1
高中数学《直线和圆的方程》
知识点+题型归纳全集
2.1 直线的倾斜角与斜率...........................................................................................................................................6
模块一：基础知识..............................................................................................................................................6
考点一：直线倾斜角的定义......................................................................................................................6
考点二：直线的斜率..................................................................................................................................6
考点三：过两点的直线的斜率公式..........................................................................................................7
模块二：题型分类..............................................................................................................................................7
题型一：直线的倾斜角与斜率定义..........................................................................................................7
题型二：倾斜角与斜率..............................................................................................................................9
题型三：两点与斜率..................................................................................................................................9
题型四：直线方向向量与斜率................................................................................................................10
题型五：斜率与倾斜角概念辨析............................................................................................................10
题型六：斜率与倾斜角的变化关系........................................................................................................11
题型七：直线与线段相交求斜率范围....................................................................................................12
题型八：共线问题....................................................................................................................................13
题型九：倾斜角与斜率求参数................................................................................................................13
题型十：斜率公式的几何意义应用........................................................................................................14
模块三：综合巩固............................................................................................................................................14
2.2 两条直线平行和垂直的判定............................................................................................................................ 18
模块一：基础知识............................................................................................................................................18
考点一：两条直线平行............................................................................................................................18
考点二：两条直线垂直............................................................................................................................18
模块二：题型分类............................................................................................................................................19
题型一：两条直线平行的判定................................................................................................................19
题型二：两直线垂直的判定....................................................................................................................20
题型三：两直线平行求参数....................................................................................................................21
题型四：两直线垂直求参数....................................................................................................................22
题型五：直线平行垂直在几何中的应用............................................................................................... 23
模块三：综合巩固............................................................................................................................................24
2.3 直线的方程（一）.............................................................................................................................................27
模块一：基础知识............................................................................................................................................27
考点一：直线的点斜式方程....................................................................................................................27
考点二：直线的斜截式方程....................................................................................................................27
考点三：直线的两点式方程....................................................................................................................28
考点四：直线的截距式方程....................................................................................................................29
考点五：中点坐标公式............................................................................................................................29
模块二：题型分类............................................................................................................................................29
2
题型一：直线的点斜式方程....................................................................................................................29
题型二：直线的斜截式方程....................................................................................................................30
题型三：直线的图像特征........................................................................................................................31
题型四：直线的位置关系的应用............................................................................................................32
题型五：直线的两点式方程....................................................................................................................34
题型六：直线的截距式方程....................................................................................................................34
题型七：两点式与截距式辨析................................................................................................................35
题型八：中点坐标公式............................................................................................................................36
题型九：直线与坐标轴围成图形面积定值问题................................................................................... 37
题型十：直线与坐标轴围成图形面积最值问题................................................................................... 38
模块三：综合巩固............................................................................................................................................40
2.4 直线的方程（二）.............................................................................................................................................47
模块一：基础知识............................................................................................................................................47
考点一：直线的一般式方程....................................................................................................................47
考点二：直线的一般式方程与其他形式方程的互化........................................................................... 47
考点三：一般式方程的平行与垂直........................................................................................................48
考点四：直线方程的不同形式间的关系............................................................................................... 48
模块二：题型分类............................................................................................................................................49
题型一：直线的一般式方程....................................................................................................................49
题型二：直线的一般式方程及其辨析....................................................................................................50
题型三：一般式方程的图象判断............................................................................................................51
题型四：直线一般方程与平行参数问题............................................................................................... 52
题型五：直线一般方程与垂直参数问题............................................................................................... 52
题型六：两条直线平行求方程................................................................................................................53
题型七：两条直线垂直求方程................................................................................................................54
题型八：直线过定点问题........................................................................................................................54
题型九：直线综合问题............................................................................................................................55
题型十：直线与实际应用综合................................................................................................................57
模块三：综合巩固............................................................................................................................................58
2.5 直线的交点坐标与距离公式............................................................................................................................ 63
模块一：基础知识............................................................................................................................................63
考点一：两条直线的交点坐标................................................................................................................63
考点二：两点间的距离............................................................................................................................64
考点三：点到直线的距离........................................................................................................................64
考点四：两条平行线间的距离................................................................................................................64
考点五：对称问题....................................................................................................................................65
模块二：题型分类............................................................................................................................................65
题型一：判断两直线的位置关系............................................................................................................65
题型二：直线交点的求相关量................................................................................................................66
题型三：过两条直线交点的直线系方程............................................................................................... 67
题型四：两点间距离公式........................................................................................................................68
题型五：两点间距离转化应用................................................................................................................69
题型六：点到直线距离公式....................................................................................................................69
题型七：平行线间距离公式....................................................................................................................71
3
题型八：点到直线距离公式转化应用....................................................................................................72
题型九：点关于点、点关于线对称........................................................................................................72
题型十：线段和差最值问题....................................................................................................................73
题型十一：平行直线间的距离的最值问题........................................................................................... 74
模块三：综合巩固............................................................................................................................................75
2.6 圆的方程.............................................................................................................................................................82
模块一：基础知识............................................................................................................................................82
考点一：圆的定义....................................................................................................................................82
考点二：圆的标准方程............................................................................................................................82
考点三：圆的一般方程............................................................................................................................83
考点四：点与圆的位置关系....................................................................................................................83
考点五：圆上的点到定点的最大、最小距离....................................................................................... 84
考点六：轨迹与轨迹方程........................................................................................................................84
模块二：题型分类............................................................................................................................................85
题型一：圆的标准方程............................................................................................................................85
题型二：圆的一般方程............................................................................................................................87
题型三：二元二次曲线与圆的关系........................................................................................................88
题型四：圆的一般方程与标准方程转化............................................................................................... 88
题型五：点与圆的位置关系....................................................................................................................89
题型六：圆过定点问题............................................................................................................................90
题型七：定点到圆上点的最值（范围）............................................................................................... 90
题型八：圆的轨迹问题............................................................................................................................91
题型九：圆的对称问题............................................................................................................................94
题型十：与圆有关的实际问题................................................................................................................94
模块三：综合巩固............................................................................................................................................95
2.7 直线与圆、圆与圆的位置关系...................................................................................................................... 102
模块一：基础知识..........................................................................................................................................102
考点一：直线与圆的位置关系..............................................................................................................102
考点二：直线与圆相交弦长..................................................................................................................102
考点三：直线与圆相切..........................................................................................................................103
考点四：圆上点到直线的最大（小）距离......................................................................................... 104
考点五：圆与圆的位置关系..................................................................................................................104
考点六：两圆的公切线..........................................................................................................................104
考点七：圆与圆的公共弦......................................................................................................................104
考点八：圆系方程及其应用技巧..........................................................................................................105
模块二：题型分类..........................................................................................................................................105
题型一：直线与圆的位置关系..............................................................................................................105
题型二：直线与圆的位置关系求参数................................................................................................. 106
题型三：圆的切线与切线长问题..........................................................................................................108
题型四：直线与圆弦长问题..................................................................................................................110
题型五：过定点直线的最短弦长..........................................................................................................112
题型六：直线与半圆的相交问题..........................................................................................................112
题型七：圆与圆的位置关系..................................................................................................................113
题型八：圆与圆位置关系求参..............................................................................................................114
4
题型九：圆的公切线条数及参数问题................................................................................................. 115
题型十：圆的公切线方程......................................................................................................................116
题型十一：公共弦与切点弦问题..........................................................................................................117
题型十二：圆中范围与最值问题..........................................................................................................119
题型十三：圆系问题..............................................................................................................................122
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................123
2.8 专题：点与直线对称问题.............................................................................................................................. 130
模块一：基础知识..........................................................................................................................................130
考点一：点关于点对称..........................................................................................................................130
考点二：点关于直线对称......................................................................................................................130
考点三：直线关于点对称......................................................................................................................130
考点四：直线关于直线对称..................................................................................................................130
考点五：常见的一些特殊的对称..........................................................................................................130
模块二：题型分类..........................................................................................................................................131
题型一：点关于点对称..........................................................................................................................131
题型二：点关于直线对称问题..............................................................................................................131
题型三：直线关于点的对称问题..........................................................................................................131
题型四：直线关于直线对称..................................................................................................................132
题型五：对称在光的反射中应用..........................................................................................................132
题型六：对称在线段和差最值中的应用............................................................................................. 134
2.9 专题：直线与圆的新定义问题...................................................................................................................... 136
模块一：题型分类..........................................................................................................................................136
题型一：阿波罗尼斯圆..........................................................................................................................136
题型二：欧拉线......................................................................................................................................137
题型三：欧式距离..................................................................................................................................138
题型四：切比雪夫距离..........................................................................................................................138
题型五：费马距离..................................................................................................................................140
题型六：闵可夫斯基距离......................................................................................................................141
题型七：曼哈顿距离..............................................................................................................................142
2.10 专题：直线中的范围最值问题....................................................................................................................145
模块一：题型分类..........................................................................................................................................145
题型一：倾斜角与斜率——代数值域型范围最值............................................................................. 145
题型二：倾斜角与斜率——三角函数型范围最值............................................................................. 145
题型三：直线与线段有公共点求斜率范围......................................................................................... 146
题型四：斜率公式几何意义应用..........................................................................................................146
题型五：函数型斜率数形结合..............................................................................................................147
题型六：直线过定点问题......................................................................................................................148
题型七：含参双动直线..........................................................................................................................149
题型八：截距直线应用..........................................................................................................................149
题型九：截距直线条数判断..................................................................................................................150
题型十：截距最值..................................................................................................................................150
2.11 专题：圆中的范围最值问题........................................................................................................................151
5
模块一：基础知识..........................................................................................................................................151
题型一：斜率型......................................................................................................................................151
题型二：直线截距型..............................................................................................................................151
题型三：点到圆距离、直线到圆距离................................................................................................. 152
题型四：周长、面积型..........................................................................................................................154
题型五：数量积型..................................................................................................................................155
题型六：坐标与角度型..........................................................................................................................156
题型七：阿波罗尼斯圆问题..................................................................................................................158
题型八：将军饮马问题..........................................................................................................................159
题型九：长度型......................................................................................................................................160
题型十：方程中的参数..........................................................................................................................161
2.12 专题：直线与圆综合....................................................................................................................................163
模块一：题型分类..........................................................................................................................................163
题型一：常规法求圆的方程..................................................................................................................163
题型二：求圆的外接圆方程..................................................................................................................163
题型三：求圆的内切圆..........................................................................................................................164
题型四：利用弦长求圆的方程..............................................................................................................164
题型五：利用切线求圆的方程..............................................................................................................165
题型六：利用最值求圆的方程..............................................................................................................166
题型七：点与圆位置关系求参..............................................................................................................167
题型八：圆上点到直线距离为定值的求参......................................................................................... 167
题型九：直线与圆相交弦长求参..........................................................................................................168
题型十：最短弦问题..............................................................................................................................168
题型十一：圆内三角形面积..................................................................................................................169
题型十二：圆内四边形面积..................................................................................................................170
题型十三：圆的切线问题......................................................................................................................170
题型十四：过圆外一点的切线问题..................................................................................................... 171
题型十五：切点弦问题..........................................................................................................................171
题型十六：切点弦长及最值范围问题................................................................................................. 172
直线和圆的方程单元复习卷（一）......................................................................................................................174
直线和圆的方程单元复习卷（二）......................................................................................................................178
6
高中数学《直线和圆的方程》
知识点+题型归纳全集
2.1 直线的倾斜角与斜率
模块一：基础知识
考点一：直线倾斜角的定义
1.倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴称为基准，x 轴的正向与l 向上的方向之间所产生的
角叫做直线l 的倾斜角．【13723366289】
2.倾斜角的范围：
当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为
0
180
，具体如下：
倾斜角
0
0
90
90
90
180
直线图示
3.对倾斜角的理解
（1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②x 轴正向；③小于180的角．
（2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
（3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
（4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直
线的位置．
考点二：直线的斜率
1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（
90
）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表
示，即
tan
k
．
2.倾斜角与斜率的关系
直线的情况
平行于x 轴
由左向右上升
垂直于x 轴
由左向右下降
的大小
0
0
90
90
90
180
k 的取值范围
0
k
0
k
不存在
0
k
k 的增减性
—
k 随的增大而增大
—
k 随的增大而减增大
3.倾斜角与斜率的区别和联系
（1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率；
（2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角
7
可以互相转化．因此，确定一条不垂直于x 轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可．
考点三：过两点的直线的斜率公式
1.斜率公式：如果直线经过两点
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
（
1
2
x
x
），那么可得到如下斜率公式：
2
1
2
1
y
y
k
x
x
．
2.对斜率公式的理解
（1）当
1
2
x
x
时，直线与x 轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研
究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况．
（2）直线的斜率公式中k 的值与
1P ，
2P 两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其
斜率均不变．
（3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，
如果分子式
2
1
y
y
，分母必须是
2
1
x
x
；如果分子是
1
2
y
y
，分母必须是
1
2
x
x
，即
2
1
1
2
2
1
1
2
y
y
y
y
k
x
x
x
x
．
（4）当
1
2
y
y
时，斜率
0
k
，直线的倾斜角
0
，直线与x 轴重合或者平行。【13723366289】
3.直线的斜率与方向向量的关系
我们知道直线
1
2
PP 上的向量
1 2
PP
以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线
1
2
PP 的方向向量
1 2
PP
的
坐标为
2
1
2
1
(
,
)
x
x y
y
．当直线
1 2
PP 与x 轴不垂直时，此时向量
1
2
2
1
1
PP
x
x
也是直线
1
2
PP 的方向向量，且
它的坐标
2
1
2
1
2
1
1
(
,
)
x
x y
y
x
x
，即
2
1
2
1
(1,
)
(1, )
y
y
k
x
x
，其中k 是直线
1
2
PP 的斜率．因此，若直线l 的
斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为( , )
x y ，则斜率为
y
k
x
．
模块二：题型分类
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
1.直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．
0,π
B．
π
π
0,
, π
2
2
C．
0,2π
D．
0,π
8
2．图中�能表示直线�的倾斜角的是（
）
A．①④
B．①②
C．①③
D．②④
3．已知直线�1的倾斜角�1 = 15°，直线�1与�2的交点为�，直线�1和�2向上的方向之间所成的角为120°，如
图所示，求直线�2的倾斜角.
4．已知�−2,0 ，�−5,3 ，则直线��的倾斜角为（
）
A．
π
4
B．
π
3
C．
2π
3
D．
3π
4
5．直线�经过�4,2 3 , �3,
3 两点，则�的倾斜角是（
）
A．−
π
6
B．
π
6
C．
π
3
D．
π
2
6．已知直线�的方程为�= �+ 1，则直线�的倾斜角为（
）
A．45°
B．90°
C．120°
D．135°
7.直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是（
）
A．0
90
B．90
180
C．90
180
D．0
180
8.(多选)设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，
那么l1 的倾斜角可能为(
)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α－45°
9.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为________．
10.已知直线l1 的倾斜角α1＝15°，直线l1 与l2 的交点为A，直线l1 和l2 向上的方向所成的角为120°，如图，
则直线l2 的倾斜角为________．
9
题型二：倾斜角与斜率
1.若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为________．
2.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为60，则该直线的斜率为
.
3.直线
3
3
y
x
的倾斜角等于（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
4.直线
3
10086
y
x
的倾斜角为
.
5.直线
12
y
x
的倾斜角是（
）
A．π
4
B．π
2
C．3π
4
D．π
3
6.已知直线
3
2
y
a
x
的倾斜角为30，则
a
（
）
A．2 3
B．4 3
3
C．2 3
3
D．0
7.已知直线l 的方程为
3
3
3
3
y
x
m
，则直线l 的倾斜角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．5π
6
D．不确定
题型三：两点与斜率
1.直线l 经过
4,2 3 ,
3, 3
A
B
两点，则l 的倾斜角是（
）
A．
π
6
B．π
6
C．π
3
D．π
2
2.已知直线l 经过两点
2,6
M
，
4, 2
N
，则它的斜率为
．
3.若直线经过
1,0 ,
4,3
A
B
两点，则直线AB 的倾斜角为（
）
A．30
B．45
C．60
D．120
4.已知直线l 的倾斜角为π
3 ，且直线经过
( 2, 3)
P
，
(
,0)
Q
m
两点，则实数m 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
5.求经过两点
2 ,1
A
m
，
,2
B m
mR 的直线l 的斜率．
10
题型四：直线方向向量与斜率
1．已知( −3,
3)是直线�的一个方向向量，则直线�的倾斜角为（
）【13723366289】
A．
π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
2．已知直线�的一个方向向量为4, −4 ，则直线�的倾斜角�=
．【13723366289】
3.经过(0,4), ( 1,3)
A
B
两点的直线的方向向量(1, )
k ，则k （
）
A．1
B．0
C．1
D．2
题型五：斜率与倾斜角概念辨析
1.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（
）
A．任意一条直线都有斜率
B．倾斜角的范围为
0,π
C．倾斜角为0 的直线只有一条，即x 轴
D．若直线的倾斜角为，则sin
(0,1)
2.在下列四个命题中，正确的是（
）
A．若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为
B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan
C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
D．直线的倾斜角的取值范围是
0,π
3.（多选）已知直线的倾斜角为，斜率为k ，则下列命题正确的有（
）
A．k 存在则一定存在
B．存在则k 一定存在
C．有些直线不存在，但存在k
D．有些直线不存在k ，但存在
4.（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（
）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为tan
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0或90
11
题型六：斜率与倾斜角的变化关系
1．直线的斜率
（1）当倾斜角�≠
π
2时，定义tan�为直线l 的斜率，常用字母k 表示，即
；当�=
π
2，即直线l 与x
轴垂直时，我们说直线l 的斜率不存在．倾斜角不是
π
2的直线都有斜率，其取值范围是−∞, + ∞．
（2）直线上任意两点��1, �1 、��2, �2 ，当�1 ≠�2时，�=
；当�1 = �2时，斜率k
．
（3）事实上，�= tan�即正切函数在0,π 上的图像受正切函数定义域的限制，�= tan�在0,π 上的图像不
连续，从而�= tan�在0,
π
2 及
π
2 ,π 上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求
得斜率k 的范围，再取并集即可．
（4）斜率k 和倾斜角θ之间的关系
θ
0
0 < �
< π
2
π
2
π
2 < �
< π
k
2．已知两条直线�1，�2的斜率分别为�1，�2，倾斜角分别为�，�.若�<
π
2 < �，则下列关系正确的是（
）
A．0 < �1 < �2
B．�1 < �2 < 0
C．�1 < 0 < �2
D．�2 < 0 < �1
3．已知直线�的倾斜角为�，并且0° ≤�< 120°，直线�的斜率�的范围是（
）
A．−
3 < �≤0
B．�>−
3
C．�≥0 或�<−
3
D．�≥0 或�<−
3
3
4.如图，已知直线1
2
3
, ,
l l l 的斜率分别为
1
2
3
,
,
k k k ，则（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
1
2
k
k
k
C．
3
2
1
k
k
k
D．
1
3
2
k
k
k
12
5.直线1l ，2l ，3l ，4l 的图象如图所示，则斜率最小的直线是（
）
A．1l
B．2l
C．3l
D．4l
6.设直线l 的方程为
cos
1
y
x
，则直线l 的倾斜角的范围是（
）
A．[0, ]
B．
π
0, 4
C．π 3π
,
4
4
D．
π
3π
0,
,π
4
4
7.直线
3sin
2
y
x
的倾斜角的取值范围是
．
8.直线
2
2
1
1
1
1
y
x
a
a
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
π
0, 4
B．3π ,π
4
C．π π
,
4 2
D．
π 3π
,
2
4
9.若直线m 的斜率
, 1
1, 3
k
，则直线m 的倾斜角的取值范围是
．
10.直线
2
1
1
0(
R)
x
a
y
a
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
π
0, 4
B．3π ,π
4
C．π π
,
4 2
D．
π 3π
,
2
4
题型七：直线与线段相交求斜率范围
1.设点
(4, 3),
( 2, 2)
A
B
，直线l 过点
(1,1)
P
且与线段AB 相交，则直线l 的斜率
k 的取值范围是（
）
A．
1
k 或
4
k
B．
1
k 或
4
3
k
C．4
1
k
D．
4
1
3
k
2.已知点
1,1
A
、
1,2
B
、
0, 1
C
，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范
围是（
）
A．
2,3
B．
2,0
0,3
C．
, 2
3,
D．以上都不对
13
3.已知点
(2,1)
A
，
( 2,2)
B
，若直线l 过点
4
1
(
,
)
5
5
P
，且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围
是
．
4.已知两点
3,2
A
，
2,1
B
，过点
0, 1
P
的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值
范围为（
）
A．
, 1
1,
B．[ 1,1]
C．
1
,
1,
5
D．
1,1
5
5.若点
2, 3
3, 2
A
B
,
，直线l 过点
1,1
P
且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（
）
A．
3
4
,
,
4
3
B．
4
3
,
3
4
C．
4
3
,
,
3
4
D．3 4
,
4 3
题型八：共线问题
1.若三点
2,3
A
，
3, 2
B
，
1 ,
2
C
m
共线，则m
.
2.已知
0 3
1 2 ,
3,
A
B
C
m
, ,
,
三点共线，则实数m 的值为
．
3.已知
2
A a
( ，)，
(51)
B ，，
4 2
C
a
(
，)三点在同一条直线上，求a 的值．
题型九：倾斜角与斜率求参数
1.已知直线l 的倾斜角为π
3 ，且直线经过
( 2, 3)
P
，
(
,0)
Q
m
两点，则实数m 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2.若经过
1,3
A m
，
,1
B m
m
两点的直线的倾斜角是π
4 ，则m （
）
A．3
B．0
C．1
D．3
3.已知坐标平面内两个不同的点
1(1,1)
P
，
2
2
2(
,
3
3)
P a a
a
（a R ），若直线
1
2
PP 的倾斜角是钝角，则a 的
取值范围是
14
4.若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m 的取值范围是
．
5.若三点
2,2
A
，
,0
B a
，
0,
C
b ，（
0
ab
）共线，则1
1
a
b
的值等于
.
6.已知
1,2 ,
3,2
A
B
，若直线AP 与直线BP 的斜率分别为2 和2
，则P 点的坐标为
．
7.若过
2
2
2,2
3
A m
m
、
2
3
,2
B
m
m
m
，两点的直线倾斜角为45，则m
．
题型十：斜率公式的几何意义应用
1.已知实数x、y 满足方程
1
3
2
y
x
，当0
4
x
时，则
1
2
y
x
的取值范围是
．
2.已知正ABC
的顶点
1,1
A
，
1,3
B
，顶点C 在第一象限，若点
,
P x y 是ABC
内部及其边界上一点，
则
1
y
x 的最大值为（
）
A．1
2
B．3
2
C．2
3
D．3 3
3
2
3.已知函数
ln
1
f x
x
.则
2
3
1 ,
,
2
3
f
f
f
的大小关系为（）
A．
2
3
1
2
3
f
f
f
B．
3
2
1
3
2
f
f
f
C．
3
2
1
3
2
f
f
f
D．
2
3
1
2
3
f
f
f
4.已知实数x、y 满足方程
2
6
0
x
y
，当0
4
x
时，则
1
2
y
x
的取值范围是
．
5.点
1
1
,
M x y
在函数
ex
y
的图象上，当
1
0,1
x
，则
1
1
1
1
y
x
的取值范围为
.
模块三：综合巩固
1.图中能表示直线l 的倾斜角的是（
）这个题重复出现了
A．①④
B．①②
C．①③
D．②④
15
2.经过两点
2,
,
,4
A
m
B
m
的直线l 的倾斜角为135，则m 的值为（
）
A．-2
B．1
C．3
D．4
3.（多选）下列命题中，正确的是（
）
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为30
C．倾斜角为0的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为，则sin
(0,1)
4.若
1,2
A
，
3,
B
m ，
7,
2
C
m
三点共线，则实数m 的值为（
）
A．2
B．2
C．3
D．3
5.（多选）下列说法中正确的是（
）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若
1, 3
A
，
1,3
B
，则直线AB 的倾斜角为90
C．若直线过点
1,2 ，且它的倾斜角为45，则这条直线必过点
3,4
D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan
6.如图所示，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为
1k ，
2k ，
3k 的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
1
2
k
k
k
C．
2
1
3
k
k
k
D．
2
3
1
k
k
k
7.已知直线1l 的倾斜角是，直线2l 的倾斜角是，1
2
l
l
，则（
）
A．
90
B．
90
C．
90
D．
180
8.直线:l
2
1
3
3
y
x
的一个方向向量为（
）
A．
2, 3
B．
3,2
C．
2,3
D．
3,2
16
9.若直线l 的斜率为k ，且
2
3
k
，则直线l 的倾斜角为（
）
A．30或150
B．60或120
C．45或135
D．90或180
10.已知点
2, 1
A
，
3,
B
m ，若
3
1, 3 1
3
m
，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）
A．
π
5π
0,
, π
3
6
B．
π
5π
0,
,π
6
6
C．
π
5π
0,
,π
3
3
D．π π
5π
,
,π
3 2
6
11.“直线
1
2
1
y
k
x
k
经过第一、二、四象限”是“
1
1
2
k
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12.若直线:
3
l y
kx
与直线
2
2
3
y
x
的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．π π
,
6 3
B．π π
,
6 2
C．π π
,
3 2
D．π π
,
3 2
13.（多选）在下列四个命题中，错误的有（
）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角
B．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为90
C．直线的倾斜角的取值范围是
0,π
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
14.（多选）已知直线1
2
3
l
l
l
，，的倾斜角分别为
1
2
3
，
，
，斜率分别是
1
2
3
k
k
k
，，
，若
1
2
3
，则
1
2
3
k
k
k
，，
的大小关系可能是（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
2
1
k
k
k
C．
3
1
2
k
k
k
D．
2
3
1
k
k
k
15.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 上的一点向右平移1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度后，
仍在该直线l 上，则直线l 的斜率为
．
16.已知某直线的倾斜角
]
π 3π
,
4
[
4
，则该直线的斜率k 的范围为
．
17
17.已知点
( 1,3), (3,2)
A
B
，过点
3 1
,
2 2
P
的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围为
，
直线l 的斜率的取值范围为
．【13723366289】
18.（1）设坐标平面内三点
( ,
3), (2,
1),
( 1,4)
A m
m
B
m
C
，若直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3 倍，
求实数m 的值；【13723366289】
（2）已知直线l1 的方向向量为
2,1
n
，直线l2 的倾斜角是直线l1 倾斜角的2 倍，求直线l2 的斜率.
19.已知坐标平面内两点
3,3
5 ,
2
1,1
M m
m
N
m
.【13723366289】
(1)当直线MN 的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m 的取值范围；
(2)若直线MN 的方向向量为
1, 2023
a
，求m 的值.
20.已知坐标平面内三点
1,1
A
，
1,1
B
，
2, 3
1
C
.
(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；
(2)若D 为ABC
的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率的取值范围.【13723366289】
21.已知
2,3
A
，
4,1
B
，
0, 3
C
．
(1)求直线AB 和AC 的斜率；
(2)若点D 在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．【13723366289】
18
2.2 两条直线平行和垂直的判定
模块一：基础知识
考点一：两条直线平行
对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为
1k ，
2k ，有1
2
1
2
l
l
k
k
.如下1 图
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1) 1
2
1
2
l
l
k
k
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②1l 与2l 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90，则1
2
l
l
，如上2 图
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1
2
1
2
l
l
k
k
或1l ，2l 斜率都不存在.
考点二：两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1
；反之，如果它们的斜率之积等
于1
，那么它们互相垂直，即1
2
1
2
1
l
l
k
k
.
