文档内容
2025-2026学年山西大学附中高三（上）月考数学试卷（1月份）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（5分）等差数列{a }中，a ＝3，则a +a ＝（ ）
n 6 3 9
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线刚好平分圆（x+2）2+（y+1）2＝1的周长，则抛物线的焦
点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
3．（5分）从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件A：“第一次
抽到的数字是奇数”，事件B：“第二次抽到的数字是偶数”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）边长为2的等边三角形ABC的外心为O，则（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
5．（5分）正三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝AA ，则异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
6．（5分）任何一个复数z＝a+bi（a，b R）都可以表示成z＝r（cos +isin ）（r≥0， R）的形式，
通常称为复数的三角形式．法国数∈学家棣莫弗发现：[r（cosθ+isinθ ）]n＝rn（θc∈osn +isinn ）
（n Z），我们称这个结论为棣莫弗定理，则的值为（ ） θ θ θ θ
A．∈ B．
C． D．
7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F ，F ，P为双曲线右支上一点，△PF F 的内切圆圆心为
1 2 1 2
I，连接PI并延长交x轴于点Q，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．4
8．（5分）关于x的方程有两个不同的解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）下列命题中，正确的有（ ）
A．“a＞b”是“”的必要不充分条件
B．若a＞b＞c＞0，则
第1页（共15页）C．若实数a，b满足2a+b＝2，则4a+2b的最小值为
D．
（多选）10．（6分）已知，则下列结论正确的有（ ）
A．a ＝1
0
B．a ＝494
3
C．
D．a
i
（i＝0，1，2，⋯，8）中，a
5
与a
6
最大
（多选）11．（6分）已知正项数列{a }满足，则下列说法正确的是（ ）
n
A．
B．存在n N*，使得
C． ∈
D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）已知集合，集合B＝{y|y＝4x，x A}，则A∩B＝ ．
13．（5分）据调查，某高校大学生每个月的∈生活费X（单位：元）服从正态分布X～N（2000，σ2），又
P（2000＜X＜2500）＝0.3，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取 10位同学，
则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有 人．
14 ． （ 5 分 ） 若 △ ABC 中 ， ， BC ＞ AB ， 点 D 满 足 且 BD ＝ 1 ， 则 AC 的 取 值 范 围 为
．
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若∠BAC的平分线交BC于点D，且，BC＝2，求△ABC的面积．
16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，，PA＝AD＝3，AB＝2，BC＝4，
E为线段PA上一点，且满足，记平面BCE∩平面PAD＝l．
（1）求证：BC∥l；
（2）若直线PD与l交于点F，求直线BF与平面PCD所成角的正弦值．
第2页（共15页）17．（15分）函数f（x）＝sinx．
（1）令，若函数F（x）存在唯一零点，求实数a的取值范围；
（2）若，求函数g（x）的值域．
18．（17分）平面直角坐标系xOy中，A （2， ），A （2（1﹣ ），0），B （0，1），B （0，﹣
1 2 1 2
1），其中0＜ ＜1，直线A B 与直线A B 交于λ点Q，Q的轨迹为λ椭圆E：的一部分．
1 1 2 2
（1）求椭圆Eλ的方程；
（2）过点P（﹣4，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与E交于A，B两点，
（i）若|AP|+|BP|＝ |AP|•|BP|，求实数 的取值范围；
（ii）已知点M（1μ，0），直线AM，BμM与E分别交于另一点为C，D，令直线CD的斜率为k
1
，求的
值．
19．（17分）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙
包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷
