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专题22 圆锥曲线与重心问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆E上一动点，G点是三角形 的重心，
则点G的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 分别为椭圆 的左、右焦点，
设 ，G点是三角形 的重心，则 ，得 ，
又 是椭圆E上一动点， ，即 ，
又G点是三角形 的重心， ，所以点G的轨迹方程为 ，故选：B
2．已知 是抛物线 上三个动点，且 的重心为抛物线的焦点 ，若 ， 两点均在 轴
上方，则 的斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解析】依题意，设 ， ， ，由 ， 在 轴上方，故 ， ，因为抛物线为 ，所以 ，
则 ，所以 ，则 ，
注意到 ，故 ，即 ，
又 ，代入可得 ，
故 ，即 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，因而 .故选：B.
3．已知点 为双曲线 的虚轴的上顶点， 为双曲线的右焦点，存在斜率为 的直线交双
曲线于点 两点，且 的重心为点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解析】 ，设 ，设斜率为 的直线为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
， ，即 ，
设 ， ，则 ，
，
因为 的重心为点 ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，消去 得 ，得 ，得 ，
得 ，得 ，得 ，
得 ， .故选：A
4．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆上异于长轴端点的动点， ， 分别为
的重心和内心，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【解析】
由椭圆 可得 ， ，
如图，设 的内切圆与三边分别相切与 ， ， ，
， 分别为 的重心和内心．则 ， ， ，
所以 ，
所以
，故选：D
5．椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，若存在直线 与椭圆交于不同两点 ，
重心为 ，直线 的斜率取值范围是（ ）
A． B． C． D．【解析】设椭圆 的半焦距为 ，由已知 ， ，设 ，
因为 重心为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以直线 的斜率 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，所以直线 的斜率取值范围是 ，故选：B.
6．设双曲线 的右焦点为 ， ，若直线 与 的右支交于 两点，且
为 的重心，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，双曲线 的右焦点为 ，且 ，
设点 为 的中点，因为 为 的重心，所以 ，
即 ，解得 ，即 ，因为直线 与 的右支交于 两点，则满足 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
当离心率为 时，即 时，可得 ，此时 ，
设 ，可得 ，
又由 ，两式相减可得 ，
即直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，此时 四点共线，此时不满足题意，
综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为 .故选：A.
7．已知F为抛物线 的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点， ，
， 面积分别为 ，若F为 的重心，且 ，则该抛物线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 、 、 三点的坐标分别为 ， ， ， ， ， ，
抛物线 的焦点 的坐标为 , ， ，
，
、 、 在抛物线 上， ， ， ，由此可得： ， 点 是 的重心，
，可得 ,
因此， ,解得 （负值舍去），
故该抛物线的方程为 ，故选： ．
8．抛物线 的焦点为 ，点 、 、 在 上，且 的重心为 ，则 的取值范围
为
A． B． C． D．
【解析】由题意知，抛物线 的焦点为 ，设点 、 、 ，
由重心的坐标公式得 ， ， ，
设直线 的方程为 ，由 ，消去 得 ，
，由韦达定理得 ， ，
所以， ，
故 ， ，
将点 的坐标代入抛物线 的方程得 ，得 ，
则 ，得 ，
则 .
不在直线 上，则 ，此时， ，则 .因此， 的取值范围是 .故选：A.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．椭圆 的左、右焦点分别是 ， 是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），
的重心是 ， 的角平分线交x轴于点 （m，0），下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是椭圆的一部分 B． 的长度范围是
C． 取值范围是 D．
【解析】设重心 ，又 ，
∴ ，即 ，又 是椭圆上一点，
∴ ，即 ，故A正确；
∵G的轨迹是椭圆 的一部分，长半轴长为 ，短半轴长为 ，∴ ，故B错误；
根据内角平分线定理可知， ，
又 ，∴ ，故C正确；
同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由 可知， ，∴ ，故D正确.
故选：ACD.
