文档文本内容
第1⻚（共57⻚）
猫⽼师总结——基础解答题43 分满分训练
⼀．解答题（共35 ⼩题）
1．如图，△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，D 为BC 边上⼀点，AB⊥AD，AD＝CD，记∠
ADC＝θ．
（1）若θ＝
，求证：b2﹣c2＝ac；
（2）若b＝4c，求cosθ的值．
2．在△ABC 中，内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知sin2B﹣sin2A﹣sin2C＝sinAsinC．
（1）求B；
（2）若b＝3，求a+c 的取值范围．
第2⻚（共57⻚）
3．已知复数z，，z2在复平⾯内对应的点分别为A，B，C，其中A 在第⼀象限，且原点O 是△ABC 的外
⼼．
（Ⅰ）求|z|．
（Ⅱ）记△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（i）证明：△ABC 是直⻆三⻆形；
（ii）求△ABC 的⾯积．
4．△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的⾯积为
bc（1﹣cosA）．
（1）求A；
（2）若a＝4，b＝
，求△ABC 的⾯积．
第3⻚（共57⻚）
5．已知△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
（1）求⻆A；
（2）若
，D 为边BC 上⼀点，AD 为∠BAC 的平分线，且AD＝1，求△ABC 的⾯积．
6．在锐⻆△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且c+b＝2acosB．
（1）证明：A＝2B；
（2）若∠BAC 的平分线交BC 于D，AD＝1，
，求
的值；
（3）求
的取值范围．
第4⻚（共57⻚）
7．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c．且满⾜
．
（1）求⻆C 的⼤⼩；
（2）若△ABC 的⾯积
，内切圆的半径为
，求c；
（3）若∠ACB 的平分线交AB 于D，且CD＝2，求△ABC 的⾯积S 的最⼩值．
8．如图，在平⾯四边形ABCD 中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC 平分∠BCD．
（1）若
，CD＝2，求BD；
（2）若BD＝CD，求cos∠BCD．
第5⻚（共57⻚）
9．已知在△ABC 中，三个内⻆A，B，C 满⾜cos（A﹣B）﹣cosC＝
，且C 为锐⻆．
（1）求C；
（2）在∠ABC 内作射线BD 交AC 于D，使得∠ABD＝∠A，若AB＝2
，CD＝2，求A．
10．在平⾯四边形ABCD 中，
，
，BC＝4．
（1）若△ABC 的⾯积为
，求AC；
（2）若
，∠BAC＝∠DAC，求tan∠DAC．
第6⻚（共57⻚）
11．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD＝2BD．
（1）若
，AC＝8，AD＝4，求AB；
（2）若△ABC 是锐⻆三⻆形，
，求
的取值范围．
12．如图，已知四棱锥S﹣ABCD 的底⾯为菱形，
，AS＝CS．
（1）求证：AC⊥平⾯BDS；
（2）若AB＝2，
，DS＝1，求四棱锥S﹣ABCD 的体积．
第7⻚（共57⻚）
13．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D 在AC 上，
，E 是CC1上的⼀点，∠BAC＝30°，
，
AA1＝4．
（1）若E 是CC1的中点，求证：B1E∥平⾯A1BD．
（2）在下⾯给出的三个条件中任选⼀个，证明另两个正确：
①三棱锥E﹣A1B1C1的体积是
；
②截⾯ABE 将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分的体积的⽐为1：11；
③平⾯A1BE 与平⾯ACC1A1所成⻆的余弦值为
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第⼀个解答计分．
第8⻚（共57⻚）
14．如图，在三棱锥D﹣ABC 中，
，AC＝7，BC＝CD＝5．
（1）证明平⾯ACD⊥平⾯ABC；
（2）若E，F 分别为棱DA，DC 的中点，求平⾯BEF 与平⾯ABC 夹⻆的余弦值．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平⾯ABCD，PA＝2，底⾯ABCD 为直⻆梯形，∠BAD＝90°，AB＝
2，CD＝AD＝1，N 是PB 的中点，点M，Q 分别在线段PD 与AP 上，且
，
．
（1）若平⾯MNQ∥平⾯ABCD，求λ、µ的值；
（2）若MQ∥平⾯PBC，求
的最⼩值．
第9⻚（共57⻚）
16．在多⾯体ABCDMN 中，已知四边形ABNM 是边⻓为2 的正⽅形，AB＝AD＝BC，AD∥BC，AB⊥AD，
平⾯ABNM⊥平⾯ABCD，H 为线段BC 的中点．
（1）若平⾯ANH∩平⾯MNC＝l，求证：MC∥l；
（2）在线段NC 上是否存在⼀点P，使得平⾯PAH⊥平⾯NAH？若存在，求
的值；若不存在，说明
理由．
17．斜三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱⻓均为4，
，D 为棱BB1上的⼀点．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）若平⾯AA1B1B⊥平⾯ABC，且⼆⾯⻆A﹣A1D﹣C 的余弦值为
，求BD 的⻓．
第10⻚（共57⻚）
18．如图，在圆锥PO 中，AC 为底⾯圆O 的⼀条直径，B，D 为底⾯圆周上不同于A，C 的两点，圆锥⺟
线⻓为
．
（1）若AD＝1，平⾯PAD 与平⾯PBC 的交线为l，证明：AD∥l；
（2）若AD 与平⾯PCD 所成⻆的正切值为
，求AD 的⻓．
19．如图，在⼏何体ABC﹣DEF 中，AD，BE，CF 互相平⾏，四边形ADFC 与四边形BEFC 是全等的等腰
梯形，平⾯ADFC⊥平⾯BEFC，AD＝4，CF＝AC＝2，点G，H，L 分别为AD，CF，BC 的中点．
（1）证明：平⾯GHL⊥平⾯DEF；
（2）求直线AE 与平⾯ABC 所成⻆的正弦值．
第11⻚（共57⻚）
20．如图①所示，四边形ABCQ 是直⻆梯形，AQ∥BC，AQ⊥AB，且AQ＝2BC＝2AB＝4，D 为线段AQ 的
中点．现沿着CD 将△QCD 折起，使Q 点到达P 点，如图②所示，连接PA，PB，其中M 为线段PA 的
中点．
（1）求证：DM⊥PB；
（2）若⼆⾯⻆A﹣CD﹣P 的⼤⼩为60°，则在线段PC 上是否存在⼀点N，使得直线PB 与平⾯BDN 所
成⻆的正弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求点A 到平⾯BDN 的距离．
21．如图，在多⾯体ABCDEF 中，平⾯ABCD⊥平⾯ADEF，四边形ADEF 为平⾏四边形，AB∥CD，AD
⊥CD，
，
，
，P 为EC 的中点．
（1）求证：DF⊥BC；
（2）求点P 到平⾯ABF 的距离；
（3）在线段BC 上是否存在⼀点H，使得平⾯DHP 与平⾯BEF 的夹⻆的余弦值为
若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
第12⻚（共57⻚）
22．座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史⽂化保护建筑改建⽽成，其中的⽀柱保留了原有的正⼋