n次（n≥2且n N）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者∈进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得 1分，未命中记得﹣1分，当累
计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到﹣3分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，
且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为p（0＜p＜1）．
（1）当n＝4时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望；
（2）当n＝k（k≥2且k N）时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）；
（3）记甲同学获奖时，∈投掷次数不超过4次的概率为p
0
；若乙同学获奖概率不小于p
0
，求p的最小值．
第3页（共15页）2025-2026学年山西大学附中高三（上）月考数学试卷（1月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A A D C C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABD
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（5分）等差数列{a }中，a ＝3，则a +a ＝（ ）
n 6 3 9
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根据等差数列的性质求解即可．
【解答】解：等差数列{a }中，a ＝3，
n 6
则a +a ＝2a ＝6．
3 9 6
故选：B．
2．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线刚好平分圆（x+2）2+（y+1）2＝1的周长，则抛物线的焦
点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
【分析】求解圆的圆心，推出抛物线的准线方程，然后求解焦点坐标即可．
【解答】解：圆（x+2）2+（y+1）2＝1的圆心为（﹣2，﹣1），抛物线y2＝2px（p＞0）的准线刚好平
分圆的周长，
故抛物线准线为x＝﹣2，故焦点为（2，0）．
故选：C．
3．（5分）从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件A：“第一次
抽到的数字是奇数”，事件B：“第二次抽到的数字是偶数”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由古典概型公式求出P（A）和P（AB），由条件概率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，事件A：“第一次抽到的数字是奇数”，事件 B：“第二次抽到的数字是偶
第4页（共15页）数”，
P（A），P（AB），
故P（B|A）．
故选：A．
4．（5分）边长为2的等边三角形ABC的外心为O，则（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得．
【解答】解：取BC边的中点D，连接AD，
因为O为边长为2的等边三角形的外心，
所以，所以，
所以
．
故选：A．
5．（5分）正三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝AA ，则异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
【分析】建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量的坐标，再求出这两个向量的夹角的余弦值，
再求出这两条直线的夹角的余弦值．
【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设AA ＝AB＝AC＝BC＝2，
1
第5页（共15页）则A（0，﹣1，2），B （，0，0），B（，0，2），C （0，1，0），
1 1
可得（，1，﹣2），（，1，﹣2），
可得1×1+（﹣2）×（﹣2）＝2，
||2，||2，
可得cos，．
所以异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为|cos，|．
1 1
故选：D．
6．（5分）任何一个复数z＝a+bi（a，b R）都可以表示成z＝r（cos +isin ）（r≥0， R）的形式，
通常称为复数的三角形式．法国数∈学家棣莫弗发现：[r（cosθ+isinθ ）]n＝rn（θc∈osn +isinn ）
（n Z），我们称这个结论为棣莫弗定理，则的值为（ ） θ θ θ θ
A．∈ B．
C． D．
【分析】化代数形式为三角形式，再由棣莫弗定理求解．
【解答】解：因为，
所以
．
故选：C．
