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2025-2026 学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷
第Ⅰ卷选择题：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数 的共轭复数是（ ）
5
A．i+2
−2
B．﹣2﹣i C．i﹣2 D．2﹣i
2．（5分）已知 ＜ ， ＜ ，则M∩N＝（ ）
1
2 1
A．M ={ | B．1 N } ={ |( 2 ) 1 C }．（0，1） D．
3．（5分）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下∅列结论错误的是（ ）
A．解释变量和响应变量线性相关
B．相关系数r＝±1
C．决定系数R2＝1
D．残差平方和等于1
4．（5分） 的展开式的中间一项是（ ）
3 6
( − )
3
A．20 B．﹣20 C． D．
5 135
5．（5分）已知a、b是异面直线，设平面 满足a
3
， 且b∥ ，则这样的
（ ）
A．不存在 α B⊂．α有且仅有α1个 α
C．有且仅有2个 D．有无数多个
6．（5分）已知 ＜＜， ＜＜ ，则 的取值范围是（ ）
1 1 +
1 3
A．（5，7） B．4 ，2 C．（3，13） D． ，
5 5 7
7．（5分）已知点P是椭圆16 ( x22+2 1 5y 42)＝400上一点，且在x轴上方，F1 、F ( 24分别2是)椭圆的左、右焦点，直
线PF2 的斜率为 ，则△PF1F2 的面积是（ ）
A． −4 3B． C． D．
8．（5分24）3设y＝f（x），x R1满2足3 x，y，z R，f（x6+y）3 +f（y+z）+f（z+x3）≥3 3f（x+2y+z），则f（1）﹣f
（0）的值为（ ） ∈ ∀ ∈
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第1页（共20页）（多选）9．（6分）设Ox、Oy是平面内相交的两条数轴， 、 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向
→ →
1 2
量，且它们的夹角为60°．若向量 ，则把有序实数对（x，y）叫做 在坐标系Oxy中
→ → → →
= 1+ 2
的坐标，即 ， ，设 ， ， ， ，则（ ）
→ → →
=( ) =(3 2) =(−1 1)
A．
→
| |= 19
B．
→ →
⋅ =−1
C． 在 上的投影向量的坐标为 ，
→ →
1 1
( − )
2 2
D． ，
→ →
（多选） −10 ．（=6(4分）1)已知函数f（x）＝x3﹣bx2+c，函数y＝f（x+1）+2是奇函数，则（ ）
A．f（x）＝x3﹣2x2﹣1
B．f（x）有两个零点
C．不等式f（x）＜﹣2的解集为 ， ，
D．曲线y＝f（x）在点（1，﹣2）(−处∞的切1线−与曲3)线∪(y1＝f（1+x）有3)三个公共点
（多选）11．（6分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，D、E分别是侧棱BB1 、CC1 上的点，EC＝BC＝2BD，
则（ ）
A．平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值为
2
B．直线DE与平面A1B1C1 所成角的正切值为2
1
C．在侧棱AA1 上存在唯一的一点F，使FC⊥ 3DE
D．若棱柱ABC﹣A1B1C1 的外接球半径R＝BC，则
− 6
=
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． − 1 1 1 8
12．（5分）一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：
kg），结果如下：83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，
又能 80%地满足顾客的需求（在 100 天中，大约有 80 天可以满足顾客的需求），则每天应该进
千克的苹果．
第2页（共20页）13．（5分）以双曲线 （a＞0，b＞0）上一点M为圆心的圆与x轴相切于双曲线的一个焦点F，
2 2
且与y轴相交于P、2Q−两2点=，1若△MPQ为正三角形，则双曲线的离心率是 ．
14．（5分）把1到37这37个整数排成一个数列{an}，其前n项和为Sn ，已知a1 ＝37，且对于任意的n≤
36，n N*，都有Sn 能被an+1 整除，则a37 ＝ ．