棱柱，既考虑了结构⼒学优势，⼜体现了对历史建筑的尊重和传承．如图，O1、O 分别为正⼋棱柱的上
下两个底⾯的中⼼，已知OA＝1，AA1＝4．
（1）求证：BC⊥C1F；
（2）求点O 到平⾯ACG1的距离．
23．如图，P 为圆锥的顶点，AB 为底⾯圆O 的直径，C 为圆周上⼀点，D 为劣弧
的中点，
．
（1）求证：BC⊥PD；
（2）E 在线段PB 上且
，当DE∥平⾯POC 时，求平⾯PBC 与平⾯ABC 夹⻆的余弦值．
第13⻚（共57⻚）
24．已知
，a 为常数，且a＞0．
（1）若f（1）＝0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若⽅程f（x）＝0 有且仅有2 个不等的实数解，求a 的值．
25．已知a∈R，函数f（x）＝a（1﹣x）+lnx．
（1）若a＞0，判断f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0，求a．
26．已知函数f（x）＝﹣|x|+ln（|x|+a），曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线与直线2x﹣y＝0 垂直．
（1）求实数a 的值；
（2）求函数f（x）的极值点和极值．
第14⻚（共57⻚）
27．已知函数
．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，1]上的最⼩值为1，求a 的值．
28．已知函数f（x）＝2alnx﹣a3﹣2x，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0 时，f（x）≤﹣3a．
29．已知函数
．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝1 处的切线⽅程；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）设t＞0，求函数f（x）在区间[t，2t]上的最⼤值．
第15⻚（共57⻚）
30．已知函数f（x）＝aex﹣2x﹣3cosx+1，其中e 为⾃然对数的底数．
（1）当a＝2 时，判断函数f（x）在区间
上的单调性；
（2）令g（x）＝f′（x），若函数g（x）在区间
上存在极值，求实数a 的取值范围；
（3）求证：当a≥2 时，f（x）≥0．
31．已知函数f（x）＝lnx﹣mx+1．
（1）若m＝0，求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线⽅程；
（2）若f（x）≤0 恒成⽴，求实数m 的取值范围；
（3）求证：∀n∈N*，
．
第16⻚（共57⻚）
32．已知f（x）＝xax﹣ex+1（a＞1）．
（1）当a＝e 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a≥e 时，求证：f（x）≥0；
（3）当
，试讨论函数f（x）的零点个数．
33．已知函数
．
（1）若a＜0，且y＝1 与函数y＝f（x）的图象相切，求a 的值；
（2）若f（x）≥1 对∀x∈（0，+∞）成⽴，求实数a 的取值范围．
第17⻚（共57⻚）
34．已知函数
．
（1）求f（x）的零点个数；
（2）设x0是f（x）的⼀个零点，证明：曲线y＝ex 在点
处的切线也是曲线y＝lnx 的切线．
35．已知函数
，其中a∈R．
（1）若f（x）的图象在（0，f（0））处的切线经过点
，求a 的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
第18⻚（共57⻚）
猫⽼师总结——基础解答题43 分满分训练
参考答案与试题解析
⼀．解答题（共35 ⼩题）
1．如图，△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，D 为BC 边上⼀点，AB⊥AD，AD＝CD，记∠
ADC＝θ．
（1）若θ＝
，求证：b2﹣c2＝ac；
（2）若b＝4c，求cosθ的值．
【解答】（1）证明：因为
，可得
，
⼜AB⊥AD，所以△ABD 为等腰直⻆三⻆形，
⽽AD＝CD，
可得
，
所以
，可得ac＝（
+1）c2，
在△ADC 中，由余弦定理得
，
所以
＝ac，
即证得b2﹣c2＝ac；
（2）解：因为∠ADC＝θ，AB⊥AD，所以
，
⼜AD＝CD，所以
，
在△ABC 中，由正弦定理，得
，
即
，
即
，
因为b＝4c，所以
，
第19⻚（共57⻚）
即
，
解得
，
所以
．
2．在△ABC 中，内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知sin2B﹣sin2A﹣sin2C＝sinAsinC．
（1）求B；
（2）若b＝3，求a+c 的取值范围．
【解答】解：（1）已知sin2B﹣sin2A﹣sin2C＝sinAsinC，
由正弦定理可得b2﹣a2﹣c2＝ac，即a2+c2﹣b2＝﹣ac．
由余弦定理可得
＝
．
因为0＜B＜π，所以
．
（2）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，b＝3，
，得9＝a2+c2+ac．
因为（a+c）2＝a2+c2+2ac，所以（a+c）2＝9+ac．
⼜因为a2+c2≥2ac（当且仅当a＝c 时取等号），则9＝a2+c2+ac≥2ac+ac＝3ac，即ac≤3．
所以（a+c）2＝9+ac≤9+3＝12，则
．
⼜因为a+c＞b＝3（三⻆形两边之和⼤于第三边），所以
，
即a+c 的取值范围是（3，2
]．
3．已知复数z，，z2在复平⾯内对应的点分别为A，B，C，其中A 在第⼀象限，且原点O 是△ABC 的外
⼼．
（Ⅰ）求|z|．
（Ⅱ）记△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（i）证明：△ABC 是直⻆三⻆形；
（ii）求△ABC 的⾯积．
【解答】解：（Ⅰ）∵O 是△ABC 的外⼼，即|OA|＝|OB|＝|OC|，∴
．
只需考虑|z|＝|z2|，即|z|＝|z|2，⼜∵A 在第⼀象限，∴|z|≠0，
∴|z|＝1．
（Ⅱ）（i）证明：∵
，∴b2+c2+2bc＝a2+2bc（1﹣cosA），
∴a2＝b2+c2+2bccosA．
第20⻚（共57⻚）
由余弦定理知a2＝b2+c2﹣2bccosA，两式相加可得a2＝b2+c2，∴
，
∴△ABC 是直⻆三⻆形．
（ii）设z＝m+ni，m，n∈R，则
，
可知A（m，n），B（m，﹣n），C（m2﹣n2，2mn）．
易知AB 与复平⾯的实轴垂直，⼜
，∴AC 与复平⾯的虚轴垂直，
∴n＝2mn，∴
，⼜
，点A 在第⼀象限，∴
．
∴
，
，∴
，|AC|＝1，
∴△ABC 的⾯积为
．
4．△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的⾯积为
bc（1﹣cosA）．
（1）求A；
（2）若a＝4，b＝
，求△ABC 的⾯积．
【解答】解：（1）因为△ABC 的⾯积为
bc（1﹣cosA），
所以
，
化简得：
，即
，
因为
，所以
，故
；
（2）在△ABC 中，由正弦定理得：
，
即
，解得
，
因为a＞b，所以
，
所
以
，
所以△ABC 的⾯积为
．
5．已知△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
第21⻚（共57⻚）
（1）求⻆A；
（2）若
，D 为边BC 上⼀点，AD 为∠BAC 的平分线，且AD＝1，求△ABC 的⾯积．
【解答】解：（1）由
及正弦定理，
可得
，