7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F ，F ，P为双曲线右支上一点，△PF F 的内切圆圆心为
1 2 1 2
I，连接PI并延长交x轴于点Q，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】由已知向量等式结合双曲线的定义求得|PF |＝8，|PF |＝4，再由求得P点纵坐标，然后利用
1 2
等面积法求解c，则答案可求．
【解答】解：由△PF F 的内切圆圆心为I，且PI的延长交x轴于点Q，，
1 2
由三角形内角平分线定理知：，
第6页（共15页）由双曲线定义知：|PF |﹣|PF |＝2a＝4，
1 2
故|PF |＝8，|PF |＝4，
1 2
又由，可得（r为内切圆半径），
由，得，
所以．
故选：C．
8．（5分）关于x的方程有两个不同的解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用指对运算将方程化为，设f（x）＝ex+x，x＞0，求导确定单调性可得a＝﹣xlnx，x＞0，
令h（x）＝﹣xlnx，x＞0，求导确定函数h（x）的单调性与最值，从而得实数a的取值范围．
【解答】解：方程可转化为，则，
所以，
设f（x）＝ex+x，x R，则方程转化为，
又f'（x）＝ex+1＞0∈恒成立，所以f（x）在R上为增函数，
所以，即a＝﹣xlnx，x＞0，
令h（x）＝﹣xlnx，x＞0，所以h′（x）＝﹣1﹣lnx，则h′（x）＝0，可得，
当时，h′（x）＞0，函数h（x）在上单调递增，
当时，h′（x）＜0，函数h（x）在上单调递减，
所以，
又x→0+时，h（x）→0，x→+∞时，h（x）→﹣∞，
若方程a＝﹣xlnx，x＞0有两个不同的解，则实数a的取值范围为．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）下列命题中，正确的有（ ）
A．“a＞b”是“”的必要不充分条件
B．若a＞b＞c＞0，则
C．若实数a，b满足2a+b＝2，则4a+2b的最小值为
D．
【分析】选项A，分别判断充分性与必要性即可；选项B，利用作差法判断即可；选项C，利用基本不
等式即可求解；选项D，根据函数的单调性，即可判断大小．
第7页（共15页）【解答】解：对于A，a＞b时，不一定得出，如a＝1，b＝﹣1时；
时，不一定得出a＞b，如a＝﹣1，b＝1时；
所以，a＞b是的既不充分也不必要条件，选项A错误；
对于B，因为a＞b＞c＞0，所以0，
所以，选项B正确；
对于C，因为2a+b＝2，所以4a+2b≥224，
当且仅当4a＝2b，即2a＝b时取“＝”，选项C错误；
对于D，因为yx在（0，+∞）上单调递减，所以21＝0，
又因为y＝0.3x在R上单调递减，所以0.30.2＜0.30＝1，
又因为y＝2x在R上单调递增，所以20.3＞20＝1，
所以2＜0.30.2＜20.3，选项D正确．
故选：BD．
（多选）10．（6分）已知，则下列结论正确的有（ ）
A．a ＝1
0
B．a ＝494
3
C．
D．a
i
（i＝0，1，2，⋯，8）中，a
5
与a
6
最大
【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．
【解答】解：，
令x＝1，可得a ＝1，故A正确；
0
由于（2x﹣1）8＝[1+2（x﹣1）]8，故，令r＝3，可得，故B错误；
令x＝2，可得38＝a
0
+a
1
+a
2
+⋯+a
8
，令x＝0，可得1＝a
0
﹣a
1
+a
2
﹣⋯+a
8
；两式相减得，故C正确；
由，解得5⩽r⩽6，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）已知正项数列{a }满足，则下列说法正确的是（ ）
n
A．
B．存在n N*，使得
C． ∈
D．
【分析】由数列的递推式推得，由等差数列的通项公式，可判断 A；运用数列的裂项相消求和，可判
断B；由等差数列的求和公式，可判断C；由lnx⩽x﹣1可得，令，可得，运用数列的裂项相消求和，
第8页（共15页）可判断D．
【解答】解：由a a ＝（2a ﹣a ）a 可知，a a ＝2a a ﹣a a ，
n n+1 n n+1 n+2 n n+1 n n+2 n+1 n+2
两边同时除以a a a ，可得，
n n+1 n+2
故数列为等差数列，
由a ，a ，可得公差，
1 2
故，3+2（n﹣1）＝2n+1，即a ，故，故A正确；
n
由，
那么，解得n＝6，故B正确；
由等差数列前n项和公式得：n（3+2n+1）＝n2+2n，故C错误；
对于D选项：由lnx⩽x﹣1可得，化简为，
令，得，即，
则，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）已知集合，集合B＝{y|y＝4x，x A}，则A∩B＝ ．
【分析】先求出集合A，B，再结合交集的∈定义，即可求解．
【解答】解：由题意可知，，集合B＝{y|y＝4x，x A}＝{y|}，
故A∩B． ∈
故答案为：．
13．（5分）据调查，某高校大学生每个月的生活费X（单位：元）服从正态分布X～N（2000，σ2），又
P（2000＜X＜2500）＝0.3，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取 10位同学，