四、解答∈题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）据调查，某校学生40%的人近视，而该校有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近
视率为50%．
（1）从该校任选一名学生，记事件A＝“该生每天玩手机超过1小时”，B＝“该生近视”，试判断A
与B是否相互独立，并说明理由；
（2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．
（3）根据上述结果，能得出什么结论？
16．（15分）已知函数f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）在 ， 上的单调递增区间；
∈ [0 ]
2
（2）设a、b、c分别是△ABC内角A、B、C的对边，若 ， ， 成等比数列，
求证：a，b，c成等比数列，并求公比q的取值范围． ( 2 − 8 ) ( 2 − 8 ) ( 2 − 8 )
17．（15分）已知抛物线C：y2＝4x，过C的焦点F作直线交C于A、B两点，直线AO（O为C的顶点）
交C的准线l于点P．
（1）求证：BP⊥l；
（2）求|PO|•|PA|的最小值．
18．（17分）已知矩形ABCD中， ， 为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，
如图所示． =2 =2 2
（1）证明：不存在某个位置，使DE⊥A1C；
（2）设点M为线段A1C的中点，
①判断线段MB的长是否为定值，并说明理由；
②当平面A1DE与平面ABCD的夹角 为45°时，求异面直线BM与EC所成角 的余弦值．
α β
第3页（共20页）19．（17分）某些函数如y＝x2和y＝ex的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方．这
个性质可表示为：设h（x）是定义在区间I上的函数，则对于I上的任意x1 、x2 与任意 （0，1），总
有h（ x1+（1﹣ ）x2 ）≤ h（x1 ）+（1﹣ ）h（x2 ）成立． λ∈
λ λ λ λ
（1）设f（x）＝x2+ax+b，求证： ；
1+ 2 ( 1)+ ( 2)
( )≤
（2）设g（x）＝ekx（k≠0），求证： 2 2 ；
2 1+3 2 2 ( 1)+3 ( 2)
（3）某同学研究发现，若函数h（x） 在( I上5存在)导≤函数h′5（x），则上述性质的充要条件为h′（x）
在I上递增，求证： ，其中a、b均为正数．
+
2
( ) ≤
第4页（共20页）2025-2026 学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D B B C C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD BC ACD
第Ⅰ卷选择题：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数 的共轭复数是（ ）
5
A．i+2
−2
B．﹣2﹣i C．i﹣2 D．2﹣i
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解： ，其共轭复数为﹣2+i．
5 5(−2− ) 5(−2− )
故选：C．
−2
=
(−2+ )(−2− )
=
5
=− 2 −
2．（5分）已知 ＜ ， ＜ ，则M∩N＝（ ）
1
2 1
A．M ={ | B．1 N } ={ |( 2 ) 1 C }．（0，1） D．
【分析】由指数函数和幂函数的单调性解不等式，再求交集可得． ∅
【解答】解：因为 ＜ ＞，所以N＝{x|x＞0}，
1
( ) 1⇒ 0
2
因为 ＜ ＜ ＜，所以M＝{x|0≤x＜1}，
1
2
所以 M∩1N⇔＝（ 0，11）⇒．0≤ 1
故选：C．
3．（5分）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（ ）
A．解释变量和响应变量线性相关
B．相关系数r＝±1
第5页（共20页）C．决定系数R2＝1
D．残差平方和等于1
【分析】根据散点图得这两个变量线性相关，由此判断各选项．
【解答】解：若散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则直线对应的函数为一次函数，
故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确；
因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数|r|＝1，所以r＝±1，所以B正确；
决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数R2＝1，残差平方和为0，故C正确，D
错误．
故选：D．