⼜sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
则有
，
⼜C∈（0，π），sinC≠0，所以
，
即
，⼜
，
所以
，即
；
（2）由AD 为∠BAC 的平分线，可得
，
由S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
可得
，
整理得
，即
，①
由余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即6＝（b+c）2﹣3bc，②
由①②可得：b2c2﹣bc﹣2＝0，解得bc＝2 或bc＝﹣1（舍去），
故
．
6．在锐⻆△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且c+b＝2acosB．
（1）证明：A＝2B；
（2）若∠BAC 的平分线交BC 于D，AD＝1，
，求
的值；
（3）求
的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为c+b＝2acosB，由正弦定理得sinC+sinB＝2sinAcosB，
因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以sinAcosB+cosAsinB+sinB＝2sinAcosB，
所以sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），
所以B＝A﹣B，所以A＝2B．
第22⻚（共57⻚）
（2）由（1）知A＝2B，所以B 为锐⻆，
因为
，所以cosB＝，sin2B＝2sinBcosB＝2×
＝
，
因为S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
所以
，
所以
，
所以
，即
．
（3）因为△ABC 是锐⻆三⻆形，所以
，解得
，
由余弦函数性质可得，
，
由正弦定理得
＝
．
令cosB＝t，则
在
上单调递增，
⽽f（
）＝
，f（
）＝
，所以
，
所以
．
7．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c．且满⾜
．
（1）求⻆C 的⼤⼩；
（2）若△ABC 的⾯积
，内切圆的半径为
，求c；
（3）若∠ACB 的平分线交AB 于D，且CD＝2，求△ABC 的⾯积S 的最⼩值．
【解答】解：（1）由
，得
，
在△ABC 中，sin（A+B）＝﹣cosC，
所以
，
即
，
⽽0＜C＜π，所以
；
第23⻚（共57⻚）
（2）由等⾯积法得：
，即
，
因此a+b+c＝20 且ab＝40，
在△ABC 中，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
即c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（20﹣c）2﹣120，
所以c＝7；
（3）法（i）由CD 平分∠ACB，得
，
在△ABC 中，设AD＝m（0＜m＜c），则BD＝c﹣m，
在△ACD 中，由正弦定理，得
，则
，
在△BCD 中，由正弦定理，得
，则
，
得
，故有
．
在△ABC 中，由正弦定理，得
，则
，
得
代⼊（*）式，可得
，即
．
由基本不等式，得
，解得
，当且仅当
时取“＝”．
于是，
．即△ABC 的⾯积的最⼩值为
．
法（ii）因为∠ACB 的平分线交AB 于D，且CD＝2，
可得S△ABC＝absinC＝（a+b）•CD•sin
，
即ab•
＝2（a+b）•
，
所以
ab＝ab≥2×2
，当且仅当a＝b 时取等号，
所以ab≥
，
所以S△ABC＝absinC≥
×
×
＝
，
所以△ABC 的最⼩值为
．
8．如图，在平⾯四边形ABCD 中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC 平分∠BCD．
第24⻚（共57⻚）
（1）若
，CD＝2，求BD；
（2）若BD＝CD，求cos∠BCD．
【解答】解：（1）平⾯四边形ABCD 中，内⻆和为2π，且AD⊥AC，AB⊥BC，
则∠BAC+∠ADC+∠BCD＝π．且
．
∵AC 平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，结合上⾯式⼦，
则
，
，
故
，
∵AD⊥AC，AB⊥BC，
∴
，
在△BCD 中，由余弦定理可知，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝
，解得BD＝
．
（2）AC 平分∠BCD．设
，则∠BCD＝2θ．
AD⊥AC，AB⊥BC，
设CD＝BD＝a，则AC＝CDcos∠ACD＝acosθ，BC＝ACcos∠ACB＝acos2θ，
在△BCD 中，由余弦定理得
，
∴
，解得
，
则
，
即
．
9．已知在△ABC 中，三个内⻆A，B，C 满⾜cos（A﹣B）﹣cosC＝
，且C 为锐⻆．
（1）求C；
第25⻚（共57⻚）
（2）在∠ABC 内作射线BD 交AC 于D，使得∠ABD＝∠A，若AB＝2
，CD＝2，求A．
【解答】解：（1）因为
，A+B+C＝π，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
，
⼜
，所以
．
（2）根据题意设AB 的中点为E，连接DE，如图，则
．
因为∠ABD＝∠A，所以DE⊥AB，
所以
，
，
在△CBD 中，CD＝2，
由正弦定理得
，即
，
化简得
，
由题知A＜∠ABC，即
，所以
，
，解得
，满⾜题意．
，解得
，此时
不存在，舍去，
第26⻚（共57⻚）
综上
．
10．在平⾯四边形ABCD 中，
，
，BC＝4．
（1）若△ABC 的⾯积为
，求AC；
（2）若
，∠BAC＝∠DAC，求tan∠DAC．
【解答】解：（1）在△ABC 中，BC＝4，
，
∴
，可得AB＝3，
在△ABC 中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝13，
∴
．
（2）设∠DAC＝α，则
，
在Rt△ACD 中，
，易知：
，
在△ABC 中，由正弦定理得
，即
，
∴2cosα＝3sinα，可得
，即
．
11．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD＝2BD．
（1）若
，AC＝8，AD＝4，求AB；
（2）若△ABC 是锐⻆三⻆形，
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）根据余弦定理，在△ACD 中，
第27⻚（共57⻚）
＝
，
则CD＝6，所以BC＝
＝9，
则
，
在△ABC 中，
AB2＝AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC
＝64+81﹣
＝19，
所以AB＝
；
（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建⽴如图所示直⻆坐标系，
设BC＝3，AB＝t，⼜CD＝2BD，则BD＝1，
则
，B（0，0），C（﹣3，0），
则
，
，
，
，
由△ABC 是锐⻆三⻆形，可得
，
即
，解得
，
故
．
12．如图，已知四棱锥S﹣ABCD 的底⾯为菱形，
，AS＝CS．
（1）求证：AC⊥平⾯BDS；
（2）若AB＝2，
，DS＝1，求四棱锥S﹣ABCD 的体积．
第28⻚（共57⻚）
【解答】解：（1）证明：记AC∩BD＝O，连结OS，因为AS＝CS，
所以AC⊥OS 由于底⾯ABCD 为棱形，则AC⊥BD，