10．已知 为抛物线 上的三个点，焦点F是 的重心．记直线AB，AC，BC的斜
率分别为 ，则（ ）
A．线段BC的中点坐标为
B．直线BC的方程为
C．
D．
【解析】设 ，因为F为 重心，
所以 ，设BC中点 ，则 ，
，由重心分中线 得 ，即 ，
又因为A在抛物线上，所以 ，所以 ，即 ，故A正确；
，
直线 ，故B正确；
因为 ，所以 ，所以 ，故C错误；，同理 ，
所以 ，故D正确．
故选：ABD
11．设双曲线 的右焦点为 ，若直线 与 的右支交于 两点，且
为 的重心，则（ ）
A． 的离心率的取值范围为
B． 的离心率的取值范围为
C．直线 斜率的取值范围为
D．直线 斜率的取值范围为
【解析】设 为 的中点，根据重心性质可得 ，
因为 ，则 ，
因为直线 与 的右支交于 两点，所以点 在双曲线右支内部，
故有 ，解得 ，
当直线 斜率不存在时， 的中点 在 轴上，故 三点不共线，不符合题意舍，
设直线 斜率为 ，设 ，所以 ， ，
因为 在双曲线上，所以 ，两式相减可得： ，即 ，即有 成立，
即有 ，因为 不共线，即 ，即 ，即 ，
所以 的离心率的取值范围为 ，
因为 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 .故选：AC
12．若双曲线 ， 分别为左、右焦点，设点 在双曲线上且在第一象限的动点，点 为
的内心，点 为 的重心，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．点 的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若 ， ，则 .
D．存在点 ，使得
【解析】由题意，双曲线 ，可得 ，
则离心率为 ，所以A正确；
设 ， 的内切圆与边 切于点 ，与边 切于点 ，
与边 切于点 ，可得 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，又由 ，解得 ，则 的横坐标为 ，
由 与 的横坐标相同，可得 的横坐标为 ，可得 在定直线 上运动，所以B不正确；
由 且 ，解得 ，
则 ，可得 ，
所以 ，同理可得 ，
设直线 ，直线 ，联立方程组，求得 ，
设 的内切圆的半径为 ，则 ，
解得 ，即有 ，可得 ，
由 ，可得 ，解得 ，可得 ，所以C正确；
设 ，则 ，
设 的内切圆的半径为 ，则 ，
于是 ，可得 ，
若 ，可得 ，即 ，又由 ，联立可得 ，
因此 ，解得 ，即存在点 ，使得 ，所以D正确.
故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知 的顶点 ， ，顶点A在抛物线 上运动，则 的重心G的轨迹方程
为 ．
【解析】设 ， ．由点G为 的重心，得 ，所以 ．
又 在抛物线 上，所以 ，即 ．
又点A不在直线BC上，所以 ，即 ，所以所求轨迹方程为 ．
14．已知抛物线 上三点 满足： 的重心是 ，则直线 的斜率之和
为 ．
【解析】设抛物线 上三点 ，
由 的重心是 ，得 ，即有 ，
直线 的斜率分别为 ， ，
所以直线 的斜率之和 .
15．已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别
为 的内心和重心，若IG与y轴平行，则 ．
【解析】由题意知 .
如图， 为 的内切圆，切点分别为A、B、C，设 ，则 ，由双曲线的定义知，
，即 ，
又 ，所以 ，
得 ，即 .
又 的重心G与内心I的连线平行与y轴，即 轴于点A，所以 .
因为 ，所以 ，
代入双曲线方程，得 ，解得 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 .
16．已知抛物线 ，过定点 的动直线 与抛物线 交于 两点， 是坐标平面内
的动点，且 的重心为坐标原点 .若 的最小值为1，则 .