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1) 1
2
1
2
1
l
l
k
k
成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②
1
0
k
且
2
0
k
.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
1
2
1
2
1
l
l
k
k
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
19
模块二：题型分类
题型一：两条直线平行的判定
1.下列各对直线互相平行的是（
）
A．直线1l 经过点
0,1
A
，
1 0
B
,
，直线2l 经过点
1,3
M
，
2,0
N
B．直线1l 经过点
1, 2
A
，
1,2
B
，直线2l 经过点
2, 1
M
，
0, 2
N
C．直线1l 经过点
1,2
A
，
1,3
B
，直线2l 经过点
1, 1
C
，
1,4
D
D．直线1l 经过点
3,2
A
，
3, 1
B
，直线2l 经过点
1, 1
M
，
3,2
N
2.根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．
(1) 1l 经过点
2,3
A
，
4,0
B
，2l 经过点
3,1
M
，
2,2
N
；
(2) 1l 的斜率为
1
2
，2l 经过点
4,2
A
，
2,3
B
；
(3) 1l 平行于y 轴，2l 经过点
0, 2
P
，
0,5
Q
；
(4) 1l 经过点
0,1
E
，
2, 1
F
，2l 经过点
3,4
G
，
2,3
H
．
3.（多选）已知直线1l 与2l 为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（
）
A．若1
2
//
l
l ，则斜率
1
2
k
k
B．若斜率
1
2
k
k
，则1
2
//
l
l
C．若倾斜角
1
2
，则1
2
//
l
l
D．若1
2
//
l
l ，则倾斜角
1
2
4.（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
//
l
l 的是（
）．
A．1l 的斜率为2，2l 过点
1,2
A
，
4,8
B
B．1l 经过点
3,3
P
，
5,3
Q
，2l 平行于x 轴，且不经过点P
C．1l 经过点
1,0
M
，
5, 2
N
，2l 经过点
4,3
R
，
0,5
S
D．1l 的方向向量为
1,1 ，2l 的倾斜角为π
3
5.记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为
1k 、2k ，则“ 1
2
l
l
// ”是“
1
2
k
k
”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
6.已知直线1l 过
1,4
A
，
2,0
B
，且1
2
//
l
l ，则直线2l 的斜率为（
）
A．4
3
B．3
4
C．
4
3
D．
3
4
7.已知经过点
(3, ), (5, )
A
n B
m 的直线1l 与经过点
2
,0 ,
0,
(
0)
P
m
Q
n
mn
的直线2l 平行，则m
n 的值为（
）
A．－1
B．－2
C．－1 或2
D．－2 或1
20
8.过
,3 ,
1,
A m
B
m
两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45，则m （
）
A．1
B．2
C．-1
D．-2
9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的
纸折叠一次，使点
2,0 与点
2,4
重合，点
2023,2024 与点
,a b 重合，则a
b
（
）
A．4046
B．4047
C．4048
D．4049
题型二：两直线垂直的判定
1.判断直线1l 与2l 是否垂直．
(1) 1l 的斜率为10
，2l 经过点
10,2
A
，
20,3
B
；
(2) 1l 经过点
3,4
A
，
3,10
B
，2l 经过点
10,40
M
，
10,40
N
；
(3) 1l 经过点
1,2
A
，
5, 1
B
，2l 经过点
1,0
C
，
4,6
D
．
2.判断下列直线1l 与2l 是否垂直：
(1) 1l 的倾斜角为2π
3 ，2l 经过
4,
3
M
，
5,2 3
N
两点；
(2) 1l 的斜率为
3
2
，2l 经过
3, 2
P
，
6,4
Q
两点；
(3) 1l 的斜率为
1
3
，2l 的倾斜角为，为锐角，且
3
tan 2
4
.
3.（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
l
l
的是（
）
A．1l 的倾斜角为45，2l 的斜率为1
B．1l 的斜率为
3
3
，2l 经过点
2,0
A
，
3, 3
B
C．1l 经过点
2,1
P
，
4, 5
Q
，2l 经过点
1,2
M
，
1,0
N
D．1l 的方向向量为
1,m ，2l 的方向向量为
1
1,
m
4.已知
7, 4 ,
5,6
A
B
，若直线m 与直线AB 垂直，则直线m 的斜率为（
）
A．6
5
B．
6
5
C．5
6
D．
5
6
5.若直线1l 的倾斜角为45°，直线2l 经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线1l 与2l 的位置关系是（）
A．垂直
B．平行
C．重合
D．平行或重合
21
6.已知直线1l 经过
3,2
A
，
1, 2
B
两点，直线2l 倾斜角为45，那么1l 与2l （
）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．相交但不垂直
7.已知两直线1
2
,
l l 的斜率分别为
1
2
,
k k ，且
1
2
,
k k 是方程
2
1
0
x
x
的两根，则1l 与2l 的位置关系为（
）
A．平行
B．相交且垂直
C．重合
D．相交且不垂直
8.已知两条直线1
l 和
2
l ，其斜率分别是一元二次方程
2
2024
1
k
k
的两不等实数根，则其位置关系是（
）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．异面
9.若过点
3,2
P
m 和点
,2
Q
m
的直线与方向向量为
5,5
a
的直线垂直，则实数m 的值是
．
10.直线1l 过点
,1
A m
和点
1,
B
m
，直线2l 过点
,
1
C m
n n
和点
1,
D n
n
m
，则直线1l 与2l 的位置关
系是
．
题型三：两直线平行求参数
1.在平面直角坐标系中，直线1l 经过
1,
,
4, 5
M
m
N
两点，2l 经过
6,0 , ( 1,3)
R
S
两点，若1
2
l
l
，则
m
；若1
2
l
l
∥
，则m
．
2.已知直线1
2
l
l
// ，它们的斜率分别记作
1
2
,
k k ，若
1
2
,
k k 是方程
2
2
1 0
x
ax
的两个根，则a 的值（
）
A．1
B．1
C．1 或1
D．无法确定
3.已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m 的值为
.
4.已知直线1l 经过
,3 ,
1,
A m
B
m 两点，2l 经过
2,1 ,
4,2
P
Q
两点．
(1)若1
2
//
l
l ，求m 的值；
(2)若1
2
,
l l 的倾斜角互余，求m 的值．
5.已知直线1l 的倾斜角为60，直线2l 的斜率
2
2
3
4
k
m
，若1
2
l
l
∥，则m 的值为
.
22
6.当a 为何值时，直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
.
(1)平行；
(2)垂直.
题型四：两直线垂直求参数
1.若直线l 经过点
2, 1
A a
和
2,1
B
a
，且与斜率为
2
3
的直线垂直，则实数a 的值是（）
A．
2
3
B．3
2
C．
2
3
±
D．
3
2
2.已知
7, 4 ,
5,6
A
B
，若直线m 与直线AB 垂直，则直线m 的斜率为（
）
A．6
5
B．
6
5
C．5
6
D．
5
6
3.已知点
(
3,2),
( 2
4,4),
(
,
),
(3,3
2)
A
m
B
m
C
m m
D
m
，若直线AB
CD
，则m 的值为（
）
A．1 或1
B．3
或1
C．1
或3
D．3 或3
4.若直线1l 与2l 的斜率
1k 、
2k 是关于k 的方程
2
2
4
k
k
b
的两根，若1
2
l
l
，则b （
）
A．2
B．－2
C．0
D．－4
5.当a 为何值时，直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
.
(1)平行；
(2)垂直.
6.已知1l 的倾斜角为45°，2l 经过点
2, 1 ,
3,
P
Q
m
．若1
2
l
l
，则实数m 为（
）
A．6
B．－6
C．5
D．－5
7.若直线l 经过点(
2, 1)
a
和(
2,1)
a
，且与经过点( 2,1)
，斜率为
2
3
的直线垂直，则实数a 的值
为
．
8.已知直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
垂直，则a 的值为
.
9.已知过
3,1
A
、
1, 3
B
的直线与过
3,
C
m
、
,2
D n
的直线互相垂直，则点
,
m n 有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．无数个
23
题型五：直线平行垂直在几何中的应用
1.以
5, 1 ,
1,1 ,
2,3
A
B
C
为顶点的三角形是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A 为直角顶点的直角三角形
D．以B 为直角顶点的直角三角形
2.已知四边形MNPQ 的顶点
1,1 ,
3, 1 ,
4,0 ,
2,2
M
N
P
Q
，则四边形MNPQ 的形状为
.
3.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为
0,0 ,
1,
,
1 2 ,2
,
2 ,2
O
P
t
Q
t
t
R
t
，其中
0
t
.试判断四边形OPQR 是否为矩形.
4.（多选）已知点
4,2 ,
6, 4 ,
12,6 ,
2,12
P
Q
R
S
，则下列结论正确的是（
）
A．
//
PQ SR
B．PQ
PS
C．
//
PS QR
D．PR
QS
5.（多选）直线1
2
,
l l 的斜率
1
2
,
k k 是关于k 的方程
2
2
4
0
k
k
m
的两个根，则下列说法正确的是（
）
A．若1
2
l
l
，则
2
m
B．若1
2
l
l
，则
=2
m
C．若1
2
//
l
l 则
2
m
D．若1
2
//
l
l ，则
=2
m
6.已知
(1,3), (5,1),
(3,7)
A
B
C
，A，B，C，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标.
7.在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是
0,0
O
，
1,
P
t ，
1 2 ,2
Q
t
t
，
2 ,2
R
t
，其中
0,
t
，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．
24
模块三：综合巩固
1.经过(0,4), ( 1,3)
A
B
两点的直线的方向向量(1, )
k ，则k （
）
A．1
B．0
C．1
D．2
2.已知直线1l 过
2,3
A
，
0,4
B
，且1
2
l
l
，则直线2l 的斜率为（
）
A．2
B．
1
2
C．2
D．1
2
3.已知两直线1
2
,l l 的斜率分别为
1
2
,
k k ，且
1
2
,
k k 是方程
2
1
0
x
x
的两根，则1l 与2l 的位置关系为（
）
A．平行
B．相交且垂直
C．重合
D．相交且不垂直
4.已知经过点
2,0
A
和点
1,3
B
a 的直线1l 与经过点
0, 1
P
和点
, 2
Q a
a
的直线2l 互相垂直，则实数a
的值为（
）
A．0
B．1
C．0 或1
D．1
或1
5.已知直线l 的倾斜角为3
4
，直线1l 经过点
3,2
A
和
, 1
B a
，且直线l 与1l 垂直，a 的值为（
）
A．1
B．6
C．0 或6
D．0
6.以
1,1
A
，
2, 1
B
，
1,4
C
为顶点的三角形是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以点A 为直角顶点的直角三角形
D．以点B 为直角顶点的直角三角形
7.下列说法中正确的有（
）
①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；
②若1
2
//
l
l ，则
1
2
k
k
；
③所有的直线都有倾斜角；
④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8.已知点
1,1
A
和
2,4
B
，点P 在y 轴上，且
APB
为直角，则点P 坐标为（
）
A．
0,2
B．
0,2 或
0,3
C．
0,2 或
0,4
D．
0,3
9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的
纸折叠一次，使点
2,0 与点
2,4
重合，点
2023,2024 与点
,a b 重合，则a
b
（
）
A．4046
B．4047
C．4048
D．4049
10.已知点
(
3,2),
( 2
4,4),
(
,
),
(3,3
2)
A
m
B
m
C
m m D
m
，若直线AB
CD
，则m 的值为（
）
A．1 或1
B．3
或1
C．1
或3
D．3 或3
25
11.两直线的斜率分别是方程
2
2013
1
0
x
x
的两根，那么这两直线的位置关系是（
）
A．垂直
B．斜交
C．平行
D．重合
12.（多选）下列说法中不正确的是（
）
A．直线倾斜角的范围是：0
180
，且当倾斜角增大时，斜率也增大
B．若两直线平行，则两直线的斜率相等
C．若两直线的斜率之积等于1
，则两直线垂直
D．过点
1,1 且斜率为1 的直线方程可表示为：
1
1
1
y
x
13.（多选）以
( 1,1),
(2, 1), (1,4)
A
B
C
为顶点的三角形，下列结论正确的有（
）
A．
2
3
AB
k
B．
1
4
BC
k
C．以A 点为直角顶点的直角三角形
D．以B 点为直角顶点的直角三角形
14.（多选）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是
1
2
,
，斜率分别为
1
2
,
k k ，则下列命题正
确的是（
）
A．若斜率
1
2
k
k
，则
1
2
l
l
∥
B．若
1 2
1
k k ，则1
2
l
l
C．若倾斜角
1
2
，则
1
2
l
l
∥
D．若
1
2
π
，则1
2
l
l
15.已知
(1,3), (5,1),
(3,7)
A
B
C
，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为
．
16.已知点
2,2
A
，
6,4
B
，
5,2
H
，H 是ABC
的垂心．则点C 的坐标为
．
17.已知O 为坐标原点，直线l ：
2
4
y
x
上有一点Q，
5,0
A
，若
90
AQO
，则点Q 的坐标为
．
18.已知
4,0
A
，
1,2
B
，
,
C m m ，
7, 1
D
.
(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；
(2)若ABC
为直角三角形，求m 的值.
26
19.已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为
5, 1
A
，
1,1
B
，
2,3
C
，
4,2
D
．
试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
20.已知直线1l 经过点
(
)
3,
A
a ，(
1,2)
B a
直线2l 经过点
(1,2),
( 2,
2)
C
D
a
.若1
2
l
l
，求a 的值.
21.已知
1, 1
M
，
2,2
N
，
3,0
P
．
(1)求点Q 的坐标，满足PQ
MN
，PN
MQ
∥
；
(2)若点Q 在x 轴上，且
NQP
NPQ
，求直线MQ 的倾斜角．
27
2.3 直线的方程（一）
模块一：基础知识
考点一：直线的点斜式方程
1.如图，已知直线l 过点
0
0
(
,
)
P x
y
和斜率k（已知一点+斜率），则这条直线的点斜式方程
0
0
(
)
y
y
k x
x
2.点斜式方程的推导
如图，直线l 经过点
0
0
0
,
P x
y
，且斜率为k ．
设
,
P x y 是直线l 上不同于点
0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，
由斜率公式得
0
0
y
y
k
x
x
，即
0
0
(
)
y
y
k x
x
．
3.【注意】对直线点斜式方程的理解
（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点
0
0
,
x
y
和直线的斜率k ．
（2）当k 任意实数时，方程
0
0
y
y
k x
x
表示恒过定点
0
0
,
x
y
的无数条直线．
4.两种特殊的直线：
倾斜角
图象特征
斜率
直线方程
0°
tan 0
0
，即
0
k
0
0
y
y
，即
0
y
y
90°
tan90无意义，
即k 不存在
0
0
x
x
，即
0
x
x
考点二：直线的斜截式方程
1.直线l 的斜率为k 且在y 轴上的纵截距为b （已知斜率+纵截距），则直线斜截式方程为y
kx
b
2.斜截式方程的推导
如图，如果斜率为k 的直线l 过点
0 0,
P
b ，这时
0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得
28
0
y
b
k x
，即
y
kx
b ．
2.【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时
要讨论斜率是否存在．
3.斜截式的几种特例
0
b
y
kx 表示过原点的直线
0
k
，
0
b
y
b 表示与x 轴平行的直线
0
k
，
0
b
0
y
表示x 轴
考点三：直线的两点式方程
1.设直线l 经过两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
，则方程
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
叫作直线l 的两点
式方程，简称两点式．
2.两点式方程的推导
如果直线l 经过两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
1
2
(
)
x
x
，则直线l 的斜率
2
1
2
1
y
y
k
x
x
．由直线的点斜式方程
得
2
1
1
1
2
1
(
)
y
y
y
y
x
x
x
x
．当
1
2
y
y
时，方程可以写成
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
．
3.对两点式方程的理解
（1）
2
1
1
1
2
1
(
)
y
y
y
y
x
x
x
x
1
2
(
)
x
x
与
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
，显然后者表示直线的范围
比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式．
（2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关．
（3）把直线的两点式方程化为
1
2
1
2
1
1
y
y
x
x
y
y
x
x
，则该方程表示过平面内任意不同两
点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
的直线．
29
考点四：直线的截距式方程
1.直线的截距式方程的定义
设直线l 在x 轴的截距为a ，在y 轴的截距为b ，且
0,
0
a
b
，则方程
1
x
y
a
b
叫作直线的截距式方程，
简称截距式．【注意：截距分正负】
2.截距式方程的推导
如图，已知直线l 经过两点
,0
A a
，
0,
B
b ，其中
0,
0
a
b
，有直线的两点式方程得，
0
0
0
y
x
a
b
a
，
即
1
x
y
a
b
．
3.截距的概念
（1）横截距：直线与x 轴交点的横坐标．在直线方程中，令
0
y
，解出x 的值即可．
（2）纵截距：直线与y 轴交点的纵坐标．在直线方程中，令
0
x
，解出y 的值即可．
4.截距式方程应用的注意事项
（1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
（3）要注意截距式方程的逆向应用．
考点五：中点坐标公式
若点
1P ，
2P 的坐标分别为
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
，且线段
1
2
PP 的中点M 的坐标为
,x y ，则
1
2
1
2
2
2
x
x
x
y
y
y
．
模块二：题型分类
题型一：直线的点斜式方程
1.直线l 经过点
0( 2,3)
P
，且倾斜角
45
，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l ．
2.已知直线l 经过点P，且l 的斜率为k，分别根据下列条件求直线l 的方程：
(1)
(0,3),
2
P
k
；
(2)
(1,0),
3
P
k ．
30
3.经过点
2 2
P
，且倾斜角为π
4 的直线方程是（
）
A．y
x
B．
2
y
x
C．
4
y
x
D．
2
y
x
4.写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点
2,3
A
，斜率为3；
(2)经过点
3,0
B
，倾斜角是π
6 ；
(3)经过点
4, 2
C
，倾斜角是2π
3 ．
5.已知两点
(3,4)
A
、
( 5,6)
B
，则直线AB 的斜截式方程是
．
6.已知
3,4
A
，
1,0
B
，则过AB 的中点且倾斜角为120，直线的点斜式方程是
．
7.直线1l 过点
3
(2,
)
A
，其倾斜角等于直线2
1
:
3
l
y
x
的倾斜角的2 倍，求这条直线1l 的点斜式方程．
8.已知在第一象限的ABC
中，
1,1
5,1
60
45
A
B
A
B
，
，=
，=
，求BC 边所在直线的点斜式方程.
9.求经过点
2, 3
，倾斜角是直线
1
3
y
x
倾斜角的2 倍的直线的点斜式方程．
10.已知在第一象限的ABC
中，
(1,1)
A
，
(5,1)
B
，
60
A
，
60
B
，求直线BC 的点斜式方程.
题型二：直线的斜截式方程
1.倾斜角为45且在y 轴上的截距是2
的直线方程是（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
2
2
2
y
x
D．
2
2
2
y
x
2.直线
6
1
y
x
在y 轴上的截距b 是（
）
A．
1
b = -
B．
1
b
C．
6
b
D．
6
b
31
3.倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3 的直线的斜截式方程是
.
4.已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点.
（1）求经过点A 且与直线BC 平行的直线l 的点斜式方程；
（2）求经过点A 且与直线BC 垂直的直线m 的斜截式方程.
5.已知直线
(1
)
(
R)
l
y
m x
m
m
：
，若直线l 的倾斜角
π π
,
4 3
，求实数m 的取值范围
6.已知直线l 经过点
2,3
P
,且与坐标轴围成的三角形的面积为4 ,求直线l 的斜截式方程.
7.过点
2,3
且与直线2
1
0
x
y
垂直的直线l 的斜截式方程是
.
8.求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为
3
2
的直线的斜截式方程．
9.过点
3,4
P
且与坐标轴围成的三角形面积为1 的直线l 的斜截式方程是
．
题型三：直线的图像特征
1.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax 与y＝x＋a 正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知直线1l 的方程是y
ax
b
，2l 的方程是y
bx
a
（
0
ab
，a
b
¹ ），则下列图形中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
32
3.直线
1
y
ax
a
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
4.（多选）同一坐标系中，直线1 :
l
y
ax
b
与2 :
l
y
bx
a
大致位置正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.直线1l ：y
ax
b
与直线2l ：
0,
y
bx
a ab
a
b
在同一平面直角坐标系内的图象只可能是
（填
写正确的序号）．
6.（多选）直线1l ：y
ax
b
与2l ：y
bx
a
在同一平面直角坐标系内的位置可能是（
）
A．
B．
C．
D．
题型四：直线的位置关系的应用
1.已知直线l1：y＝－3m
8
x＋10－3m
8
和l2：6my＝－x＋4，问m 为何值时，l1与l2平行或垂直？
2.与直线
2
1
y
x
＋垂直，且在y 轴上的截距为4 的直线的斜截式方程为
；它与y 轴的交点为
.
3.（多选）若直线1
2
3
:
5
2,
:
0.2
1,
:
5
1
l
y
x
l
y
x
l
y
x
，则（
）
A．1l
2l
B．1
2
l
l
C．1
3
l
l
D．1l
3l
33
4.已知过点
2,
A
m
和点
,4
B m
的直线为1l ，2l ：
2
1
y
x
，3l ：
1
1
y
x
n
n
，若1
2
l
l
∥，2
3
l
l
，则m
n
的值为
.
5.已知直线1l 的方程为y＝－2x＋3.
(1)若直线2l 与1l 平行，且过点( 1,3)
，求直线2l 的方程；
(2)若直线2l 与1l 垂直，且l2 与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程．
6.直线l 的方程为
3
5
a
y
ax
.
(1)证明：直线l 恒经过第一象限；
(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．
7.已知在平面直角坐标系中的两点
8, 6 ,
2,2
A
B
．
(1)求线段AB 的中垂线的方程；
(2)求以向量AB
为方向向量且过点
2, 3
P
的直线l 的方程．
8.已知ABC
中，点
1,0
A
，点
2,0
B
，点
0, 3
C
．
(1)求边BC 上的高所在直线的方程；
(2)求
BAC
角平分线所在直线的方程．
9.已知两点
1, 2
A
，
2,1
B
.
(1)求线段AB 的垂直平分线；
(2)直线l 过点
0, 1
P
且与线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角的取值范围.
34
题型五：直线的两点式方程
1.经过两点(
)
1,2
-
，
3, 2
的直线方程是
.
2.过点
(5,6)
A
和点
( 1,2)
B
的直线的两点式方程是
．
3.已知直线l 经过两点
,0
A a
，
0,
B
b （如图），其中
0
a
，
0
b
，求直线l 的方程．
4.已知直线l 的两点式方程为
0
( 5)
3
0
3
( 5)
y
x
，则l 的斜率为（
）
A．
3
8
B．3
8
C．
3
2
D．3
2
5.已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
6.已知三角形的顶点是
1,3 ,
2, 1 ,
1, 1
A
B
C
，求这个三角形三边所在直线的方程.
7.若三点
0,1
A
，
,0
B a
，
3,2
C
在同一条直线上，则a 的值为
.
8.已知
ABCD
Y
三个顶点的坐标为
0,0
A
，
3,0
B
，
5,3
C
，求它的对角线AC，BD 所在直线的方程.
题型六：直线的截距式方程
1.在平面直角坐标系xOy 中，直线
1
4
8
x
y
在y 轴上的截距为（
）
A．8
B．8
C．
1
8
D．1
8
2.过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为
．
35
3.直线
3
5
0
x
y
的横截距为（
）
A．1
B．5
C．1
D．3
4.过点
1,2
A
的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（
）
A．
1
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．2
0
x
y
或
1
0
x
y
D．2
0
x
y
或
1
0
x
y
5.已知直线l 经过点
1,2
A
，且在x ，y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为
.
6.坐标平面内过点
( 2,1)
A
，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为
.
7.直线l 过点
6,3
P
，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程．
8.过点
1,2
P
，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（
）
A．4 条
B．2 条
C．3 条
D．1 条
9.在△ABC 中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：
(1)顶点C 的坐标；
(2)直线MN 的截距式方程．
题型七：两点式与截距式辨析
1.下列直线方程是两点式方程的是（
）
A．y
kx
b
B．
0
0
2
y
y
k x
x
C．
1
2
x
y
a
b
D．
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
,
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
2.（多选）下列说法中错误的是（）
A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线
B．
1
2
3
x
y
与
1
2
3
x
y
是直线的截距式方程
C．直线方程的斜截式都可以化为截距式
D．在x 轴、y 轴上的截距分别是2、3
的直线方程为
1
2
3
x
y
36
3.（多选）下列说法中错误的是（
）
A．不过原点的直线都可以用方程
1
x
y
a
b
表示
B．若直线1
2
l
l
// ，则两直线的斜率相等
C．过两点
1
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
2
(
,
)
P x
y
的直线都可用方程
2
1
2
1
2
1
1
2
(
)
(
)
0
x y
y
y x
x
x y
x y
表示
D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直
4.（多选）下列说法不正确的是（
）
A．过任意两点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
的直线方程可以写成
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
B．若直线在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1
C．若直线的斜率为1，则直线在x 轴和y 轴上的截距之和为0
D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
5.经过两点
1
1
2
2
,
,
,
x y
x
y
的直线方程都可以表示为（
）
A．
1
2
1
x
x
x
x
＝
1
2
1
y
y
y
y
B．
2
1
2
x
x
x
x ＝
2
1
2
y
y
y
y
C．
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
D．
1
1
y
y
x
x
＝
2
1
2
1
y
y
x
x
题型八：中点坐标公式
1.已知点
,2
P a
，
3,
Q
b
，线段PQ 的中点为
2,0 ，则直线PQ 的方程为
.
2.已知
1,0
M
，
3, 4
N
，直线l 经过线段MN 的中点，且垂直于线段MN ，则直线MN 的斜率为
；
直线l 的方程为
.
3.已知直线l 与直线1 : 2
2
0
l
x
y
和2
4
:
0
l
x
y
的交点分别为
,
A B ，若点
2,0
P
是线段AB 的中点，
则直线AB 的方程为
.
4.过点
(2,1)
M
作直线l，若l 分别交x 轴、y 轴的正半轴与点A，B，当M 为AB 中点时，求直线l 的方程．
5.如图，射线OA，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点
1,0
P
作直线AB 分别交OA，OB 于A，B
两点，当AB 的中点C 恰好落在直线
1
2
y
x
上时，则直线AB 的方程是
.
37
6.过点（3，2）的直线l ，被直线1 : 2
5
9
0
l
x
y
，2 : 2
5
7
0
l
x
y
所截得的线段AB 的中点恰好在直线
4
1
0
x
y
上，则直线l 的方程为
．
题型九：直线与坐标轴围成图形面积定值问题
1.直线l 过点P
4
3，2 ，且与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点．
(1)当△AOB 的周长为12 时，求直线l 的方程；
(2)当△AOB 的面积为6 时，求直线l 的方程．
2.纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10 的直线的一般式方程为
．
3.平面直角坐标系中，已知直线l 过点
0,4 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l 的方程
为
．
4.已知直线l 经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程.
5.求过点
(2,3)
P
且分别满足下列条件的直线方程
（1）在两个坐标轴上的截距相等.
（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12.
6.（1）设直线m 的方程为
1
2
0
(
)
a
x
y
a
a
R
.若直线m 在两坐标轴上的截距相等，求直线m 的方
程；
（2）过直线l ：y
x
上的点
2,2
P
作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的
方程.
38
7.设k 为实数，若直线l 的方程为
1
2
2
4
0
k
x
y
k
，根据下列条件分别确定k 的值：
(1)直线l 的斜率为2 ；
(2)直线l 与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为12.
8.求分别满足下列条件的直线l 的方程．
（1）经过直线2
2
0
x
y
和直线3
1
0
x
y
的交点且与直线2
3
5
0
x
y
垂直；
（2）与直线4
3
1
0
x
y
平行且与坐标轴围成的三角形面积为3．
9.若过点
3,2
P
的直线l 与坐标轴交于
,
A B 两点，围成三角形AOB 的面积为16，则符合条件的直线的条数
为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型十：直线与坐标轴围成图形面积最值问题
1.直线l 过点
2,3
A
，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（
）
A．9
B．12
C．18
D．24
2.已知直线l 过点
(2,1)
P
，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A、B 两点，O 为坐标原点，则OAB
面积的
最小值为
，此时的直线方程为
．
3.过点(1,2) 的直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A、B 两点，O 为坐标原点，当
OAB
的面积最小时，直
线l 的方程为（）
A．2
4
0
x
y
B．
2
5
0
x
y
C．
3
0
x
y
D．2
3
8
0
x
y
4.已知过点
4,1
P
的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O为坐标原点，当AOB
的面积最
小时，直线l 的方程为
．
39
5.已知直线l 过点
(2,1)
M
，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A，B 两点，分别求满足下列条件的直线方程：
(1)
2
BM
AM
时，求直线l 的方程．
(2)当AOB
的面积最小时，求直线l 的方程．
6. A 是直线:
3
l y
x
上的第一象限内的一点，
3,2
B
为定点，直线AB 交x 轴正半轴于点C，求使AOC
面
积最小的点A 的坐标.