4．（5分） 的展开式的中间一项是（ ）
3 6
( − )
3
A．20 B．﹣20 C． D．
5 135
【分析】分析可得中间一项为第4项，结合通项公
3
式 ，整理计算，即可得
答案．
【解答】解：由n＝6可得展开式共有7项，故中间一项是第4项，
即 ．
3 3
故选 4 ：= B ． 6 3 ( 3 ) 3 ⋅(− 3 ) 3 = 6 3 2 ⋅( 1 3 ) 3 ⋅(−3) 3 ⋅ − 2 =− 6 3 =−20
5．（5分）已知a、b是异面直线，设平面 满足a ，且b∥ ，则这样的 （ ）
A．不存在 α B⊂．α有且仅有α1个 α
C．有且仅有2个 D．有无数多个
【分析】在a上任取一点A作b的平行线c，然后由过两条相交直线的平面有且只有一个可得答案．
【解答】解：已知a、b是异面直线，设平面 满足a ，且b∥ ，
在a上任取一点A作b的平行线c，因a∩c＝αA，则经⊂α过a，c的α平面只有1个，设为 ．
则a ，又b∥c，c ，b ， β
则b⊂∥β，从而 ＝ ，⊂即β 这样⊄β的平面有且只有一个．
故选：βB． α β
6．（5分）已知 ＜＜， ＜＜ ，则 的取值范围是（ ）
1 1 +
1 3
A．（5，7） B．4 ，2 C．（3，13） D． ，
5 5 7
( 14) ( )
【分析】根据b的范围，可2得 的范围，根据a的范围，可得 的范围，将4所求2变形，即可得答案．
1
第6页（共20页）【解答】解：因为 ＜＜， ＜＜ ，
1 1
1 3
所以 ＜ ＜， ＜ ＜ ， 4 2
1
2 4 2 12
则 ， ．
+
故选
：C =．
+1 ∈ (3 13)
7．（5分）已知点P是椭圆16x2+25y2＝400上一点，且在x轴上方，F1 、F2 分别是椭圆的左、右焦点，直
线PF2 的斜率为 ，则△PF1F2 的面积是（ ）
A． −4 3B． C． D．
【分2析4】3将椭圆方程化成标12准形3 式，可得它的焦点6为3F1 （﹣3，0），F2 （333，0）．再设点P（m，n），结
合题意建立关于m、n的方程组，解之得m ，n＝2 ，最后用三角形面积公式可算出△PF1F2 的面
5
积． = 2 3
【解答】解：椭圆16x2+25y2＝400化成标准形式：
2 2
∴a2＝25，b2＝16，可得c 3 + = 1
25 16
2 2
所以椭圆的焦点为F1 （﹣3=，0 ），−F
2
（=3，0）
设位于椭圆x轴上方弧上的点P（m，n），则 2 2 ，
+ =1
25 16
−0
=−4 3
解之得m ，n＝2 （舍负） −3
5
= 3
∴△PF1F2 的2面积S F1F2 ×2 6
1
故选：C． = 2 × 3= 3
8．（5分）设y＝f（x），x R满足 x，y，z R，f（x+y）+f（y+z）+f（z+x）≥3f（x+2y+z），则f（1）﹣f
（0）的值为（ ） ∈ ∀ ∈
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据不等式结构，通常通过特殊值方法求解
【解答】解： x，y，z R，f（x+y）+f（y+z）+f（z+x）≥3f（x+2y+z），
令x＝﹣y＝z，∀得：f（2∈x）≥f（0） f（1）≥f（0），
令x＝y＝﹣z，得：f（0）≥f（2x）⇒f（0）≥f（1），
所以f（1）＝f（0）， ⇒
故f（1）﹣f（0）＝0．
第7页（共20页）故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）设Ox、Oy是平面内相交的两条数轴， 、 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向
→ →
1 2
量，且它们的夹角为60°．若向量 ，则把有序实数对（x，y）叫做 在坐标系Oxy中
→ → → →
= 1+ 2
的坐标，即 ， ，设 ， ， ， ，则（ ）
→ → →
=( ) =(3 2) =(−1 1)
A．
→
| |= 19
B．
→ →
⋅ =−1
C． 在 上的投影向量的坐标为 ，
→ →
1 1
( − )
2 2
D． ，
→ →
【分 析−】 对=于(4A，1由) 向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，
由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案．
【解答】解：由题可得 ， ， ， ，
→ → → → → → →2 →2 → →
1
=3 1+2 2 =− 1+ 2 1 = 2 =1 1⋅ 2=
2
A选项，根据向量模的计算公式可知，
→ → → → → → → →
2 2
=3 1+2 2⇒| |= (3 1) +(2 2) +12 1⋅ 2
，故A选项正确；
1
= 13+12× = 19
2
B选项，根据数量积的运算律可知，