【解析】设 ，则 ， ，
因为 共线，则 ，化简得 ，
因为 是 的重心，于是得 ，
因此， ，即 ，当且仅当a+b=0时取“=”，即 ，
而 的最小值为1，则 ，即 ，所以 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线 上的任意一点到 的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点 的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，
求 重心G的轨迹方程．
【解析】（1）由抛物线的定义可得 ，∴抛物线的方程为 ；
（2）由题意可得直线 的斜率存在，设其为k，设 ，则直线 的方程为 ；
代入抛物线方程得 ，则有 ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ①
同理可得 ②，①-②有 ，得 ，∴
．∴
又 ，设 ，则 ，
消k得 ，所以G的轨迹方程为 ．
18．已知曲线 在 轴上方，它上面的每一点到点 的距离减去到 轴的距离的差都是2.若点
分别在该曲线 上，且点 在 轴右侧，点 在 轴左侧， 的重心 在 轴上，直线 交 轴于
点 且满足 ，直线 交 轴于点 .记 的面积分别为(1)求曲线 方程；
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）曲线上每一点到点 的距离减去到 轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点
的距离与到直线 的距离相等，所以曲线 为抛物线， ；
（2）设点 ，
为 的重心 ， ，
由相似三角形可知 且 ，
可得 ，
令 ，
因为 ，所以 ，故 ，
， .
19．已知 ， 为 的两个顶点， 为 的重心，边 ， 上的两条中线长度之和
为6.
(1)求点 的轨迹 的方程；(2)若直线 与曲线 相交于点 、 ，若线段 的中点是 ，求直线 的方程；
(3)已知点 ， ， ，直线 与曲线 的另一个公共点为 ，直线 与 交于点
，求证：当点 变化时，点 恒在一条定直线上.
【解析】（1）因为 为 的重心，且边 ， 上的两条中线长度之和为6，
所以 ，
故由椭圆的定义可知 的轨迹 是以 ， 为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
故设点 的轨迹 的方程为 ，所以 ， ，所以 ，
所以 的轨迹 的方程为 ；
（2）设 ， ，
若直线 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可得线段 的中点在 轴上，不满足题意；
故设直线 ： ，与 ： 联立，整理得： ，
由 整理得： ，故 ， ，
由题意知 ，解得： ， ，满足 ，故直线 ：
（3）设直线 的方程为： ， ， ，
联立方程 得： ，
由 整理得： ，即 或 ，
则 ， ，所以 ，
又直线 的方程为： ，又直线 的方程为： ，
联立方程 得： ，
把 代入上式得： ，
所以当点 运动时，点 恒在定直线 上
20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的焦点为F，A，B为E上两点，且点A的纵
坐标为 ，F恰好是 的重心.
(1)求E的方程；
(2)若 ，P，Q为抛物线上相异的两个动点，且 ，求 的最小值.
【解析】（1）由已知可得 ， ，设
F恰好是 的重心， ，解得 ，
将 代入 ，得 ， ，解得 ， E的方程为 ；
（2）设直线PQ的方程为 ， ， ，
由方程组 ，得
，即 ，且 ， ，， ，
， ，
，即 ，
， ，
， 或 ，
若 ，直线PQ过N点，不合题意，舍去，
，此时 ， ，
则 ，
当 时， 有最小值为11.
21．已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，其左右焦点为 ， ，点D为双曲线
上一点，且 的重心G点坐标为 .
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)过x轴上一动点 作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为 （ 与B不重合），连接 并延长交x轴于点Q，问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说
明理由.
【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为 ，故可设双曲线的方程为 ，
设 ，因为 的重心 点的坐标为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，则代入得 ，
所以双曲线的标准方程为
（2）由题意知直线 的斜率必存在，设 的方程为 ，
，则 ，联立 ，
化简得 ，
则 ，且 ，
由韦达定理得 ， ，
则直线 的方程为： ，
令 ，则
，故 ..
22．已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线 的焦点，过点F的直线交抛物线于
A，B两点，且 的重心G在曲线 上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线 与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形
DEMG面积的最小值.
【解析】（1）由题知，焦点 ，显然直线 的斜率存在，
设直线 ， ， ， ，
联立 消去 得 ，则△ ，
则 ，所以 ，
所以 且 ，故 ，
即 ，整理得 对任意的 恒成立，故 ，
故所求抛物线 的方程为 ．
（2）由题知 ， ， ， ， ， ，则 .
又弦AB的中点为M， 的重心为G，则 ，故 ，所以 .点D到直线AB的距离 ，
，
所以四边形DEMG的面积
当且仅当 ，即 时取等号，
此时四边形DEMG面积的最小值为 .