7.已知点M 为直线1 : 2
0
l
x
y
a
与直线2 :
2
1
0
l
x
y
在第一象限的交点，经过点M 的直线l 分别交x，
y 轴的正半轴于A，B 两点，O 为坐标原点，则当
AOB
S
取得最小值为14
25 时，a 的值为
.
8.设直线l 的方程为(
1)
2
0(
)
a
x
y
a
a
R
(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
(3)若直线l 交x 轴正半轴于点A，交y 轴负半轴于点B，
AOB
△
的面积为S，求S 的最小值并求此时直线l
的方程.
40
9.已知一条动直线
:3
1
6
4
0
l
m
x
my
m
，
(1)求证：直线l 恒过定点，并求出定点P 的坐标；
(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O为坐标原点，是否存在直线l 同时满足下列条件：
①AOB
的周长为12；②AOP
的面积为4 .若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
10.已知直线l 过点
4,3
P
，与x 轴正半轴交于点A､与y 轴正半轴交于点B.
（1）求OAB
面积最小时直线l 的方程（其中O 为坐标原点）；
（2）求PA PB
的最小值及取得最小值时l 的直线方程.
11.设直线l 的方程为
1
5
2
0
a
x
y
a
a
R
.
(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;
(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点
,0
A
A x
，
0,
B
B
y
，当AOB
面积最小时，求AOB
的
周长;
(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.
模块三：综合巩固
1.过点( 1,2)
且与直线
3
2
3
y
x
垂直的直线方程为（
）
A．
3
2
(
1)
3
y
x
B．
2
3(
1)
y
x
C．
3
2
(
1)
3
y
x
D．
2
3(
1)
y
x
41
2.直线
4
2
y
x
在x 轴和y 轴上的截距分别为（
）
A．1
2 ，2
B．
1
2
，2
C．1
2 ，2
D．
1
2
，2
3.过点
2, 1
P
，且倾斜角为90的直线方程为（
）
A．
1
y
B．
2
x
C．
2
y
D．= 1
x
4.直线
3
4
3
y
x
的倾斜角是（
）
A．30
B．60
C．120
D．135
5.直线
1
4
2
x
y
的一个方向向量是（
）
A．
1,2
B．(
)
1, 2
-
C．
2,1
D．
2, 1
6.直线l 的方向向量
2,3
a
，且过点
1,1 ，则直线l 的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．3
2
5
0
x
y
C．2
3
1
0
x
y
D．3
2
1
0
x
y
7.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),
2, 4
C
，则AB 边上的高CD 所在的直线方程
为（
）
A．5
14
0
x
y
B．
5
14
0
x
y
C．2
8
0
x
y
D．2
0
x
y
8.直线l 的方向向量
2,3
a
，且过点
1,1 ，则直线l 的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．3
2
5
0
x
y
C．2
3
1
0
x
y
D．3
2
1
0
x
y
9.在x 轴、y 轴上的截距分别是2
、3 的直线方程为（
）
A．
1
2
3
x
y
B．
1
2
3
x
y
C．
1
3
2
y
x
D．
1
2
3
x
y
10.过点
6
(5 )
A ，和点
(
)
1 2
B －，的直线的两点式方程是（
）
A．
5
1
6
2
y
y
x
x
B．
6
5
2
6
1 5
y
x
C．2
6
1 5
6
5
y
x
D．
6
5
2
6
1 5
x
y
11.直线l 经过点
(3,4)
P
，它的倾斜角是直线
3
3
y
x
的倾斜角的2 倍，则直线l 的方程是（
）
A．
4
3
3
y
x
B．
4
3
3
y
x
C．
4
3
3
y
x
D．
4
3
3
y
x
42
12.已知点
2,1
P
，过点P 向直线1l ：
3
y
x
和2l ：
3
3
y
x
作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN
的长是（
）
A．
3
B．2 3
C．
5
2
D．15
2
13.过点( 1,2)
且与直线
3
2
3
y
x
垂直的直线方程为（
）
A．
3
2
(
1)
3
y
x
B．
2
3(
1)
y
x
C．
3
2
(
1)
3
y
x
D．
2
3(
1)
y
x
14.直线
1
0
y
k x
k
可能是（
）
A．
B．
C．
D．
15.直线l1：y＝ax＋b 与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
16.若直线
:
1
0,
0
x
y
l
a
b
a
b
经过点
1,2 ，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和取最小值时，a
b （
）
A．2
B．
1
2
C．
2
D．
2
2
17.数学家欧拉在1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心
都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知ABC
的顶点分别为
0,2
A
，
1,0
B
，
4,0
C
，则ABC
的欧拉线方程为（
）
A．4
3
6
0
x
y
B．3
4
3
0
x
y
C．4
3
6
0
x
y
D．3
4
3
0
x
y
18.已知直线
1
x
y
a
b
经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（
）
A．a
b
B．
a
b
C．(
)(
)
0
b
a b
a
D．1
1
a
b
43
19.已知两点
3,0
A
，
0,4
B
，动点
,
P x y 在线段AB 上运动，则xy 的最大值为（
）
A．12
5
B．144
49
C．3
D．4
20.已知直线1l ：
1
2
2
y
x
，直线2l 是直线1l 绕点
2,1
P
逆时针旋转45得到的直线，则直线2l 的方程是（
）
A．
3
y
x
=
+
B．
1
5
3
3
y
x
C．
3
7
y
x
D．
3
7
y
x
21.（多选）若直线1
2
3
:
5
2,
:
0.2
1,
:
5
1
l
y
x
l
y
x
l
y
x
，则（
）
A．1l
2l
B．1
2
l
l
C．1
3
l
l
D．1l
3l
22.（多选）已知直线l：
3
1
y
x
，则（
）
A．直线l 过点
3, 2
B．直线l 的斜率为
3
C．直线l 的倾斜角为60
D．直线l 在y 轴上的截距为1
23.（多选）直线l 经过点
1,2
A
，在x 轴上的截距的取值范围是
3,3
，则其斜率的可能的值是（
）
A．
B．1
C．
5
1
2
D．e
24.（多选）直线l 过点
2,1
A
，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（
）
A．1
B．1
C．3
D．0
25.（多选）已知直线l：
8
y
x
，则下列结论正确的是（）
A．点
2,6 在直线l 上
B．直线l 的一个方向向量为
1,1
u
C．直线l 在y 轴上的截距为8
D．直线l 的倾斜角为π
4
26.已知直线l 的斜率为1
，且过点(2, 5)
，则直线l 在y 轴上的截距是
.
27.已知直线1l 的倾斜角比直线2l ：
3
4
y
x
的倾斜角小20，则直线1l 的倾斜角为
.
44
28.已知直线l 经过点
1,1 ，且
4, 1
A
，
2,3
B
两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
.
29.直线l 过点
0,1
P
，且斜率是倾斜角为π
6 的直线斜率的二倍，则直线l 的方程为
30.某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF ，其中AB
AF
，AF
BC
∥
，AB
DE
∥
，BCD
AFE
，
且
3
tan
4
BCD
，
50
CD
EF
米，
80
BC
DE
米．若计划在该公园内建一个有一条边在AB 上的矩
形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为
．
31.如图，在两条互相垂直的道路1l ，2l 的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路1l 的垂直距离为4 米，到
道路2l 的垂直距离为3 米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条
垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米．
32.已知直线l 的方程是
3
1
y
x
.
(1)求直线l 的斜率和倾斜角；
(2)求过点( 3, 1)
且与直线l 平行的直线的方程.
33.写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3 ，在y 轴上的截距是3
；
(2)直线倾斜角是60，在y 轴上的截距是5 ；
(3)直线在x 轴上的截距为4 ，在y 轴上的截距为2
.
45
34. ABC
的三个顶点分别是
3 0
A , ，
2,1
B
，
2,3
C
.
(1)求BC 边的垂直平分线DE 所在直线方程；
(2)求ABC
内BC 边上中线AD 方程.
35.设直线l 的方程是
0
ax by
c
+
+
=
，在下列条件下，分别求实数a 、b 、c的取值范围.
(1)l 与x 轴、y 轴均相交；
(2)l 与x 轴相交，与y 轴不相交.
36.在平面直角坐标系xOy 中，直线1 :
1
0
l
ax
by
，2 :(
2)
0
l
a
x
y
a
.
（1）求直线2l 经过定点的坐标；
（2）当
4
b
且1
2
l
l
// 时，求实数a 的值.
37.讨论直线1l ：
2
0
m x
y
m
和2l ：3
6
0
x
my
m
的位置关系．
38.在ABC
中，边AB 所在的直线斜率为
1
3
AB
k
，其中顶点A 点坐标为
1,1
，顶点C 的坐标为(1,2) .
(1)求AB 边上的高所在的直线方程；
(2)若
,
CA CB 的中点分别为E ，F ，求直线EF 的方程.
39.已知直线l 过点( 1, 3)
且与直线
3
1
0
x
y
的夹角为6
，求直线l 的方程
46
40.已知ABC
的顶点为
0,4
A
，
2,6
B
，
8,0
C
．
(1)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；
(2)求AC 边所在直线的一个方向向量和一个法向量；
(3)求过AC 中点，且垂直于AC 方向向量的直线方程．
41.已知直线
:
1
3
2
1
0
l
a
x
a y
a
.
(1)若直线的斜率
1,2
k
，求实数a 的取值范围；
(2)证明：对任意实数a ，直线l 都经过一个确定的点.
42.如图直线l 过点(3，4)，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，AOB
的面积为24.点P 为线段AB
上一动点，且
/ /
PQ
OB 交OA于点Q .
（1）求直线AB 斜率的大小；
（2）若
APQ
△
的面积
APQ
S
与四边形OQPB 的面积
OQPB
S
满足：
1
3
APQ
OQPB
S
S
△
时，请你确定P 点在AB 上
的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y 轴上是否存在点M ，使MPQ
为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明
理由.
47
2.4 直线的方程（二）
模块一：基础知识
考点一：直线的一般式方程
1.一般式方程的定义
在平面直角坐标系中，任意一个关于x ，y 的二元一次方程
0
Ax
By
C
都表示一条直线．我们把关
于x ，y 的二元一次方程
0
Ax
By
C
（其中A、B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般
式．
2.系数的几何意义
（1）当
0
B
时，方程
0
Ax
By
C
可以写成
A
C
y
x
B
B
它表示斜率为
A
B
，在y 轴截上的截距
为
C
B
的直线．特别的，当
0
A
时，它表示垂直于y 轴的直线．
（2）当
0
B
时，
0
A
，方程
0
Ax
By
C
可以写成
C
x
A
，它表示垂直于x 轴的直线．
3.一般式方程适用范围
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线．
考点二：直线的一般式方程与其他形式方程的互化
1.一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利
用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式．
2.一般式化为斜截式的步骤
（1）移项得By
Ax
C
；
（2）当
0
B
时，得斜截式方程
A
C
y
x
B
B
．
3.一般式化为截距式的步骤
（1）把常数项移到方程右边，得Ax
By
C
；
（2）当
0
C
，方程两边同时除以C
，得
1
Ax
By
C
C
；
48
（3）化为截距式方程：
1
x
y
C
C
A
B
．
考点三：一般式方程的平行与垂直
1.平行与垂直的系数关系
已知直线1
2
,l l 的方程分别是1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
（
1
1
,
A B 不同时为0），
2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
（
2
2
,
A B 不同时为0）
（1）若
1
2
1
2
1
2
0
A A
B B
l
l
（2）若
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
0
/ /
0
A B
A B
l
l
AC
A C
2.平行与垂直的直线系方程
（1）平行直线系：与直线
0
Ax
By
n
垂直的直线方程可设为
0
Ax
By
m
（2）垂直直线系：与直线
0
Ax
By
n
垂直的直线方程可设为
0
Bx
Ay
m
考点四：直线方程的不同形式间的关系
知识点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要
求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多
1
2
1
2
,
)
(x
x
y
y
，应用时若采用
2
1
1
2
1
1
0
y
y
x
x
x
x
y
y
的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，
首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上
的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的
方程也不同．
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
1
1
y
y
k x
x
1
1
( ,
)
x y
是直线上一定点，k 是斜率
不垂直于x 轴
斜截式
y
kx
b
k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距
不垂直于x 轴
两点式
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
1
1
( ,
)
x y
，
2
2
(
,
)
x
y
是直线上两定点
不垂直于x 轴和y
轴
截距式
1
x
y
a
b
a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直
线在y 轴上的非零截距
不垂直于x 轴和y
轴，且不过原点
一般式
2
2
0(
0)
Ax
By
C
A
B
A 、B 、C 为系数
任何位置的直线
49
模块二：题型分类
题型一：直线的一般式方程
1.写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式：
(1)经过点
3,2 ，倾斜角是直线
3
3
0
x
y
的倾斜角的2 倍；
(2)经过两点
2,3
A
，
3, 2
B
；
(3)经过点
2,4
P
，平行于x 轴；
(4)在x 轴，y 轴上的截距分别为5
2 ，3
．
2.直线
3
3
0
x
y
的倾斜角为（
）
A．120
B．60
C．30
D．150
3.直线3
1
0
x
y
的一个方向向量为（
）
A．(3, 1)
B．( 1,3)
C．( 3,1)
D．(1,3)
4.已知经过点
3,1 的直线l 的一个方向向量为
3,2 ，则l 的方程为（
）
A．3
2
11
0
x
y
B．2
3
3
0
x
y
C．2
3
9
0
x
y
D．3
2
7
0
x
y
5.倾斜角为45，在y 轴上的截距是2
的直线方程为
.（写成一般式方程）
6.若方程
2
2
2
3
4
1
0
m
m
x
m
m y
m
表示一条直线，则实数m 满足（
）
A．
0
m
B．
3
2
m
C．
1
m
D．
1
m ，
3
2
m
，
0
m
7.如果
0
AB
且
0
BC
，那么直线
0
Ax
By
C
不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8.将直线
3
2
y
x
绕点
2,0 按逆时针方向旋转60后所得直线方程是（
）
A．
3
2 3
0
x
y
B．
3
2 3
0
x
y
C．
3
2 3
0
x
y
D．
3
2 3
0
x
y
50
9.根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为2 ，且经过点
1,3
A
；
(2)斜率为
3 ，且在y 轴上的截距为4 ；
(3)经过两点
2, 3
A
,
1, 5
B
；
(4)在,x y 轴上的截距分别为2, 4
．
题型二：直线的一般式方程及其辨析
1.对于直线:
3
6
0
l x
y
，下列选项正确的为（
）
A．直线l 倾斜角为π
3
B．直线l 在y 轴上的截距为2 3
C．直线l 的一个方向向量为(3, 3)
D．直线l 经过第二象限
2.（多选）下列结论正确的是（
）
A．经过点P（－2，5），且斜率为－3
4 的直线的方程是3x－4y＋26＝0
B．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋8＝0
C．过点（x1，y1），（x2，y2）的直线的方程为（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）
D．任意一条不过点（0，2）的直线均可用方程mx＋n（y－2）＝1 形式表示
3.（多选）已知直线:
0
l Ax
By
C
（
,
A B 不同时为0），则（
）
A．当
0,
0
A
B
时，l 与x 轴垂直
B．当
0,
0,
0
A
B
C
时，l 与y 轴重合
C．当
0
C
时，l 过原点
D．当
0,
0
A
B
时，l 的倾斜角为锐角
4.以下关于直线3
1
0
x
ay
的说法中，不正确的是（
）
A．直线3
1
0
x
ay
一定不经过原点
B．直线3
1
0
x
ay
一定不经过第三象限
C．直线3
1
0
x
ay
一定经过第二象限
D．直线3
1
0
x
ay
可表示经过点
1,0
3
的所有直线
5.（多选）直线
0
Ax
By
C
（A，B 不同时为0）下列说法正确的是（
）
A．
0
AB
则该直线与两坐标轴都相交
B．
0
A
，则该直线与x 轴平行
C．
0,
0
B
C
则该直线为y 轴所在直线
D．
0
C
，则该直线过原点
6.（多选）已知直线:
0
l Ax
By
C
（
,
A B 不同时为0），则（
）
A．当
0,
0
A
B
时，l 与x 轴垂直
B．当
0,
0,
0
A
B
C
时，l 与y 轴重合
C．当
0
C
时，l 过原点
D．当
0,
0
A
B
时，l 的倾斜角为锐角
51
7.已知方程
2
2
2
3
2
1
6
2
0
m
m
x
m
m
y
m
m
R ．
(1)求该方程表示一条直线的条件；
(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
(3)已知方程表示的直线l 在x 轴上的截距为3
，求实数m 的值；
(4)若方程表示的直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．
8.（多选）已知直线:
0
l Ax
By
C
，其中
,
A B 不全为0，则下列说法正确的是（
）
A．当
0
C
时，l 过坐标原点
B．当
0
AB
时，l 的倾斜角为锐角
C．当
0,
0
B
C
时，l 和x 轴平行
D．若直线l 过点
0
0
(
,
)
P x
y
，直线l 的方程可化为
0
0
0
A x
x
B y
y
题型三：一般式方程的图象判断
1.（多选）如果
0,
0
AC
BC
，那么直线
0
Ax
By
C
通过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.（多选）已知
0
abc
，直线:
0
l ax
by
c
经过第一、二、四象限，则（
）
A．
0
ab
B．
0
bc
C．
0
ac
D．
0
<
a
3.如图所示，直线1 :
0
l
ax
y
b
与2 :
0(
0,
)
l
bx
y
a
ab
a
b
的图象只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
4.（多选）若
0
ab
，
0
bc
，则在下列函数图象中，不可能是直线
0
ax by
c
+
+
=
的图象的是（
）
A．
B．
C．
D．
52
题型四：直线一般方程与平行参数问题
1.直线2
0
x
y
m
与直线4
2
0
x
y
n
的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．不确定
D．重合
2.已知直线
2
6
0
ax
y
与直线
2
1
5
0
x
a
y
a
互相平行，则实数a 的值（
）
A．-2
B．-2 或1
C．2
D．1
3.若直线
3
4
0
ax
y
与
2
2
0
x
a
y
平行，则
a
（
）
A．1
B．3
C．1 或3
D．
3
2
4.“
3
m
”是“直线1 :
0
l
mx
y
m
与2,3
(
2)
3
0
l
x
m
y
m
平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.若直线
3
2
6
0
a
x
ay
和直线
3
0
ax
y
平行，则（
）
A．
0
a
或
1
3
a
B．
1
a 或
2
a
C．
1
a
D．
2
a
6.若直线
2
1
0
ax
y
和
1
0
x
a
y
a
平行，则a 的值为（
）
A．
2
a
B．
1
a
C．
2
a 或
1
a
D．
1
a
7.若直线
3
4
0
ax
y
与
2
2
0
x
a
y
平行，则
a
（
）
A．1
B．3
C．1 或3
D．
3
2
8.已知直线1 :
(
1)
0
l
x
m
y
m
，，2 :
2
1
0
l
mx
y
，则“ 1
2
l
l
// ”的必要不充分条件是（
）
A．
2
m
B．
1
m
C．
2
m 或
1
m
D．
2
m
题型五：直线一般方程与垂直参数问题
1.若直线1 :
2
1
0
l
ax
y
与直线2
1
: (
1)
0
2
l
a
x
y
垂直，则实数a 的取值是（
）
A．
1
a 或
2
a
B．
1
a
C．
2
a
D．
2
3
a
53
2.已知直线1 :(
2)
3
2
l
m
x
y
m
，2 :
1
l
x
my
，若1
2
l
l
，则实数m （
）
A．2
B．3
C．
1
2
D．2
3.已知直线1l ：
2
2
0
kx
k y
与2l ：
2
2
1
1
0
k
x
k
y
互相垂直，则实数k （
）
A．1
B．2
C．1 或2
D．1 或2
4.已知直线
1 :
1
1
0
l
a
x
y
和直线
2 :
1
1
0
l
a
x
y
互相垂直，则实数a 的值为
．
5.“
1
a ”是“直线
1
0
x
ay
与直线
1
0
ax
y
相互垂直”的（
）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分也非必要
6.若a ，b 为正实数，直线
2
1
1
0
x
a
y
与直线
2
1
0
bx
y
互相垂直，则ab 的最大值为
.
7.已知直线1 :(
2)
(
2)
2
0
l
m
x
m
y
，直线2 : 3
5
0
l
x
my
，且1
2
l
l
，求m 的值．
8.设a 为实数，若直线
2
1
0
ax
ay
垂直于直线
1
1
1
0
a
x
a
y
，则
a
（
）
A．0 或-3
B．0
C．-3
D．3
题型六：两条直线平行求方程
1.经过点
3,2
A
，且与直线4
2
0
x
y
平行的直线方程是（
）
A．4
10
0
x
y
B．
4
11
0
x
y
C．4
14
0
x
y
D．
4
5
0
x
y
2.过点
0,1
P
且与直线
0
x
y
平行的直线的方程为
.
3.已知直线l 与直线
0
x
y
平行，且在y 轴上的截距是2
，则直线l 的方程是（
）．
A．
2
0
x
y
B．
2
4
0
x
y
C．
2
0
x
y
D．
2
4
0
x
y
54
4.已知直线l 与直线2
1
0
x
y
具有相同的法向量，且经过点
3,4 ，则直线l 的一般式方程为
.
题型七：两条直线垂直求方程
1.过点
2,3
A
且与直线
2
6
0
x
y
垂直的直线方程是
.
2.过点
2,3
A
且垂直于直线2
5
0
x
y
的直线方程为（
）
A．2
5
0
x
y
B．2
7
0
x
y
C．
2
3
0
x
y
D．
2
4
0
x
y
3.过点
2, 3
M
且与直线
2
9
0
x
y
垂直的直线方程是（
）
A．2
8
0
x
y
B．
2
7
0
x
y
C．
2
4
0
x
y
D．2
7
0
x
y
4.直线
0
cx
dy
a
与
0
dx
cy
b
( ,c d 不同时为0)的位置关系是（
）
A．平行
B．垂直
C．斜交
D．与a b c d
, ,
,
的值有关
题型八：直线过定点问题
1.直线
1 3
0
kx
y
k
，当k 变动时，所有直线都通过定点（
）
A．
3,1
B．
0,1
C．
0,0
D．
2,1
2.已知直线1 :
2
1
0
l
ax
y
，直线2 :
(
1)
2
0
l
x
a
y
，则下列命题中不正确的是（
）
A．直线2l 过定点( 2,0)
B．若1
2
l
l
，则
2
3
a
C．直线1l 过定点
1
0,
2
D．若1
2
//
l
l ，则
2
a
3.无论k 为何值，直线
2
1
2
4
0
k
x
k y
k
都过一个定点，则该定点为（
）
A．
2,0
B．
0,2
C．
2,0
D．
0, 2
4.已知直线l 的方程为
2
0
x
my
，则直线l（
）
A．恒过点
2,0
且不垂直x 轴
B．恒过点
2,0
且不垂直y 轴
C．恒过点
2,0 且不垂直x 轴
D．恒过点
2,0 且不垂直y 轴
55
5.不论a 为何实数，直线(
3)
(2
1)
7
0
a
x
a
y
恒过第
象限.
6.已知a ，b 满足2
1
a
b
，则直线
3
0
ax
y
b
必过定点（
）
A．
1 ,2
3
B．1 1
,
6 2
C．1 1
,
2 6
D．
1
2,
3
7．（1）求证：动直线
2
2
2
2
3
1
3
1
0
m
m
x
m
m
y
m
（其中
R
m
）恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求经过两直线1 :
2
4
0
l
x
y
和2 :
2
0
l
x
y
的交点P ，且与直线3 :3
4
5
0
x
l
y
垂直的直线l 的
方程.
题型九：直线综合问题
1.把直线
2
2 3 1
0
x
y
绕点
1, 3 顺时针旋转45°后得到的直线的方程为
．
2.已知直线m ：
3
0
ax
y
与直线:3
(2
1)
1
0,( ,
0)
n
x
b
y
a b
，且m
n
，则2
1
a
b
的最小值为（
）
A．12
B．8
4 3
C．15
D．10
2 3
3.直线l 过点
1,0 ，且与直线1l ：
3
3
0
x
y
的夹角为6
，则直线l 的方程为
．
4.过点
2, 3
A
且与直线
3
5
0
x
y
成60角的直线的一般式方程是
．
5.已知点
(
)
1,0
A
，
1,2
B
．
(1)设mR ，若直线AB 与直线
1
0
x
my
垂直，求m 的值；
(2)求过点B 且与直线2
1
0
x
y
夹角的余弦值为2 5
5
的直线方程．
56
6.如图，已知ABC
的顶点为
1, 1
A
，
1,3
B
，
3,0
C
，AD 是BC 边上的高，AE 是
BAC
的平分线．
(1)求高AD 所在直线的方程；
(2)求AE 所在直线的方程．
（提示：在AB
上取与AC
长度相等的向量
1
AB
，则
1
1
AE
AB
AC
的方向就是AE
的方向．）
7.已知直线1 :
2
12
0
l
ax
y
，直线2l 过点
4,1
A
，__________．在①直线2l 的斜率是直线
1
4
y
x
的斜
率的2 倍，②直线2l 不过原点且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2 倍，这两个条件中任选一个，补
充在上面的横线中，并解答下列问题．
(1)求2l 的一般式方程；
(2)若1l 与2l 在x 轴上的截距相等，求a 的值．
8.已知直线l 的方程为
2
1
2
14
13
0
m
x
m
y
m
.
(1)证明：不论m 为何值，直线l 过定点M .
(2)过（1）中点M ，且与直线l 垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l 的
方程.
57
9.已知ABC
中，两个顶点的坐标分别为
2,1
A
、
4, 3
B
，点
0,2
G
是此三角形的重心，分别求BC 、
AC 边所在直线的方程.
10.已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.
(1)求证：无论m 为何值，直线一定经过第一象限；
(2)若直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程.
11.已知方程
2
2
2
3
2
1
6
2
0
m
m
x
m
m
y
m
（mR ）．
(1)求该方程表示直线的条件；
(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；
(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．
题型十：直线与实际应用综合
1.光从介质1 射入介质2 发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2 相对介质1 的折射率.如图，
一个折射率为
2 的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以45的入射角从空气中射入点
2,0
A
，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为
.
58
2.如图是一个W 形的霓虹灯，每边长都是2m，每相邻两边的夹角都是30．试建立适当的平面直角坐标系，
并写出此霓虹灯的每条边在这个坐标系中的方程．
3.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽
72
AB
码，球门宽
8
EF
码，球门位
于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得
EPF
最大，这时候
点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA
AB
，OA
AB
）时，根据场上形势判断，
有OA
、OB
两条进攻线路可供选择.
(1)若选择线路OA
，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置；
(2)若选择线路OB
，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置.