→ → → → → → →2 →2 → →
⋅ =(3 1+2 2)(− 1+ 2)=−3 1 +2 2 + 1⋅ 2
，故B选项错误；
1 1
=−3+2+ =−
2 2
C选项， 在 上的投影向量为
→→
，由B分析可得 ，
→ → ⋅ → → → 1
→ ⋅ ⋅ =−
2 2
| |
又 ，
→ → → → →2 →2 → →
2 2 2
| | = =(− 1+ 2) = 1 + 2 −2 1⋅ 2=1
则
→→
， ，故C选项正确；
→ → → →
⋅ 1 1 1 1 1
→ ⋅ =− = 1− 2= ( − )
2 2 2 2 2 2
| |
D选项， ， ，故D选项正确．
→ → → → → → → →
故选：AC D−． =(3 1+2 2)−(− 1+ 2)=4 1+ 2=(4 1)
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣bx2+c，函数y＝f（x+1）+2是奇函数，则（ ）
第8页（共20页）A．f（x）＝x3﹣2x2﹣1
B．f（x）有两个零点
C．不等式f（x）＜﹣2的解集为 ， ，
D．曲线y＝f（x）在点（1，﹣2）(−处∞的切1线−与曲3)线∪(y1＝f（1+x）有3)三个公共点
【分析】对于A，根据题意，确定f（x）的解析式即可判断A；
对于B，令f（x）＝0，利用因式分解求解即可；
＜ ＞
对于C，不等式等价于x3﹣3x2+2＜0即（x﹣1）（x2﹣2x﹣2）＜0，则 或 ，
＞ ＜
1 1
2 2
再解不等式组即可； −2 −2 0 −2 −2 0
对于D，利用导数的几何意义得到切线方程为y＝﹣3x+1，再联立求解即可判断．
【解答】解：因为f（x）＝x3﹣bx2+c，函数y＝f（x+1）+2是奇函数，
所以f（x+1）+2＝（x+1）3﹣b（x+1）2+c+2
＝x3+（3﹣b）x2+（3﹣2b）x﹣b+c+3是奇函数，
所以 ，解得 ，
3− =0 =3
所以f− （ x+ ） ＝ +x3 3 ﹣ =3x0 2，故A错 = 误 0 ；
令f（x）＝x3﹣3x2＝0，即x2（x﹣3）＝0，解得x＝0或x＝3，
所以f（x）有两个不同的零点，故B正确；
解不等式f（x）＜﹣2，即x3﹣3x2＜﹣2，移项得x3﹣3x2+2＜0，
即（x﹣1）（x2﹣2x﹣2）＜0，
＜ ＞
所以 或 ，
＞ ＜
1 1
2 2
解得 ＜ −2 −或2 ＜0 ＜ −2 ，−2 0
所以解 集1为− 3 ，1 1+ 3， ，故C正确；
因为f（x）＝(−x3∞﹣3x12，−所3以)∪f′(1（x1）+＝33x)2﹣6x，
则f′（1）＝3﹣6＝﹣3，
则切线方程为y﹣（﹣2）＝﹣3（x﹣1），即y＝﹣3x+1，
联立 ，得x3﹣3x2+3x﹣1＝0，
3 2
= −3
即（x
﹣ =1）
−3
3＝
+0，
1
解得x＝1，
所以切线与曲线只有一个公共点，故D错误．
第9页（共20页）故选：BC．
（多选）11．（6分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，D、E分别是侧棱BB1 、CC1 上的点，EC＝BC＝2BD，
则（ ）
A．平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值为
2
B．直线DE与平面A1B1C1 所成角的正切值为2
1
C．在侧棱AA1 上存在唯一的一点F，使FC⊥ 3DE
D．若棱柱ABC﹣A1B1C1 的外接球半径R＝BC，则
− 6
=
【分析】对于A，求出两个平面的法向量，进而求出 两 平 − 面1 夹1 角1 的余 8 弦值；
对于B，利用向量法求线面夹角的正弦值，进而求出正切值；
对于C，根据向量垂直数量积为0，判断F的个数；
对于D，根据三棱柱外接球的半径确定侧棱长与底面边长的关系，再利用三棱锥和四棱锥的体积公式求
解．
【解答】解：取BC的中点O，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面边长为2a，侧棱长为b（a＞0，b≥2a），
则EC＝BC＝2BD＝2a，
所以 ，， ， ， ， ， ，， ，
( 3 0 0) (0 − ) (0 2 )
对于选项A，易知平面ABC的一个法向量为 ，， ，
→
=(0 0 1)
，， ， ， ， ，
→ →
=( 3 − ) =(0 2 )
设平面ADE的法向量为 ，， ，
→
=( )
第10页（共20页）则 ，所以 ，
→ → → →
→ ⊥ → → ⋅ → = 3 + − =0
令y ＝⊥1， 则 ，⋅ =2 ， + =0
=−2 =− 3
所以 ，， ，
→
=(− 3 1 −2)
所以 ＜ ， ＞ ，
→ →
−2 2
= =−
所以平面ADE与平面1 A × BC 3+的1+夹4角的余 2 弦值为 ，故A正确；
2
对于选项B：易知 ，， 是平面A1B1C2