则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有 8 人．
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：因为X～N（2000，σ2），且P（2000＜X＜2500）＝0.3，
所以P（1500＜X＜2000）＝P（2000＜X＜2500）＝0.3，
所以P（X≥1500）＝P（1500＜X＜2000）+0.5＝0.8，
所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有10×0.8＝8人．
故答案为：8．
14．（5分）若△ABC中，，BC＞AB，点D满足且BD＝1，则AC的取值范围为 （， 3 ） ．
【分析】根据余弦定理，不等式的性质即可求解．
【解答】解：由题知：，两边平方得，
第9页（共15页）又由余弦定理知b2＝a2+c2+ac，两式相除得，
令，上式化简为，
令m＝2t+1＞3，上式化为，
由m＞3，可得，那么，即．
故AC （，3）．
故答案∈为：（，3）．
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若∠BAC的平分线交BC于点D，且，BC＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据余弦定理即可求解；
（2）根据等面积法即可求解．
【解答】解：（1）由余弦定理知a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣b2﹣c2+2bc＝2bc﹣2bccosA，
又由于，
那么，
化简为，即，
那么，则，即；
（2）根据S +S ＝S ，
ΔABD ΔACD ΔABC
则，
即b+c＝bc，又由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即4＝b2+c2﹣bc，
联立方程可得b＝c＝2，所以．
16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，，PA＝AD＝3，AB＝2，BC＝4，
E为线段PA上一点，且满足，记平面BCE∩平面PAD＝l．
（1）求证：BC∥l；
（2）若直线PD与l交于点F，求直线BF与平面PCD所成角的正弦值．
【分析】（1）利用线面平行的性质证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量后计算．
第10页（共15页）【解答】解：（1）证明：因为AD∥BC，
且AD 平面PAD，
BC 平⊂面PAD，
所以⊄BC∥平面PAD，
又因为BC 平面BCE，
平面BCE∩⊂平面PAD＝l，
所以BC∥l．
（2）由题可知，PA，AB，AD两两相互垂直，
以A为原点建立空间直角坐标系，连接EF，BF，如图所示，
由，得PE＝1，AE＝2，
由（1）可知EF∥AD，，
所以B（2，0，0），F（0，1，2），P（0，0，3），C（2，4，0），D（0，3，0），
所以，，，
设平面PCD的法向量，
则，即，
设y＝2，则（﹣1，2，2），
设直线BF与平面PCD所成角为 ，
则sin ＝|cos，． θ
17．（15θ分）函数f（x）＝sinx．
（1）令，若函数F（x）存在唯一零点，求实数a的取值范围；
（2）若，求函数g（x）的值域．
【分析】（1）求出F（x）解析式，将已知转化为函数与y的图象只有一个交点，利用正弦函数的图象
即可求解a的范围；
（2）求出g（x）解析式，对g（x）求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最值，从而
可得函数g（x）的值域．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sinx，则f′（x）＝cosx，
第11页（共15页）所以．
由F（x）＝0，得，
函数F（x）存在唯一零点，则函数与y的图象只有一个交点，
因为，所以，
由正弦函数的图象可知：或，
解得﹣1≤a＜1或，即实数a的取值范围是[﹣1，1）∪{}．
（2）由g（x）＝（x+1）f（x）﹣x＝（x+1）sinx﹣x，
，
当时，，，xcosx⩽0，
所以g′（x）＜0，故函数g（x）在上单调递减；
当时，，，xcosx⩾0，
所以g′（x）＞0，故函数g（x）在上单调递增．
又由于，g（0）＝0，，
故g（x）的值域为[0， ﹣1]．
18．（17分）平面直角坐π标系xOy中，A
1
（2， ），A
2
（2（1﹣ ），0），B
1
（0，1），B
2
（0，﹣
1），其中0＜ ＜1，直线A B 与直线A B 交于λ点Q，Q的轨迹为λ椭圆E：的一部分．
1 1 2 2
（1）求椭圆Eλ的方程；
（2）过点P（﹣4，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与E交于A，B两点，
（i）若|AP|+|BP|＝ |AP|•|BP|，求实数 的取值范围；
（ii）已知点M（1μ，0），直线AM，BμM与E分别交于另一点为C，D，令直线CD的斜率为k
1
，求的
值．
【分析】（1）由题意表示出直线A B 的方程和直线A B 的方程，将两式相乘，化简即可求得答案；