模块三：综合巩固
1.已知直线方程为sin60
cos60
3
0
x
y
，则该直线的倾斜角为（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
2.若直线
4
0
x
my
在y 轴上的截距为2，则该直线的斜率为（
）
A．2
B．2
C．
1
2
D．1
2
3.如果
0
ac
，
0
bc
，那么直线
0
ax by
c
+
+
=
不通过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4.已知直线l 的方程为
3
2
0
x
y
，则直线的倾斜角为（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
59
5.直线:
3
1
l x
y
的倾斜角为（
）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
6.若直线1l ：
2
1
0
mx
y
与直线2l ：
2
1
0
2
x
m y
垂直，则实数m 的值为（
）
A．0
B．
1
2
或0
C．0 或1
2
D．1
2
7.已知过点
( 2,
)
A
m
和点
( ,4)
B m
的直线为l1，2
3
1
1
:
2
1,
:
l
y
x
l
y
x
n
n
. 若1
2
2
3
/ / ,
l
l l
l
，则m
n
的值
为（
）
A．10
B．2
C．0
D．8
8.平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（
）
①直线l ：
3
0
x
y
过点
1,2
P
②直线
2
y
kx
在y 轴的截距是2
③直线
4
0
x
y
的图像不经过第四象限
④直线
3
1
0
x
y
的倾斜角为30
A．1
B．2
C．3
D．4
9.已知直线l ：
2
1
1
0
m
x
m
y
m
经过定点P，直线l经过点P，且l的方向向量
3,2
a
，则直线
l的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．2
3
5
0
x
y
C．3
2
5
0
x
y
D．3
2
5
0
x
y
10.已知直线l 过点
(1,3)
M
，且分别交两直线
,
y
x y
x
于x 轴上方的
,
A B 两点，O 点为坐标原点，则AOB
面积的最小值为（
）
A．8
B．9
C．3 10
D．20
11.过坐标原点O作直线l ：
2
1
6
0
a
x
a y
的垂线，垂足为
,
H s t ，则
2
2
s
t
的取值范围是（
）
A．0,2 2
B．0,2 2
C．
0,8
D．
0,8
60
12.若直线:
3
0
l x
ky
与直线
3
0
x
y
的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．π 5π
,
3
6
B．π 3π
,
6
4
C．π π
π 3π
,
,
3 2
2
4
D．π 3π
,
3
4
13.点
2, 1
P
到直线
: 1 3
1
2
4
0
R
l
x
y
的距离最大时，其最大值以及此时的直线l 方
程分别为（
）
A．13 ；
2
0
x
y
B．11 ；3
4
0
x
y
C．13 ；3
2
5
0
x
y
D．11 ；2
3
1
0
x
y
14.(多选)已知直线l 过点
4,5
P
，且直线l 在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程为（
）
A．5
4
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．
9
0
x
y
D．
1
0
x
y
15.（多选）已知直线1 :(
2)
3
3
0
l
a
x
y
与2
2
:
0
x
y
l
，则（
）
A．若
1
a ，则两直线垂直
B．若两直线平行，则
5
a
C．直线1l 恒过定点(0, 1)
D．直线2l 在两坐标轴上的截距相等
16.（多选）下列说法正确的是（
）
A．直线
3
1
0
x
y
的倾斜角为120°
B．经过点
2,1
P
，且在x，y 轴上截距互为相反数的直线方程为
1
0
x
y
C．直线l：
2
0
mx
y
m
恒过定点(
)
1, 2
-
D．已知直线l 过点
2,1 ，且与x，y 轴正半轴交于点A､B 两点，则△AOB 面积的最小值为4
17.（多选）设直线l 的方程为
1
2
0
a
x
y
a
（
R
a
）.若直线l 不过第三象限，则a 的取值可以为
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．2
61
18.（多选）已知直线:
3
(2
)
0
l x
y
m
x
y
，其中m 为实常数，则（
）
A．直线l 过一定点
B．无论m 取何值，直线l 不经过原点
C．当
0
m
时，直线l 与y 轴交于它的负半轴
D．当
0
m
时，直线l 与坐标轴围成的三角形的面积是9
2
19.若直线
1
0
a
x
ay
与直线
2
1
ax
y
垂直，则
a
.
20.已知两点
(3,0), (0,4)
A
B
，动点
( , )
P x y 在线段AB 上运动，则xy 的取值范围为
．
21. A 是直线:
3
l y
x
上的第一象限内的一点，
3,2
B
为定点，直线AB 交x 轴正半轴于点C，当AOC
面积
最小时，点A 的坐标是
.
22.若点
1,2 在直线
1
0
ax
by
+
- =
上（其中a，b 都是正实数），则2
1
2
a
b
的最小值为
.
23.已知点
1,1 ,
2,2
P
Q
，若直线:l
0
x
my
m
与PQ的延长线（有方向）相交，则m 的取值范围
为
．
24.已知点
0,3
P
到直线
1
2
1
2
0(
R)
m
x
m
y
m
m
的距离为d，则d 的最大值是
．
25.不论k 为任何实数，直线
2
1
3
11
0
k
x
k
y
k
恒过定点，若直线
2
mx
ny
过此定点其m，n 是
正实数，则3
1
2
m
n
的最小值是
.
26.已知直线l 的方程为：
2
1
1
7
4
0
m
x
m
y
m
(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；
(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程．
62
27.已知直线l 过定点
2,1
P
，且交x 轴负半轴于点A、交y 轴正半轴于点B．点O 为坐标原点．
(1)若AOB
的面积为4，求直线l 的方程；
(2)求OA
OB
的最小值，并求此时直线l 的方程．
28.已知圆C ：
2
2
2
4
20
0
x
y
x
y
，直线l ：
1
1
4
2
0
m
x
m
y
m
．
(1)证明：直线l 恒过定点．
(2)设直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦长AB 的最小值及相应m 的值．
63
2.5 直线的交点坐标与距离公式
模块一：基础知识
考点一：两条直线的交点坐标
1.点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系
代数表示
点P
( , )
P a b
直线l
:
0
l Ax
By
C
点P 在直线l 上
0
Aa
Bb
C
直线1l 与2l 的交点是P
方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
的解是x
a
y
b
2.直线的交点与方程的解
求两直线
1
1
1
1
1
1
0(
0)
A x
B y
C
A B C
与
2
2
2
2
2
2
0(
0)
A x
B y
C
A B C
的交点坐标，
只需求两直线方程联立所得方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
的解即可．
若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C ，则方程组无解，此时两直线平行；
若有
1
1
2
2
A
B
A
B ，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．
3.判断两直线的位置关系
关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
4.过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含
有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．
由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
经过两直线1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
，2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
交点的直线方程为
1
1
1
2
2
2
(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C
，其中是待定系数．
在这个方程中，无论取什么实数，都得不到
2
2
2
0
A x
B y
C
，因此它不能表示直线2l ．
64
考点二：两点间的距离
1.距离公式：平面内两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
间的距离公式为：
2
2
1
2
1
2
1
2
PP
x
x
y
y
.
【注意】公式中
1P 和
2P 位置没有先后之分，也可以表示为：
2
2
1
2
2
1
2
1
PP
x
x
y
y
．
2.三种特殊距离：
（1）原点O 到任意一点
,
P x y 的距离为
2
2
OP
x
y
；
（2）当
1
2
PP 平行于x 轴时，
1
2
2
1
PP
x
x ；
（3）当
1
2
PP 平行于y 轴时，
1
2
2
1
PP
y
y ．
3.坐标法解题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；
（2）进行有关代数运算；
（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
考点三：点到直线的距离
1.定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度．
2.距离公式：点
0
0
,
P x
y
到直线:
0
l Ax
By
C
的距离
0
0
2
2
Ax
By
C
d
A
B
．
【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．
（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离．
（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P 在直线l 上时，它到直线的距离为0．
3.点到几种特殊直线的距离
（1）点
0
0
,
P x
y
到x 轴的距离
0
d
y
；
（2）点
0
0
,
P x
y
到y 轴的距离
0
d
x
；
（3）点
0
0
,
P x
y
到直线y
a
的距离
0
d
y
a
；
（4）点
0
0
,
P x
y
到直线x
b
的距离
0
d
x
b
．
考点四：两条平行线间的距离
1.定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长．
2.距离公式：两条平行直线1
1
:
0
l
Ax
By
C
，
2
2
1
2
:
0
l
Ax
By
C
C
C
，
它们之间的距离为：
1
2
2
2
C
C
d
A
B
【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且x 和y 的系数对应相等．
65
3.两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上
的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离．
考点五：对称问题
1.点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点
1
1
(
)
P x
y
，
关于点
0
0
(
)
Q x
y
，
的对称点为
2
2
(
)
P x
y
，
，则根
据中点坐标公式，有
1
2
0
1
2
0
2
2
x
x
x
y
y
y
可得对称点
2
2
(
)
P x
y
，
的坐标为
0
1
0
1
(2
2
)
x
x
y
y
，
2.点关于直线对称【2.8 专题有二级公式】
点
1
1
(
)
P x
y
，
关于直线:
0
l Ax
By
C
对称的点为
2
2
(
)
P x
y
，
，连接PP，交l 于M 点，则l 垂直平分
PP，所以PP
l
，且M 为PP中点，又因为M 在直线l 上，故可得
1
2
1
2
1
0
2
2
l
PP
k
k
x
x
y
y
A
B
C
，解出
2
2
(
)
x
y
，
即可．
3.直线关于点对称【2.8 专题有二级公式】
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直
线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4.直线关于直线对称
求直线1 :
0
l
ax
by
c
，关于直线2 :
0
l
dx
ey
f
（两直线不平行）的对称直线3l
第一步：联立1
2
l
l
，算出交点
0
0
(
)
P x
y
，
第二步：在1l 上任找一点（非交点）
1
1
(
)
Q x
y
，
，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
2
2
(
)
Q x
y
，
第三步：利用两点式写出3l 方程
模块二：题型分类
题型一：判断两直线的位置关系
1.判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1) 1 : 2
3
0
l
x
y
，2 :
2
1
0
l
x
y
；
(2) 1 :
2
0
l
x
y
，2 : 2
2
3
0
l
x
y
；
(3) 1 :
1
0
l
x
y
，2 : 2
2
2
0
l
x
y
．
66
2.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1) 1
2
:
1
0,
: 2
2
1
0
l
x
y
l
x
y
；
(2) 1
2
:
2
1
0,
:
2
5
0
l
x
y
l
x
y
．
3.分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标.
(1) 1 :
3
1
0
l
x
y
，2 :3
4
0
l
x
；
(2) 1 :
3
1
0
l
x
y
，2
1
:
4
3
l
y
x
.
题型二：直线交点的求相关量
1.已知三条直线2
4
0,
3
0,
2
0
x
y
kx
y
x
y
交于一点，则实数k =（
）
A．1
B．1
C．
3
2
D．1
4
2.直线2
2
0
x
y
与
4
2
0
ax
y
互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（
）
A．
1, 4
B．
0, 2
C．
1,0
D．0, 1
2
3.已知直线1l ：
1
0
ax
y
与2l ：2
1
0
x
by
相交于点
1,1
M
，则a
b
（
）
A．1
B．1
C．2
D．－2
4.已知直线
4
2
0
mx
y
与2
5
0
x
y
n
互相垂直，垂足为
1,
P
p ，则m
n
p
的值是（
）
A．24
B．0
C．20
D．4
5.已知直线1l ：y = kx - 4 与直线2l ：x + 2y + 2 = 0 的交点在第三象限.则实数k 的取值范围为（
）
A．
, 2
B．
2,
C．
1
,
2
D．
2,0
6.若直线:
3
l y
kx
与直线
3
0
x
y
相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围
是
．
67
7.若y
a x
的图像与直线
(
0)
y
a
x a
有两个不同的交点，则a 的取值范围是（
）
A．1
0
a
B．
1
a
C．a<0
D．
1
a
8.已知0
4
k
，直线1
2
2
8
0
l
kx
y
k
：
和直线
2
2
2
2
4
4
0
l
x
k y
k
：
与两坐标轴围成一个四边形，
则使得这个四边形面积最小的k 值为（
）
A．1
2
B．1
4
C．1
8
D．1
9.若直线:
3
l y
kx
与直线2
3
6
0
x
y
的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．π π
,
6 3
B．π π
,
6 2
C．π π
,
3 2
D．π π
,
6 2
题型三：过两条直线交点的直线系方程
1.已知直线1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
（
1A ，
1
B 不全为0）与直线2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
（
2
A ，
2
B 不全为0）相交于
点P，求证：过点P 的直线可以写成
1
1
1
2
2
2
0
m A x
B y
C
n A x
B y
C
2
2
(
0)
m
n
的形式．
2.求过两条直线
2
3
y
x
与3
2
0
x
y
的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为
1
2
；
（2）过点
2 , 3
P
；
（3）平行于直线3
1
x
y
．
3.直线l 经过直线1
2
: 2
3
2
0
:3
4
2
0
l
x
y
l
x
y
与
的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
求直线l 的方程．
68
4.已知两直线
1
1
1
0
a x
b y
和
2
2
1
0
a x
b y
的交点为
(1,2)
P
，则过
1
1
1
(
,
),
Q a b
2
2
2
(
,
)
Q a b
两点的直线方程为
（
）
A．
2
1
0
x
y
B．
2
1
0
x
y
C．2
1
0
x
y
D．2
1
0
x
y
5.求过直线x+y+1＝0 与2x+3y﹣4＝0 的交点且斜率为﹣2 的直线方程．
6.求经过直线1:
3
4
0
l
x
y
与2 :5
2
6 0
l
x
y
的交点，且过点
(2,3)
A
的直线方程．
题型四：两点间距离公式
1.已知
3,6 ,
2,4
A
B
，则A，B 两点间的距离为（
）
A．5
B．5
C．3
D．
29
2.已知点
1,2 ,
1,0 ,
3,6 ,
A
B
C
M
为AB 中点，则MC
．
3.三角形的三个顶点为
3, 2 ,
3,4 ,
5,4
A
B
C
，D 为AC 中点，则BD 的长为（
）
A．3
B．5
C．9
D．25
4.直线1 :3
2
0
l
ax
y
和直线2 :
2
(
1)
y
l
a x
分别过定点A 和B，则AB
．
5.已知过
(
,2),
(
,
1)
A m
B
m m
两点的直线的倾斜角是45，则
,
A B 两点间的距离为（
）
A．2
B．
6
C．2 2
D．3 2
6.在数轴上，运用两点距离的概念和计算公式，可得方程
1
1
2
x
x
的解集为
.
7.已知
, 5
A a
与
0,10
B
两点间的距离是17，则a 的值为（
）
A．8
B．2 66
C．2 66
D．8
69
8.已知点
1,2
A
，
3,4
B
，
5,0
C
，若A ，B ，C 是ABC
的三个顶点，则ABC
是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
9.已知函数y
x
m
的图象与函数
2
1
x
y
和函数
2
2
1
x
y
的图象分别交于
,
A B 两点，若
2
AB
，
则m
．13723366289
题型五：两点间距离转化应用
1.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，根据上述观点，当
2
2
2
10
10
29
f x
x
x
x
x
取得最小值时，实数x 的值
为（
）
A．13
5
B．3
C．17
5
D．4
2.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为
几何问题加以解决，如：
2
2
x
a
y
b
可以转化为平面上点
,
M x y 与点
,
N a b 的距离．结合上述观
点，可得
2
2
2
5
6
25
y
x
x
x
x
的最小值为（
）
A．2 10
B．2 2
C．
2
10
D．3
5
3.
2
2
2
2
4
8
f x
x
x
x
x
的最小值为
．
4.已知
R
x
y
、
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
1
2
(
2)
1
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值为
.
题型六：点到直线距离公式
1.原点到直线9
12
10
0
x
y
间的距离是（
）
A．2
3
B．1
3
C．1
D．2
5
2.已知点
0,3
A
及直线:
1
0
l x
y
上一点B ，则AB 的值不可能是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
70
3.已知
2,0
A
，
4,
B
m 两点到直线l ：
1
0
x
y
的距离相等，则m （
）
A．2
B．6
C．2
或4
D．4 或6
4.已知点
1
,1 3
P
t
t
到直线:
2
1
l y
x
的距离为
5
5 ，则点P 的坐标为（
）
A．
0, 2
B．
2,4
C．
0, 2
或
2,4
D．
1,1
5.已知ABC
的三个顶点的坐标为
3,3
A
，
2, 2
B
，
7,1
C
，则ABC
的面积为
.
6.已知
1,3
P
，
3,6
Q
，若P ，Q 到直线l 的距离都等于5
2 ，则满足条件的直线l 共有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
7.已知直线l ：
2
3
y
k x
，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．若使AOB
的面积为12的直线l 共
有（
）条
A．1
B．2
C．3
D．4
8.（多选）已知
0,1
A
、
2,0
B
、
1, 1
C
，则（
）
A．直线AB 的方程为
2
2
0
x
y
-
+
=
B．点A 到直线BC 的距离为
10
2
C．ABC
为等腰直角三角形
D．ABC
的面积为5
9.已知直线l 经过点
1,4 ，且点
2,2 ,
4, 2
A
B
到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
.
10.若关于x 的方程
2
0
ax
x
b
；在[1,2] 上有实数根，则
2
2
a
b
的最小值是
.
11.已知直线l 经过点
3,4 ，且点
2,2
A
，
4, 2
B
到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
.
71
12.如图，在等腰直角三角形ABC 中，
2
AB
AC
，点P 是边AB 上异于
,
A B 的一点，光线从点P 出发，
经
,
BC CA发射后又回到原点P ，若光线QR 经过ABC
的重心，则BP 长为
.
13.
2
3
P
,
到直线
3
0
x
y
t
的距离不超过2 ，则实数t 的取值范围是
.
14. 光线由点
2,5
P
射到直线
1
x
y
上，反射后过点
1,1
Q
，则反射光线所在直线的一般式方程
为
．
题型七：平行线间距离公式
1.两平行直线1 :
1
0
l
x
y
和2 :
3
0
l
x
y
之间的距离为（
）
A．
2
B．2
C．2 2
D．3
2.两条平行直线3
4
2
0
x
y
与6
8
1
0
x
y
间的距离为（
）
A．3
5
B．1
C．3
10
D．1
2
3.已知1
2
1
2
// , : 2
4
0,
:6
2
0
l
l l
x
y
l
x
ay
,则它们的距离为（
）
A．2 5
15
B．2 5
5
C．
5
5
D．2 5
3
4.若直线2
3
0
x
y
与4
2
0
x
y
a
之间的距离为5 ，则a 的值为（
）
A．4
B．
5
6
C．4 或16
D．8 或16
5.两条平行直线1 :
2
1
0
l
x
y
与2 :2
2
0
l
x
my
m
之间的距离为
．
6.在梯形ABCD中，
2
6
CD
AB
，且AB 和CD 所在直线的方程分别是
2
3
0
x
y
与
2
7
0
x
y
，则
梯形ABCD的面积为
.
72
题型八：点到直线距离公式转化应用
1.若点
,x y 在直线3
4
25
0
x
y
上移动，则
2
2
x
y
的最小值为
．
2.已知m
R
，则直线1 : (
1)
(
3)
4
0
l
m
x
m
y
与直线2 :(
1)
(
3)
l
m
x
m
y
0
的距离的最大值为
3.已知,x y 满足
2
5
0
x
y
，则
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的最小值为
4.已知动点
,
M a b 在直线3
4
10
0
x
y
上，则
2
2
a
b
的最小值为
.
5.已知
(2,0), (0,2), (1,0)
A
B
P
，O 为坐标原点，点
,
M N 分别在线段
,
AB OB 上，则PMN
周长的最小值
为
.
6.设
1
0
x
y
，求
2
2
2
2
6
10
34
4
30
229
d
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值是
．
7.已知
2,0
E
，
0, 2
F
，点P 在直线3
1
0
x
y
上移动，则
2
2
PE
PF
的最小值为
.
8.函数
4
2
4
2
( )
3
6
13
1
f x
x
x
x
x
x
的最大值为
.
题型九：点关于点、点关于线对称
1.已知不同的两点
,
P a
b
与
1,
1
Q b
a
关于点
3,4 对称，则ab （
）
A．5
B．14
C．14
D．5
2.点
3,0 关于直线
3
0
x
y
对称的点的坐标为（
）
A．
3,6
B．
6, 3
C．
6,3
D．
3,6
3.已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11 对称，则a，b 的值为（
）.
A．a=-1，b=2
B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4
D．a=4，b=2
73
4.已知点A 与点
(2,1)
B
关于直线+
2
0
x y
对称，则点A 的坐标为（
）
A．( 1,4)
B．(4,5)
C．( 3, 4)
D．( 4, 3)
5.已知点
1, 2
M
、
,2
N m
，若M 、N 关于直线
2
2
0
x
y
对称，则实数m 的值是（
）
A．3
B．1
C．2
D．7
6.点
1,2
P
在直线l 上，直线1l 与l 关于点(
)
0,1 对称，则一定在直线1l 上的点为（）
A．1 3
,
2 2
B．
3
1, 2
C．(
)
1,0
-
D．1 ,0
2
7.直线2
3
6
0
x
y
关于点(1,1) 对称的直线方程为（
）
A．3
2
2
0
x
y
B．2
3
7
0
x
y
C．3
2
12
0
x
y
D．2
3
4
0
x
y
8.直线
1
y
x
关于直线
2
y
x
对称的直线方程为（
）
A．3
1
0
x
y
B．4
2
0
x
y
C．5
3
0
x
y
D．7
5
0
x
y
9.如果直线
2
y
ax
与直线
3
y
x
b
关于直线y
x
对称，那么（
）
A．
1 ,
6
3
a
b
B．
1 ,
6
3
a
b
C．
3,
2
a
b
D．
3,
6
a
b
10.已知直线
1
:
1
0,
: 2
2
0
l x
y
l
x
y
．若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程是（
）
A．
1
0
x
y
B．
2
1
0
x
y
C．
2
1
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
题型十：线段和差最值问题
1.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，
怎样走才能使总路最短？试求
2
2
1
2
5
x
x
x
最小（
）
A．5
B．10
C．1
5
D．2
2
2.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有
趣的数学问题— — “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到
军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为
3,4
B
，若将军从点
2,0
A
处出发，河岸线所在直线方程为y
x
，则“将军饮马”的最短总路程为（
）
A．5
B．3 5
C．4
D．5 3
74
3.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个
数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走
才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
2
2
4
x
y
，若将军从点
3,1
A
处出发，河岸
线所在直线方程为=
5
y
x
，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路
程为（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
4.已知点R 在直线
1
0
x
y
上，
1,3
M
，
3, 1
N
，则RM
RN
的最大值为（
）
A．5
B．7
C．10
D．2 5
5.已知两点
4,8 ,
2,4
A
B
，点C 在直线
1
y
x
上，则AC
BC
的最小值为（
）
A．2 13
B．9
C．
74
D．10
6.已知
4,8 ,
2,4
A
B
，点C 在直线y
x
上，则AC
BC
的最小值为（
）
A．2 13
B．9
C．10
D．
74
题型十一：平行直线间的距离的最值问题
1.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B 旋转，如果两条平行直线间
的距离为d.求：
(1)d 的变化范围；
(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．
2.已知A ，B 两点的坐标分别为
1,0 ，(
)
1,2
-
，若两平行直线1l ，2l 分别过点A，B，则1l ，2l 间的距离的
最大值为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．2 2
75
3.设m
R
，已知直线1 :(
2)
2
2
0
l
m
x
my
m
，过点(2,3) 作直线2l ，且1
2
l
l
∥
，则直线1l 与2l 之间距离
的最大值是
．
模块三：综合巩固
1.已知
(6,0), ( 2,0)
A
B
，则|
|
AB （
）
A．3
B．4
C．6
D．8
2.原点到直线9
12
10
0
x
y
间的距离是（
）
A．2
3
B．1
3
C．1
D．2
5
3.两条平行线1 :
2
2
0
l
x
y
，2 :
6
9
0
l
ax
y
间的距离等于（
）
A．
5
5
B．3 5
5
C．
5
D．7 5
5
4.已知点
2,1
A
，点B 在直线
3
0
x
y
上，则AB 的最小值为（
）
A．5
B．
26
C．2 2
D．4
5.已知1
2
1
2
// ,
: 2
4
0,
: 6
2
0
l
l l
x
y
l
x
ay
,则它们的距离为（
）
A．2 5
15
B．2 5
5
C．
5
5
D．2 5
3
6.已知
2,0
A
，
4,
B
m 两点到直线l ：
1
0
x
y
的距离相等，则m （
）
A．2
B．6
C．2
或4
D．4 或6
7.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为
几何问题加以解决，如：
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
可以转化为平面上点
( , )
M x y 与点
( , )
N a b 的距离．结合上述观点，
可得
2
2
4
8
4
8
y
x
x
x
x
的最小值为（
）
A．4 2
B．2 2
C．
2
10
D．3
5
76
8.在梯形ABCD中，
2
6
CD
AB
，且AB 和CD 所在直线的方程分别是
2
3
0
x
y
与
2
7
0
x
y
，则
梯形ABCD的面积为（
）
A．9
B．18
C．9 5
D．18 5
9.已知点A，B 分别是直线1 : 2
2
0
l
x
y
与直线2 4
2
1
0
:
l
x
y
上的点，则AB 的最小值为（
）
A．0
B．5
C．
5
2
D．
5
4
10.已知
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P
x
y
是直线
2023
y
kx
（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组
1
1
2
2
1
1
x x
y y
x x
y y
的解的情况，下列说法正确的是（
）
A．无论k ，
1P ，
2P 如何，总是无解
B．无论k ，
1P ，
2P 如何，总有唯一解
C．存在k ，
1P ，
2P ，使
1
2
x
y
是方程组的一组解
D．存在k ，
1P ，
2P ，使之有无穷多解
11.已知直线
3
1
0
x
y
与直线2 3
2
3
0
x
y
平行，则它们之间的距离是（
）
A．1
B．5
4
C．3
D．4
12.若三条直线
3 ,
4,
5
0
y
x x
y
mx
ny
相交于同一点，则点
,
m n 到原点的距离d 的最小值是（
）
A．
5
2
B．
6
2
C．
7
2
D．10
2
13.已知直线
:
2
1
3
3
0
l
m
x
m
y
m
，点
5,4
M
，记M 到l 的距离为d ，则d 的取值范围为（
）
A．0,3 2
B．
0,3 2
C．
0,18
D．
0,18
14.两直线方程为1
2
:3
2
6
0,
:
2
0
l
x
y
l
x
y
，则1l 关于2l 对称的直线方程为（
）
A．3
2
4
0
x
y
B．2
3
6
0
x
y
C．2
3
4
0
x
y
D．2
3
4
0
x
y
77
15.（多选）若直线1 :
3
2
l
y
kx
k
与直线2 :
3
0
l
x
y
的交点在第四象限，则实数k 的取值可以是（）
A．0
B．1
3
C．
1
2
D．1
16.（多选）平面上有三条直线2
5
0,
1
0,
0
x
y
x
y
x
ky
，将平面划分为六个部分，则实数k 的
所有可能取值为（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．1
17.（多选）已知直线l ：
1
3
4
0
a
x
ay
a
，O为坐标原点，下列说法正确的是（
）
A．若
0
a
，则a 越大，直线的倾斜角越小
B．若直线l 关于直线
4
x
对称的直线方程是2
9
0
x
y
，则
1
a
C．若直线l 过定点P ，直线m 经过P 和原点O，则直线m 围绕点P 旋转45°后得到的直线方程是
5
3
17
0
x
y
或3
5
13
0
x
y
D．若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当OA
OB
最小时，
2
3
a
18.（多选）已知三条直线：直线1
2
3
:
3
0,
:
1
0,
: 2
5
0
l
ax
y
l
x
y
l
x
y
不能围成一个封闭图形，则
实数a 的值可以是（
）13723366289
A．2
B．1
C．2
D．3
19.（多选）已知直线1l ：
2
4
0
x
y
，直线2l ：
1
4
2
0
a
x
y
，下列结论正确的是（
）
A．直线2l 可能不存在斜率
B．直线2l 恒过点
1
0,
2
C．若1
2
l
l
，则
9
a
D．点P 和点Q 分别是直线1l ，2l 上的动点，若1
2
l
l
∥，则PQ 的最小值是5
78
20.（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军
营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m ，n ，其方程分别为2
0
x
y
，
0
y
，点
3,1
A
，
6,3
B
，则下列说法正确的是（
）
A．将军从A 出发，先去河流m 饮马，再返回B 的最短路程是7
B．将军从A 出发，先去河流n 饮马，再返回B 的最短路程是7
C．将军从A 出发，先去河流m 饮马，再去河流n 饮马，最后返回B 的最短路程是85
D．将军从A 出发，先去河流n 饮马，再去河流m 饮马，最后返回B 的最短路程是2 13
21.在△ABC 中，点
(1,1)
A
，
(4,2)
B
，
( 4,1)
C
，则ABC
的面积为
．
22.直线2
3
0
x
y
与3
2
1
x
y
上任意两点最小距离为
.
23.已知直线1 : 4
0
l
x
y
，2 :
1
l
mx
y
，3 : 2
3
4
l
x
my
，若它们不能围成三角形，则实数m 的取值所构
成的集合为
．
24.已知两条平行直线1l ：
2
1
0
x
y
，2l ：
0
ax
y
b
间的距离为5 ，则a
b
．
25.已知点
(2,0)
A
、
( 2, 4)
B
，P 在直线:
2
8
0
l x
y
上，则PA
PB
的最小值等于
.
26.在平面直角坐标下中，有四个定点
3 , 0 ,
1 ,
1 ,
0 , 3 ,
1 , 3
A
B
C
D
及一个动点P ，则
PA
PB
PC
PD
的最小值为
．
79
27.已知定点
6,4
P
与定直线1l ：
4
y
x
，过P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，
求使OQM
面积最小的直线方程为
.