1
的一个法向量，
→
=(0 0 1)
又 ， ， ，
→
设直 线= D ( E 0与2平 面 A ) 1B1C1 所成的角为 ，
α
则 ＜ ， ＞ ，
→ →
5
=| |= 2 2 =
所以 1，× 4 + 5
2 2 5
= 1− =
所以 ，故B5错误；
1
对于选 项 C =， 假 设=在2侧棱AA1 上存在点F，使FC⊥DE，
设 ，， ， ，又C（0，a，0），所以 ，， ，
→
( 3 0 ) (0≤ ≤ ) =(− 3 − )
所以 ，又a≠0，解得c＝2a，
→ →
2
所以侧 棱⋅ A A1 =上2存 在−唯 一=的0一点F，使FC⊥DE，故C正确；
对于选项D，棱柱ABC﹣A1B1C1 的外接球半径R＝BC＝2a，
则 ，
2 1 2 2 3 2
=( ) +( )
即 2 3，所以 ，
2 1 2 4 2 4 6
4 = + =
则 4 3 3 ，
1 1 1 3
− = ⋅ ⋅ = ⋅ ( +2 )⋅2 ⋅ 3 = 3
3 3 2
，
1 4 6 3
− 1 1 1 = △ ⋅ 1 = ⋅2 ⋅ 3 ⋅ =4 2
2 3
所以 ，故D正确．
3
− 3 6
= 3 =
故选： A C − D ．1 1 1 4 2 8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
第11页（共20页）12．（5分）一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：
kg），结果如下：83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，
又能80%地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进 99.5
千克的苹果．
【分析】利用百分位数的定义进行求解．
【解答】解：过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：
55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，
99，100，101，104，107，107，117
∵30×80%＝24，
故第80百分位数： ．
99+100
故答案为：99.5．
2
= 99.5
13．（5分）以双曲线 （a＞0，b＞0）上一点M为圆心的圆与x轴相切于双曲线的一个焦点F，
2 2
且与y轴相交于P、2 Q −两2点=，1若△MPQ为正三角形，则双曲线的离心率是 ．
【分析】由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x＝c，3代入双曲线的方程，可
得M的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得 ，再由等边三角形的性质，可得a，c的
4
2
方程，运用离心率公式计算即可得到所求值． | |= 2 2
【解答】解：由题意可设F（c，0），
MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，
设x＝c，代入双曲线的方程可得 ，
2 2
= 2−1=
即有 ， ，
2
( )
可得圆的圆心为M，半径为 ，
2
即有M到y轴的距离为c，
可得 ，
4
2
| |= 2 2−
由△MPQ为等边 三角形，可得 ，
4
3 2
化简可得3b4＝4a2c2， =
2
⋅2
2
第12页（共20页）由c2＝a2+b2，可得3c4﹣10c2a2+3a4＝0，
由 ，可得3e4﹣10e2+3＝0，
=
解得 舍去），
2 1
即有 =3(．3
14．（5分 =）把31到37这37个整数排成一个数列{an}，其前n项和为Sn ，已知a1 ＝37，且对于任意的n≤
36，n N*，都有Sn 能被an+1 整除，则a37 ＝ 19 ．
∈
【分析】根据题意可得a1 ＝37，a2 ＝1，又S36 能被a37 整除，则S37 也能被a37 整除，再由
(1+37)×37
，可知37×19的正因数有1，19，37，37×19，结合a1 ＝37，a2 ＝1即可得 到 37 a = 37 ＝19．2 =
3【7解×答19】解：把1到37这37个整数排成一个数列{an}，其前n项和为Sn ，
因为a1 ＝37，任意的n≤36，n N*，都有Sn 能被an+1 整除，
所以S1 能被a2 整除， ∈
因为37是质数，所以a2 ＝1或a2 ＝37，
又数列是1到37的排列，a1 ＝37，
所以a2 ≠37，故a2 ＝1，
因为S36 能被a37 整除，S37 ＝S36+a37 ，
所以S37 也能被a37 整除， ，
(1+37)×37
因为37×19的正因数有1， 3 1 7 9 =，37，237×19 =，3且7× a1 ＝19 37，a2 ＝1，