1 1 2 2
（2）（i）设直线的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，由|AP|+|BP|＝ |AP|•|BP|，可得，
代入根与系数的关系，结合不等式性质求解，即可得答案； μ
（ii）由A，B，P三点共线，推得y x ﹣y x ＝4（y ﹣y ），设直线AM（斜率不为0）的方程并联立椭
1 2 2 1 2 1
圆方程，结合根与系数的关系可求出C点坐标，同理得D点坐标，即可表示出k ，结合y x ﹣y x ＝4
1 1 2 2 1
（y ﹣y ）化简，即可求得答案．
2 1
【解答】解：（1）因为A （2， ），A （2（1﹣ ），0），B （0，1），B （0，﹣1），
1 2 1 2
所以直线A 1 B 1 ：，直线A 2 B 2 ：，λ λ
两式相乘得，化简得：，
即椭圆E的方程为；
第12页（共15页）（2）（i）设直线l的方程为x＝ty﹣4，记A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立，化简得（t2+4）y2﹣8ty+12＝0，
则Δ＝64t2﹣48（t2+4）＞0，即t2＞12，
所以，
则，
又|AP|+|BP|＝ |AP|•|BP|，
则 μ
，
又t2＞12，所以，
即 的取值范围是；
（iμi）由于A，B，P三点共线，
所以k ＝k ，即，
AP BP
变形得y x ﹣y x ＝4（y ﹣y ），
1 2 2 1 2 1
设l ：x＝my+1，
AM
联立，化简得（m2+4）y2+8my﹣3＝0，
所以，又，
所以，
所以，
同理可得：，
那么，
将y x ﹣y x ＝4（y ﹣y ）代入上式：
1 2 2 1 2 1
，
故．
19．（17分）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙
包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷
n次（n≥2且n N）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者∈进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得 1分，未命中记得﹣1分，当累
计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到﹣3分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，
第13页（共15页）且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为p（0＜p＜1）．
（1）当n＝4时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望；
（2）当n＝k（k≥2且k N）时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）；
（3）记甲同学获奖时，∈投掷次数不超过4次的概率为p
0
；若乙同学获奖概率不小于p
0
，求p的最小值．
【分析】（1）写出X的取值可能为2，3，4，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案；
（2）计算出P（Y＝i） 的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案；
（3）记Z表示乙同学的得分，Z＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，计算出对应的概率，根据P（B）
≥p 得到不等式，解出即可得到最小值．
0
【解答】解：（1）由题可知：X的取值可能为2，3，4，
，
，
，
故X的分布列为：
X 2 3 4
P
所以；
（2）记事件A：甲同学获奖，显然，k≥2，
设Y表示甲投掷的次数，若甲投掷i（2≤i≤k）次并获奖，
则，
所以，
令，
所以，
两式相减：，
，
即，
所以；
（3）记Z表示乙同学的得分，Z＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，
记事件B：乙同学获奖，P（Z＝k）表示乙同学得分为k分时，最终获奖的概率，
显然P（B）＝P（Z＝0），又P（Z＝3）＝1，P（Z＝﹣3）＝0，
由全概率公式知：P（Z＝k）＝p•P（Z＝k+1）+（1﹣p）•P（Z＝k﹣1），k＝﹣2，﹣1，0，1，2，
所以P（Z＝k+1）﹣P（Z＝k）＝（p﹣1）[P（Z＝k）﹣P（Z＝k﹣1）]，
第14页（共15页）那么P（Z＝3）﹣P（Z＝2）＝（b﹣1）[P（Z＝2）﹣P（Z＝1]＝（b﹣1）[P（Z＝1）﹣P（Z＝0）]
，
即P（Z，
同理：，，
，
，
累加得•P（Z＝﹣2），
所以•P（Z＝﹣2），
即•P（Z＝﹣2）＝1，即，
即，
由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为p 得：，
0
由P（B）≥P ，即，解得，
0
故P的最小值为．
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