28.已知直线: 2
3
1
0
l
x
y
，点
1, 2
A
．求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A的坐标；
(2)直线
: 3
2
6
0
m
x
y
关于直线l 的对称直线m的方程；
(3)直线l 关于点
1, 2
A
对称的直线l的方程．
29.已知直线1
2
:
3
4
0,
:3
2
2
0
l
x
y
l
x
y
，设直线1
2
,
l l 的交点为P .
(1)求点P 的坐标；
(2)若直线l 过点P 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.
30.已知直线1 :3
4
2
0
l
x
y
，2 : 2
2
0
l
x
y
3 :
2
5
0
l
x
y
，
(1)求直线1l 与直线2l 的交点M 的坐标；
(2)求过点M 且与直线3l 平行的直线方程.
80
31.等腰直角三角形ABC 的直角顶点B 和顶点A 都在直线2
3
0
x
y
上，顶点C 的坐标是
2,3
，直线
AC 的倾斜角是钝角.
(1)求直线BC，AC 在x 轴上的截距之和；
(2)平行于AC 的直线l 与边AB，BC 分别交于点D，E，若
BDE
△
的面积等于5
2 ，求直线l 与两坐标轴围成
的三角形的周长.
32.求函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最大值．
33.已知直线:
2
1
0
l x
y
和点
1,2
A
(1)求点A 关于直线l 的对称点的坐标；
(2)求直线l 关于点A 对称的直线方程.
34.已知
1, 1
M
，
2,2
N
，
3,0
P
．
(1)求点Q 的坐标，满足PQ
MN
，
/ /
PN
MQ ；
(2)若点Q 在x 轴上，且
NQP
NPQ
，求直线MQ 的倾斜角；
(3)一条光线从点
2,2
N
发出，射到x 轴上一点
3,0
P
后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程.
81
35.已知ABC
的顶点
2,0
B
，AB 边上的高所在的直线方程为
3
26
0
x
y
．
(1)求直线AB 的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A 的平分线所在直线方程为
2
0
x
y
；
②BC 边上的中线所在的直线方程为
3
y ．
若________________，求直线AC 的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
82
2.6 圆的方程
模块一：基础知识
考点一：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．
如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为( , )
a b ，半径为r ，
( , )
M x y 为圆上任意一点，⊙A
就是集合
P
M MA
r
．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径．
考点二：圆的标准方程
1.圆的标准方程：我们把
2
2
2
x
a
y
b
r 称为圆心为
,
A a b ，半径长为r 的圆的标准方程．
【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：
圆心位置和半径．
（2）圆的标准方程的右端
2
0
r
，当方程右端小于或等于0 时，对应方程不是圆的标准方程．
2.圆的标准方程的推导过程
（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为A 是定点，设
,
A a b ，
半径为r ，且设圆上任意一点M 的坐标为( , )
x y ．
（2）写点集：根据定义，圆就是集合
P
M MA
r
．
（3）列方程：由两点间的距离公式得
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
．
（4）化简方程：将上式两边平方得
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
．
3.几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程的标准形式
圆心在原点
2
2
2
0
r
x
y
r
圆过原点
2
2
2
2
2
2
0
x
a
y
b
a
b
a
b
圆心在x 轴
2
2
2
0
x
a
y
r
r
圆心在y 轴
2
2
2
0
x
y
b
r
r
83
圆心在x 轴上且过原点
2
2
2
0
x
a
y
a
a
圆心在y 轴上且过原点
2
2
2
0
x
y
b
b
b
圆与x 轴相切
2
2
2
0
y
b
b
b
x
a
圆与y 轴相切
2
2
2
0
y
b
a
a
x
a
圆与两坐标轴都相切
2
2
2
0
y
b
a
a
b
x
a
考点三：圆的一般方程
1.圆的一般方程：当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
叫做圆的一般方程．
其中
,
2
2
D
E
为圆心，
2
2
1
4
2
D
E
F
为半径．
2.圆的一般方程的形式特点
（1）
2
2
,
x
y 项的系数相同且不等于0（
2x 和
2y 的系数如果是不为1 的非零常数，只需在方程两边同时除
以这个常数即可）；
（2）不含xy 项；
（3）
2
2
4
0
D
E
F
．
3.一般方程与标准方程关系：
对方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
的左边配方，并将常数移项到右边，得
2
2
2
2
4
2
2
4
D
E
D
E
F
x
y
，根据圆的标准方程可知：
（1）当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程只有实数解
,
2
2
D
E
x
y
.它表示一个点
,
2
2
D
E
．
（2）当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当
2
2
4
0
D
E
F
时，可以看出方程表示以
,
2
2
D
E
为圆心，
2
2
1
4
2 D
E
F
为半径的圆．
考点四：点与圆的位置关系
1.几何法：点
0
0
,
M x
y
，圆心
,
A a b ，圆的半径r ，设M 与点A 间的距离MA
d
，
d
r
点M 在圆A 外；
d
r
点M 在圆A 内；
d
r
点M 在圆A 上．
2.代数法：将点
0
0
,
M x
y
直接代入圆的标准方程
2
2
2
x
a
y
b
r 进行判断，即
若点
0
0
,
M x
y
在圆外，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r ；
84
若点
0
0
,
M x
y
在圆内，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r
；
若点
0
0
,
M x
y
在圆上，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r
．
3.圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点
0
0
,
M x
y
，和圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
（
2
2
4
0
D
E
F
）则
位置关系
代数关系
点M 在圆A 上
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
点M 在圆A 内
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
点M 在圆A 外
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
考点五：圆上的点到定点的最大、最小距离
设圆心A 到定点C 的距离为d ，圆的半径为r ，圆上的动点为点P ．
（1）若点C 在圆外时，
max
PC
d
r
，
min
PC
d
r
；
（2）若点C 在圆上时，
max
2
PC
r
，
min
0
PC
；
（2）若点C 在圆内时，
max
PC
d
r
，
min
PC
r
d
．
综上：
max
PC
d
r
，
min
PC
d
r
．
考点六：轨迹与轨迹方程
1.轨迹方程和轨迹的定义
已知平面上一动点
( , )
M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标( , )
x y 满足的关系式。轨迹是指点在运动
变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
2.“轨迹”与“轨迹方程”有区别：
（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；
（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
3.坐标法求轨迹方程的步骤
（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；
（2）设点：用( , )
x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；
（3）列式：列出关于.x y 的方程；
（4）化简：把方程化为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
85
模块二：题型分类
题型一：圆的标准方程
1.已知圆的圆心在( 3,4)
，半径为5，则它的方程为（
）
A．
2
2
3
4
5
x
y
B．
2
2
3
4
25
x
y
C．
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y
D．
2
2
3
4
5
x
y
2.以
1
2
，
为圆心，
2 为半径的圆的方程是（
）
A．
2
2
1
2
2
x
y
+
B．
2
2
1
2
2
x
y
C．
2
2
1
2
2
x
y
D．
2
2
1
2
2
x
y
3.圆心在y 轴上，半径为2 ，且过点
2,4 的圆的方程为（
）．
A．
2
2
1
1
x
y
B．
2
2
2
4
x
y
C．
2
2
2
4
4
x
y
D．
2
2
4
4
x
y
4.已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为
4,1
，
2,3 ，则圆C 的方程是
.
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知
1 0,2
P
、
2 4,4
P
两点，若圆M 以
1
2
PP 为直径，则圆M 的标准方程为（
）
A．
2
2
2
3
5
x
y
B．
2
2
2
3
5
x
y
C．
2
2
1
4
5
x
y
D．
2
2
1
4
5
x
y
6.已知圆M 过点
0,0 ,
2,0 ,
2, 2
O
A
B
，则圆M 的标准方程是（
）
A．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
B．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
C．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
D．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
7.已知
0,5 ,
0,1 ,
3,4
A
B
C
，则ABC
外接圆的半径为（
）
A．5
B．2
C．10
D．5
8.已知
4,0
A
，
1, 3
B
，圆M 经过A，B 两点，且圆的周长被x 轴平分，则圆M 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
3
3
2
2
x
y
B．
2
2
2
4
x
y
C．
2
2
4
x
y
D．
2
2
1
4
x
y
86
9.已知圆C 的圆心在直线2x－y－7＝0 上，且圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的标准
方程为（
）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
10.求经过点( 2,0),( 2,2)
且圆心在直线:
0
l x
y
上的圆的标准方程为
.
11.若圆C 经过点
(2,5)
A
，
(4,3)
B
，且圆心在直线
7
: 2
0
x
y
l
上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
(
3)
(
6)
2
x
y
B．
2
2
(
2)
(
3)
4
x
y
C．
2
2
(
2)
(
3)
8
x
y
D．
2
2
(
3)
(
6)
10
x
y
12.设圆C 的圆心M 在y 轴上，且圆C 与x 轴相切于原点O，若
4
OM
，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
(
4)
4
x
y
B．
2
2
(
4)
16
x
y
C．
2
2
(
4)
16
x
y
D．
2
2
(
4)
16
x
y
或
2
2
(
4)
16
x
y
13.关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5 的奇数都是三个素数之和，如7
2
2
3
，17
3
7
7
.若从2,3,7
中任取2 个不同的素数,a b 组成点
,
a b ，其中a
b
，且组成的所有点都在圆E 上，则圆E 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
2
4
2
x
y
B．
2
2
5
2
16
2
x
y
C．
2
2
5
5
17
2
x
y
D．
2
2
5
17
5
2
4
x
y
14.已知圆C 的圆心为
,t t
，且圆C 与y 轴的交点分别为
0,4 ,
0, 2
A
B
，则圆C 的标准方程
为（
）
A．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
B．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
C．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
D．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
15.已知圆C 的圆心在直线y
x
上，且与y 轴相切于点
0,5 ，则圆C 的标准方程是（
）
A．
2
2
5
5
25
x
y
B．
2
2
5
5
25
x
y
C．
2
2
5
5
5
x
y
D．
2
2
5
5
5
x
y
87
16.已知圆C 的圆心C 在直线y
x
上，且与x 轴正半轴相切，点C 与坐标原点O的距离为
2 ，则圆C 的标
准方程为（
）
A．
2
2
1
1
1
x
y
B．
2
2
1
1
2
x
y
C．
2
2
1
1
1
x
y
D．
2
2
1
1
2
x
y
17.已知半径为3 的圆C 的圆心与点
2,1
P
关于直线
1
0
x
y
对称，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
(
1)
(
1)
9
x
y
B．
2
2
(
1)
(
1)
81
x
y
C．
2
2
(
1)
9
x
y
D．
2
2
9
x
y
题型二：圆的一般方程
1.已知
0,2
A
，
10
B ,
，
3,0
C
，则过A，B，C 三点圆的一般方程
．
2.过三点(0,0),(4,0),(4,2)的圆的方程为
．
3.已知点
0,5
A
，
1, 2
B
，
3, 4
C
，
2,
D
a 四点共圆，则
a
.
4.在平面直角坐标系中，过
2,4 ,
2,6 ,
1, 3 ,
2, 4
A
B
C
D
四点的圆的方程为
.
5.已知圆C 经过点
1,1
和点
1,3
B
，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
2
2
x
y
B．
2
2
2
10
x
y
C．
2
2
2
2
x
y
D．
2
2
2
10
x
y
6.过直线2
1
0
x
y
和圆
2
2
2
15
0
x
y
x
的交点且过原点的圆的方程是
．
7.经过点
1,1
P
以及圆
2
2
4
0
x
y
与
2
2
4
4
12
0
x
y
x
y
交点的圆的方程为
．
8.已知在ABC
中，AB 边所在直线的方程为
3
6
0
x
y
，AC 边所在直线的方程为
2
0
x
y
，AC 边上
的中线所在直线的方程为
2
0
x
y
．
(1)求C 点的坐标；
(2)求ABC
的外接圆方程．
88
题型三：二元二次曲线与圆的关系
1.若方程
2
2
2
1
0
R
x
y
mx
y
m
表示半径为1 的圆，则m （
）
A．1
B．2
C．1
或1
D．2
或2
2.若方程
2
2
0
x
y
x
y
m
表示圆，则实数m 的取值范围是
.
3.已知直线l ：
2
1
0
x
y
经过圆C ：
2
2
2
3
0
x
y
Dx
y
的圆心，则D =（
）
A．6
B．2
C．2
D．6
4.曲线
2
2
2
6
0
x
y
x
y
所围成平面区域的面积为
．
5.若
3
2, 1,0,
,1
4
a
，则方程
2
2
2
2
2
1
0
x
y
ax
ay
a
a
表示的圆的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.方程
2
2
4
2
5
0
x
y
mx
y
m
表示圆的充要条件是（
）
A．1
1
4
m
B．
1
m
C．
1
4
m
D．
1
4
m
或
1
m
7.若
2
2
2
2
2
0
x
m
m y
mx
m
表示圆，则实数m 的值为
.
8.若方程
2
2
5
3
0
2
x
y
kx
y
k
表示圆，则k 的取值范围是
．
9.已知关于x，y 的二元二次方程
2
2
2
4
2
3
2 1 4
16
9
0
x
y
t
x
t
y
t
，当t 为
时，方程表
示的圆的半径最大．
题型四：圆的一般方程与标准方程转化
1.圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
的圆心和半径分别为（
）
A．
1,2 ,3
B．
1,2 ,3
C．
1, 2 ,2
D．
1, 2 ,3
89
2.圆
2
2
:
8
2
8
0
C x
y
x
y
的面积为
．
3.已知圆
2
2
2
4
0
x
y
x
ay
的半径为3，则a 的值为
.
4.已知圆C 的方程为
2
2
2
2
2 3
3
0
x
y
ax
ay
a
，则圆C 的半径为
.
题型五：点与圆的位置关系
1．已知圆C 的方程为
2
2
(
1)
(
3)
12
x
y
，则点
(1,6)
A
在（
）
A．圆内
B．圆上
C．圆外
D．不确定
2.（多选）已知
1 4,9
P
，
2 6,3
P
两点，以线段
1
2
PP 为直径的圆为圆P，则（
）
A．
6,9
M
在圆P 上
B．
3,3
N
在圆P 内
C．
5,3
Q
在圆P 内
D．
2,7
R
在圆P 外
3.点
( ,3)
P m
与圆
2
2
2
1
2
x
y
的位置关系为（
）
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．与m 的值无关
4.点
( ,10)
P a
与圆
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
的位置关系是（
）
A．在圆外
B．在圆上
C．在圆内
D．与a 的值有关
5.若点
2,1
A
在圆
2
2
2
2
5
0
x
y
mx
y
（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（
）
A．
,2
B．
2,
C．
, 2
D．
2,
6.对于圆C ：
2
2
4
1
0
x
y
x
，下列说法正确的为（
）
A．点
1, 1
A
圆C 的内部
B．圆C 的圆心为
2,0
C．圆C 的半径为3
D．圆C 与直线
3
y 相切
7.若点
,3
A a
在圆
2
2
:
1
5
C x
y
外，则实数a 的取值范围是（
）
A．
, 1
B．
,1
C．
, 1
1,
D．
1,1
90
8.若点
1,
1
a
a
在圆
2
2
2
4
0
x
y
ay
的内部，则a 的取值范围是（
）.
A．
1
a
B．0
1
a
C．
1
1
5
a
D．
1
a
9.已知点
1, 2
P
在圆C：
2
2
2
4
1
0
x
y
kx
y
k
的外部，则k 的取值范围是（
）
A．2
1
k
B．1
2
k
C．
2
k
D．2< <2
k
题型六：圆过定点问题
1.圆
2
2
:
2
5
0
C x
y
ax
ay
恒过的定点为（
）
A．
2,1 , 2, 1
B．
1, 2 , 2,1
C．
1, 2 , 1,2
D．
2, 1 , 2,1
2.对任意实数m ，圆
2
2
2
4
6
2
0
x
y
mx
my
m
恒过定点，则其坐标为
.
3.圆
2
2
2
0
x
y
mx
y
m
恒过的定点是
.
4.对任意实数m ，圆
2
2
3
6
9
2
0
x
y
mx
my
m
恒过定点，则定点坐标为
．
5.点
,
P x y 是直线2
5
0
x
y
上任意一点，O是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（
）
A．
0,0 和
1,1
B．
0,0 和
2,2
C．
0,0 和
1,2
D．
0,0 和
2,1
6. 已知方程
2
2
2
2(
2)
2
0
x
y
ax
a
y
表示圆，其中a R ，且a≠1，则不论a 取不为1 的任何实数，
上述圆恒过的定点的坐标是
.
题型七：定点到圆上点的最值（范围）
1.已知半径为2 的圆经过点
3,4 ，则其圆心到原点的距离的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
2.若点
,
P x y 是圆C :
2
2
8
6
16
0
x
y
x
y
上一点,则
2
2
x
y
的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
91
3.已知圆C 的半径为1，以点(3, )
b 为圆心，若圆C 上的点到原点的距离的最大值为7，则实数b 的值是（
）
A．3 3
B．2 10
C．5
D．4
4.直线:
2
2
0(
R)
l kx
y
k
k
过定点Q，若P 为圆
2
2
:(
2)
(
3)
4
C
x
y
上任意一点，则|
|
PQ 的最大值为
（
）
A．1
B．3
C．4
D．2
5.若实数x
y
，满足
2
2
1
x
y
，则
2
2
3
4
x
y
的最大值是（
）
A．5
B．6
C．25
D．36
6.已知P 为圆
2
2
(
3)
(
4)
4
x
y
上一点，Q 为圆
2
2
1
x
y
上一点，则点Q 到点P 的距离的最大值
为
.
7.已知圆C :
2
2
1
2
4
x
y
，点
2,0
A
，
2,0
B
.设P 是圆C 上的动点，令
2
2
d
PA
PB
，则d 的
最小值为
．
8.若实数,x y 满足
2
2
1
x
y
，则
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的最大值是
．
9.若点
,
P x y 在圆
2
2
4
1
0
x
y
y
上，则
2
2
(
1)
x
y
的最小值为
.
10.已知点P 为圆
2
2
1
x
y
上一点，记d 为点P 到直线
2
0
x
my
的距离.当m 变化时，d 的最大值
为
.
题型八：圆的轨迹问题
1.已知点
(
)
1,0
A
，
4,0
B
，若点P 满足
1
2
PA
PB
，则P 的轨迹方程为
．
2.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方
程．
92
3.已知点
(2,0)
B
和点
(2,4)
C
，直角ABC
以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程
.
4.已知
1,1
A
、
2,0
B
两定点．若动点M 满足
2
MA MB
，求动点M 的轨迹方程．
5.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4 上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．
6.已知两点
( 5,0)
A
，
(5,0)
B
，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3 倍，则点P 的轨迹方程
是
．
7.（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且|
| 6
AB
，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（
）
A．|
|
|
| 6
PA
PB
B．
1
PA PB
C．|
| 2|
|
PA
PB
D．
2
2
|
|
|
|
18
PA
PB
8.已知点
(6,0)
A
，O 为坐标原点，若动点
( , )
P x y 满足2 OP
PA
．
(1)试求动点P 的轨迹方程；
(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．
9.已知圆
2
2
:
3
C x
y
，直线l 过点
2,0
A
.
(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的斜率；
(2)线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
93
10.由动点P 向圆
2
2
1
x
y
引两条切线PA ，PB ，切点分别为A，B，
π
3
APB
，求动点P 的轨迹方程.
11.已知两定点
1
1,0
P
和
2 3,0
P
，求到点
1P 和
2P 的距离的平方和是16 的点的轨迹方程.
12.从定点
3, 5
A
向圆
2
2
:
6
6
14
0
C x
y
x
y
任意引一割线交圆于P，Q 两点，求弦PQ 的中点M 的
轨迹方程.
13.已知一曲线是与两个定点
0,0
O
，
3,0
A
的距离之比为1
2 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出该
曲线.
14. ABC
的顶点B，C 的坐标分别是
3, 1
，
2,1 ，顶点A 在圆
2
2
4
8
16
0
x
y
x
y
上运动，求ABC
的重心G 的轨迹方程.
15.已知直线
2
1
0
x
y
与圆
2
2
:
4
2
0
C x
y
x
y
a
交于A，B 两点，CA
CB
.
(1)求实数a 的值；
(2)若点P 在圆C 上运动，O 为坐标原点，动点M 满足
2
OP
CM
，求动点M 的轨迹方程.
94
题型九：圆的对称问题
1.已知圆M ：
2
2
1
1
x
y
与圆N ：(
)
(
)
2
2
2
3
1
x
y
-
+
-
= 关于直线l 对称，则l 的方程为（
）
A．
2
1
0
x
y
B．
2
1
0
x
y
C．
2
3
0
x
y
D．2
3
0
x
y
2.圆
2
2
: (
2)
(
1)
1
M
x
y
与圆N 关于直线
0
x
y
对称，则圆N 的方程为（
）
A．
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
B．
2
2
(
2)
(
1)
1
x
y
C．
2
2
(
2)
(
1)
1
x
y
D．
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
3.圆
2
2
:
1
1
2
C
x
y
关于直线:
1
l y
x
对称后的方程为（
）
A．
2
2
2
2
x
y
B．
2
2
2
2
x
y
C．
2
2
2
2
x
y
D．
2
2
1
2
x
y
4.若曲线
2
2
1
2
4
x
y
上相异两点P、Q 关于直线
2
0
kx
y
对称，则k 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5.已知圆
2
2
1
2
4
x
y
关于直线
1
0
ax
by
（
0
a
，
0
b
）对称，则1
2
a
b
的最小值为（
）
A．5
2
B．9
C．4
D．8
题型十：与圆有关的实际问题
1.赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的
古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023
年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，
该圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高为4m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽10m，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.( 3
1.732)
95
2.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2 米时，水面宽12 米，则当水面下降1 米后，水面宽为（
）
A．19 米
B．
51米
C．2 19 米
D．2 51 米
3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度
20
AB
米，拱高
4
OP
米，建适时每间隔4 米需要用
一根支柱支撑，则支柱
2
2
A P 的高度为
米．（精确到0.01 米，参考数据：
33
5.744
）
模块三：综合巩固
1.圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
的圆心和半径分别为（
）
A．
1,2 ,3
B．
1,2 ,3
C．
1, 2 ,2
D．
1, 2 ,3
2.在平面直角坐标系中，圆心为
1,0 ，半径为2 的圆的方程是（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
2
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
4
x
y
3.过三点
4, 2 ,
1, 1 ,
14
A
B
C
,
的圆的一般方程为（
）
A．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
B．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
C．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
D．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
4.已知圆M 经过点
0,2
0,4
,
，且圆心M 在直线2
1
0
x
y
上，则圆M 的面积为（
）
A．2π
B．
5π
C．4π
D．5π
5.若点
2,1
A
在圆
2
2
2
2
5
0
x
y
mx
y
（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（
）
A．
,2
B．
2,
C．
, 2
D．
2,
6.已知半径为2 的圆经过点
3,4 ，则其圆心到原点的距离最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7.“
4
k
”是“方程
2
2
(
2)
5
0
x
y
kx
k
y
表示圆的方程”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
96
8.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点
2, 1
；乙：该圆的圆心为
2, 3
；
丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点
5,1 ．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
9.已知圆
2
2
2
2
4
5
9
0
x
y
ax
ay
a
上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（
）
A．
, 3
B．
, 3
C．
3
3,
2
D．
3
3,
2
10.两定点A，B 的距离为3，动点M 满足
2
MA
MB
，则M 点的轨迹长为（
）
A．4π
B．2 3π
C．2 2π
D．2π
11.方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
表示的曲线是以
2,3
为圆心，4 为半径的圆，则
,
,
D E F 的值分别为（
）
A．4, 6,3
B．4,6,3
C．4,6, 3
D．4, 6, 3
12.阿波罗尼斯（公元前262 年~公元前190 年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大
数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平
面上两点A，B，则所有满足
PA
PB
（
0
，且
1
）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异
定点
(1,0)
P
，
( 1,0)
Q
，动点M 满足
2
MP
MQ
，记M 的轨迹为C，则轨迹C 围成图形的面积是（
）
A．2π
B．4π
C．8π
D．16π
13.已知圆O：
2
2
1
x
y
和点
1 ,0
2
P
，点
2,1
B
，M 为圆O 上的动点，则2 MP
MB
的最小值为（
）
A．15
B．1
10
C．17
D．3
2
14.已知点
( ,
1),
R
P t t
t
，点O是坐标原点，点Q 是圆
2
2
(
3)
(
1)
1
x
y
上的动点，则PQ
PO
的最大
值为（
）
A．2
B．5
2
C．3
D．4
97
15.点
1,0
P
，点Q 是圆
2
2
4
x
y
上的一个动点，则线段PQ的中点M 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
1
4
2
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
4
2
x
y
16.若圆
2
2
2
1
0
x
y
ax
y
与圆
2
2
1
x
y
关于直线
1
y
x
对称，且过点C（－a，a）的圆P 与y 轴相
切，则圆心P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
2
8
0
y
x
y
B．
2
2
2
8
0
y
x
y
C．
2
4
4
8
0
y
x
y
D．
2
4
4
8
0
y
x
y
17.(多选)已知圆C 经过点
0,0
A
、
2,0
B
，ABC
为直角三角形，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
1
4
x
y
B．
2
2
1
1
2
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
2
5
x
y
18.(多选)若有一组圆
k
C ：
2
2
4
R
x
k
y
k
k
，下列命题正确的是（
）
A．所有圆
k
C 的半径均为2
B．所有的圆
k
C 的圆心恒在直线y
x
上
C．当
2
k
时，点
3,0 在圆
k
C 上
D．经过点
2,2 的圆
k
C 有且只有一个
19.(多选)若
2,1 ，
4,2 ，
3,4 ，
1,m 四点共圆，则m 的值为（
）
A．2
B．
2
1
2
C．
2
1
2
D．3
20.(多选)已知曲线
2
2
2
:
2
4
0
C ax
ay
x
a y
，下列结论正确的是（
）
A．当
0
a
时，曲线C 是一条直线
B．当
0
a
时，曲线C 是一个圆
C．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2π
D．当曲线C 是面积为5π 的圆时，
1
a
21.(多选)已知方程
2
2
4
8
2
0
x
y
x
y
a
，则下列说法正确的是（
）
A．当
10
a
时，表示圆心为(2, 4)
的圆
B．当
10
a
时，表示圆心为(2, 4)
的圆
C．当
0
a
时，表示的圆的半径为2 5
D．当
8
a
时，表示的圆与y 轴相切
98
22.(多选)已知直线l ：
1
2
1
3
3
0
R
x
y
，圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
a
，下列说
法正确的是（
）
A．圆C 的圆心为
2, 1
C
，半径r
a
B．直线l 与圆相交且平分圆C 的面积与周长
C．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则
0
D．若直线l 的倾斜角为π
2 ，则
1
23.(多选)设有一组圆
k
C ：
2
2
(
)
(
)
4
x
k
y
k
(
R)
k
，下列命题正确的是（
）
A．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上
B．所有圆
k
C 均不经过点(3 0)
，
C．经过点(2 2)
，的圆
k
C 有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
24.(多选)已知曲线
2
2
:
0
C Ax
By
Dx
Ey
F
（
）
A．若
1
A
B
，则C 是圆
B．若
0
A
B
，
2
2
4
0
D
E
AF
，则C 是圆
C．若
0
A
B
，
2
2
0
D
E
，则C 是直线
D．若
0
A
，
0
B
，则C 是直线
25.与圆
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
有相同圆心，且过点
4, 2
的圆的标准方程是
.
26.已知,x y 满足
2
2
(
1)
(
2)
16
x
y
，则
2
2
x
y
的取值范围是
.
27.已知圆
2
2
6
4
12
0
x
y
x
y
与圆
2
2
14
2
14
0
x
y
x
y
，则两圆心之间的距离为
.
28.若圆
2
2
:
2
2
0
C x
y
mx
y
被直线2
1
0
x
y
平分，则圆C 的半径为
．
29.由曲线
2
2
4
4
x
y
x
y
围成的图形的面积为
.
99
30.对平面上两点A、B，满足
1
PA
PB
的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼
斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B 是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此
圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆
外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知
(
)
1,0
A
，
4,0
B
，
0,3
D
，若动点P 满足
1
2
PA
PB
，
则2 PD
PB
的最小值是
．
31.已知圆的方程是
2
2
2
2(
2)
2
0
x
y
ax
a
y
，则圆心的轨迹方程为
.
