；
（2）解：如图，连接 ，
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∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ；
（3）解：如图，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，
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∵由（2）得 ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 的切点为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是线段 的中点，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的边 上的高和 的边 上的高相等，
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质、圆的切线的判定、角平分线的性质、解直角三角形、勾股
定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键．
【变式4-5】（2025·云南·模拟预测）如图， 是四边形 的外接圆， 是四边形 的对
角线， 恰为 的直径， ，点 在劣弧 上，过点 作 ，交 的延长线于点
， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ，P是劣弧CD上的一个动点，不与C，D重合，连接AP，CP，DP，DG⊥AP于点G，求
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的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) ，证明见解析
【分析】（1）由圆周角定理可得 ， ，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）如图，连接 ，证明 ，可得 ，结合 ，可得 ，从而可得
结论；
（3）先证明 ，可得 ，如图，过 作 交 的延长线于 ，证明
，可得 ，可得 ， ，证明 ，
，证明 ，在 中，证明 ，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 为 的切线；
（3）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图，过 作 交 的延长线于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴
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，
∴ ，
在 中，
，
∴ ．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，
相似三角形的判定与性质，切线的判定，本题难度较大，是中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关
键．
题型五：与切线性质有关计算
1.求角度问题的解题关键
连接圆心和切点,构造直角三角形,依据三角形内角和定理得到角度,通常还需结合等腰三角形的性质、圆周
角定理及推论和平行线性质定理进行角度转化
2.求线段长问题的解题步骤
第一步:先将题中已知条件进行转化,挖掘题中的隐含条件,如:①切线与过切点的半径垂直,可构造直角三角
形:②圆的半径长相等,可构造等腰三角形;③弦与切线平行则弦与过切点的半径垂直,可结合垂径定理;
第二步:结合已知解题方法,考虑利用勾股定理、锐角三角函数或相似三角形的性质求解;
第三步:作辅助线,构造直角三角形或相似三角形;
第四步:论证求解
利用勾股定理求解的常考图形如下:
图形 AB与 相切于点A，0B AB是 的切线,CD∥AB,交 OA 在Rt△ABC中,点O在AB
交 于点C 于点E 上， 交AB于点E,切BC
于点D
结论 ΔOAB 为直角三角形, △OED 为直角三角形 △ADE 为直角三角形
r²+AB²=(r+BC)² AE²-DE²=CD²+AC²
利用相似三角形求解的常考图形如下:
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图形 AB是直径,切线CD交 AB是直径.CD是 的切线,切 AB是 的直径,CD是O0的
点为 D 切线,C是切点,AD⊥CD
于点E,交 AB 延长线于
点C,AD⊥CD
结论 △COE∽△CAD △BCD∽△DCA △ABC∽△ACD.