因为BD∩OS＝O，所以AC⊥平⾯BDS．
（2）由（1）知，AO⊥平⾯BDS 所以，VS﹣ABCD＝2VS﹣ABD＝2VA﹣BDS，
根据题意，得，BD＝2 ⼜，
，DS＝1，
所以BS⊥DS，故
，
所以VS﹣ABCD＝1，所以，四棱锥S﹣ABCD 的体积为1．
13．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D 在AC 上，
，E 是CC1上的⼀点，∠BAC＝30°，
，
AA1＝4．
（1）若E 是CC1的中点，求证：B1E∥平⾯A1BD．
（2）在下⾯给出的三个条件中任选⼀个，证明另两个正确：
①三棱锥E﹣A1B1C1的体积是
；
②截⾯ABE 将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分的体积的⽐为1：11；
③平⾯A1BE 与平⾯ACC1A1所成⻆的余弦值为
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第⼀个解答计分．
【解答】证明：（1）
第29⻚（共57⻚）
在△ABC 中，因为∠BAC＝30°，
，
所以AC＝2ABcos30°＝6，
，
因为AA1＝4，所以△ADA1是等腰直⻆三⻆形，则可得∠DA1C1＝45°，
在A1C1上取点F，使C1F＝2，因为C1E＝2，
所以△EFC1是等腰直⻆三⻆形，则∠EFC1＝45°，所以A1D∥EF，
连接DF，易知四边形BDFB1为矩形，所以BD∥B1F，
因为EF，B1F⊄平⾯A1BD，所以EF∥平⾯A1BD，B1F∥平⾯A1BD，
⼜因为EF∩B1F＝F，EF，B1F⊂平⾯B1EF，
所以平⾯B1EF∥平⾯A1BD，因为B1E⊂平⾯B1EF，所以B1E∥平⾯A1BD；
（2）选①证明②③正确，
三棱锥E﹣A1B1C1的体积为：
，
得C1E＝3，所以CE＝4﹣3＝1，
则三棱锥E﹣ABC 的体积
，
⽽三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积
，
则
，所以②正确，
由余弦定理可得
，
因为
，
所以
，所以A1B1⊥B1F，
⼜因为BB1⊥平⾯A1B1C1，
第30⻚（共57⻚）
所以建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
则
，
设AC 的中点为M，则
，
所以
，
，
设平⾯A1BE 的法向量为
，
则
，即
，取
，可得
，
易知平⾯ACC1A1的⼀个法向量为
，
设平⾯A1BE 与平⾯ACC1A1所成⻆为θ，
则
，所以③正确，
选②证明①③正确，
三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积
，
三棱锥E﹣ABC 的体积
，
由
，得
，所以
，得CE＝1，
所以C1E＝4﹣1＝3，
所以三棱锥E﹣A1B1C1的体积为：
，
所以①正确，
③的正确性，前⾯已证，此处略，
选③证明①②正确，
第31⻚（共57⻚）
由前⾯解法中，建⽴空间直⻆坐标系，
则
，设
，
AC 的中点为M，则
，
所以
，
，
设平⾯A1BE 的法向量为
，
则
，即
，取
，可得
，
易知平⾯ACC1A1的⼀个法向量为
，
设平⾯A1BE 与平⾯ACC1A1所成⻆为θ，
则
，
即
，解得a＝33（舍去）或a＝3，
所以三棱锥E﹣A1B1C1的体积
，
所以①正确，
⼜三棱锥E﹣ABC 的体积
，
⽽三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积
，
则
，所以②正确．
14．如图，在三棱锥D﹣ABC 中，
，AC＝7，BC＝CD＝5．
（1）证明平⾯ACD⊥平⾯ABC；
（2）若E，F 分别为棱DA，DC 的中点，求平⾯BEF 与平⾯ABC 夹⻆的余弦值．
第32⻚（共57⻚）
【解答】（1）证明：因为在△ACD 中，
，
⼜cos∠CAD∈（0，π），所以
，
如图，
过点D 作DO⊥AC 于点O，连接BO，则
，
因为AB＝AD，CD＝CB，所以△ABC≌△ADC，所以OB⊥AC 且OD＝OB＝3，
⼜
，所以OB2+OD2＝BD2，所以OD⊥OB，
⼜OD⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平⾯ABC，所以OD⊥平⾯ABC，
OD⊂平⾯ACD，所以平⾯ACD⊥平⾯ABC．
（2）解：因为OA，OB，OD 两两垂直，如图，分别以
，
，
的⽅向为x 轴，y 轴，z 轴的正⽅向
建⽴空间直⻆坐标系，
则A（3，0，0），B（0，3，0），C（﹣4，0，0），D（0，0，3），
，
，
，BE 的⼀个⽅向向量
，
EF∥x 轴，所以EF 的⼀个⽅向向量
，
第33⻚（共57⻚）
设平⾯BEF 的法向量
，则
，
令y＝1 可得，平⾯BEF 的⼀个法向量＝（0，1，2），
⼜平⾯ABC 的⼀个法向量＝（0，0，1），
设平⾯BEF 与平⾯ABC 的夹⻆为θ，则
，
所以平⾯BEF 与平⾯ABC 夹⻆的余弦值为
．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平⾯ABCD，PA＝2，底⾯ABCD 为直⻆梯形，∠BAD＝90°，AB＝
2，CD＝AD＝1，N 是PB 的中点，点M，Q 分别在线段PD 与AP 上，且
，
．
（1）若平⾯MNQ∥平⾯ABCD，求λ、µ的值；
（2）若MQ∥平⾯PBC，求
的最⼩值．
【解答】解：（1）因为平⾯MNQ∥平⾯ABCD，平⾯PAB∩平⾯ABCD＝AB，
平⾯PAB∩平⾯MNQ＝QN，
所以QN∥AB，
⼜因为N 为PB 的中点，所以Q 为PA 的中点，同理M 为PD 的中点，
所以λ＝µ＝1；
（2）因为∠BAD＝90°，PA⊥底⾯ABCD，
如图，以A 为原点，AD、AB、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴建⽴空间直⻆坐标系，
第34⻚（共57⻚）
则
，
，
设平⾯PBC 的法向量为
，
则
，即
，
取y＝1，可得
．
因为
，
，所以
，
，
则
，
因为MQ∥平⾯PBC，
所以
，即
，
所以
，
整理可得：
，
所以µ＝1+2λ，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最⼩值为8．
16．在多⾯体ABCDMN 中，已知四边形ABNM 是边⻓为2 的正⽅形，AB＝AD＝BC，AD∥BC，AB⊥AD，
平⾯ABNM⊥平⾯ABCD，H 为线段BC 的中点．
（1）若平⾯ANH∩平⾯MNC＝l，求证：MC∥l；
（2）在线段NC 上是否存在⼀点P，使得平⾯PAH⊥平⾯NAH？若存在，求
的值；若不存在，说明
理由．
第35⻚（共57⻚）
【解答】（1）证明：连接BM，与AN 交于点O，连接OH，
因为正⽅形ABNM，所以O 是BM 的中点，
⼜H 为线段BC 的中点，所以OH∥MC，
因为OH⊂平⾯ANH，MC⊄平⾯ANH，
所以MC∥平⾯ANH，
⼜MC⊂平⾯MNC，平⾯ANH∩平⾯MNC＝l，
所以MC∥l．
（2）解：存在，
＝，理由如下：
由题意知，AB⊥BN，
因为平⾯ABNM⊥平⾯ABCD，平⾯ABNM∩平⾯ABCD＝AB，BN⊂平⾯ABNM，
所以BN⊥平⾯ABCD，
⼜AD∥BC，AB⊥AD，所以AB⊥BC，
故以B 为原点，建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
则A（2，0，0），N（0，0，2），H（0，2，0），
设
＝λ，λ∈[0，1]，则P（0，4λ，2﹣2λ），
所以
＝（﹣2，2，0），
＝（﹣2，0，2），
＝（0，4λ﹣2，2﹣2λ），