32.已知
A
关于直线y
x
对称，点
0,0
O
，
4,0
N
都在
A
上.
(1)求线段ON 垂直平分线的方程；
(2)求
A
的标准方程
33.已知圆心为C 的圆经过
0,0
O
，
0,2 3
A
两点，且圆心C 在直线:
3
l y
x
上．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)点P 在圆C 上运动，求
2
2
PO
PA
的取值范围．
34.已知曲线C ：
2
2
1
1
4
8
0
a x
a y
x
ay
．
(1)当a 取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．
100
35.已知直线1
2
:
2
0,
:
0
l
x
y
l
x
y
，直线l 过点
10, 4
且与1l 垂直.
(1)求直线l 的方程；
(2)设l 分别与1
2
,
l l 交于点A，B，O 为坐标原点，求过三点A，B，O 的圆的方程.
36.在平面直角坐标系中，已知点
2, 3
A
，
1, 2
B
．
(1)求以AB 为直径的圆的方程；
(2)若直线l 经过点A，且点B 到直线l 的距离为3，求直线l 的一般式方程．
37.已知某圆经过
2,2
A
，
6,0
B
两点，圆心M 在直线2
1
x
y
上，求该圆的方程．
38.如图所示，设圆C 的圆心C 在直线l ：2
7
8
0
x
y
上，且
6,0
A
，
1,5
B
都是圆C 上的点，求圆的标
准方程.
101
39.瑞士数学家欧拉（Euler）1765 年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､
垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC
的三个顶点为
4,3
A
，
5,2
B
，
1,0
C
.
(1)求ABC
外接圆的方程；
(2)求ABC
欧拉线的方程.
40.已知圆心为C 的圆经过点
1,1
A
和
2, 2
B
，且圆心C 在直线l ：
1
0
x
y
上.
(1)求圆心为C 的圆的一般方程；
(2)已知
2,1
P
，Q 为圆C 上的点，求PQ 的最大值和最小值.
41.已知直线l 过点
1,2
P
，且l 与,x y 轴分别交于点
,
A B ，OAB
为等腰直角三角形．
(1)求l 的方程；
(2)设O为坐标原点，点A 在x 轴负半轴，求过O，A ，P 三点的圆的一般方程．
102
2.7 直线与圆、圆与圆的位置关系
模块一：基础知识
考点一：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
直线与圆
的位置关
系的图象
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
2.判断直线与圆位置关系的方法
（1）几何法判断直线与圆的位置关系：
直线
0
Ax
By
C
与圆
2
2
2
x
a
y
b
r ，圆心到直线的距离
2
2
B
A
C
Bb
Aa
d
．
d
r
直线与圆相离无交点；
d
r
直线与圆相切只有一个交点；
d
r
直线与圆相交有两个交点．
（2）代数法判断直线与圆的位置关系：
联立直线方程与圆的方程，得到
0
0
2
2
F
Ey
Dx
y
x
C
By
Ax
，通过解的个数来判断：
当
0
时，直线与圆有2 个交点，，直线与圆相交；
当
0
时，直线与圆只有1 个交点，直线与圆相切；
当
0
时，直线与圆没有交点，直线与圆相离．
考点二：直线与圆相交弦长
1.几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系
2
2
2
2
l
r
d
，
整理出弦长公式为：
2
2
2
l
r
d
．
C
l
C
l
C
l
103
2.代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
3.弦长公式法：设直线:
l y
kx
b 与圆的交点为
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
，将直线方程代入圆的方程，消元后
利用根与系数的关系得到弦长
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
l
k
x
x
k
x
x
x x
．
考点三：直线与圆相切
1.圆的切线的条数
（1）过圆外一点，可以作圆的两条切线；
（2）过圆上一点，可以作圆的一条切线；
（3）过圆内一点，不能作圆的切线．
2.过圆上一点
0
0
,
x
y
的切线方程
法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，
若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程
0
y
y ；
若
0
k
，则结课图形可直接写出切线方程
0
x
x ；
若k 存在且
0
k
，则由垂直关系知切线的斜率为
1
k
，由点斜式写出切线方程．
法二：若k 不存在，验证是否成立；
若k 存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可．
3.过圆外一点
0
0
,
x
y
的圆的切线方程
法一：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为
0
0
y
y
k x
x
，即
0
0
0
kx
y
y
kx
由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程．
法二：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为
0
0
y
y
k x
x
，即
0
0
0
kx
y
y
kx
代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由
0
，求得k ，切线方程即可求出．
4.与圆的切线相关的结论
（1）过圆
2
2
2
x
y
r 上一点
0
0
,
P x
y
的圆的切线方程为
2
0
0
xx
yy
r ．
（
2
）
过
2
2
2
x
a
y
b
r
上
一
点
0
0
,
P x
y
的
圆
的
切
线
方
程
为
2
0
0
x
a
x
a
y
b
y
b
r
（3）过
2
2
2
x
a
y
b
r 外一点
0
0
,
P x
y
作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所
在直线方程为：
2
0
0
x
a
x
a
y
b
y
b
r
．
（4）过圆外一点
0
0
,
P x
y
引圆
2
2
2
x
a
y
b
r 的两条切线，则过圆外一点
0
0
,
P x
y
的切线长为
2
2
2
0
0
d
x
a
y
b
r ．
104
考点四：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：d
r
，最小距离为：d
r
；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：2r ，最小距离为：0 ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：d
r
，最小距离为：0 ；
考点五：圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系的判定
（1）几何法：若两圆的半径分别为1r ，2r ，两圆连心线的长为d．
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
交点个数
0
1
2
1
0
d 与1r ，2r 的关系
1
2
d
r
r
1
2
d
r
r
1
2
1
2
r
r
d
r
r
1
2
d
r
r
1
2
0
d
r
r
（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
1
2
圆
方程
圆
方程
C
C
消元，一元二次方程
Δ
0
Δ
0
Δ
0
相交
内切或外切
外离或内含
考点六：两圆的公切线
1.公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．
2.两圆的位置关系与公切线的条数的关系
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4 条
3 条
2 条
1 条
无公切线
3.两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为y
kx
b
，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，
两圆心到直线y
kx
b
的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于k 和b 的方程，解这个方程组得到k ，
b 的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
考点七：圆与圆的公共弦
105
1.公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦．
2.公共弦所在直线的方程
圆
1
C ：
2
2
1
1
1
0
x
y
D x
E y
F
，
圆
2
C ：
2
2
2
2
2
0
x
y
D x
E y
F
，
则
1
2
1
2
1
2
0
D
D
x
E
E
y
F
F
为两相交圆公共弦方程.
【注意】（1）若
1
C 与
2
C 相切，则表示其中一条公切线方程；
（2）若
1
C 与
2
C 相离，则表示连心线的中垂线方程.
3.公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
（2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共
弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦
的一半，进而得到公共弦长．
考点八：圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。
1.过直线
0
Ax
By
C
与圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
的交点的圆系方程是：
2
2
(
)
0
x
y
Dx
Ey
F
Ax
By
C
（
1
）
2.以
,a b 为圆心的同心圆系方程是：
2
2
2(
0)
x
a
y
b
；
3.与圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
同心的圆系方程是
2
2
0
x
y
Dx
Ey
；
4.过同一定点
,a b 的圆系方程是
2
2
1
2
(
)
(
)
0
x
a
y
b
x
a
y
b
．
模块二：题型分类
题型一：直线与圆的位置关系
1.直线: 2
1
0
l
x
y
与圆
2
2
:
1
5
C x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
2.直线2
4
0
x
y
与圆
2
2
2
4
0
x
y
y
的位置关系为（
）
A．相交且过圆心
B．相交且不过圆心
C．相切
D．相离
3.直线3
4
12
0
x
y
与圆
2
2
(
1)
(
1)
9
x
y
的位置关系是（
）
A．相交且过圆心
B．相切
C．相离
D．相交但不过圆心
106
4.直线
(
)
0
ax
y
a
a
R 与圆
2
2
2
4
x
y
的位置关系是（
）
A．相离
B．相交
C．相切
D．无法确定
5.直线:
(
1)
1
l y
k x
和圆
2
2
2
0
x
y
y
的位置关系为（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
6.已知直线:
2
0
l kx
y
k
和圆
2
2
:
16
O x
y
，则下列结论错误的是（
）
A．直线l 恒过定点( 2,0)
B．存在k 使得直线l 与直线0 :
2
2
0
l
x
y
垂直
C．直线l 与圆O总相交
D．存在直线l 被圆O截得的弦长为6
7.已知点
0
0
,
M
x
y
在圆
2
2
2
x
y
外，则直线
0
0
2
x x
y y
与圆的位置关系是（
）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
8.如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“乌巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，
下列给定的一系列直线中（其中为参数，R ），能形成这种效果的只可能是（
）
A．
cos
sin
y
x
B．
cos
y
x
C．
sin
1
y
x
D．2 cos
2 sin
1
0
x
y
题型二：直线与圆的位置关系求参数
1.若直线
2
0
x
y
与圆
2
2
2
:
8
0
M
x
a
y
a
a
a
相切，则圆M 的半径为（
）
A．2
B．4
C．2 2
D．8
2.若直线:l y
kx
与圆
2
2
:
(
1)
1
M x
y
只有一个公共点，则k （
）
A．1
B．1
C．0
D．2
107
3.已知直线
3
y
kx
与圆
2
2
2
4
x
y
相交，则实数k 的取值范围是（
）
A．
5 ,
12
B．
5 ,
12
C．
5
,12
D．
5
,12
4.直线2
2
0
x
y
与曲线
2
2
1
4
0
x
y
x
y
的交点个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5.已知圆C ：
2
2
(
)
1
x
y
m
，直线l ：
1
2
1
0
m
x
y
m
，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条
件是（
）
A．1
1
m
B．
1
1
2
m
C．1
0
m
D．
1
0
2
m
6.已知直线:
2
0
l x
y
与圆
2
2
:
10
O x
y
相交于A ，B 两点，则AB OA
uuur uur 的值为（
）
A．8
B．16
C．16
D．8
7.若直线:
2
0
l kx
y
与曲线
2
: 1 (
1)
1
C
y
x
有两个交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．4 ,2
3
B．4 ,4
3
C．
4
4
2,
,2
3
3
D．4 ,
3
8.若直线l 过点
0,
A
a ，斜率为1，圆
2
2
4
x
y
上恰有3 个点到l 的距离为1，则a 的值为（
）
A．3 2
B．3 2
C．2
D．
2
9.若圆
2
2
2
10
17
0
x
y
x
y
上到直线:3
2
0
l
x
y
t
的距离等于1 的点恰有3 个，则t （
）
A．13
2 13
B．13
2 11
C．13
2 13
D．13
2 11
108
10.若圆
2
2
:
4
4
10
0
C x
y
x
y
上至少有三个不同的点到直线:
0
l x
y
c
的距离为2 2 ，则c的取值
不可能是（
）
A．-2
B．0
C．1
D．3
题型三：圆的切线与切线长问题
1.已知圆
2
2
:
5
O x
y
，直线l 经过点(1,2) ，且l 与圆O相切，则l 的方程为（
）
A．
2
5
0
x
y
B．
2
3
0
x
y
C．2
0
x
y
D．2
4
0
x
y
2.过点
1,4
A
作圆C ：
2
2
17
x
y
的切线l ，切线l 的方程为
．
3.过点
2,3
P
引圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
的切线，其方程是（
）
A．
2
x
B．12
5
9
0
x
y
C．
2
x
或
3
y
D．
3
x
或
2
y
4.已知圆
2
2
:
4
2
11
0
C x
y
x
y
，过点
2,1 作圆C 的切线m ，则m 的方程为（
）
A．
2
x
B．3
4
10
0
x
y
C．3
4
10
0
x
y
或
2
x
D．3
4
10
0
x
y
或3
4
2
0
x
y
5.已知圆
2
2
:
2
2
0
C x
y
x
y
，直线l 的过点(
)
1, 1
-
且与圆C 相切，则满足条件的直线l 有几条（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.过点
2,3
A
作圆
2
2
:
1
M x
y
的一条切线，切点为B，则AB （
）
A．3
B．2 3
C．
7
D．10
7.由点
( 1,4)
P
向圆
2
2
4
6
12
0
x
y
x
y
引的切线长是（
）
A．3
B．5
C．10
D．5
8.由直线y
x
上的点向圆
2
2
4
2
1
x
y
引切线，则切线长的最小值为
.
109
9.已知半径为1 的圆经过点
(2,3)
A
，过点
( 2,0)
M
向圆作切线，则切线长的最大值为（
）
A．35
B．2 6
C．15
D．4 3
10.已知点
(1,0)
A
，(2,0)
B
，经过B 作圆
2
2
3
2
5
x
y
的切线与y 轴交于点P，则tan
APB
．
11.已知点
(4,0),
(0,0),
(0, 3)
A
O
B
，则AOB
的内切圆的方程为
．
12.过坐标原点O作圆
:
C
2
2
4
3
0
x
y
x
的两条切线，切点分别为M ，N ，则MN （
）
A．
3
2
B．3
2
C．
3
D．2
13.过点
2,0
P
作圆
2
2
4
1
x
y
y
的两条切线，圆心坐标为C，设切点分别为A，B，则四边形PACB的
面积为（
）
A．15
B．2 15
C．5 15
8
D．7 15
8
14.从原点向圆
2
2
27
6
0
4
x
y
x
引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（
）
A．2π
3
B．π
C．3π
2
D．4π
3
15.已知点
,
P x y 是直线
2
3
y
x
上一动点，PM 与PN 是圆C：
2
2
1
1
x
y
的两条切线，M、N 为切
点，则四边形PMCN 的最小面积为（）
A．4
B．2 5
C．2
D．1
16.直线:l y
x
m
与曲线
2
:
9
0
C x
y
有两个公共点，则m 的取值范围是（
）
A．
1, 2
B．1, 2
C．3,3 2
D．
3,3 2
17.过点
0,2 与圆
2
2
4
1
0
x
y
x
相切的两条直线的夹角为，则cos（
）
A．1
4
B．15
4
C．
15
4
D．
1
4
110
18.已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB
的最小值为（
）
A．16
4 2
B．12
4 2
C．12
8 2
D．16
8 2
题型四：直线与圆弦长问题
1.直线
3
0
x
y
被圆
2
2
2
4
0
x
y
x
y
所截得的弦长为（
）
A．2
B．5
C．2 5
D．10
2.若直线3x＋4y－8＝0 被圆(x－a)2＋y2＝4 截得的弦长为2 3 ，则a＝
．
3.过点
(0,2)
P
引一条直线l 交圆
2
2
(
1)
4
x
y
于
,
A B 两点，若
2 3
AB
，则直线l 的方程为
．
4.直线3
4
0
x
y
与圆
2
2
2
1
16
M
x
y
：
交于A，B 两点，则
MAB
△
的面积为（
）
A．4 3
B．4 2
C．2 3
D．2 2
5.已知圆C ：
2
2
4
2
1
0
x
y
x
y
，圆C 的弦AB 被点
2,0
P
平分，则弦AB 所在的直线方程是
．
6.已知直线
1
y
kx
与圆
2
2
4
x
y
相交于
,
M N 两点，若
14
MN
，则k （
）
A．
1
2
B．1
C．
2
D．2
7.两平行直线1 :
0
l
kx
y
与直线2 :
2
0
l
kx
y
分别与圆M:
2
2
4
4
0
x
y
x
y
相交于点A ，B 和C ，D ，
若
4 2
AB
，则ACD
的面积为（
）
A．2 2
B．2 3
C．4
D．3 2
8.当圆
2
2
:
4
5
0
C x
x
y
截直线:
3
0
l x
my
m
所得的弦长最短时，实数m （
）
A．
2
B．1
C．
2
D．1
111
9.已知直线
: 2
1
1
2
0
l
m
x
m y
m
与圆
2
2
:
4
O x
y
相交于A，B 两点，则| AB 的最小值为（
）
A．2 2
B．2 3
C．
2
D．
3
10.已知直线l 与圆
2
2
:
6
0
C x
y
x
交于
,
A B 两点，则ABC
面积的最大值为（
）
A．4
B．5
C．7
2
D．9
2
11.如图，圆
2
2
8
x
y
内有一点
0
1,1
P
，AB 为过点
0P 的弦，若弦AB 被点
0P 平分时，则直线AB 的方程
是（
）
A．
2
0
x
y
B．
2
5
0
x
y
C．
2
0
x
y
D．
2
15
0
x
y
12.已知圆C 的方程为
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y
，若直线:3
4
5
0
l
x
y
与圆C 相交于
,
A B 两点，则ABC
的面积
为
.
13.已知圆
2
2
:
4
O x
y
，直线l 过点(1,1) 且与圆O 交于A，B 两点，当AOB
面积最大时，直线l 的方程
为
．
112
题型五：过定点直线的最短弦长
1.当圆
2
2
:
4
5
0
C x
x
y
截直线:
3
0
l x
my
m
所得的弦长最短时，实数m （
）
A．
2
B．1
C．
2
D．1
2.直线
: 2
1
1
8
5
0
l
m
x
m
y
m
，被圆
2
2
:(
2)
(
1)
25
C
x
y
截得最短弦的长为（
）
A．4 6
B．2 6
C．2 23
D．
23
3.已知过点
1,
1
P a
b
的直线l 与圆
2
2
:(
)
(
)
4
M
x
a
y
b
交于
,
A B 两点，则AB 的最小值为（
）
A．2 3
B．
3
C．
2
D．2 2
4.过点(3,1)的直线与圆
2
2
:
4
1
0
C x
y
x
交于A ，B 两点，则当AB 弦长最短时ABC
的面积为（
）
A．
6
B．2 2
C．2 3
D．2 6
题型六：直线与半圆的相交问题
1.直线y
x
b
与曲线
2
1
y
x
有两个交点，则实数b 取值范围为（
）
A．
2,
2
B．
1,
2
C．
1, 2
D．
2,
2
2.已如直线y
x
m
和曲线
2
1
1
y
x
只有一个公共点，则实数m 的取值范围
.
3.直线:
1 3
0
l x
my
m
与曲线
2
:
2
1
C x
y
有两个交点，则m 的取值范围是（
）
A．3 ,4
4
B．1 3
,
2 4
C．
3 ,2
4
D．
3
0, 4
4.若直线:
(
1)
4
l y
k x
与曲线
2
1
4
x
y
有两个交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．3
( ,
)
4
B．3
[ ,1]
4
C．[3,
)
D．(0,3]
113
题型七：圆与圆的位置关系
1.圆M ：
2
2
1
4
x
y
与圆
2
2
:
4
2
0
N x
y
x
y
的位置关系为（
）
A．相交
B．内切
C．外切
D．相离
2.圆
2
2
1
x
y
与圆
2
2
(
2)
1
x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．外切
C．外离
D．内含
3.圆
2
2
(
1)
1
x
y
和圆
2
2
2
4
16
x
y
的位置关系为（
）
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
4.圆
2
2
1 :
3
9
C
x
y
与圆
2
2
2 :
8
0
C
x
y
y
（
）
A．相切
B．相交
C．外离
D．内含
5.圆C：
2
2
2
2
4
5(
0)
x
y
x
y
r
r
与圆
2
2
:
6
D x
y
的位置关系不可能（
）
A．内含
B．内切
C．相交
D．外切
6.圆
2
1
2
: (x 1)
(y 3)
36
C
与圆
2
2
2 : (
2)
(
1)
1
C
x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．内切
C．外切
D．外离
7.若圆
1
C ：
2
2
1
x
y
与圆
2
C ：
2
2
8
6
0
x
y
x
y
m
内切，则m （
）
A．29
B．9
C．11
D．19
8.若直线
1
ax
by
与圆
2
2
:
1
O x
y
相切，则圆
2
2
1
(
)
(
)
4
x
a
y
b
与圆O（
）
A．外切
B．相交
C．内切
D．没有公共点
114
题型八：圆与圆位置关系求参
1.已知圆
2
2
2
: (
1)
(
2 )
( 2
1)
M
x
y
a
与圆
2
2
2
: (
)
( 2
1)
N
x
a
y
相交，则a 的取值范围是（
）
A．
1,1
B．
7
2
,0
,1
5
3
C．
3
1, 5
D．
7
3
, 1
,1
5
5
2.若两圆
1
C ：
2
2
2
0
x
y
x
与
2
C ：
2
2
4
8
0
x
y
x
y
m
外离，则实数m 的取值范围为（
）
A．
4
m
B．
4
m
C．0
4
m
D．4
20
m
3.若两圆
1
C ：
2
2
2
0
x
y
x
与
2
C ：
2
2
4
8
0
x
y
x
y
m
外离，则实数m 的取值范围为（
）
A．
4
m
B．
4
m
C．0
4
m
D．4
20
m
4.若圆
2
2
2
0
x
ax
y
与圆
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y
只有一个交点，则实数a 的值可以是（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
5.设
0
a
，若圆
2
2
1
x
a
y
与圆
2
2
25
x
y
有公共点，则a 的取值范围为（
）
A．
0,4
B．
4
C．
4,6
D．
4,6
6.已知O是坐标原点，若圆
2
2
:
6
8
0
C x
y
x
y
a
上有2 个点到O的距离为2，则实数a 的取值范围为
（
）
A．
24,16
B．
24,16
C．
16,24
D．
16,24
7.已知点
4,
P
a ，若圆O：
2
2
4
x
y
上存在点A，使得线段PA 的中点也在圆O 上，则a 的取值范围是（
）
A．
3 3,3 3
B．
5
5
2
,2
C．
, 3 3
3 3,
D．
, 2 5
2 5,
115
8.已知圆
2
2
:(
3)
4
1
C
x
y
和两点
(
,0), ( ,0)(
0)
A
a
B a
a
，圆C 上若存在点P，使得
90
APB
，则a
的最小值为（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
9.已知圆C 的半径为1，圆心在直线:l
3
y
x
=
+ 上．点
1,0
A
，
10
B
, ．若圆C 上存在点P ，使得
2
2
10
PA
PB
，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为（
）
A．
3, 2
B．
3,0
C．
2, 1
D．
1,0
10.已知在圆
2
2
: (
)
(
2 )
20
C
x
a
y
a
上恰有两个点到原点的距离为5 ，则a 的取值范围是（
）
A．
1,3
B．
1,9
C．
3, 1
1,3
D．
9, 1
1,9
题型九：圆的公切线条数及参数问题
1.两圆
2
2
2
1
4
x
y
与
2
2
2
1
16
x
y
的公切线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
2.圆
2
2
1 :
8
8
0
C
x
y
x
y
与圆
2
2
2 :
8
4
12
0
C
x
y
x
y
公切线的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.平面直角坐标系内，与点
(1,1)
A
的距离为1 且与圆
2
2
(
1)
(
4)
4
x
y
相切的直线有（
）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．0 条
4.已知圆
2
2
1 :
1
C
x
y
与圆
2
2
2 :
1
16
0
C
x
a
y
a
有4 条公切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．
0,2 2
B．
2 2,
C．
0,2 6
D．
2 6,
116
5.已知圆
2
2
1 :
1
C
x
y
与圆
2
2
2 :
1
16
0
C
x
a
y
a
有4 条公切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．
0,2 2
B．
2 2,
C．
0,2 6
D．
2 6,
6.已知圆
1
C ：
2
2
1
x
y
，圆
2
C ：
2
2
3
4
16
x
y
，则下列说法正确的是（
）
A．圆
1
C 与圆
2
C 公共弦所在直线的方程为3
4
5
0
x
y
B．圆
1
C 与圆
2
C 有两条公切线
C．= 1
x 是圆
2
C 与圆
2
C 的一条公切线
D．圆
1
C 与圆
2
C 上均恰有两点到直线3
4
5
0
x
y
的距离为2
7.若圆
2
2
1 :
4
3
0
C
x
y
x
与圆
2
2
2 : (
2)
(
3)
C
x
y
m
有且仅有一条公切线，则m
.
8.已知圆
2
2
2
1 :(
3 )
(
4
2)
1
C
x
k
y
k
k
与圆
2
2
2
2 :(
3 )
4
C
x
k
y
k
有三条公切线，则k
．
9.平面直角坐标系内，点
1,2
6,14
A
B
､
到直线l 的距离分别为4 和9，则满足条件的直线l 有
条.
10. 已知与圆
1
C ：
2
2
1
x
y
和圆
2
C ：
2
2
2
4
x
y
a
都相切的直线有且仅有两条，则实数a 的取值范
围是
．
题型十：圆的公切线方程
1.已知圆
2
2
:
1
1
C
x
y
与圆
2
2
:
3
1
E x
y
，则圆C 和圆E 的一条公切线的方程为.
2.写出与圆
2
2
1 :
1
O
x
y
和
2
2
2 :(
3)
1
O
x
y
都相切的一条直线方程
．
3.已知圆
2
2
:
2
1
1
M
x
y
，圆
2
2
:
2
1
1
N
x
y
，则下列不是M ，N 两圆公切线的直线方程
为（
）
A．
0
y
B．4
3
0
x
y
C．
2
5
0
x
y
D．
2
5
0
x
y
117
4.已知圆
2
2
2
1 :
(
0)
C
x
y
m
m
与圆
2
2
2 :
2
4
20
0
C
x
y
x
y
恰有两条公切线，则满足题意的一个m 的
取值为
；此时公切线的方程为
.
5.已知圆
2
2
:
2
1
1
M
x
y
，圆
2
2
:
2
1
1
N
x
y
，则下列是M，N 两圆公切线的直线方程为（
）
（1）y＝0
（2）3
4
0
x
y
（3）
2
5
0
x
y
（4）
2
5
0
x
y
A．（1）（3）（4）B．（2）（3）
C．（1）（2）（4）
D．（1）（2）（3）
6.为测量一工件的内圆弧AB 对应的半径R ，工人用三个半径均为10mm 的圆柱形量棒
1
2
3
,
,
O O O 放在与工件
圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒
2
O 顶侧面的垂直深度
6mm
h
（如图所
示），则R
mm .
题型十一：公共弦与切点弦问题
1.已知圆
2
2
1 :
2
6
1
0
C
x
y
x
y
与圆
2
2
2 :
4
2
11
0
C
x
y
x
y
，则两圆的公共弦所在的直线方程
为
.
2.圆
2
2
1 :
2
6
0
O
x
y
x
y
和圆
2
2
2 :
6
0
O
x
y
x
的公共弦AB 所在的直线方程是（
）
A．2
3
3
0
x
y
B．2
3
5
0
x
y
C．2
3
0
x
y
D．2
3
0
x
y
3.若过点
(2,2)
P
向圆C：
2
2
1
x
y
作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（
）
A．
1
2
x
y
B．
1
3
x
y
C．
1
4
x
y
D．
1
5
x
y
118
4.过点
2,3 作圆
2
2
4
x
y
的两条切线，切点分别为
,
A B ，则直线AB 的方程为
．
5.已知圆
2
2
1 :
2
10
O
x
x
y
与圆
2
2
2 :
3
4
O
x
y
x
y
交于A，B 两点，则|
|
AB （
）
A．
15
2
B．5
C．
26
D．3 3
6.已知圆
2
2
:
4
O x
y
与圆
2
2
:
4
3
0
C x
y
x
相交于
,
A B 两点，则OAB
的面积为（
）
A．7 15
16
B．7 15
15
C．
15
8
D．15
16
7.圆
2
2
:
2
16
C x
y
关于直线
12
0
ax
by
对称，动点S在直线
0
y
b
上，过点S引圆C 的两条切线
,
SA SB ，切点分别为
,
A B ，则直线AB 必过定点，那么定点的坐标为
．
8.已知圆
1
C ：
2
2
2
(
1)
x
y
r
过圆
2
C ：
2
2
(
4)
(
1)
4
x
y
的圆心，则两圆相交弦的方程为
.