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相
切于点 ，若 ，则 °．
【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接 ，构造直角三
角形，利用 ，从而得出 的度数．
【详解】解：连接 ，
与 相切于点 ，
，
，
；
，
，
故答案为：35
【典例5-2】（2024·云南昆明·模拟预测）在边长为10的正方形 中，点E是 的中点，作射线 ，
在射线 上有一点 P，若以点P为圆心，半径长为4的 与正方形 的其中一边相切，则 的长
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为 ．
【答案】 或 或 或 或
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．分五种情况讨论，分别作出图形，
利用切线的性质，相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：∵正方形 的边长为10，点E是 的中点，
∴ ， ， ， ，
当 与边 相切时，点 为切点，则 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 与边 相切时，点 为切点，则 ，如图，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
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当 与边 相切时，点 为切点，则 ，延长 交 的延长线于点 ，如图，
此时， ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 与边 相切时，点 为切点，则 ，如图，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 与边 相切时，点 为切点，则 ，延长 交 的延长线于点 ，如图，
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此时， ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的长为 或 或 或 或 ，
故答案为： 或 或 或 或 ．
【典例5-3】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点
B，点C、D分别是 、 上的动点，且满足 ，连接 交线段 于点E， 于点H，则
当 最大时， 的值为 ．
【答案】
【分析】证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，说明点H
在以 为直径的圆上运动，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，则点 在 上运动，
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说明当 与 相切时 最大，得出 ，根据 ，利用
，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，
∴点B为定点， 的长度为定值，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点H在以 为直径的圆上运动，
如图，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，
则点 在 上运动，
∴当 与 相切时 最大，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
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【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三
角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
【典例5-4】（2024·山东青岛·中考真题）如图， 中， ，以 为直径的半圆O分别交
于点D，E，过点E作半圆O的切线，交 于点M，交 的延长线于点N．若 ，
，则半径 的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关
键在于证明 ，根据等边对等角推出 ，则可证明 得到 ，
再由切线的性质得到 ，则解 求出 的长即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
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∴半径 的长为6，
故答案为： ．
【典例5-5】（2024·天津·中考真题）已知 中， 为 的弦，直线 与 相切于
点 ．
(1)如图①，若 ，直径 与 相交于点 ，求 和 的大小；
(2)如图②，若 ，垂足为 与 相交于点 ，求线段 的长．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的
关键．
（1）根据等边对等角得到 ，然后利用三角形的内角和得到 ，然
后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可；
（2）连接 ，求出 ，再在 中运用三角函数解题即可．
【详解】（1） 为 的弦，
．得 ．
中， ，
又 ，
．
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直线 与 相切于点 为 的直径，
．即 ．
又 ，
．
在 中， ．
，
．
（2）如图，连接 ．
∵ 直线 与 相切于点 ，
∴
∵
∴ ．
，得 ．
在 中，由 ，
得 ．
．
在 中， ，
．
【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2024·福建·中考真题）如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，切
点为 ，且 为 的中点，则 等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为 的中点，三角形内
角和可求出 ，再根据切线的性质即可求解．
【详解】∵ ， 为 的中点，
∴
∵
∴
∵直线 与 相切，
∴ ，
∴
故选：A．
【变式5-2】（2024·山西·中考真题）如图，已知 ，以 为直径的 交 于点D，与 相切于
点A，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出
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，有圆的切线定理可得出 ，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵以 为直径的 与 相切于点A，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【变式5-3】（2024·浙江·中考真题）如图，AB是 的直径， 与 相切，A为切点，连接 ．已
知 ，则 的度数为
【答案】 /40度
【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：∵ 与 相切，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式5-4】（2025·贵州·模拟预测）如图， 是 的直径，点 是 上一点，过点 作 的切线
，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ．
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(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由切线的性质推出半径 ，又 ，推出 ，得到 ，由