所以a37 ＝19．
故答案为：19．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）据调查，某校学生40%的人近视，而该校有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近
视率为50%．
（1）从该校任选一名学生，记事件A＝“该生每天玩手机超过1小时”，B＝“该生近视”，试判断A
与B是否相互独立，并说明理由；
（2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．
（3）根据上述结果，能得出什么结论？
【分析】（1）求出P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，P（AB）＝0.1，根据相互独立事件的定义判断即可；
（2）利用全概率公式 ，即可得到 ；
( )= ( ) ( | )+ ( ) ( | ) ( | )=0.375
第13页（共20页）（3）由P（B|A）＝0.5和 ，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联．
【解答】解：（1）A与B不 (相 互| )独=立0，.37理5由如下：
已知P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，P（B|A）＝0.5，
所以P（AB）＝P（A）•P（B|A）＝0.2×0.5＝0.1，
因为P（A）P（B）＝0.2×0.4＝0.08，
所以P（AB）≠P（A）P（B），
所以A与B不相互独立；
（2）设 为“每天玩手机不超过 1 小时”，
因为P（ A）＝0.2，
则P（ ）＝1﹣P（A）＝1﹣0.2＝0.8，
因为 ，
即 ( )= ( ) ( | )+ ( ) ，( | )
所以0.4=0.2×0.5+，0.8× ( | )
即从每 (天 |玩 )手=机0.不37超5过1小时的学生中任意调查一名学生，他近视的概率为0.375；
（3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%，明显高于不超过1小时的学生
近视率37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联．
16．（15分）已知函数f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）在 ， 上的单调递增区间；
∈ [0 ]
2
（2）设a、b、c分别是△ABC内角A、B、C的对边，若 ， ， 成等比数列，
求证：a，b，c成等比数列，并求公比q的取值范围． ( 2 − 8 ) ( 2 − 8 ) ( 2 − 8 )
【分析】（1）根据和差角与倍角的正弦、余弦公式化简函数表达式，再由正弦函数的单调性即可求得．
（2）先求出并化简 ， ， ，然后根据等比数列的性质化简得到sin2B＝sinAsinC，
然后根据正弦定理进 (而2 −证8明)结论 (，2最−后8 )根 据( 2余−弦8定) 理和cosB的范围列出不等式求出q的范围．
【解答】解：（1）f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x＝（sin2x+cos2x）（cos2x﹣sin2x）+sin2x
．
= 2 + 2 = 2 (2 + )
4
由 ， ，可得 ， ．
3
− +2 ≤ 2 + ≤ +2 ∈ − + ≤ ≤ + ∈
因为2 ， ，当4 k＝0 2时， ；当k＝8 1时， 8 ；
3 5 9
∈[0 ] − ≤ ≤ ≤ ≤
2 8 8 8 8
第14页（共20页）所以f（x）在 ， 上的单调递增区间为 ， ．
∈ [0 ] [0 ]
（2）由（1）知 2 ， 8
( )= 2 (2 + )
4
则 ， ， ．
( − )= 2 ( − )= 2 ( − )= 2
因 2 8 ， ， 2 8 成等比数列，则2 8 ，
2
即 ( 2 − 8 ) ( 2 − 8 ) ( 2，−也8即) sin2B＝sinAsinC [ ，( 2 − 8 )] = ( 2 − 8 ) ( 2 − 8 )
2
2 = 2 ⋅ 2
由正弦定理得b2＝ac，所以a，b，c成等比数列，因 ，则b＝aq，c＝aq2，
=
由余弦定理，可得 ，
2 2 2 2 2 4 2 2 4 2
+ − + − − +1
= = 2 2 = 2
因为B （0， ），所以﹣1＜c 2 o s B＜1，即 2＜ ＜2．
4 2
− +1
∈ π −1 2 1
2
解得 ＜＜ ，所以公比q的取值范围是（ ， ）．
5−1 5+1 5−1 5+1
17．（15分）已知 抛物线C：y2＝4x，过C的焦点F作直线交C于A、B两点，直线AO（O为C的顶点）
2 2 2 2