9.已知圆
1
C ：
2
2
(
4)
(
3)
16
x
y
与圆
2
C ：
2
2
2
2
9
0
x
y
x
y
，若两圆相交于A，B 两点，则AB
10.从直线:
1
8
4
x
y
l
上的任意一点P 作圆
2
2
8
O
x
y
：
的两条切线，切点为A B
、，则弦AB 长度的最小值
为
．
11.在平面直角坐标系xOy 中，过点
1,4
P
，向圆C：
2
2
2
5 1
6
x
m
y
m
m
引两条切线，切点分
别为
,
A B ，则直线AB 过定点
．
12.过点
(2,2)
P
作圆
2
2
4
x
y
的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为
．
13.已知圆
2
2
:
4
2
1
0
C x
y
x
y
，点P 是直线
4
y
上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A，
B，则AB 的最小值为
．
119
14.过点
2, 2
作圆
2
2
2
x
y
的切线，切点为A ，B ，点P 为圆
2
2
2
x
y
上任意一点，则三角形PAB 面
积的最大值为
．
15.已知圆C ：
2
2
1
2
4
x
y
，则过点
3,4
P
作的圆C 的切线，切点分别为A､B，则直线AB 方程为
题型十二：圆中范围与最值问题
1.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3) ，端点A 在圆
2
2
(
3)
4
x
y
上运动．
(1)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；
(2)求M 点到直线
3
1
0
x
y
距离的最大值和最小值．
2.已知点P 为圆
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y
上的动点，求点P 到直线3
4
8
0
x
y
的距离的最小值.
3.已知实数,x y 满足方程
2
2
(
2)
3
x
y
，求y
x
的最大值和最小值．
4.（1）如果实数x，y 满足
2
2
2
3
x
y
，求y
x 的最大值和最小值；
（2）已知实数x，y 满足方程
2
2
1
1
4
x
y
，求
2
2
2
3
x
y
的取值范围．
5.已知点
,
P x y 在圆
2
2
1
x
y
上运动，求
2
y
x
的最大值与最小值.
120
6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科
学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （
0
k
且
1
k ）的点的轨迹是圆，后
人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy 中的点
( 2 0),
(2 2,0)
E
F
，
，则满足|
|
2 |
|
PF
PE
的动
点P 的轨迹记为圆E .
(1)求圆E 的方程；
(2)过点
(3,3)
Q
向圆E 作切线
,
QS QT ，切点分别是,
S T ，求直线ST 的方程.
(3)若点
( 2,2), ( 2,6),
(4, 2)
A
B
C
，当P 在E 上运动时，求
2
2
2
2 |
|
|
|
|
|
PA
PB
PC
的最大值和最小值.
7.已知圆C ：
2
2
1
3
x
y
，直线l ：
R
y
x
m m
.
(1)若直线l 与圆C 相切，求m 的值；
(2)若
2
m ，过直线l 上一点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，求四边形PACB面积的最小值及
此时点P 的坐标，
8.已知在梯形ABCD中，AD
BC
，
1, 1
A
，
3,1
B
，
1 17
,
5
5
C
，E 为AD 中点.
(1)求直线CD 的方程；
(2)求ABE
的外接圆的方程及该圆上一点到点C 的距离的最小值.
121
9.已知圆
2
2
:
1
2
9
C
x
y
，直线
:
1
2
1
2
0
l
m
x
m
y
m
.
(1)求证：直线l 与圆C 恒有两个交点；
(2)若直线l 与圆C 交于点A，B，求
CAB
△
面积的最大值，并求此时直线l 的方程.
10.已知圆的方程
2
2
4
x
y
；
(1)求3
4
12
x
y
的范围；
(2)已知
2, 2
A
，
2,6
B
，
4, 2
C
，P 为圆上的动点，求
2
2
2
PA
PB
PC
的最大值．
11.（多选）已知向量, ,
a b c
满足
3,
1,
7,
2
a
b
a
b
c
c
a
.设
,
R
m
tb t
，则（
）
A．m
c
的最小值为
2
B．m
c
的最小值为2 3
2
C．m
c
的最大值为2 3
2
D．m
c
无最大值
12.（多选）已知点
0
0
,
P
x
y
是圆C ：
2
2
4
4
6
0
x
y
x
y
上的动点，则下面说法正确的是（
）
A．圆的半径为2
B．
0
0
y
x 的最大值为2
3
C．
2
2
0
0
0
2
3
x
y
x
的最小值为16
2
D．
0
0
x
y
的最大值为6
13.（多选）已知点
(0,3), (1,1)
A
B
，且点P 在圆C：
2
2
(
2)
4
x
y
上运动，则下列结论正确的是（
）
A．|
|
PA 的最大值为13
2
B．|
|
|
|
PA
PB
的最小值为5
C．PA
PB
的最大值为5
D．当PAB 最大时，
3
PA
122
14.（多选）若实数x 、y 满足条件
2
2
1
x
y
，则下列判断正确的是（
）
A．x
y
的范围是0,
2
B．
2
2
4
x
x
y
的范围是
3,5
C．xy 的最大值为1
D．
2
1
y
x
的范围是
3
,
4
题型十三：圆系问题
1.求过两圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
和
2
2
4
2
2
0
x
y
x
y
的交点，且圆心在直线
2
2
0
x
y
上的圆的方
程（
）
A．
2
2
6
0
8
6
x
y
x
y
B．
2
2
4
4
6
0
x
y
x
y
C．
2
2
6
0
8
6
x
y
x
y
D．
2
2
4
0
4
6
x
y
x
y
2.已知圆
2
2
4
2
0
x
y
x
y
，
2
2
2
4
0
x
y
y
.
(1)求过两圆交点的直线方程及弦长；
(2)求过两圆交点，且圆心在直线2
4
1
0
x
y
上的圆的方程．
3.已知圆
2
2
1 :
2
3
0
C
x
y
x
与圆
2
2
2 :
4
2
3
0
C
x
y
x
y
相交于A、B 两点．
（1）求公共弦AB 所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
4.求经过圆
2
2
8
6
21
0
x
y
x
y
与直线
5
0
x
y
的交点且在y 轴上的弦长为2 33 的圆的方程．
5.已知圆
1
C ：
2
2
2
2
8
0
x
y
x
y
与
2
C ：
2
2
2
10
24
0
x
y
x
y
相交于A、B 两点．
（1）求公共弦AB 所在的直线方程；
（2）求圆心在直线y＝－x 上，且经过A、B 两点的圆的方程；
（3）求经过A、B 两点且面积最小的圆的方程．
123
6．过圆
2
2
2
4
0
x
y
y
与
2
2
4
2
0
x
y
x
y
的交点，且圆心在直线: 2
4
1
0
l
x
y
上的圆的方程是
_______．
7.已知圆C：
2
2
1
4
x
y
．
(1)求过点
3, 3
A
且与圆C 相切的直线方程；
(2)求圆心在直线2
0
x
y
上，并且经过圆C 与圆Q：
2
2
2
1
4
x
y
的交点的圆的方程．
模块三：综合巩固
1.直线l ：
2
y
x
与圆C ：
2
2
1
5
x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
2.已知圆
2
2
1 :
6
8
0
C
x
y
y
，圆
2
2
2 :
9
C
x
y
，那么两圆的位置关系是（）
A．相交
B．外离
C．外切
D．内含
3.直线
1
0
x
ky
与圆
2
2
2
x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．相离
C．相交或相切
D．相切
4.设
0
a
，若圆
2
2
1
x
a
y
与圆
2
2
25
x
y
有公共点，则a 的取值范围为（
）
A．
0,4
B．
4
C．
4,6
D．
4,6
5.直线:
2
l x
y
，圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
．则直线l 被圆C 所截得的弦长为（
）
A．2
B．4
C．2 3
D．5
6.已知圆
2
2
: (
3)
(
4)
9
C
x
y
，直线
:
3
2
0
l
m
x
m
y
m
.则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（
）
A．10
B．2 2
C．
6
D．2 7
7.两圆
2
2
1
x
y
与
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y
的公共弦长为（
）
A．
2
2
B．
2
C．1
2
D．1
8.过点
2,3
A
作圆
2
2
:
1
M x
y
的一条切线，切点为B，则AB （
）
A．3
B．2 3
C．
7
D．10
9.两个圆
2
2
1 :
2
0
C
x
y
y
和
2
2
2 :
2 3
6
0
C
x
y
x
的公切线有（
）条
A．1
B．2
C．3
D．4
124
10.曲线
2
4
y
x
与直线
2
4
y
k x
有两个交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．
5 ,1
12
B．
5 ,
12
C．3 ,1
4
D．3 ,
4
11.已知圆
1
C ：
2
2
1
x
y
与圆
2
C ：
2
2
8
6
0
x
y
x
y
m
相内切，则
1
C 与
2
C 的公切线方程为（
）
A．3
4
5
0
x
y
B．3
4
5
0
x
y
C．4
3
5
0
x
y
D．4
3
5
0
x
y
12.已知两点
3, 4 ,
1, 1
A
B
到直线l 的距离都等于2.023，则满足条件的直线l 有（
）条？
A．1
B．2
C．3
D．4
13.实数,x y 满足
2
2
2
0
x
y
x
,则
1
y
x
x
的取值范围是（
）
A．
4
0, 3
B．
4
(
,0]
,
3
C．
1
1, 3
D．
1
(
, 1]
,
3
14.点
,
P x y 在圆
2
2
1
x
y
上运动，则4
3
4
x
y
的取值范围（
）
A．
0,1
B．
0,9
C．
1,8
D．
1,9
15.过点
2,0
与圆
2
2
4
0
x
y
x
m
相切的两条直线垂直，则m （
）
A．4
B．2 2
C．2 2
D．4
16.在,x y 轴上的截距分别为4, 3
的直线l 被圆
2
2
:
10
4
19
0
C x
y
x
y
截得的弦长为（
）
A．3
B．6
C．2 3
D．4 2
17.经过直线2
6
0
x
y
与圆
2
2
:
4
6
4
0
C x
y
x
y
的两个交点，且面积最小的圆的方程是（
）
A．
2
2
(
4)
(
2)
2
x
y
B．
2
2
(
4)
(
2)
2
x
y
C．
2
2
(
4)
(
2)
4
x
y
D．
2
2
(
4)
(
2)
4
x
y
125
18.在直角坐标系内，已知
(3,5)
A
是以点C 为圆心的圆C 上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同
的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为
1
0
x
y
和
7
0
x
y
，若圆C 上存在点P ，使得
(
)
0
MP
CP
CN
，其中点
(
,0)
M
m
、
( ,0)
N m
，则m 的最大值为（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
19.已知直线:
1
l y
x
，点
,0
A a
与点B 关于原点对称，若直线l 上存在点P 满足
90
APB
，则实数a 的
取值范围为（
）
A．
2 ,
2
B．
2
2
,
,
2
2
C．
2 ,
2
D．
1,
20.（多选）若直线
2
0
kx
y
k
与圆
2
2
1
2
4
x
y
有公共点，则实数k 的取值可能是（
）
A．0
B．2
C．3
D．4
21.（多选）已知过点(3 2)
,
的直线l 和圆C ：
2
2
4
2
11
0
x
y
x
y
，则（
）
A．直线l 与圆C 相交
B．直线l 被圆C 截得最短弦长为2 14
C．直线l 与被圆C 截得的弦长为2 15 ，l 的方程为
2
y
D．不存在这样的直线l ，使得圆C 上有3 个点到直线l 的距离为2
22.（多选）已知直线l：
4
0
x
y
，圆
1
C ：
2
2
3
9
x
y
，与圆
2
C ：
2
2
1
1
x
y
．则下列结论正确
的是（）
A．直线l 与圆
1
C 的位置关系是相切
B．直线l 与圆
2
C 的位置关系是相离
C．圆
1
C 与圆
2
C 的公共弦长是3 10
5
D．圆
1
C 上的点到直线l 的距离为1 的点有3 个
23.（多选）已知圆
2
2
1 :
3
1
C
x
y
，
2
2
2
2 :
0
C
x
y
a
a
，则下列结论正确的有（
）
A．若圆
1
C 和圆
2
C 相交，则2
4
a
B．若圆
1
C 和圆
2
C 外切，则
2
a
C．当
5
2
a
时，圆
1
C 和圆
2
C 有且仅有一条公切线
D．当
3
a
时，圆
1
C 和圆
2
C 相交弦长为
35
3
126
24.（多选）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
2
2
: (
2)
(
2)
4
C
x
y
，直线:
8
l y
kx
与圆C 相切于点T ，
直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A B
､.下列说法正确的是（
）
A．
4
3
k
B．
24
OAB
S
C．
4
AT
D．若P 是圆C 上的动点，则PA 的最大值是2 5
2
25.（多选）已知圆
2
2
2
1 :
2
10
0
C
x
y
mx
y
m
，圆
2
2
2 :
4
5
0
C
x
y
y
，则下列说法正确的是（
）
A．若点
1,1 在圆
1
C 的内部，则2
4
m
B．若
2
m
，则圆
1
2
,
C C 的公共弦所在的直线方程是4
14
9
0
x
y
C．若圆
1
2
,
C C 外切，则
15
m
D．过点
3,2 作圆
2
C 的切线l ，则l 的方程是
3
x
或7
24
27
0
x
y
26.（多选）圆
2
2
1 :
2
0
x
y
x
O
和圆
2
2
2 :
2
8
0
O
x
y
x
y
的交点为
,
A B ，则有（
）
A．公共弦AB 所在直线方程为
2
0
x
y
B．线段AB 中垂线方程为2
2
0
x
y
C．公共弦AB 的长为2 5
5
D．P 为圆
1
O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为
5
1
5
27.（多选）点P 在圆
1
C ：
2
2
1
1
1
x
y
上，点Q 在圆
2
C ：
2
2
4
4
0
x
y
x
y
m
上，则（
）
A．实数m 的取值范围为
8,
B．当
4
m 时，PQ 的最小值为3 2
3
，最大值为3 2
3
C．当圆
1
C 和圆
2
C 外切时，
8
m
D．当圆
1
C 的圆心在圆
2
C 上时，圆
1
C 和圆
2
C 的相交弦的长度为
142
6
28.圆
2
2
25
x
y
在点
3,4
M
处的切线方程为
．
29.过圆
2
2
1
x
y
外一点
(2,
1)
P
引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是
．
127
30.已知直线
1
0
x
my
与
2
2
: (
1)
4
C
x
y
交于A ，B 两点，写出满足“ ABC
面积为
3 ”的m 的一个
值
.
31.已知圆
2
2
1 :(
)
2
C
x
a
y
与圆
2
2
2
2 :(
)
(
)
(
0)
C
x
a
y
a
a a
外离，则实数a 的取值范围为
.
32.已知圆
1
C ：
2
2
4
x
y
和圆
2
C ：
2
2
2
4
0
x
y
x
y
，则两圆公共弦所在直线的方程为
.
33.写出圆M ：
2
2
2
1
5
x
y
与圆N ：
2
2
2
1
5
x
y
的一条公切线方程
．
34.已知
( , )
P x y 是曲线
2
2
x
y
上的点，则
1
1
x
y
x
的取值范围是
.
35.过
( , )
P x y 作圆
2
2
1 :
2
0
C
x
y
x
与圆
2
2
2 :
6
6
14
0
C
x
y
x
y
的切线，切点分别为A ，B ，若
PA
PB
，则
2
2
x
y
的最小值为
．
36.求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点
A 3,5 且与圆
2
2
:
2
4
1
0
O x
y
x
y
相切的直线方程；
(2)求圆心在直线3
0
x
y
上，与x 轴相切，且被直线
0
x
y
截得的弦长为2 7 的圆的方程.
37.已知圆
2
2
:
2
7
0
C x
y
y
及内部一点
0( 1,3)
P
，过点
0P 作倾斜角为的直线，与圆C 交于A
B
，
两点.
(1)当
135
时，求弦AB 长；
(2)当弦AB 的长度最小时，求直线AB 的方程.
38.已知圆
1
C 过点(0, 0),(1, 1),(8, 0)，圆
2
2
2 :
(
2)
4
C
x
y
.
(1)求圆
1
C 的方程；
(2)判断圆
1
C 和圆
2
C 的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.
128
39.已知圆
2
2
1 :
2
3
0
C
x
y
x
与圆
2
2
2 :
4
2
3
0
C
x
y
x
y
相交于A、B 两点.
(1)求公共弦AB 所在直线方程；
(2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程.
40.已知
0,3
A
，直线:
2
4
l y
x
，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线
1
y
x
上，且过点A 的直线m 与圆C 有公共点，求直线m 的斜率k 的取值范围；
(2)若圆C 上存在点M ，使
2
MA
MO ，求圆心C 的纵坐标的取值范围.
41.已知半径为4 的圆C 与直线1 :3
4
8
0
l
x
y
相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.
(1)求圆C 的方程；
(2)已知直线2 :
3
0
l
kx
y
与圆C 相交于
,
A B 两点，且ABC
的面积为8，求直线2l 的方程.
.
42.已知圆C：
2
2
2
6
0
x
y
x
和定点
4,0
A
，直线l：
6
8
y
m x
（m
R
）.
(1)当
1
m 时，求直线l 被圆C 所截得的弦长；
(2)若直线l 上存在点M，过点M 作圆C 的切线，切点为B，满足
2
MA
MB
，求m 的取值范围.
43.已知圆
1
C ：
2
2
1
x
y
与圆
2
C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y
(1)求经过圆
1
C 与圆
2
C 交点的直线方程；
(2)求圆
1
C 与圆
2
C 的公共弦长.
129
44.已知m 是实数，圆C 的方程是
2
2
6
2
5
0
x
y
m
x
y
m
.
(1)若过原点O能作出直线与圆C 相切，求实数m 的取值范围；
(2)若
4
m ，圆C 与x 轴相交于点
,
M N（点M 在点N 的左侧）.过点M 任作一条直线与圆
2
2
:
4
O x
y
相
交于点
,
A B .问：是否存在实数m ，使得
ANM
BNM
？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明
理由.
45.已知圆
2
2
:
2
2
1
0
C x
x
y
y
.
(1)证明：圆C 过定点.
(2)当
2
时，求直线y
x
被圆C 截得的弦长.
(3)当
2
时，若直线:
1
l y
kx
与圆C 交于
,
M N 两点，且
2
OM ON
，其中O为坐标原点，求k 的取
值范围.
130
2.8 专题：点与直线对称问题
模块一：基础知识
考点一：点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点
1
1
(
)
，
P x
y
关于点
0
0
(
)
，
Q x
y
的对称点为
2
2
(
)
，
P x
y
，则根据中
点坐标公式，有
1
2
0
1
2
0
2
2
x
x
x
y
y
y
可得对称点
2
2
(
)
，
P x
y
的坐标为
0
1
0
1
(2
2
)
，
x
x
y
y
考点二：点关于直线对称
方法一：原理法
点
1
1
(
)
，
P x
y
关于直线:
0
l Ax
By
C
对称的点为
2
2
(
)
，
P x
y
，连接
PP ，交l 于M 点，则l 垂直平分
PP ，
所以
PP
l ，且M 为
PP 中点，又因为M 在直线l 上，故可得
1
2
1
2
1
0
2
2
l
PP
k
k
x
x
y
y
A
B
C
，解出
2
2
(
)
，
x
y
即可．
方法二：公式法
点P（x0,y0）,则点P 关于直线Ax+By+c=0 对称点坐标为(x0 −
2A(Ax0+By0+C)
A2+B2
, y0 −
2B(Ax0+By0+C)
A2+B2
)
考点三：直线关于点对称
方法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出
直线方程；
方法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
方法三：公式法：设P（a,b）,则直线Ax+By+c=0 关于点P 对称的直线方程A(2a-x)+B(2b-y)+C=0
考点四：直线关于直线对称
1.当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；
求直线1 :
0
l
ax
by
c
，关于直线2 :
0
l
dx
ey
f
（两直线不平行）的对称直线3l
第一步：联立1
2
l
l
，算出交点
0
0
(
)
P x
y
，
；
第二步：在1l 上任找一点（非交点）
1
1
(
)
Q x
y
，
，求出关于直线对称的点
2
2
(
)
Q x
y
，
；
第三步：利用两点式写出3l 方程．
2.当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行．
两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得．
考点五：常见的一些特殊的对称
点(
)
，
x
y 关于x 轴的对称点为(
)
，
x
y ，关于y 轴的对称点为(
)
，
x
y ．
点(
)
，
x
y 关于直线
y
x 的对称点为(
)
，
y
x ，关于直线
y
x 的对称点为(
)
，
y
x ．
点(
)
，
x
y 关于直线
x
a 的对称点为(2
)
，
a
x
y ，关于直线
y
b 的对称点为(
2
)
，
x
b
y ．
点(
)
，
x
y 关于点(
)
，
a
b 的对称点为(2
2
)
，
a
x
b
y ．
点(
)
，
x
y 关于直线
x
y
k 的对称点为(
)
，
k
y
k
x ，关于直线
x
y = k 的对称点为(
)
，
k
y
x
k ．
131
模块二：题型分类
题型一：点关于点对称
1.点
( 3,1),
(1, )
A
C
y
关于点
( 1, 3)
B
对称，则AC
．
2.点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是(
)
A．(5，－6)
B．(－4,3)
C．(3，－3)
D．1
3
( ,
)
2
2
3.已知点
( ,2)
A x
与
( 3, )
B
y
关于坐标原点对称，则x
y
等于（
）
A．5
B．1
C．5
D．1
4.已知不同的两点
( ,
),
(
1,
1)
P a
b Q b
a
关于点(3,4) 对称，则ab＝
.
题型二：点关于直线对称问题
1.已知直线:
1
l y
x
，则点
2,4
P
关于l 的对称点的坐标为
.
2.已知直线:
3
3
l y
x
，则点
4,5
P
关于l 的对称点的坐标为
．
3.点
3,4
P
关于直线4
1
0
x
y
的对称点的坐标为
．
4.点
1,0
A
关于直线
:
0
l y
kx k
的对称点的坐标为
．
5.直线
3
1
0
ax
y
a
恒过定点M ，则点M 关于直线2
3
6
0
x
y
对称的点N 坐标为
．
题型三：直线关于点的对称问题
1.直线2
3
0
x
y
关于点
5,3
A
的对称直线方程是
．
2.直线: 4
3
2
0
l
x
y
关于点
1,1
A
对称的直线方程为（
）
A．4x＋3y－4＝0
B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0
D．4x－3y－12＝0
132
3.点
1,2
P
在直线l 上，直线1l 与l 关于点
0,1 对称，则一定在直线1l 上的点为（
）
A．1 3
,
2 2
B．
3
1, 2
C．
1,0
D．（1，0）
4.不论实数a 取何值时，直线
2
1
+3
5
0
a
x
a
y
都过定点M ，则直线2
3
0
x
y
关于点M 的对称
直线方程为（
）
A．
2
6
0
x
y
B．
2
0
x
y
C．2
9
0
x
y
D．2
3
0
x
y
5.已知直线
2
3
0
x
y
与直线
4
0
ax
y
b
关于点
(1,0)
A
对称，则实数b 的值为（
）
A．2
B．6
C．2
D．6
题型四：直线关于直线对称
1.直线
2
1
0
x
y
关于直线
0
y
x
对称的直线方程是（
）
A．2
1
0
x
y
B．2
1
0
x
y
C．2
1
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
2.已知直线1 :
3
0
l
x
y
，直线:
1
0
l x
y
，若直线1l 关于直线l 的对称直线为2l ，则直线2l 的方程
为
．
3.直线1 :3
3
0
l
x
y
关于直线2 :
1
0
l
x
y
的对称直线方程为
．
4.若直线
2
y
ax
与
3
6
y
x
关于直线y
x
对称，则实数a=
.
题型五：对称在光的反射中应用
1.一条光线从点
1,3
A
射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点
3,1
B
，则点P 的坐标为
．
2.一条光线从点
(6,0)
P
射出，经直线y 轴反射后过点
(2,8)
Q
，则反射光线所在的直线方程
为
．
133
3.一条光线从点
5,8
P
射出，与x 轴相交于点
1,0
Q
，则反射光线所在直线在y 轴上的截距为（
）
A．
3
4
B．3
4
C．
4
3
D．4
3
4.光线由点
2,5
P
射到直线
1
x
y
上，反射后过点
1,1
Q
，则反射光线所在直线的一般式方程为
．
5.一条光线从点
7,5
P
射入，经x 轴反射后沿直线
3
0
x
ay
射出，则
a
．
6.光线从(1,2)
A
射向x 轴上一点B ，又从B 反射到直线
3
0
x
y
上一点C ，最后从点C 反射回到点A ，
则BC 所在的直线方程为
．
7.已知
1,3
A
，
3,1
B
，从点
m,2 处射出的光线经x 轴反射后，反射光线与AB 平行，且点B 到该反射
光线的距离为
5 ，则实数m
．
8.在等腰直角三角形ABC 中，
4
AB
AC
，点P 是边AB 上异于A，B 的一点，光从点P 出发经
,
AC BC
反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR 经过ABC
的重心，则AP
.
9.已知入射光线经过点
3,4
M
，被直线:
3
0
l x
y
反射，反射光线经过点
3,7
N
，则反射光线所在直
线的方程为
.
10.光线沿着直线
2
2
y
x
a
射到直线
0
x
y
上，经反射后沿着直线
1
2
2
y
x
射出，则实数
a
．
11.如图，在等腰直角三角形ABC 中，
2
AB
AC
，点P 是边AB 上异于
,
A B 的一点，光线从点P 出发，
经
,
BC CA发射后又回到原点P ，若光线QR 经过ABC
的重心，则BP 长为
.
134
12.
2,0
A
，
2,0
B
，
0,2
C
，
3 ,0
2
E
，
1,0
F
，一束光线从点F 出发射到BC 上的点D ，经BC 反
射后，再经AC 反射，落到x 轴上的E 点，则光线经历的路程是（
）
A．5
B．4
C．
65
2
D．
63
2
题型六：对称在线段和差最值中的应用
1.已知点
(2,0)
A
、
( 2, 4)
B
，P 在直线:
2
8
0
l x
y
上，则PA
PB
的最小值等于
.
2.已知点
2,1
A
，
1, 2
B
，点P 在x 轴上，则PA
PB
的取值范围是
.
3.2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐
代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的
边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题
———“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使
总路程最短?在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在
直线的方程为x+y-3=0，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为
.
4.已知P 为直线l ：2
3
0
x
y
上一点，点P 到(
)
1,0
A
和
2,2
B
的距离之和最小时点P 的坐标
为
.
5.函数
2
2
2
5
4
13
y
x
x
x
x
的值域为
.
6.设
1
0
x
y
，求
2
2
2
2
6
10
34
4
30
229
d
x
y
x
y
x
y
x
y
的最小值是
．
7.已知点(5,2), (7, 7)
A
B
，点P 是直线y
x
上动点，则|
|
|
|
PA
PB
的最小值是
．
8.若直线l：x－2y＋8＝0 上存在一点P 到两点A（2，0），B（－2，－4）的距离之和最小，则点P 的坐标
为
．
135
9.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军
营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为
1, 4
B
，若将军从点
1, 1
A
处
出发，河岸线所在直线方程为
0
x
y
．则“将军饮马”的最短总路程为
．
10.直线:
2
8
0
l x
y
和
2 0 ,
2 4
A
B
，
，两点，若直线l 上存在点M 使得MA
MB
最小，求点M 的坐
标
.
11.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几
何问题加以解决，如：
2
2
x
a
y
b
可以转化为平面上点
,
M x y 与点
,
N a b 的距离，结合上述观点，
若x、y 为实数，则代数式
2
2
2
2
6
10
4
5
x
x
y
y
x
y
的最小值为
.
136
2.9 专题：直线与圆的新定义问题
模块一：题型分类
题型一：阿波罗尼斯圆
1．阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”
是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数��≠1 的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲
线�是平面内到两个定点−1,0 和1,0 的距离之比等于常数
1
2的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是
（
）
A．曲线�关于�轴对称
B．曲线�关于�轴对称
C．曲线�关于坐标原点对称
D．曲线�经过坐标原点
2．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成
果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数��≠1 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波
罗尼斯圆，已知点�0,0 ，�3,0 ，动点��, �满足
��
��=
1
2，则点�的轨迹与圆�: �−1 2 + �2 = 1 的公切
线的条数为
.
3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点�，�的距离之
比为定值�（�> 0 且�≠1）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗
尼斯圆，简称阿氏圆.已知点��, �到两个定点�1,0 ，�−2,0 的距离之比为2，则
�
�−1的取值范围为
.