等腰三角形的性质得到 ，因此 ，得到 ，求出
．
（2）求出 ，由勾股定理得到 ，由 ，判定 ，列出
比例式，即可求出 ， ，得到 ，由勾股定理求出 ．
【详解】（1）解： 切圆于 ，
半径 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
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，
， ，
，
．
【点睛】本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，
熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式5-5】（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形 中， ， ， ， 为四边
形 的对角线， ．
(1)求点 到 的距离；
(2)如图2，点 在 边上，且 ．以 为圆心， 长为半径作 ，点 为 上一点，连接
交 于 ． ．
①当 与 相切时，求 的长；
②当 时，直接写出 的长．
【答案】(1)4
(2)① ；②5或11
【分析】（1）由勾股定理求出 的长，然后根据三角函数的定义求出 到 的距离即可；
（2）①连接 ，由（1）以及 可以求出 的长，然后根据勾股定理求出 的长，再根据勾股
定理求出 的长即可；
②过 作 与 ，所以四边形 为矩形，在 中运用勾股定理即可求出 的长，从而
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可以求出 的长．
【详解】（1）解：过 作 于 ，如图：
， ， ，
，
在 中， ，
，
即点 到 的距离为4；
（2）解：①连接 ，如图：
由（1）知， ，
，
，
，
， ， ，
，
是 的切线，
，
；
②过 作 于 ，如图：
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， ，
四边形 为矩形，
， ，
在 中， ，
；
同理， ，
或11．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理构造直角三角形
是本题解题的关键．
题型六：三角形的内心及内切圆
重要结论识记
图示
条件 点O是△ABC的内心 ⊙0是△ABC 的内切圆
结论 1.点O是ΔABC 角平分线的交点: 1.点0是ABC 的内心,⊙0分别与 AB、BC,AC相切于
点D,E,F,则OD=OE=OF；
2.∠B0C=90°+ ∠BAC,
∠AOC=90°+ ∠ABC,
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∠AOB=90°+ ∠ACB
【中考母题学方法】
【典例6-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆
半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接 ， ，作 于G，证明 是等边三角形，可得 ，然后利用勾股定理求
出 即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，作 于G，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
即它的内切圆半径为 ，
故选：D．
【典例6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 为 的
内切圆，过O作 分别交 、 于D、E，则 的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】B
【分析】如图， 为 的内切圆，切点分别为 ，连接 ， ， ，过 作 于
，利用内切圆的性质求解 ， ，再利用相似三角形的性质解得即可．
【详解】解：如图， 为 的内切圆，切点分别为 ，连接 ， ， ，过 作
于 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选:B
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，切线的性质，
作出合适的辅助线是解本题的关键．
【典例6-3】（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片， ， ，
为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
【答案】
【分析】连接 ，作 的平分线交 于点 ，作 于 ，如图求得
，则 ， ，所以 平分 和 ，加上 平分 ，根据
角平分线性质得到点 到四边形 的各边的距离相等，则得到 是四边形 的内切圆，它是所
求的面积最大的圆形纸片，其半径为 ，接着证明 为等腰直角三角形得到 ，设 ，
则 ， ，然后证明 ，利用相似比可计算出 ．
【详解】解：连接 ，作 的平分线，交 于点O，作 于 ，
在 和 中，
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，
∴ ，
∴ ，
平分 和 ，
平分 ，
点 到四边形 的各边的距离相等，
∴ 是四边形 的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为 ，
，
，
∴ 为等腰直角三角形，
，
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
，
即 ，
．
即 的半径为 ，
∴圆形纸片的半径为 ．
故答案为：
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【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆
是所求的面积最大的圆是解题的关键．
【典例6-4】（2024·浙江宁波·一模）如图，将矩形 的边 翻折到 ，使点D的对应点E在边
上，再将边 翻折到 ，且点A的对应点F为 的内心，则 ．
【答案】4
【分析】设 交 于点 ，作 于点 ，作 于点 ，根据平行线的判定和性质得出
，根据折叠得出 ，根据等腰三角形三线合一的性质得出 ，
，根据三角形内心的定义得出 ， ，根据
矩形的性质得出 ， ，求得 ， ，等量代换得出
，结合平行线的性质得出 ，根据等腰直角三角形的定义得出
，根据等边对等角得出 ，推得 ， ，根
据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等得出 ，结合三角
形的外角性质得出 ，根据正切的定义的得出 ，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：设 交 于点 ，作 于点 ，作 于点 ，则 ，如图：
∴ ，
∴ ，
根据折叠可得 ，
∵ ， ，
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∴ ， ，
∵点 为 的内心，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
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在 中， ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内心的定义，矩形的性质，
全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正切的定义等．正确地作出辅助线，构建全等三角形是解
题的关键．
【典例6-5】（2024·山东烟台·中考真题）如图， 是 的直径， 内接于 ，点I为 的内
心，连接 并延长交O于点D，E是 上任意一点，连接 ， ， ， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)找出图中所有与 相等的线段，并证明；