交C的准线l于点P．
（1）求证：BP⊥l；
（2）求|PO|•|PA|的最小值．
【分析】（1）设 ， ， ， ，由直线AB过点F（1，0），可得y1y2 ＝﹣4，再求出P（﹣1，
2 2
1 2
y2 ），因此BP方 程(为 4 y＝ y 1 2 )，所 (以 4BP⊥ 2 l)；
（2）令y1 ＝t，（t＞0），求出 ，再利用基本不等式求解即可．
2
16
【解答】解：（1）证明：抛物| 线 | C ⋅：| y 2＝|= 4x4的+焦 点2 +为5 F（1，0），准线l：x＝﹣1，顶点O（0，0），
设 ， ， ， ，
2 2
1 2
( 1) ( 2)
4 4
因为直线AB过点F（1，0），
所以 ，即 ，
1 2 2 2
1 2 = 2 2 1 2−4 1 = 2 1−4 2
4−1 4−1
第15页（共20页）即（y2 ﹣y1 ）（y1y2+4）＝0，
因为y1 ≠y2 ，所以y1y2 ＝﹣4，
直线AO的方程为 ，代入准线l：x＝﹣1，得 ， ，
4 4
= (−1 − )
因为y1y2 ＝﹣4，所以 1 ，所以P（﹣1，y2 ）， 1
4
− = 2
1
所以点 ， 与P（﹣1，y2 ）的纵坐标相同，
2
2
因此BP (方
4
程为 2 y)＝y2 ，与准线l：x＝﹣1垂直，
所以BP⊥l；
（2）令y1 ＝t，（t＞0），则 ，
4 4
2 =− =−
1
则 ， ， ， ，
2
4
( ) (−1 − )
所以 4 ，
2
2 4 2 16 +16
| |= (−1) +(− ) = 1+ 2 =
，
2 4 2 2 2
2 4 2 3 16 ( +4) +16
| |= ( +1) +( + ) = + + 2 +9 =
所以 4 16 2 4 ，
2 2 2 2
( +4)( +16) 16 16
| |⋅| |= 2 = + 2 +5 ≥ 2 ⋅ 2 +5=9
当且仅当 4 时取等4， 4
2
16
故|PO|•|PA|的=最小2 值⇒为 =9．2 2
4
18．（17分）已知矩形ABCD中， ， 为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，
如图所示． =2 =2 2
（1）证明：不存在某个位置，使DE⊥A1C；
（2）设点M为线段A1C的中点，
①判断线段MB的长是否为定值，并说明理由；
②当平面A1DE与平面ABCD的夹角 为45°时，求异面直线BM与EC所成角 的余弦值．
α β
【分析】（1）假设存在某个位置，使DE⊥A1C，进而根据勾股定理可得到DE⊥EC，进而得到DE⊥平
面A1EC，然后根据线面垂直得到线线垂直DE⊥A1E，与已知条件矛盾，从而证明结论．
（2）①取DC的中点N，连接MN，BN，先求出MN，BN，根据勾股定理求出MB；
第16页（共20页）②取DE中点为F，连接A1F，FN，先确定∠A1FN为平面A1DE与平面ABCD的夹角 ，然后根据余
弦定理求出A1N和cos∠A1DN，然后取A1D的中点为G，连接CG，MG，EG，根据余弦α定理求出CG，
最后根据余弦定理求出∠GEC，从而求出了异面直线BM与EC所成角 的余弦值．
【解答】解：（1）证明：假设存在某个位置满足要求， β
由题易知 ，故 ， ，
所以△AD E ，=△2B C E=都2是2等腰直 角 =三角 形=，2 = = 2
故∠AED＝∠BEC＝45°，所以DE⊥EC，
DE⊥A1C，且DE⊥EC，A1C∩EC＝C，A1C，EC 面A1EC，则DE⊥面A1EC，
又A1E 面A1EC，故DE⊥A1E， ⊂
显然与⊂△A1DE是由△ADE翻折而成，∠A1ED＝∠AED＝45°矛盾，
故不存在位置，使DE⊥A1C；
（2）①线段MB的长是定值，理由如下：
取DC的中点N，连接MN，BN，如图所示：
由题易知，MN∥A1D， ，
1
= 1
2
又 ，故可以求得 ，
2
N为 D = C 的 1 中=点，2 ， = 2 ，所以 ，
根据勾股定理可得 = 2 = =2，2 = 2
2 2
又MN∥A1D，BN∥ DE=，∠ A1D+E ＝ 45=°2，故∠MNB＝45°，
， ，
2
= =2
则 2 ，
2 2 2 1 2 5
= + −2 × × 45°= +4−2 2× =
解得 ，所以MB的长度为定值；2 2 2
5 10
②取 D E =中点 2 为= F2 ，连接A1F，FN，如图所示：
第17页（共20页）根据勾股定理可得 ，
2 2
1 = 1 −( ) = 2−1=1
又FN∥CE，CE⊥DE，FN 2，故FN⊥DE，
1
故∠A1FN即为面A1DE与面= A2B C D =的1夹角 ，所以∠A1FN＝ ＝45°，
α α
，
2 2 2 2
1 = 1 + −2 1 × × 45° =1+1−2×1× =2− 2
， 2
2 2 2
1 + − 1 2+2−(2− 2) 2+ 2
