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2．5.4 三角形的内切圆
＝55°.故选B.
方法总结：解决本题的关键是利用三角
1．了解有关三角形的内切圆和三角形 形内切圆的性质，求出∠EOF的度数．
内心的概念；(重点) 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
2．能运用三角形内切圆、内心的知识进 堂达标训练”第1题
行有关的计算．(难点) 【类型二】 求三角形的内切圆的半径
如图，⊙O 是边长为 2 的等边
△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．
一、情境导入 解析：如图，连接OD、OC.由等边三角
新农村建设中，张村计划在一块三角形 形的内切圆的圆心即为底边上的中线，底边
场地中建一个最大面积的圆形花园，请你设 上的高和顶角的平分线的交点，所以∠OCD
计一个建筑方案． ＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.
二、合作探究 又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根
探究点一：三角形的内切圆的相关计算 据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋
【类型一】 利用三角形的内切圆求角的 12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为.故
度数 答案为.
如图，⊙O内切于△ABC，切点 方法总结：等边三角形的内切圆的圆心
D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B＝ 为等边三角形中线、高、角平分线的交点，它
45°，∠C＝65°，连接OE，OF，DE，DF，那么 到等边三角形三边的距离相等．而在解直角
∠EDF等于( ) 三角形内切圆的相关问题时，经常要用到
“圆心到切线的距离等于半径”这条性质．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第2题
【类型三】 求三角形的周长
如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与
A．40° 两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣
B．55° 弧DE(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O
C．65° 的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若
D．70° ⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(
解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝ )
45°，∠C＝65°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于
△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝
∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－
∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝∠EOF
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相等，最后利用等角对等边证明线段相等；
(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第7题
三、板书设计
A．r B.r C．2r D.r
解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC
的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，
MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD
＝MP，同理可得NP＝NE，∴C ＝MB
Rt△MBN
＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋
MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.故选C.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练”第4题
探究点二：三角形的内心的相关证明与
计算 教学过程中，注重引导学生理解和掌握三角
如图，已知E是△ABC的内心， 形的内切圆和内心的概念和性质， 并能进
∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的 行灵活的运用．明确三角形的内心是三角形
外接圆相交于点D. 三条角平分线的交点，到三角形三边的距离
相等.
(1)求证：BD＝ED；
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE
的长．
解析：(1)求证BD＝ED，可利用等角对
等边证明．只要证明∠DBE＝∠DEB即可；
(2)要求DE的长，可转化为求BD的长．
利用△BDF∽△ADB，用比例式即可求解．
(1)证明：∵E 是△ABC 的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又
∵ ∠ CBD ＝ ∠ CAD ， ∴ ∠ BAD ＝
∠ CBD.∴∠CBE ＋ ∠ CBD ＝ ∠ ABE ＋
∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；
(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，
∴DF＝AD＝×8＝2(cm)．∵∠CBD＝
∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴
＝.∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝
4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.
方法总结：(1)充分利用内心的意义以及
三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角
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