设平⾯NAH 的法向量为＝（x，y，z），则
，
取x＝1，则y＝z＝1，所以＝（1，1，1），
设平⾯PAH 的法向量为＝（a，b，c），则
，
取a＝b＝1﹣λ，则c＝1﹣2λ，所以＝（1﹣λ，1﹣λ，1﹣2λ），
因为平⾯PAH⊥平⾯NAH，
第36⻚（共57⻚）
所以• ＝1﹣λ+1﹣λ+1﹣2λ＝0，解得λ＝，
即
＝．
17．斜三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱⻓均为4，
，D 为棱BB1上的⼀点．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）若平⾯AA1B1B⊥平⾯ABC，且⼆⾯⻆A﹣A1D﹣C 的余弦值为
，求BD 的⻓．
【解答】解：（1）证明：取AB 中点O，在△ABC 中，AC＝BC，O 为AB 中点，所以OC⊥AB，
在ΔAA1O 中，
，AO＝2，AA1＝4，所以
，
第37⻚（共57⻚）
所以有
，即
，所以A1O⊥AB，
⼜因为A1O∩OC＝O，A1O⊂平⾯A1OC，OC⊂平⾯A1OC，
AB⊥平⾯A1OC，⼜因为A1C⊂平⾯A1OC，所以AB⊥A1C；
（2）由（1）知A1O⊥AB 且平⾯AA1B1B⊥平⾯ABC，
所以A1O⊥⾯ABC，则A1O⊥OC，
如图以OA，OC，OA1两两垂直，以O 为坐标原点，
以OA，OC，OA1⽅向为x 轴，y 轴，z 轴正⽅向，建⽴如图所示空间直⻆坐标系．
A（2，0，0），B（﹣2，0，0），
，
，
设BD＝λ，
，
，
，
设平⾯A1CD 法向量为＝（x0，y0，z0），
，
，
得＝（
，1，1），
平⾯AA1D 的法向量为＝（0，1，0），
，
所以有λ＝8（舍）或者λ＝2，所以BD＝2．
18．如图，在圆锥PO 中，AC 为底⾯圆O 的⼀条直径，B，D 为底⾯圆周上不同于A，C 的两点，圆锥⺟
第38⻚（共57⻚）
线⻓为
．
（1）若AD＝1，平⾯PAD 与平⾯PBC 的交线为l，证明：AD∥l；
（2）若AD 与平⾯PCD 所成⻆的正切值为
，求AD 的⻓．
【解答】解：（1）证明：因为AC 为直径，则AD⊥CD，AB⊥BC，
且AD＝1，AC＝2，则
，且∠CAD＝60°，
⼜因为∠BAC＝30°，则∠BAD＝90°，即AD⊥AB，
且AB⊥BC，AD，BC⊂平⾯ABCD，可知AD∥BC，
且AD⊄平⾯PBC，BC⊂平⾯PBC，
所以AD∥平⾯PBC，
⼜因为AD⊂平⾯PAD，平⾯PAD∩平⾯PBC＝l，
所以AD∥l．
（2）由题意知，AD⊥CD，
如图，以D 点为坐标原点，DA，DC 所在直线为x，y 轴，过D 与OP 平⾏的直线为z 轴，建⽴空间直
⻆坐标系，
可知
，设AD＝a，
则A（a，0，0），
，
，
第39⻚（共57⻚）
可得
，
，
，
设平⾯PCD 的法向量为
，
则
，
令z＝1，则
，y＝0，
可得
，
设AD 与平⾯PCD 所成⻆为
，
则
，可得
，
且
，
解得
，
即
，
整理得16+a2＝19，解得
，
即
．
19．如图，在⼏何体ABC﹣DEF 中，AD，BE，CF 互相平⾏，四边形ADFC 与四边形BEFC 是全等的等腰
梯形，平⾯ADFC⊥平⾯BEFC，AD＝4，CF＝AC＝2，点G，H，L 分别为AD，CF，BC 的中点．
（1）证明：平⾯GHL⊥平⾯DEF；
（2）求直线AE 与平⾯ABC 所成⻆的正弦值．
【解答】解：（1）证明：在⼏何体ABC﹣DEF 中，AD，BE，CF 互相平⾏，
四边形ADFC 与四边形BEFC 是全等的等腰梯形，平⾯ADFC⊥平⾯BEFC，
AD＝4，CF＝AC＝2，点G，H，L 分别为AD，CF，BC 的中点．
第40⻚（共57⻚）
∵四边形ADFC 是等腰梯形，点G 为AD 的中点，点H 为CF 的中点，
∴GH⊥CF，⼜平⾯ADFC⊥平⾯BEFC，平⾯ADFC∩平⾯BEFC＝FC，
∴GH⊥平⾯BEFC，EF⊂平⾯BEFC，∴GH⊥EF，
取BE 的中点M，连接FM，CM，BF，则四边形BMFC 是边⻓为2 的菱形，
∴BF⊥CM，⼜LH∥BF，CM∥EF，∴LH⊥EF，
∵GH∩HL＝H 且都在⾯GHL 内，∴EF⊥平⾯GHL，
∵EF⊂平⾯DEF，∴平⾯GHL⊥平⾯DEF．
（2）由（1）知，HM，HF，HG 两两垂直，
以H 为原点，HM，HF，HG 所在的直线分别为x、y、z 轴建⽴空间直⻆坐标系，
则
，
∴
，
设平⾯ABC 的法向量为
，
则
，取z＝1，得
，
设直线AE 与平⾯ABC 所成的⻆为θ，
则
，
∴直线AE 与平⾯ABC 所成⻆的正弦值为
．
20．如图①所示，四边形ABCQ 是直⻆梯形，AQ∥BC，AQ⊥AB，且AQ＝2BC＝2AB＝4，D 为线段AQ 的
中点．现沿着CD 将△QCD 折起，使Q 点到达P 点，如图②所示，连接PA，PB，其中M 为线段PA 的
第41⻚（共57⻚）
中点．
（1）求证：DM⊥PB；
（2）若⼆⾯⻆A﹣CD﹣P 的⼤⼩为60°，则在线段PC 上是否存在⼀点N，使得直线PB 与平⾯BDN 所
成⻆的正弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求点A 到平⾯BDN 的距离．
【解答】（1）证明：在图①中，由题意可知四边形ABCD 为正⽅形，且CD＝DQ＝AD＝2，
则在②中，有CD⊥PD，CD⊥AD，且PD∩AD＝D，则CD⊥平⾯PAD，
⼜AB∥CD，∴AB⊥平⾯PAD，⽽DM⊂平⾯PAD，则AB⊥DM．
⼜PD＝AD，且M 为PA 的中点，∴DM⊥PA，
∵AB∩PA＝A，AB，PA⊂平⾯PAB，
∴DM⊥平⾯PAB，⽽PB⊂平⾯PAB，可得DM⊥PB；
（2）解：由（1）知：CD⊥平⾯PAD，
∵CD⊂平⾯ABCD，∴平⾯ABCD⊥平⾯PAD，
由已知可得∠ADP 为⼆⾯⻆A﹣CD﹣P 的平⾯⻆，则∠ADP＝60°，
可得△PAD 是等边三⻆形，则PA＝AD＝PD＝2．
取AD 的中点为O，连接PO，则PO⊥AD，
⼜平⾯ABCD∩平⾯PAD＝AD，PO⊂平⾯PAD，
∴PO⊥平⾯ABCD，且
，
以O 为坐标原点，分别以OA、OP 所在直线为x、z 轴，
在平⾯ABCD 中，过O 作AD 的垂线为y 轴建⽴空间直⻆坐标系，
第42⻚（共57⻚）
则O（0，0，0），
、D（﹣1，0，0）、B（1，2，0）、C（﹣1，2，0），
则
、
、
、
，
设
，（0≤λ≤1），
则
，
设平⾯BDN 的⼀个法向量为
，
则
，取
，得
，
记直线PB 与平⾯BDN 所成⻆为θ，
则
，
即
，解得
，
因此
，则
；
（3）解：由（2）知：
，
则平⾯BDN 的⼀个法向量可以为
，且
，
则点A 到平⾯BDN 的距离为
．
21．如图，在多⾯体ABCDEF 中，平⾯ABCD⊥平⾯ADEF，四边形ADEF 为平⾏四边形，AB∥CD，AD
⊥CD，
，
，
，P 为EC 的中点．
（1）求证：DF⊥BC；
第43⻚（共57⻚）
（2）求点P 到平⾯ABF 的距离；
（3）在线段BC 上是否存在⼀点H，使得平⾯DHP 与平⾯BEF 的夹⻆的余弦值为
若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：在△ADF 中，因为AD＝2，
，
，
所以
，
所以AD2+DF2＝AF2，所以DF⊥AD，
⼜平⾯ABCD⊥平⾯ADEF，平⾯ABCD∩平⾯ADEF＝AD，DF⊂平⾯ADEF，
所以DF⊥平⾯ABCD，⼜BC⊂平⾯ABCD，所以DF⊥BC．
（2）解：由（1）可得DF⊥AD，DF⊥DC，⼜AD⊥CD，所以DA，DC，DF 两两垂直，
所以以D 为坐标原点，以DA，DC，DF 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐
标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），F（0，0，2），E（﹣2，0，2），C（0，4，0），P（﹣1，2，1），
所以
，
，
．
设平⾯ABF 的⼀个法向量
，
则
令x＝1，则平⾯ABF 的⼀个法向量
，
第44⻚（共57⻚）
所以点P 到平⾯ABF 的距离
．
（3）解：假设存在，设
，则
，
所以
，
设平⾯DHP 的⼀个法向量
，因为
，
所以
令x1＝1+t，则y1＝t﹣1，z1＝3﹣t，
所以
，
设平⾯BEF 的⼀个法向量
，
因为
，
所以
令y2＝1，则
，
设平⾯DHP 与平⾯BEF 的夹⻆为α，
则cosα＝|cos＜
＞|＝
，
解得
或
（舍），
所以存在点H，使得满⾜要求，此时
，即
．
22．座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史⽂化保护建筑改建⽽成，其中的⽀柱保留了原有的正⼋
棱柱，既考虑了结构⼒学优势，⼜体现了对历史建筑的尊重和传承．如图，O1、O 分别为正⼋棱柱的上
下两个底⾯的中⼼，已知OA＝1，AA1＝4．
（1）求证：BC⊥C1F；
（2）求点O 到平⾯ACG1的距离．
第45⻚（共57⻚）
【解答】解：（1）证明：如图，
连接CF，因为底⾯为正⼋边形，所以CF⊥BC，
⼜正⼋棱柱侧棱CC1⊥底⾯ABCDEFGH，BC⊂底⾯ABCDEFGH，
所以CC1⊥BC，CC1∩CF＝C，CC1，CF⊂平⾯CFC1，
所以BC⊥平⾯CFC1，
⼜C1F⊂平⾯CFC1，所以BC⊥C1F．
（2）如图，
连接OC，OG1，
因为OA＝1，AA1＝4，
第46⻚（共57⻚）
由正⼋边形ABCDEFGH 的性质可得
，OC＝OA＝1，
GG1为G1到底⾯AOC 的距离，GG1＝4，
所以
，
由勾股定理可得，AC2＝AO2+CO2＝2，
⼜AG2＝AC2＝2，所以
，
⼜CG＝2AO＝2，所以
，
因为
，所以AC⊥AG1，即
，
设点O 到平⾯ACG1的距离为d，
则
，即
，即3d＝2，解得
，
所以点O 到平⾯ACG1的距离为
．
23．如图，P 为圆锥的顶点，AB 为底⾯圆O 的直径，C 为圆周上⼀点，D 为劣弧
的中点，
．
（1）求证：BC⊥PD；
（2）E 在线段PB 上且
，当DE∥平⾯POC 时，求平⾯PBC 与平⾯ABC 夹⻆的余弦值．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，因为D 为
的中点，所以OD⊥BC，
⼜因为PO⊥平⾯ABC，故PO⊥BC，
OD∩PO＝O，OD，PO⊂平⾯POD，
所以BC⊥平⾯POD，PD⊂平⾯POD，则BC⊥PD；
第47⻚（共57⻚）
（2）如图，以O 为坐标原点，直线OB，OP 为y，z 轴，建⽴空间直⻆坐标系，
设OP＝OB＝3，则B（0，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1），设∠DOB＝θ，则∠COB＝2θ，
设D（3sinθ，3cosθ，0），则C（3sin2θ，3cos2θ，0），
因为
，
，
设平⾯OPC 的法向量为
，
由
，
可取
，﹣sin2θ，0），
⼜
＝（3sinθ，3cosθ﹣2，﹣1），
因为DE∥平⾯POC，所以
，
即3sinθcos2θ﹣3sin2θcosθ+2sin2θ＝0，
得
，
于是
，
，则
，
所以
，
⼜
，
设平⾯PBC 的法向量为
，
则
，
可取
，
第48⻚（共57⻚）
⼜平⾯ABC 的⼀个法向量为
，
设平⾯PBC 与平⾯ABC 夹⻆为α，
则
，
所以平⾯PBC 与平⾯ABC 夹⻆的余弦值为
．
24．已知
，a 为常数，且a＞0．
（1）若f（1）＝0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若⽅程f（x）＝0 有且仅有2 个不等的实数解，求a 的值．
【解答】解：（1）由f（1）＝0 得：
＝0，解得a＝1，
所以
，令f′（x）＝x2﹣1＝0 得x＝﹣1 或1，
f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜1，f′（x）＞0⇒x＜﹣1 或x＞1，
所以f（x）的单调减区间为（﹣1，1），单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；
（2）由题意得f′（x）＝（x+1）（x﹣a），a＞0，
令f′（x）＝0 得x＝﹣1 或a，
f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜a，f′（x）＞0⇒x＜﹣1 或x＞a，所以f（x）的单调减区间为（﹣1，a），单调增区间
为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），
结合x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞，
所以要使⽅程f（x）＝0 有且仅有2 个不等的实数解，
只需f（﹣1）＝0，或f（a）＝0，
⼜f（﹣1）＝
，所以f（a）＝﹣
，
解得a＝0 或1 或﹣4，⼜a＞0，所以a＝1．
25．已知a∈R，函数f（x）＝a（1﹣x）+lnx．
（1）若a＞0，判断f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0，求a．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域{x|x＞0}，
，
当a＞0 时，由f'（x）＞0，得
，f′（x）＜0，得
，
所以，当a＞0 时，f（x）在
上是增函数，在
上是减函数．
第49⻚（共57⻚）
（2）当a＜0 时，由f'（x）＞0 知，函数f（x）为增函数，且f（1）＝0，所以f（x）≤0 不成⽴，
当a＞0 时，由（1）知，f（x）存在最⼤值
，
由题意，
，
令h（x）＝x﹣1﹣lnx（x＞0），则
，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
所以h（x）≥h（1）＝0，则a＝1．
26．已知函数f（x）＝﹣|x|+ln（|x|+a），曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线与直线2x﹣y＝0 垂直．
（1）求实数a 的值；
（2）求函数f（x）的极值点和极值．
【解答】解：（1）依题意，当x＞0 时，f（x）＝﹣x+ln（x+a），
所以
，
则
，解得a＝﹣1．
（2）由（1）可知，f（x）＝﹣|x|+ln（|x|﹣1），
函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
当x＞1 时，f（x）＝﹣x+ln（x﹣1），f'（x）＝﹣1+
，
令f′（x）＝0，解得x＝2，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（1，2）上单调递增；
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＜0，则函数f（x）在（2，+∞）上单调递减．
所以当x＝2 时，函数f（x）取得极⼤值f（2）＝﹣2，即2 为f（x）的极⼤值点，
⼜f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，其图象关于y 轴对称，
所以当x＝﹣2 时，函数f（x）取得极⼤值f（﹣2）＝﹣2，即﹣2 为f（x）的极⼤值点．
综上，函数f（x）的极⼤值点为2，﹣2，极⼤值为﹣2，⽆极⼩值点，也⽆极⼩值．