(3)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)30
【分析】（1）利用圆周角定理得到 ，再根据三角形的内角和定理求 ，然后利用圆
内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接 ，由三角形的内心性质得到内心， ， ，然后利用圆周角定理得
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到 ， ，利用三角形的外角性质证得 ，然后利用等角对等边
可得结论；
（3）过I分别作 ， ， ，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定
理得到 ， ， ，利用解直角三角形求得 ， ，进而可求解．
【详解】（1）解：∵ 是 的直径，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵四边形 是 内接四边形，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
证明：连接 ，
∵点I为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过I分别作 ， ， ，垂足分别为Q、F、P，
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∵点I为 的内心，即为 的内切圆的圆心．
∴Q、F、P分别为该内切圆与 三边的切点，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的周长为
．
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形
的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答
的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式6-1】（2024·山东聊城·一模）如图，点 为等边 的内心，连接 并延长交 的外接圆于
点 ，已知外接圆的半径为 ，则线段 的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的内心、外心，连接 ，证明 是等边三角形，即
可求解，牢记“等边三角形的内心与外接圆的圆心重合”是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
是等边三角形，
，
点 为等边 的内心，
，
，
等边三角形的内心与外接圆的圆心重合，
点 为 的外接圆的圆心，
，
是等边三角形，
，
故选A．
【变式6-2】（2024·四川南充·一模）如图，点 是 外接圆的圆心．点 是 的内心．连接
．若 ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，
熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
连接 ，由点 是 的内心可得 平分 ，根据角平分线的定义可得
，根据圆周角定理可得 ，根据等腰三角形的定义及三
角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】如图，连接 ，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 外接圆的圆心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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故选：C．
【变式6-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张 纸片中， ， ，
， 是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线DE剪下一块三角形 ，则 的周
长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解直角三角形．设 的内切圆
切三边于点 ，连接 ，得四边形 是正方形，由切线长定理可知 ，根
据 是 的切线，可得 ， ，根据勾股定理可得 ，再求出内切圆的半径，进
而可得 的周长．
【详解】解：如图，设 的内切圆切三边于点 、 、 ，连接 、 、 ，
∴四边形 是正方形，
由切线长定理可知 ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
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∵ 是 的内切圆， 、 为切点，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
设内切圆的半径为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
故选：B．
【变式6-4】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在 中， ， ， ，点
是 的内心．点 到边 的距离为 ；
【答案】2
【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接 ， ， ，过点 分别作
， ， 于点 ， ， ，根据 ，
，可得 ，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，过点 分别作 ， ， 于点 ， ， ，
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在 中，
， ， ，
，
是 的内心，
，
，
，
，
点 到边 的距离为2；
故答案为：2．
【变式6-5】（2024·福建南平·模拟预测）如图，以 的直角边 为直径的 交斜边 于点 ，
过点 作 的切线与 交于点 ，弦 与 垂直，垂足为 ．
(1)求证： 为 的中点；
(2)若 的面积为 ，两个 和 的外接圆面积之比为3，求 的内切圆面积 和四边形
的外接圆面积 的比．
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【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明 ， ， 为直角三角形 的中线，即可求解；
（2） 和 的外接圆面积之比为3，确定 ，即 ，得 ，
即可求解．
【详解】（1）证明：连接 、 ，
是直径，则 ，
是切线，
，
，
，即 是圆的切线，
，
，
，
，
，
，
为 的中点；
（2）解： 和 的外接圆面积之比为3， ，
则两个三角形的外接圆的直径分别为 、 ，
，
∵ ，
∴ ，
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，
∵ ，AB是直径，
∴ ，
，
∴ ，
，
， 是直角三角形的中线，
，
为等边三角形，
的面积： ，
则 ， ，
， ， ，
∵ 是 的中位线，
∴ ，
∴四边形 的外接圆面积 ，
∵等边三角形 边长为2，
∴其内切圆的半径为： ，面积为 ，
故 的内切圆面积 和四边形 的外接圆面积 的比为： ．
【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过
和 的外接圆面积之比为3，确定 ，进而求解．
题型七：阴影部分面积计算
方法1 公式法
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面积公式直接计算
观察图形,所求阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时,可直接用面积公式进行求解.
