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难点与新考法 15 圆中相关计算、切线、内切圆、阴影面积等问题
（7 大热考题型）
题型一：与圆周角有关计算
题型二：与垂径定理有关计算
题型三：与圆内接四边形有关计算
题型四：切线的判定问题
题型五：与切线性质有关计算
题型六：三角形的内心及内切圆
题型七：阴影部分面积计算
题型一：与圆周角有关计算
圆周角定理及其推论
常
见
形
式
方 找到同弧所对的圆周角和圆心角,通过其角度的2倍关系进 根据直径所对的圆 利用同弧或等弧
法 行计算 周角是 90°进行计 所对的圆周角相
算 等进行计算
结 ∠ACB=90° ∠ACB=∠ADB
论
∠ACB= ∠AOB
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 是 的内接三角形，若 ，则
．
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【典例1-2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图， 内接于 ，AD是直径，若 ，
则
．
【典例1-3】（2024·四川眉山·中考真题）如图， 内接于 ，点 在 上， 平分 交
于 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
【典例1-4】（2024·陕西·中考真题）如图， 是 的弦，连接 ， ， 是 所对的圆周角，
则 与 的和的度数是 ．
【典例1-5】（2024·山东泰安·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为 上任意
一点，点 为 的中点，连接 交 于点 ，延长 与 相交于点 ，若 ， ，则
的长为 ．
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【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·西藏·中考真题）如图， 为 的直径，点B，D在 上， ， ，
则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式1-2】（2024·北京·中考真题）如图， 的直径 平分弦 （不是直径）.若 ，则
【变式1-3】（2024·江苏常州·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 ．
若 ，则 ．
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【变式1-4】（2024·江苏镇江·中考真题）如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上，
，则 ．
【变式1-5】（2025·广东·模拟预测）如图，点A，B，C在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-6】（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形 内接于 ， ， 为对角线， 经过圆心
O．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-7】（2025·广西·模拟预测）如图， 是 的直径，点 、 在 上．若 ，
，则 的度数是 ．
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题型二：与垂径定理有关计算
垂径定理及其推论
1.定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
2.解题思路:如图①,有直角三角形,直接利用勾股定理解题:如图②.③,无直角三角形作半径和弦心距,构造直
角三角形.
知识拓展 如果一条直线满足下列 5个结论中的2个,便可推出其他3个结论(记为“知二推三”):①过圆
心;②垂直于弦:③平分弦(不是直径):④平分弦所对的优弧:⑤平分弦所对的劣弧.
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交
于点 ，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2023·广西·中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱
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桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-3】（2023·陕西·中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②
是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图． 是 的一部分， 是 的中点，连接 ，
与弦 交于点 ，连接 ， ．已知 cm，碗深 ，则 的半径 为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【典例2-4】（2023·湖北荆州·中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所
在圆的圆心， 为 上一点， 于 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-5】（2023·浙江温州·中考真题）图1是 方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 ，
现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形 作为
题字区域(点 ， ， ， 在圆上，点 ， 在 上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．
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若点 ， ， 在同一直线上， ， ，则题字区域的面积为 ．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯
底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于
、 、 、 四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 ， ， ．请你帮忙计算
纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 是弧
的中点， 与 相交于点 ，连接 交 于点 ．若 为 的中点， ，则 的长为
（ ）
A． B． C．6 D．
【变式2-3】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为
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拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·湖南永州·中考真题）如图， 是一个盛有水的容器的横截面， 的半径为 ．
水的最深处到水面AB的距离为 ，则水面AB的宽度为 ．
【变式2-5】（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾
股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长
一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图， 是 的直径，弦 于点E， 寸，
寸，则直径 长为 寸．
题型三：与圆内接四边形有关计算
圆内接四边形的性质
性质1:圆内接四边形的对角互补
性质2:任意一个外角等于它的内对角.