27．已知函数
．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，1]上的最⼩值为1，求a 的值．
【解答】解：（1）函数
的定义域为（0，+∞），
．
第50⻚（共57⻚）
当a≤0 时，f'（x）＜0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当a＞0 时，令f'（x）＝0，解得
，
当
时，f'（x）＜0，当
时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
综上，当a≤0 时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），⽆单调递增区间；
当a＞0 时，f（x）的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）当a≤0 时，f（x）在（0，1]上单调递减，所以
，解得a＝﹣1 或a＝1
（舍去），故a＝﹣1．
当0＜a≤2 时，f（x）在（0，1]上单调递减，所以
，解得a＝1 或a＝﹣1（舍
去），故a＝1．
当a＞2 时，f（x）在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
因为a＞2，所以
，故
，不符合题意．
综上，a＝±1．
28．已知函数f（x）＝2alnx﹣a3﹣2x，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0 时，f（x）≤﹣3a．
【解答】解：（1）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），则
，
当a≤0 时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0 时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，由f′（x）＜0，得x＞a，
所以f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，
综上，当a≤0 时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0 时，f（x）在（0，a）上单调递增，f（x）在（a，+∞）上单调递减．
（2）证明：由（1）可知，当a＞0 时f（x）在（0，a）上单调递增，f（x）在（a，+∞）上单调递减，
所以
，
要证f（x）≤﹣3a，即证2alna﹣a3﹣2a≤﹣3a，
第51⻚（共57⻚）
因为a＞0，因此只需证2lna﹣a2﹣2≤﹣3，
设g（x）＝2lnx﹣x2﹣2，x∈（0，+∞），则
，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上单调递减；
所以g（x）max＝g（1）＝﹣3，所以当a＞0 时，f（x）≤﹣3a，从⽽命题得证．
29．已知函数
．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝1 处的切线⽅程；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）设t＞0，求函数f（x）在区间[t，2t]上的最⼤值．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由
，则切线的斜率k＝f′（1）＝2，
⼜f（1）＝1，故切点为（1，1），
所以切线的⽅程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．
（2）因为
，
则f'（x）＞0，得0＜x＜e；f'（x）＜0，得x＞e，
所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
故当x＝e 时，f（x）有极⼤值
，⽆极⼩值．
（3）由（2）得：当2t≤e 且t＞0，即
时，
f′（x）＞0 在[t，2t]上恒成⽴，函数f（x）在（t，2t）上单调递增，
所以
；
当t＜e＜2t，即
时，
x∈（t，e）时，f'（x）＞0，x∈（e，2t）时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在（t，e）上单调递增，在（e，2t）上单调递减，
所以
；
当t≥e 时，f'（x）≤0 在[t，2t]上恒成⽴，函数f（x）在（t，2t）上单调递减，
所以
，
第52⻚（共57⻚）
综上所得：当
时，
；
当
时，
；
当t≥e 时，
．
30．已知函数f（x）＝aex﹣2x﹣3cosx+1，其中e 为⾃然对数的底数．
（1）当a＝2 时，判断函数f（x）在区间
上的单调性；
（2）令g（x）＝f′（x），若函数g（x）在区间
上存在极值，求实数a 的取值范围；
（3）求证：当a≥2 时，f（x）≥0．
【解答】解：（1）由题设f（x）＝2ex﹣2x﹣3cosx+1，
则f'（x）＝2ex﹣2+3sinx，当
，有2（ex﹣1）＜0，3sinx＜0，则
f'（x）＜0 所以f（x）在区间
上的单调递减；
（2）由题设g（x）＝f'（x）＝aex﹣2+3sinx，则g'（x）＝aex+3cosx，
所以
，即
，在
上有解，
令
，且
，则
，
所以h（x）在
上单调递增，故﹣3＜h（x）＜0，即a∈（﹣3，0）；
（3）由a≥2，只需证f（x）＝aex﹣2x﹣3cosx+1≥2ex﹣2x﹣3cosx+1≥0 恒成⽴，
令k（x）＝2ex﹣2x+1，则k'（x）＝2ex﹣2，当x＜0 时，k（x）＜0，即k（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
当x＞0 时，k（x）＞0，即k（x）在（0，+∞）上单调递增，所以k（x）≥k（0）＝2﹣0+1＝3，
故2ex﹣2x﹣3cosx+1≥3﹣3cosx≥0，所以a≥2，f（x）≥0 恒成⽴．
31．已知函数f（x）＝lnx﹣mx+1．
（1）若m＝0，求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线⽅程；
（2）若f（x）≤0 恒成⽴，求实数m 的取值范围；
（3）求证：∀n∈N*，
．
【解答】解：（1）如果m＝0，那么函数f（x）＝lnx+1，导函数
，f（e）＝2，
因此切线斜率
，
第53⻚（共57⻚）
因此切线⽅程为
，所以
．
（2）如果对定义域内∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤0 恒成⽴，
所以
恒成⽴，只需
即可，
设函数
，其中x＞0，那么导函数
，
令导函数g′（x）＝0，解得x＝1，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
因此g（x）max＝g（1）＝1，
所以m∈[1，+∞）．
（3）证明：根据第⼆问得，当m＝1 时，不等式f（x）≤0 恒成⽴，所以lnx≤x﹣1，
将不等式lnx≤x﹣1 中的x 替换为
，显然
，
那么
，
故ln（1+
）+ln（1+
）+⋯+ln（1+
）
⋯+
＝
＝1﹣
，
即ln[（1+
）（1+
）⋯（1+
）]＜1＝lne，
故（1+
）（1+
）⋯（1+
）＜e．
32．已知f（x）＝xax﹣ex+1（a＞1）．
（1）当a＝e 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a≥e 时，求证：f（x）≥0；
（3）当
，试讨论函数f（x）的零点个数．