方法2 和差法
面积和差运算
观察图形,所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形或特殊四边形面积的和或者差,则分别计算每部分面积,
再加减计算.
方法3 等积转化法
等积转化法的解题关键
观察图形,当所求阴影部分可转化成规则图形或阴影部分不是一个整体时,可尝试通过等积转化法计算.
1.通过平行线间三角形面积相等进行等积转化;
2.将两部分阴影部分面积合二为一进行等积转化
【中考母题学方法】
【典例7-1】（2024·河南·中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形 的外接圆，点D是 的
中点，连接 ， ．以点D为圆心， 的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过D作 于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出 ，利用弧、
弦的关系证明 ，利用三线合一性质求出 ， ，在
中，利用正弦定义求出 ，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解∶过D作 于E，
∵ 是边长为 的等边三角形 的外接圆，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
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∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直
角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键．
【典例7-2】（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片 ，
，点M为 的中点，若以M为圆心， 为半径画弧交对角线
于点N，则 度；将扇形 纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则
这个圆锥的底面圆半径为 ．
【答案】 40 2
【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据
平行四边形的性质可得 ，再根据三角形的内角和定理可得 ，然后根据等腰
三角形的性质可得 ，最后根据三角形的外角性质可得 的度数；先利用弧长公
式求出扇形 的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形 的弧长求解即可得．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由圆的性质可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴扇形 的弧长为 ，
∴圆锥的底面圆半径为 ，
故答案为：40；2．
【典例7-3】（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形 中， ， ．以点 为圆心，
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长为半径作弧交 于点 ，再以 为直径作半圆，与 交于点 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法
求阴影部分的面积．
设弓形 ，连接 ， ，由题意知 ，即 为等边三角形，
，即可得出阴影部分面积为 ，代入数值即可求出结果．
【详解】解：∵以点 为圆心， 长为半径作弧交 于点 ， ， ，
∴ ，
∴以 为直径作半圆时，圆心为点 ，
设弓形 ，连接 ， ，即 ，如图：
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故阴影部分面积为 ，
代入数值可得 ，
故答案为 ．
【典例7-4】（2024·宁夏·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，点 是 的内心，
连接 并延长交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
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(1)求证： ；
(2)连接 ，若 的半径为2， ，求阴影部分的面积（结果用含 的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇
形面积的计算．
（1）连接 ，交 于点G，根据等腰三角形的性质得到 ，由D为 的内心，得到
，求得 ，根据圆周角定理得到∠ ，求得 ，根据切线的性
质得到 ，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到 ，求得 ，求得 ，根据
扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 ，交 于点 ，
，
，
又 为 的内心，
，
，
∴ ，
又 为 的直径，
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，
又 为 的切线且 为 的半径，
，
，
∴ ；
（2）解： ，
，
，
，
，
．
【典例7-5】（2024·四川乐山·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，过点C作 的切
线 交 延长线于点D，点E为 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 垂直平分 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接 ．则 ，即 ．由 为直径，可得
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，即 ．则 ．由 ，可得 ．由 ，可得
．则 ．进而可证 ．
（2）如图2，连接 ．由 垂直平分 ，可得 ．则 为等边三角形． ，
．由 ，可得 ．由 ，可得 ．
．证明 为等边三角形．则 ， ． ．则
． ． ． ． ，
再根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ．
图1
∵ 为 的切线，
∴ ，即 ．
又∵ 为直径，
∴ ，即 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：如图2，连接 ．
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图2
∵ 垂直平分 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判
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定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的
性质定理、正确添加辅助线是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式7-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形 中， ，点O是对角线
的中点，以点O为圆心， 长为半径作圆心角为 的扇形 ，点D在扇形 内，则图中阴影部分
的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】连接 ，将 绕点O顺时针旋转 得到 ．证明 ，推出