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【中考母题学方法】
【典例3-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图， 是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足
， ，则弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2024·四川泸州·中考真题）如图， ， 是 的切线，切点为A，D，点B，C在 上，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例3-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-4】（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形 的两组对边，延长线相交于
点E，F．若 ， ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【典例3-5】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形，点 在四边形
内部，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则
的度数为 ．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·吉林·中考真题）如图，四边形 内接于 ，过点B作 ，交 于点
E．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在 内，若圆周角 ，则圆心角 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
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【变式3-3】（2024·湖北宜昌·二模）如图，点O是 的外心，若 ，求弦 所对的圆周
角 ．
【变式3-4】（2024·北京·模拟预测）平面中有四个点 交 于点 使得
．三角形 的外接圆为 ．表示 和 的关系
题型四：切线的判定问题
1.连半径,证垂直
连接圆心与交点,证明直线垂直半径,即“连半径,证垂直”.常见的情形如下
条件 图形 提示
已知∠C=90° 证明半径 OE//AC
已知∠ABC=90° 证明△ODC≌△OBC
已知AB是⊙0的直径,D是⊙0上 证明∠ADO=∠BDC,结合等腰三角
的点,即∠ADB=90° 形,利用等角的余角相等“倒角”
2.作垂直,证相等
过圆心作直线的垂线段,证明垂线段长等于半径,即“作垂直,证相等”证明圆心到直线的距离等于半径的常
见证明方法:①利用角平分线上的点到角两边的距离相等:②证明三角形全等.
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【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，
， ，以O为圆心， 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线 ，且 （点C在A的上方）；
②连接 ，交 于点D；
③连接 ，与 交于点E．
(1)求证： 为 的切线；
(2)求 的长度．
【典例4-2】（2024·山东东营·中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径，点 在 上，点
是 的中点， ，垂足为点D， 的延长线交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【典例4-3】（2024·湖北·中考真题）如图，在 中， ，点 在 上，以CE为直径的
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经过AB上的点 ，与 交于点 ，且 ．
(1)求证：AB是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【典例4-4】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将 沿过点 的直线翻折并展开，点 的对应点 落
在边 上，折痕为 ，点 在边 上， 经过点 、 ．若 ，判断 与 的位置关
系，并说明理由．
【典例4-5】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心，
长为半径的 与AD相切于点 ，与 相交于点 ．
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(1)求证：AB与 相切．
(2)若正方形 的边长为 ，求 的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点 是半径 上的一个动点，过点 作 交 于点 ．当
时，求 的长．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2024·山西运城·模拟预测）阅读与思考
直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并
完成相应的任务．
欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，
切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的
切线…
证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理
来证明．
添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．
图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨
盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个
固定长度的“连杆” ， 的连接点P在 上， ，垂足为O，当点P在 上转动时，带动
点A，B分别在射线 ， 上滑动，当点B恰好落在 上时， ，请判断此时 与
的位置关系并说明理由．
小王的解题思路如下： 与 相切．
理由：连接 ．
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∵点B恰好落在 上，
．（依据1）
，
．
，
，
．
，（依据2）
，
∴ 与 相切．
任务：
(1)依据1：_____________________________．
依据2：________________________________．
(2)在图2中， 的半径为6， ，求 的长．
【变式4-2】（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知 是 边 上的一点，以 为圆心、 为半径
的 与边 相切于点 ，且 ，连接 ，交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ．
(1)求证： 是 切线；
(2)求证： ；