取 A ∠ 1 D 1 的 中=点为G2 ，1 连×接 CG，= MG， 2×EG2 ， × 如 2 图=所示4：
，
2 2 2 1 2 2+ 2 13
= + −2 × × ∠ 1 =8+ −2×2 2× × = − 2
又MG∥CD，MG ，BE∥CD，BE ，故2 MG∥BE，MG 2＝BE，4 2
1 1
故四边形MGEB为=平2行 四边形，则MB∥= EG2 ， MB＝EG，
故异面直线BM与EC所成角 即为EG与EC所成的角，即∠GEC＝ ，
β β
由①知 ，故 ，
10 10
= =
2 2
则 ，
5 13
2 2 2
+ − 2+4−(2− 2) 2 5
∠ = 2 × = 2× 1 2 0 ×2 = 2 10 = 10
故异面直线BM与EC所成角 的余弦值为 ．
5
19．（17分）某些函数如y＝x2和y＝β ex的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方．这
10
个性质可表示为：设h（x）是定义在区间I上的函数，则对于I上的任意x1 、x2 与任意 （0，1），总
有h（ x1+（1﹣ ）x2 ）≤ h（x1 ）+（1﹣ ）h（x2 ）成立． λ∈
λ λ λ λ
（1）设f（x）＝x2+ax+b，求证： ；
1+ 2 ( 1)+ ( 2)
( )≤
（2）设g（x）＝ekx（k≠0），求证： 2 2 ；
2 1+3 2 2 ( 1)+3 ( 2)
（3）某同学研究发现，若函数h（x） 在( I上5存在)导≤函数h′5（x），则上述性质的充要条件为h′（x）
在I上递增，求证： ，其中a、b均为正数．
+
2
( ) ≤
【分析】（1）求出 和 ，作差与0比较大小即可；
1+ 2 ( 1)+ ( 2)
( )
2 2 第18页（共20页）（2）通过构造函数，将不等式成立问题转化为求最值的问题，进一步证明即可；
（3）通过构造函数G（x）＝xlnx，证明G'（x）单调递增，利用题干中性质结合对数运算证明即可．
【解答】（1）证明：因为f（x）＝x2+ax+b，
所以 ，
1+ 2 1+ 2 2 1+ 2
( )=( ) + ⋅ +
2 2 2
，
2 2 2 2
( 1)+ ( 2) 1+ 1+ + 2+ 2+ 1+ 2 1+ 2
= = + ⋅ +
所以 2 2 2 2
2 2
1+ 2 ( 1)+ ( 2) 1+ 2 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2
( )− =( ) + ⋅ + −( + ⋅ + )
2 2 2 ， 2 2 2
2 2 2
1+ 2 2 1+ 2 ( 1− 2)
=( ) − =− ≤0
即 2 2 4 ，
1+ 2 ( 1)+ ( 2)
( )− ≤0
所以 2 2 ；
1+ 2 ( 1)+ ( 2)
( )≤
（2）证明2：要证 2 ，
2 1+3 2 2 ( 1)+3 ( 2)
( )≤
5 5
即 成立，
2 1 + 5 3 2 2 1 +3 2
≤
5
只需证 2 1 3 2 （因为 ＞ ，
5 + 5 2 1+3 2
2 1+3 2 ≥ 1 5 0)
5
即 成立，
3 2
2 ( 1− 2) 3 ( 2− 1)
5 5
+ ≥ 1
令5 ＞5 ，则只需证 成立，
1 ( 1− 2) 2 3 3 −2
5
整理 =得 2t5﹣5t2+3 0≥0，
5
+
5
≥ 1
令F（t）＝2t5﹣5t2+3，t＞0，则F'（t）＝10t4﹣10t＝10t（t3﹣1），
令F′（t）＝0，解得t＝1，
当t （0，1）时，F′（t）＜0，F（t）单调递减，
当t∈（1，+∞）时，F（t）＞0，F（t）单调递增，
所以∈F（t）在t＝1处取得最小值，所以F（t）≥F（1）＝0，故原不等式成立，
所以 ；
2 1+3 2 2 ( 1)+3 ( 2)
( )≤
（3）证明：5因为当a＞0，5 b＞0时， ，当且仅当a＝b时取等号，
+
≥
所以若证 ，只需证 2 成立，
+
2 + +
( ) ≤ ( ) ≤
同时取自然对数得 2 ，
+ +
( ) ≤ ( )
2
第19页（共20页）即证 成立，
+
( + ) ≤ +
也即证 2 成立，
+ + +
令G（x） 2 ＝ xlnx2 ，x ≤＞0，则 2 G′（x）＝lnx+1，
令 （x）＝lnx+1，则 ，
1
因为φ x＞0，所以 ′（′ x）( )＞= 0， 故G'（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以G（x）＝xlnφx具有题干中的性质，
所以 ，即 ，故原不等式成立，
+ ( )+ ( ) + + +
( )≤ ≤
因此当a、 2 b均为正数 2 时， 2 2 ． 2
+
2
( ) ≤
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第20页（共20页）