，利用 即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，将 绕点O顺时针旋转 得到 ．
，
，
在菱形 中，点O是对角线 的中点， ，
， ，
，
，
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，
，
，
，
．
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，
构造三角形全等，利用 是解题的关键．
【变式7-2】（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图 是其几何
示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形 的圆心角为90°， ，点 ， 分别为 ，
的中点，则花窗的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去
的面积即可解决问题．
【详解】解：由题知，
（ ），
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ （ ），
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∴ （ ），
∴花窗的面积为
故答案为： ．
【变式7-3】（2024·云南怒江·一模）如图， 为⊙ 的直径，点C在⊙ 上， 的平分线 交⊙
于点D，过点D作 ，交 的延长线于点E．
(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由圆周角定理可证 ，进而可证 ，由平行线
的性质可证 ，可得 是⊙ 的切线；
（2）求出 得 ，在 中，由勾股定理求出 ，然后根据
即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，
是 的平分线，
，
，
，
，
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，
，
，
为 的半径，
直线 是 的切线；
（2） ， ，
，
，
在 中， ，即 ，
解得： ，
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、扇形面积公式、切线的判定以
及平行线的性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．
【变式7-4】（2024·湖北宜昌·二模）如图，直线 经过 上的点C，直线 与 交于点F和点D，
与 交于点E，与 交于点G， ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接 ，根据等腰三角形的性质可得 ，即可得证；
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（2）由圆周角定理结合平行线的性质可得 ，由垂径定理可得 ，由等
腰三角形的性质结合平角的定义得出 ，解直角三角形得出 ，
，最后根据 计算即可得解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
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∴ ， ，
∴ ．
【变式7-5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图， 内接于 ， 为 的直径，
于点D，将 沿 所在的直线翻折，得到 ，点D的对应点为E，延长 交 的延长线于点
F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由折叠的性质得 ， ，再证明 ，推
出 ，据此即可证明 是 的切线；
（2）先求得 ，在 中，求得 ，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
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∴ ，
∵ 沿直线 翻折得到 ，
∴ ， ，
∵ 是 的半径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 于点C，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合
三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
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【变式7-6】（2024·江苏南通·中考真题）如图， 中， ， ， ， 与 相切于点
D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设 上有一动点P，连接 ， ．当 的长最大时，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接 ，利用勾股定理的逆定理判定得出 ，利用切线的性质得出 ，利用等面
积法求出 ，然后利用 求解即可；
（2）延长CA交 于P，连接 ，则 最大，然后在 中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解∶连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切于D，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ；
（2）解∶延长CA交 于P，连接 ，此时 最大，
由（1）知： ， ，
∴ ．
【变式7-7】（2024·山东德州·中考真题）如图，圆 与 都经过A，B两点，点 在 上，点C是
上的一点，连接 并延长交 于点P，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ， ．
①求 的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①2
②
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【分析】对于（1），连接 ，在 中，先根据同弧所对的圆周角相等得 ，然后
在 中，根据圆周角定理得 ，可得答案；
对于（2）①，由 结合（1），可得 ，再连接 ，作 ，可得
， ，进而得出 ，然后在 中，根据 得出答
案；
对于②，先说明 是等边三角形，即可求出其面积，在 中，求出弓形的面积，然后根据
得出答案．
【详解】（1）如图所示． 连接 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ；
（2）①，∵ ，
∴ ．
连接 ，过点 作 ，交 于点D，
∴ ， ，
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∴ ．
在 中， ，
即 ，
∴ ，
所以 的半径是2；
②∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴点 三点共线．
在 中， ，
在 中， ．
在 中， 上标点 ， ．
在 中，
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．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇
形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键．
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