(3)若 是 中点，求 的长．
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【变式4-3】（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形 中， 是边 的动点，以 为圆
心， 为半径作圆， 与 相切于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2， 与 相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，当满足 时，试判断
与 的位置关系并说明理由．
【变式4-4】（2024·广东东莞·一模）如图1， 是 中 的平分线， ，以 为
半径的 与 相交于点 ，且 ．
(1)求证： 是 切线；
(2)如图2，设 与 的切点为 ，连接 ．当 时，求 的半径；
(3)若 是线段 的中点，连 与 交于 ，在（2）的条件下，求 的值．
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【变式4-5】（2025·云南·模拟预测）如图， 是四边形 的外接圆， 是四边形 的对
角线， 恰为 的直径， ，点 在劣弧 上，过点 作 ，交 的延长线于点
， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ，P是劣弧CD上的一个动点，不与C，D重合，连接AP，CP，DP，DG⊥AP于点G，求
的值．
题型五：与切线性质有关计算
1.求角度问题的解题关键
连接圆心和切点,构造直角三角形,依据三角形内角和定理得到角度,通常还需结合等腰三角形的性质、圆周
角定理及推论和平行线性质定理进行角度转化
2.求线段长问题的解题步骤
第一步:先将题中已知条件进行转化,挖掘题中的隐含条件,如:①切线与过切点的半径垂直,可构造直角三角
形:②圆的半径长相等,可构造等腰三角形;③弦与切线平行则弦与过切点的半径垂直,可结合垂径定理;
第二步:结合已知解题方法,考虑利用勾股定理、锐角三角函数或相似三角形的性质求解;
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第三步:作辅助线,构造直角三角形或相似三角形;
第四步:论证求解
利用勾股定理求解的常考图形如下:
图形 AB与 相切于点A，0B AB是 的切线,CD∥AB,交 OA 在Rt△ABC中,点O在AB
交 于点C 于点E 上， 交AB于点E,切BC
于点D
结论 ΔOAB 为直角三角形, △OED 为直角三角形 △ADE 为直角三角形
r²+AB²=(r+BC)² AE²-DE²=CD²+AC²
利用相似三角形求解的常考图形如下:
图形 AB是直径,切线CD交 AB是直径.CD是 的切线,切 AB是 的直径,CD是O0的
点为 D 切线,C是切点,AD⊥CD
于点E,交 AB 延长线于
点C,AD⊥CD
结论 △COE∽△CAD △BCD∽△DCA △ABC∽△ACD.
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相
切于点 ，若 ，则 °．
【典例5-2】（2024·云南昆明·模拟预测）在边长为10的正方形 中，点E是 的中点，作射线 ，
在射线 上有一点 P，若以点P为圆心，半径长为4的 与正方形 的其中一边相切，则 的长
为 ．
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【典例5-3】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点
B，点C、D分别是 、 上的动点，且满足 ，连接 交线段 于点E， 于点H，则
当 最大时， 的值为 ．
【典例5-4】（2024·山东青岛·中考真题）如图， 中， ，以 为直径的半圆O分别交
于点D，E，过点E作半圆O的切线，交 于点M，交 的延长线于点N．若 ，
，则半径 的长为 ．
【典例5-5】（2024·天津·中考真题）已知 中， 为 的弦，直线 与 相切于
点 ．
(1)如图①，若 ，直径 与 相交于点 ，求 和 的大小；
(2)如图②，若 ，垂足为 与 相交于点 ，求线段 的长．
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【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2024·福建·中考真题）如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，切
点为 ，且 为 的中点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·山西·中考真题）如图，已知 ，以 为直径的 交 于点D，与 相切于
点A，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·浙江·中考真题）如图，AB是 的直径， 与 相切，A为切点，连接 ．已
知 ，则 的度数为
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【变式5-4】（2025·贵州·模拟预测）如图， 是 的直径，点 是 上一点，过点 作 的切线
，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式5-5】（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形 中， ， ， ， 为四边
形 的对角线， ．
(1)求点 到 的距离；
(2)如图2，点 在 边上，且 ．以 为圆心， 长为半径作 ，点 为 上一点，连接
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交 于 ． ．
①当 与 相切时，求 的长；
②当 时，直接写出 的长．
题型六：三角形的内心及内切圆
重要结论识记
图示
条件 点O是△ABC的内心 ⊙0是△ABC 的内切圆
结论 1.点O是ΔABC 角平分线的交点: 1.点0是ABC 的内心,⊙0分别与 AB、BC,AC相切于
点D,E,F,则OD=OE=OF；
2.∠B0C=90°+ ∠BAC,
∠AOC=90°+ ∠ABC,
∠AOB=90°+ ∠ACB
【中考母题学方法】
【典例6-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆
半径为（ ）
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A．1 B．2 C． D．
【典例6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 为 的
内切圆，过O作 分别交 、 于D、E，则 的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【典例6-3】（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片， ， ，
为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
【典例6-4】（2024·浙江宁波·一模）如图，将矩形 的边 翻折到 ，使点D的对应点E在边