【解答】解：（1）根据题⽬已知：f（x）＝xax﹣ex+1（a＞1）
当a＝e 时，f（x）＝xex﹣ex+1，f′（x）＝（x+1）ex﹣ex＝xex，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）为增函数；
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣∞，0）为减函数；
所以当a＝e 时，函数f（x）的减区间为（﹣∞，0），增区间内为（0，+∞）．
（2）证明：因为a≥e，当x≥0 时，ax≥ex，所以xax≥xex，
当x＜0 时，ax≤ex，所以xax≥xex，所以xax﹣ex+1≥xex﹣ex+1，
设p（x）＝xex﹣ex+1，由（1）可知p（x）≥p（0）＝0，所以不等式f（x）≥0 成⽴．
第54⻚（共57⻚）
（3）解法⼀：
，
设
，此时φ（0）＝0，
则
，
因为
，所以
，
则φ′（x）在R 为减函数，φ′（0）＝2lna﹣1，
①当
时，φ′（0）＝0，结合φ′（x）在R 为减函数，
当x∈（﹣∞，0）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（﹣∞，0）为增函数；
当x∈（0，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，+∞）为减函数；
所以φ（x）≤φ（0）＝0，所以f′（x）≤0，即f（x）在R 上为减函数，
⼜因为f（0）＝0，所以f（x）只有⼀个零点；
②当
时，φ′（0）＝2lna﹣1＜0，
所以存在x0＜0，使得φ′（x0）＝0，
当x∈（﹣∞，x0）时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（﹣∞，x0）上增函数；
当x∈（x0，+∞）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）＜0 在（x0，+∞）上减函数．
因为φ（0）＝0，则φ（x0）＞0，当x→﹣∞，φ（x）→﹣∞，
∃x1∈（﹣∞，x0）使得φ（x1）＝0，
所以x∈（﹣∞，x1）时，φ（x）＜0，即f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，x1）为减函数；
当x∈（x1，0）时，φ（x）＞0，即f′（x）＞0，即f（x）在（x1，0）为增函数；
当x∈（0，+∞）时，φ（x）＜0，即f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）为减函数；
当x→﹣∞，f（x）→1，⼜因为f（0）＝0，所以f（x1）＜0．
所以∃x2∈（﹣∞，x1）使得f（x2）＝0，
f（x）在（0，+∞）为减函数，所以f（x）＜f（0）＝0，所以f（x）存在两个零点．
综上所述：当
时，函数f（x）有1 个零点；当
函数f（x）有2 个零点．
33．已知函数
．
（1）若a＜0，且y＝1 与函数y＝f（x）的图象相切，求a 的值；
（2）若f（x）≥1 对∀x∈（0，+∞）成⽴，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）∵
，
第55⻚（共57⻚）
∴
，a＜0，且y＝1 与函数y＝f（x）的图象相切，
设切点为（x0，1），
得x0﹣a﹣1+
＝0，得
﹣ax0﹣x0+a＝0，x0＝1 是⽅程的解，切点坐标（1，1），
所以
，
解得a＝﹣；
（2）据题意，得
对∀x∈（0，+∞）恒成⽴．
设
，则
．
讨论：
（i）当a≤0 时，由g'（x）＜0 得函数g（x）单调减区间为（0，1）；
由g'（x）＞0 得函数g（x）单调增区间为（1，+∞）．
∴g（x）min＝g（1），且
．
∴
，解得
；
（ii）当0＜a＜1 时，由g'（x）＜0 得函数g（x）单调减区间（a，1）；由g'（x）＞0 得函数g（x）单调
增区间为（0，a），（1，+∞），
⼜
，
，不合题意．
（iii）当a＝1 时，
，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
⼜
，
，不合题意．
（iv）当a＞1 时，由g'（x）＜0 得函数g（x）单调减区间为（1，a）；由g'（x）＞0 得函数g（x）单调
增区间（0，1），（a，+∞），
⼜
，
，不合题意．
综上，所求实数a 的取值范围是
．
34．已知函数
．
（1）求f（x）的零点个数；
（2）设x0是f（x）的⼀个零点，证明：曲线y＝ex 在点
处的切线也是曲线y＝lnx 的切线．
第56⻚（共57⻚）
【解答】解：（1）函数
的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），
求导得
，
函数f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）上均单调递增，
由f（0）＝2＞0，
，得f（x）在（﹣∞，1）上有唯⼀零点x1，
由f（2）＝e2﹣3＞0，
，得f（x）在（1，+∞）上有唯⼀零点x2，
所以f（x）有且仅有两个零点．
（2）曲线y＝ex 在点
处的切线⽅程为
，即
，
设曲线y＝lnx 在点（x3，y3）处的切线斜率为
，
则
，
，y3＝﹣x0，即切点为
，
则曲线y＝lnx 在点
处的切线⽅程为
，即
．
由x0是f（x）的⼀个零点，得
，则
，
因此直线
与直线
为同⼀直线，
所以曲线y＝ex 在点
处的切线也是曲线y＝lnx 的切线．
35．已知函数
，其中a∈R．
（1）若f（x）的图象在（0，f（0））处的切线经过点
，求a 的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
【解答】解：（1）f′（x）＝e2x﹣（a+2）ex+2a，
因为
，f′（0）＝a﹣1，
所以f（x）的图象在（0，f（0））处的切线⽅程为
，
将
代⼊得
，解得a＝﹣2；
（2）f′（x）＝e2x﹣（a+2）ex+2a＝（ex﹣2）（ex﹣a），
当a≤0 时，ex﹣a≥0，令f′（x）＞0，得x＞ln2；令f′（x）＜0，得x＜ln2，
第57⻚（共57⻚）
所以f（x）在（ln2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，ln2）上单调递减．
当0＜a＜2 时，令f′（x）＞0，得x＞ln2 或x＜lna；令f′（x）＜0，得lna＜x＜ln2，
所以f（x）在（﹣∞，lna），（ln2，+∞）上单调递增，在（lna，ln2）上单调递减．
当a＝2 时，f′（x）＝（ex﹣2）2≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．
当a＞2 时，令f′（x）＞0，得x＞lna 或x＜ln2；令f′（x）＜0，得ln2＜x＜lna，
所以f（x）在（﹣∞，ln2），（lna，+∞）上单调递增，在（ln2，lna）上单调递减．
综上，当a≤0 时，f（x）在（ln2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，ln2）上单调递减；
当0＜a＜2 时，f（x）在（﹣∞，lna），（ln2，+∞）上单调递增，在（lna，ln2）上单调递减；
当a＝2 时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
当a＞2 时，f（x）在（﹣∞，ln2），（lna，+∞）上单调递增，在（ln2，lna）上单调递减．
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