上，再将边 翻折到 ，且点A的对应点F为 的内心，则 ．
【典例6-5】（2024·山东烟台·中考真题）如图， 是 的直径， 内接于 ，点I为 的内
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心，连接 并延长交O于点D，E是 上任意一点，连接 ， ， ， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)找出图中所有与 相等的线段，并证明；
(3)若 ， ，求 的周长．
【中考模拟即学即练】
【变式6-1】（2024·山东聊城·一模）如图，点 为等边 的内心，连接 并延长交 的外接圆于
点 ，已知外接圆的半径为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·四川南充·一模）如图，点 是 外接圆的圆心．点 是 的内心．连接
．若 ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张 纸片中， ， ，
， 是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线DE剪下一块三角形 ，则 的周
长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式6-4】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在 中， ， ， ，点
是 的内心．点 到边 的距离为 ；
【变式6-5】（2024·福建南平·模拟预测）如图，以 的直角边 为直径的 交斜边 于点 ，
过点 作 的切线与 交于点 ，弦 与 垂直，垂足为 ．
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(1)求证： 为 的中点；
(2)若 的面积为 ，两个 和 的外接圆面积之比为3，求 的内切圆面积 和四边形
的外接圆面积 的比．
题型七：阴影部分面积计算
方法1 公式法
面积公式直接计算
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观察图形,所求阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时,可直接用面积公式进行求解.
方法2 和差法
面积和差运算
观察图形,所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形或特殊四边形面积的和或者差,则分别计算每部分面积,
再加减计算.
方法3 等积转化法
等积转化法的解题关键
观察图形,当所求阴影部分可转化成规则图形或阴影部分不是一个整体时,可尝试通过等积转化法计算.
1.通过平行线间三角形面积相等进行等积转化;
2.将两部分阴影部分面积合二为一进行等积转化
【中考母题学方法】
【典例7-1】（2024·河南·中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形 的外接圆，点D是 的
中点，连接 ， ．以点D为圆心， 的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片 ，
，点M为 的中点，若以M为圆心， 为半径画弧交对角线
于点N，则 度；将扇形 纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则
这个圆锥的底面圆半径为 ．
【典例7-3】（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形 中， ， ．以点 为圆心，
长为半径作弧交 于点 ，再以 为直径作半圆，与 交于点 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【典例7-4】（2024·宁夏·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，点 是 的内心，
连接 并延长交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
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(2)连接 ，若 的半径为2， ，求阴影部分的面积（结果用含 的式子表示）．
【典例7-5】（2024·四川乐山·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，过点C作 的切
线 交 延长线于点D，点E为 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 垂直平分 ， ，求阴影部分的面积．
【中考模拟即学即练】
【变式7-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形 中， ，点O是对角线
的中点，以点O为圆心， 长为半径作圆心角为 的扇形 ，点D在扇形 内，则图中阴影部分
的面积为（ ）
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A． B． C． D．无法确定
【变式7-2】（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图 是其几何
示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形 的圆心角为90°， ，点 ， 分别为 ，
的中点，则花窗的面积为 ．
【变式7-3】（2024·云南怒江·一模）如图， 为⊙ 的直径，点C在⊙ 上， 的平分线 交⊙
于点D，过点D作 ，交 的延长线于点E．
(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【变式7-4】（2024·湖北宜昌·二模）如图，直线 经过 上的点C，直线 与 交于点F和点D，
与 交于点E，与 交于点G， ， ．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分面积．
【变式7-5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图， 内接于 ， 为 的直径，
于点D，将 沿 所在的直线翻折，得到 ，点D的对应点为E，延长 交 的延长线于点
F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【变式7-6】（2024·江苏南通·中考真题）如图， 中， ， ， ， 与 相切于点
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D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设 上有一动点P，连接 ， ．当 的长最大时，求 的长．
【变式7-7】（2024·山东德州·中考真题）如图，圆 与 都经过A，B两点，点 在 上，点C是
上的一点，连接 并延长交 于点P，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ， ．
①求 的半径；
②求图中阴影部分的面积．
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