4．公元前3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常
数�(�> 0, �≠1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系���中，�(0,0), �(3,0)，
动点Q 满足
|��|
|��| = 2，设动点�的轨迹为曲线�．
(1)求曲线�的方程；
(2)直线�: �+ ��+ �= 0(�∈R)与曲线�交于�, �两点，若�∈{ −1,0,1}，从中任选一个�值，求此时相
应的弦长��．
137
题型二：欧拉线
1．欧拉于1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这
条线称之为三角形的欧拉线.已知�0,2 ，�4,2 ，��, −1 ，且△���为圆�2 + �2 + ��+ ��= 0 内接三
角形，则△���的欧拉线方程为
.
2．数学家欧拉1765 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条
直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△���的顶点�2,0 , �0,4 ，若其欧拉线的方程为�−�+ 2 = 0，
(1)求三角形���外心�的坐标；
(2)求顶点�的坐标.
3．瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后
人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△���满足��= ��，顶点�−1,0 、�1,2 ，且其“欧拉
线”与圆M：�+ 5 2 + �2 = �2
�> 0 相切．
(1)求△���的“欧拉线”方程；
(2)若圆�与圆�2 + �−�2 = 2 有公共点，求�的范围．
4．平面几何中有一个著名的定理：△���的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点
共圆，该圆称为△���的九点圆或欧拉圆，若�−2,1 ，�4,1 ，△���的垂心为�3,3 ，则△���的九点
圆的标准方程为
．
138
题型三：欧式距离
1.函数
2
2
2
5
6
10
f x
x
x
x
x
的最小值是
.
2.
2
2
2
2
4
8
f x
x
x
x
x
的最小值为
．
3.
2
2
2
2
2
2
2
2
,
1
2
4
2
f x y
x
y
x
y
x
y
x
y
，其中1
2
x
，4
0
y
，则
二元函数
,
f x y 的最小值为
4.函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最小值为
．
5.求函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最大值．
6.求函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最小值．
题型四：切比雪夫距离
1.我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里
得距离是
1
1
,
A x y
与
2
2
,
B x
y
两点间的直线距离，即
2
2
1
2
1
2
AB
d
x
x
y
y
.切比雪夫距离是
1
1
,
A x y
与
2
2
,
B x
y
两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即
1
2
1
2
max
,
AB
d
x
x
y
y
.已知
P 是直线: 2
15
0
l
x
y
上的动点，当P 与O（O为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比
雪夫距离为
.
2.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
1
2
( ,
)
max
,
d P P
x
x
y
y
为两点
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
的“切比雪夫距
离”．若点P 到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P 的轨迹长度之和为
．
139
3.在平面直角坐标系中,定义
1
2
1
2
,
max
d A B
x
x
y
y
，
为两点
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
、
的“切比雪夫距离”，
又设点P 及l 上任意一点Q ,称
,
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作
,
d P l ，给出下列四个
命题:
①对任意三点
,
,
A B C ，都有
,
,
,
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
3
d P
l
，
；
③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
4.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
( , )
max{|
|,|
|}
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称
( ,
)
d P Q 的最小值为点P 到
直线l 的“切比雪夫距离”，记作( , )
d P l ，给出下列三个命题：
①对任意三点A 、B 、C ，都有
( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
( , )
3
d P l
；
③定点
1(
,0)
F
c
、
2( ,0)
F c
，动点
( , )
P x y 满足
1
2
| ( ,
)
( ,
) | 2
d P F
d P F
a
（2
2
0
c
a
），
则点P 的轨迹与直线y
k
（k 为常数）有且仅有2 个公共点；
其中真命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
5.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
,
max |
|,|
|
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距
离”．又设点P 及l 上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d（P，
l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有
,
,
,
d C A
d C B
d A B
；②已知点P（3，1）
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
,
3
d P l
；③到原点的“切比雪夫距离”等于1 的点的轨迹是正方形．其中正
确的序号为
．
140
6.在平面直角坐标系中，称d（P，Q）为点P、Q 两点间的距离，若d（P，Q）满足下列三个性质：（1）
非负性：
,
0
d P Q
；（2）对称性：
,
,
d P Q
d Q P
；（3）三角不等式：
1
2
2
3
1
3
(
)
,
,
,
d P P
d P P
d P P
．设
点
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
、
3
3
3
(
,
)
P x y
，则下列能够作为距离公式的有
．
①
2
2
1
2
1
2
1
2
,
(
)
(
)
d P P
x
x
y
y
；
②
1
2
1
2
1
2
,
d P P
x
x
y
y
；
③
1
2
1
2
1
2
,
max
,
d P P
x
x
y
y
；
④
1
2
1
2
1
2
,
min
,
d P P
x
x
y
y
．
7.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
( , )
max{|
|,|
|}
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距离”，
又设点P 及直线l 上任一点Q ，称
( ,
)
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作( , )
d P l .
（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有( , )
( , )
( , )
d A C
d C B
d A B
；
（2）已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，求( , )
d P l ；
（3）定点
0
0
(
,
)
C x
y
，动点
( , )
P x y 满足
( ,
)
d C P
r
（
0
r
），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.
题型五：费马距离
1.以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA，CAB，ABC，则AA，BB，CC三线共点，
该点称为ABC
的正等角中心．当ABC
的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：
（1）
120
APB
APC
BPC
Ð
= Ð
= Ð
=
°；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费
马点）．由以上性质得
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
的最小值为
2.点M 是ABC
内部或边界上的点，若M 到ABC
三个顶点距离之和最小，则称点M 是ABC
的费马点（该
问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若
0,2
A
，
1,0
B
，
1,0
C
时，点
0
M 是ABC
的费马点，且已
知
0
M 在y 轴上，则
0
0
0
AM
BM
CM
的大小等于
.
141
3.以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA，CAB，ABC，则AA，BB，CC三线共点，
该点称为ABC
的正等角中心．当ABC
的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：
（1）
120
APB
APC
BPC
Ð
= Ð
= Ð
=
°；
（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．
由以上性质求
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
的最小值．
4.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三
个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，
已知
( 2,0)
A
，(2,0)
B
，(0,4)
C
，P 为ABC
内一点，记
f P
PA
PB
PC
，则
f P 的最小值为（
）
A．2 3
B．4
2 3
C．4
3
D．2
3
题型六：闵可夫斯基距离
1.（多选）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
和
1
2
,
,
,
n
B
b b
b
，这两组数据间的闵氏距离定义为
1
1
n
q
q
AB
k
k
k
d
q
a
b
，其中q 表示阶数．下列命题
中为真命题的是（
）
A．若
1,2,3,4
A
，
0,3,4,5
B
，则
1
4
AB
d
B．若
,
1
A
a a
，
1,
B
b
b
，其中a，bR ，则
1
2
AB
AB
d
d
C．若
,
A
a b
，
,
B
c d
，其中a，b，c，d
R
，则
1
2
AB
AB
d
d
D．若
2
,
A
a a
，
,
1
B
b b
，其中a，bR ，则
2
AB
d
的最小值为3 2
8
142
2.闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
和
1
2
,
,
,
n
B
b b
b
，这两组数据间的闵氏距离定义为
1
1
( )
n
q
q
AB
k
k
k
d
q
a
b
，其中q 表示阶数.现有下列四
个命题：
①若
(1,2,3,4),
(0,3,4,5)
A
B
，则
(1)
4
AB
d
；
②若
( ,
1),
(
1, )
A
a a
B
b
b
，其中,a bR ，则
(1)
(2)
AB
AB
d
d
；
③若
( , ),
( , )
A
a b B
c d
，其中, , ,
a b c d R ，则
(1)
(2)
AB
AB
d
d
；
④若
2
,
,
( ,
1)
A
a a
B
b b
，其中,a bR ，则
(2)
AB
d
的最小值为3 2
8
.
其中所有真命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.在直角坐标系xOy 中，已知点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，记
1
2
1
2
,
p
p
p
d
A B
x
x
y
y
，其中p 为正整数，
称
,
p
d
A B 为点A ，B 间的M 距离．下列说法正确的是（
）．
A．若
1
,
1
d O A ，则点A 的轨迹是正方形
B．若
1
2
,
,
d
A B
d
A B
，则A 与B 重合
C．
1
2
2
,
,
d
A B
d
A B
D．
2
1
,
,
d
A B
d
A B
题型七：曼哈顿距离
1．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点��1, �1 ，
��2, �2 的“曼哈顿距离”为��, �= |�1 −�2| + |�1 −�2|，已知动点N 在圆�2 + �2 = 16 上，定点�4,5 ，
则M，N 两点的“曼哈顿距离”的最大值为
．
2.十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
的曼哈顿距离为
1
2
1
2
,
D P Q
x
x
y
y
.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形ABC
的三个顶点坐标为
2,4
A
，
8,2
B
，
12,10
C
，则ABC
的“好点”的坐标为（
）
A．
2,4
B．
6,8
C．
0,0
D．
5,1
143
3.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
的曼哈顿距离
1
2
1
2
,
d A B
x
x
y
y
，则下列结论正确的是（
）
A．若点
2,4 ,
2,1
P
Q
，则
,
6
d P Q
B．若点
1,0 ,
1,0
M
N
，则在x 轴上存在点P ，使得
,
,
1
d P M
d P N
C．若点
2,1
M
，点P 在直线
2
6
0
x
y
上，则
,
d P M 的最小值是5
D．若点M 在圆
2
2
4
x
y
上，点N 在直线2
8
0
x
y
上，则
,
d M N 的值可能是4
4.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离
测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
曼哈顿距离
1
2
1
1
,
d A B
x
x
y
y
，余弦距离
,
1 cos
,
e A B
A B
，其中
cos
,
cos
,
A B
OA OB
（O
为坐标原点）．已知
2,1
M
，
,
1
d M N ，则
,
e M N 的最大值近似等于（
）
（参考数据：
2
1.41
，5
2.24
．）
A．0.052
B．0.104
C．0.896
D．0.948
5.对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.
给出下列三个命题:
①若点C 在线段AB 上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC 中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③在△ABC 上，||AC||+||CB||>||AB||.
其中的真命题为（
）
A．①③
B．①②
C．①
D．③
6.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
( , ) |
|
|
|
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距离”，又
设点P 及直线l 上任意一点Q ，称
( ,
)
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作( , )
d P l ，给出下
列三个命题：
①对任意三点A 、B 、C ，都有( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
( , )
3
d P l
；
③定义
(0,0)
O
，动点
( , )
P x y 满足( , )
1
d P O ，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
7.在平面直角坐标系中，两点
1
1
1
2
2
2
,
,
,
P x y
P
x
y
间的“L-距离”定义为
1
2
1
2
1
2
| |
|
|
|.
PP
x
x
y
y
‖
则平面内与
x 轴上两个不同的定点
1
2
,
F F 的“L-距离”之和等于定值（大于
1
2
| F F ）的点的轨迹可以是（）
A．
B．
C．
D．
144
8．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似
度，常用测量距离的方式有3 种．设��1, �1 ，��2, �2 ，则欧几里得距离�(�, �) =
�1 −�2
2 + �1 −�2
2；
曼哈顿距离�(�, �) = �1 −�2 + �1 −�2 ，余弦距离�(�, �) = 1 −cos(�, �)，其中cos(�, �) = cos〈��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ〉
（�为坐标原点）．
(1)若�( −1,2)，�
3
5 ,
4
5 ，求�，�之间的曼哈顿距离�(�, �)和余弦距离�(�, �)；
(2)若点�(2,1)，�(�, �) = 1，求�(�, �)的最大值；
(3)已知点�，�是直线�: �−1 = �(�−1)上的两动点，问是否存在直线�使得�(�, �)min = �(�, �)min，若存
在，求出所有满足条件的直线�的方程，若不存在，请说明理由．
145
2.10 专题：直线中的范围最值问题
模块一：题型分类
题型一：倾斜角与斜率——代数值域型范围最值
1.若直线经过
2,1
A
，
2
1,
B
m
(
R)
m
两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．0
180
B．45
90
或90
180
C．0
45
D．0
45
或90
180
2.直线
2
(
1)
1
0
x
a
y
的倾斜角的取值范围是（
）
A．3
[
, ]
4
B．
3
[
,
]
4
4
C．(0,
]
4
D．3
[
, )
4
3.直线
2
(
1)
2
1
0(
)
a
x
ay
a
R 的倾斜角的取值范围是
.
4.直线
2
(
2 )
1
0(
a
a x
y
a
为常数）的倾斜角的取值范围是（
）
A．[0 ，
)
(
4
2
，3 ]
4
B．[0 ，
3
)
(
2
4
，
]
C．[0 ，
3
)
(
2
4
，
)
D．[0 ，
3
)
[
2
4
，
)
题型二：倾斜角与斜率——三角函数型范围最值
1.设直线l 的方程
cos
2
0
x
y
R 则直线的倾斜角的取值范围是（
）
A．
0,
B．
,
4 2
C．
3
,
,
4 2
2
4
D．
3
,
4
4
2.直线
sin
3
0
R
x
y
的倾斜角的取值范围是
．
3.直线
5
cos
sin
0,
0, 6
x
y
的斜率的取值范围为（
）
A．
, 3
B．
2,
C．
,0
0, 3
D．
,2
4.直线
cos
sin
1
0
x
y
，
π
(0,
)
2
的倾斜角是
A．
B．2
C．2
D．
146
5.已知直线1l ：
2
cos
3
2
0
x
y
，若1
2
l
l
，则2l 倾斜角的取值范围是（
）
A．
,
3 2
B．0, 6
C．
,
3 2
D．
5
,
3
6
题型三：直线与线段有公共点求斜率范围
1.已知点
2,3 ,
2, 1
A
B
，若直线
(
)
:
1
2
l y
k x
=
-
- 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（
）
A．
1 ,5
3
B．
1
,
3
C．
5,
D．
1
,
5,
3
2.已知点
(1,3)
A
，
( 2,1)
B
，若直线:
1
0
l kx
y
k
与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是（
）
A．
2
k
B．
2
k
C．
2
k
或
2
k
D．2
2
k
3.已知坐标平面内三点
1,1 ,
1,1 ,
2, 3
1
A
B
C
，D 为ABC
的边AC 上一动点，则直线BD 斜率k 的变
化范围是（
）
A．
3
0, 3
B．
3
,0
,
3
C．
3 , 3
3
D．
,0
3,
4.已知直线
2
0
mx
y
m
与函数
2
16, 4
0
( )
2
2,
0
x
x
f x
x
x
的图象有两个交点.则实数m 的取值范围
是
.
5.已知点P，Q 的坐标分别为
1,1
，
2,2 ，直线l：
0
x
my
m
与线段PQ 的延长线相交，则实数m 的
取值范围是
.
题型四：斜率公式几何意义应用
1.已知点
2, 1
A
，
3,0
B
，若点
,
M x y 在线段AB 上，则
2
1
y
x
的取值范围（
）
A．
1
,
3,
2
B．
1 ,3
2
C．
, 1
3,
D．
1,3
147
2.已知点
2, 3
A
，
3, 2
B
，若点
,
P x y 在线段AB 上，则
1
1
y
x
的取值范围为（
）
A．
3 ,
4
, 4
B．
1
3
,
,
4
4
C．
3
4, 4
D．3 ,4
4
3.已知实数x ，y 满足方程
2
6
x
y
，当1
2
x
时，
1
3
y
x
的取值范围为
.
4.若点
( , )
M x y 在函数
2
8
y
x
的图像上，当
2,5
x
时，则
1
1
y
x
的取值范围是
.
5.已知实数x，y 满足方程
2
6
x
y
，当
[1,2)
(2,3]
x
]时，
1
2
y
x
的取值范围为
.
题型五：函数型斜率数形结合
1.已知函数
2
1
f x
mx
x
，若满足
0
f x
的整数解恰有3 个，则实数m 的范围为（
）
A．5 7
,
3 4
B．
7
5
,
4
3
C．5 7
,
3 4
D．3 5
,
2 4
2.函数
( )
y
f x
的图象如图所示，在区间[ , ]
a b 上可找到(
2)
n n
个不同的数
1
2
,
,
,
n
x x
x
，使得
2
1
1
2
(
)
n
n
f x
f x
f x
x
x
x
，则n 的取值集合为（
）
A．{3,4}
B．{2,3,4}
C．{3,4,5}
D．{2,3}
148
3.已知在矩形ABCD 中，
4 4
A ，，
5 7
D
，，其对角线的交点E 在第一象限内且到y 轴的距离为1，动点
P x
y
，
沿矩形的一边BC 运动，则y
x 的取值范围是
．
4.已知函数
( )
2x
f x
，且
0
a
b
c
，则
1
f a
a
，
1
f b
b
，
1
f c
c
的大小关系为（
）
A．
1
1
1
f a
f b
f c
a
b
c
B．
1
1
1
f b
f a
f c
b
a
c
C．
1
1
1
f c
f a
f b
c
a
b
D．
1
1
1
f c
f b
f a
c
b
a
题型六：直线过定点问题
1.无论m 取何实数时，直线
1
3
11
0
m
x
m
y
m
恒过定点，则定点的坐标为_______
2.已知直线1 :
2
1
0
l
ax
y
，直线2 :
(
1)
2
0
l
x
a
y
，则下列命题中不正确的是（
）
A．直线2l 过定点( 2,0)
B．若1
2
l
l
，则
2
3
a
C．直线1l 过定点
1
0,
2
D．若1
2
//
l
l ，则
2
a
3.不论k 为任何实数，直线(2
1)
(
3)
(
11)
0
k
x
k
y
k
恒过定点，则这个定点的坐标为（
）
A．( 2,3)
B．(2,3)
C．(2, 3)
D．( 2, 3)
4.若直线
1 :
2
1
l
y
k
x
和直线2l 关于直线
1
y
x
对称，则直线2l 恒过定点（
）
A．
2,0
B．(
)
1, 1
-
C．
1,1
D．
2,0
5.已知直线1 :
2
1
0
l
mx
y
m
过定点P，若点P 在直线2 :
2
0
l
Ax
By
上，且
0
AB
，则1
2
A
B
的最小
值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
149
题型七：含参双动直线
1.已知mR ，若过定点A 的动直线1l ：
2
0
x
my
m
和过定点B 的动直线2l ：
2
4
0
mx
y
m
交于
点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（
）
A．A 点的坐标为
2,1
B．PA
PB
C．
2
2
25
PA
PB
D．2 PA
PB
的最大值为5
2.已知直线1 :
0
l
kx
y
过定点A ，直线2 :
2
2
0
l
x
ky
k
过定点B ，1l 与2l 的交点为C ，则AC
BC
的
最大值（
）
A．2 6
B．2 5
C．4
D．2 3
3.过定点A 的动直线
0
x
ky
和过定点B 的动直线
2
1
0
kx
y
k
交于点M，则MA
MB
的最大值是（
）
A．2 2
B．3
C．10
D．15
4.过定点M 的直线
2
0
tx
y
与过定点N 的直线
2
4
0
x
ty
t
交于点A（A 与M，N 不重合），则AMN
面积的最大值为（
）
A．2 2
B．4 2
C．8
D．16
5.过定点A 的直线
1
2
0
a
x
y
与过定点B 的直线
1
4
2
0
x
a
y
a
交于点
(
P P与A B
､不重合），
则PAB
面积的最大值为（
）
A．
2
B．2 2
C．2
D．4
题型八：截距直线应用
1.已知直线l 过
2,1
A
，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l 的方程是（
）．
A．
2
0
x
y
或
3
0
x
y
B．
1
0
x
y
或
3
0
x
y
C．
1
0
x
y
或
3
0
x
y
D．
2
0
x
y
或
3
0
x
y
2.某直线l 过点
( 3,4)
B
，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2 倍，则该直线的斜率是（
）
A．
4
3
B．
1
2
C．4
3 或
1
2
D．
4
3
或
1
2
3.若直线y
x
b
在x 轴上的截距在[ 3,3]
范围内，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是（
）
A．2
3
B．1
3
C．1
6
D．
1
2
150
4.已知直线
0
Ax
By
C
在x 轴的截距大于在y 轴的截距，则A、B、C 应满足条件（
）
A．A
B
B．A
B
C．
0
C
C
A
B
D．
0
C
C
A
B
5.经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（
）
A．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
B．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
或4
3
0
x
y
C．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
D．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
或3
4
0
x
y
题型九：截距直线条数判断
1.过点
3,4
P
在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
2.满足过点
2,3
P
且在两坐标轴上截距相等的直线l 的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.过点P(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(
)
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
4.过点
(3, 1)
A
且在两坐标轴上截距相等的直线有
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
题型十：截距最值
1.已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y 轴上的截距和最小时，实数a 的值是（
）
A．1
B．
2
C．2
D．3
2.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为
A．x+2y﹣6=0
B．2x+y﹣6=0
C．x﹣2y+7=0
D．x﹣2y﹣7=0
3.若直线
(
0,
0)
ax
by
ab a
b
过点(1,4) ，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为（
）
A．1
B．4
C．9
D．16
4.已知过定点直线
4
0
kx
y
k
在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（
）
A．
2
7
0
x
y
B．
2
7
0
x
y
C．2
6
0
x
y
D．
2
6
0
x
y
5.若直线
0,
0
ax
by
ab a
b
过点
1,1 ，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
151
2.11 专题：圆中的范围最值问题
模块一：基础知识
题型一：斜率型
1.已知点
,
P x y 在圆
2
2
1
x
y
上运动，求
2
y
x
的最大值与最小值.
2.若
,
P x y 在圆
2
2
4
2
9
x
y
上运动，则
1
y
x
的最大值为
；
3.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐
标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点
,
P x y 是阴影部分（包括边界）的动点，则
2
y
x
的最
小值为（
）
A．
2
3
B．
3
2
C．
4
3
D．1
4.求函数
sin
1
cos
2
x
y
x
的最大值及最小值．
题型二：直线截距型
1.已知实数x，y 满足方程
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
，则y
x
的最小值是
．
2.已知实数x 、y 满足
2
2
4
x
y
，求x
y
的最大值．
3.已知实数,x y 满足方程
2
2
(
2)
3
x
y
，求y
x
的最大值和最小值．
152
题型三：点到圆距离、直线到圆距离
1.已知
,
P a b 是圆
2
2
2
4
20
0
x
y
x
y
上的点，则
2
2
a
b
的最小值是
．
2.已知圆C ：
2
2
1
2
2
x
y
，直线l ：
4
y
x
，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值为
．
3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科
学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （
0
k
且
1
k ）的点的轨迹是圆，后
人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy 中的点
( 2 0),
(2 2,0)
E
F
，
，则满足|
|
2 |
|
PF
PE
的动
点P 的轨迹记为圆E .
(1)求圆E 的方程；
(2)过点
(3,3)
Q
向圆E 作切线
,
QS QT ，切点分别是,
S T ，求直线ST 的方程.
(3)若点
( 2,2), ( 2,6),
(4, 2)
A
B
C
，当P 在E 上运动时，求
2
2
2
2 |
|
|
|
|
|
PA
PB
PC
的最大值和最小值.
4.已知圆心为C 的圆经过点
1,1
A
和
2, 2
B
，且圆心C 在直线l ：
1
0
x
y
上.
(1)求圆心为C 的圆的一般方程；
(2)已知
2,1
P
，Q 为圆C 上的点，求PQ 的最大值和最小值.
5.已知实数
1
x 、
2
x 、
1y 、
2y 满足：
2
2
1
1
1
x
y
，
2
2
2
2
1
x
y
，
1
2
1
2
1
2
x x
y y
，设
1
1
,
A x y
，
2,
2
B x y
，则
AB
，
1
1
2
2
1
1
2
2
x
y
x
y
的最大值为
.
153
6.已知实数,a b 满足
2
2
4
3
0
a
b
a
，则
2
2
2
a
b
的最大值为
．
7.已知实数,x y 满足
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y
，则
2
2
1
3
x
y
的最大值为
．
8.已知点P 为圆
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y
上的动点，求点P 到直线3
4
8
0
x
y
的距离的最小值.
9.已知点
,
P x y 是圆
2
2
(
2)
1
x
y
上任意一点，求点P 到直线3
4
12
0
x
y
的距离的最大值和最小值．
10.已知,x y R ，且圆
2
2
:(
1)
(
2)
4
C
x
y
，求
2
2
(
2)
(
2)
x
y
的最大值与最小值；
11.圆
2
2
1
1
x
y
上点到直线3
4
7
0
x
y
距离的最小值是
．
12.过
( , )
P x y 作圆
2
2
1 :
2
0
C
x
y
x
与圆
2
2
2 :
6
6
14
0
C
x
y
x
y
的切线，切点分别为A ，B ，若
PA
PB
，则
2
2
x
y
的最小值为
．
13.（多选）已知点
(0,3), (1,1)
A
B
，且点P 在圆C：
2
2
(
2)
4
x
y
上运动，则下列结论正确的是（
）
A．|
|
PA 的最大值为13
2
B．|
|
|
|
PA
PB
的最小值为5
C．PA
PB
的最大值为5
D．当PAB 最大时，
3
PA
154
14.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：
如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数（
0
，且
1
），那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的
阿波罗尼斯圆．若点C 到
( 1,0)
A
，
(1,0)
B
的距离之比为
3 ，则点C 到直线
2
8
0
x
y
的距离的最小值为
（
）
A．2 5
3
B．5
3
C．2 5
D．
3
15.已知直线:
1
0
l ax
by
，圆
2
2
:
4
2
1
0
C x
y
x
y
，若圆C 上存在两点关于直线l 对称，则
2
2
2
7
a
b
的最小值是（
）
A．5
B．5
C．2 5
D．20
16.已知直线:
1
0
l
x
y
和圆
2
2
:
4
0
C x
y
y
交于
,
A B 两点，则AB 的最小值为（
）
A．2
B．
2
C．4
D．2 2
题型四：周长、面积型
1.已知
1,0
A
，
2,0
B
，若动点M 满足
2
MB
MA
，直线:
2
0
l x
y
与x 轴、y 轴分别交于两点,
P Q ，
则MPQ
的面积的最小值为（
）
A．4
2 2
B．4
C．2 2
D．4
2 2
2.已知直线l：
2
0
x
y
与x 轴、y 轴分别交于M，N 两点，动直线1l ：
y
mx m
R 和2l ：
4
2
0
my
x
m
交于点P，则
MNP
△
的面积的最小值为（
）
A．10
B．5
10
C．2 2
D．2 10
3
155
3.已知直线:
3
0
l x
y
上的两点
,
A B ，且
1
AB ，点P 为圆
2
2
:
2
3
0
D x
y
x
上任一点，则PAB
的
面积的最大值为（
）
A．
2
1
B．2 2
2
C．
2
1
D．2 2
2
4.直线1 :
2
1
0
l
kx
y
k
与2 :
2
0
l
x
ky
k
分别与圆
2
2
:
10
O x
y
交于A 、C 和B 、D ，则四边形
ABCD面积的最大值为（
）
A．3 5
B．4 5
C．10
D．15
5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O的半径为3，直线1l ，2l 互相垂直，垂足为
(1, 5)
M
，且
1l 与圆O相交于A ，C 两点，2l 与圆O相交于B ，D 两点，则四边形ABCD的面积的最大值为（
）
A．10
B．12
C．13
D．15
6.已知两点
1,0 ,
0,2
A
B
，点C 是圆
2
2
2
0
x
y
x
上任意一点，则ABC
面积的最小值是（
）
A．
5
2
2
B．2
5
2
C．4
5
D．4
5
7.已知直线l 与圆
2
2
:
6
0
C x
y
x
交于
,
A B 两点，则ABC
面积的最大值为（
）
A．4
B．5
C．7
2
D．9
2
题型五：数量积型
1.已知线段AB 是圆
2
2
:(
1)
(
1)
4
C
x
y
上的一条动弦，且
2 3
AB
，设点O为坐标原点，则
OA OB
的最大值为
；如果直线1 :
3
1
0
l
x
my
m
与2 :
3
1
0
l
mx
y
m
相交于点M ，则MA MB
的
最小值为
.
156
2.已知直线
:
2
l y
k x
k
R 交
2
2
:
1
3
5
M
x
y
于不同的A 、B 两点，AB
4
．
(1)求直线l 的方程；
(2)若Q 为
2
2
:
1
O x
y
e
上一动点，求QA QB
的最小值．
3.已知直线l1：
3
1
0
x
my
m
与l2：
3
1
0
mx
y
m
相交于点M，线段AB 是圆C：
2
2
1
1
4
x
y
的一条动弦，且
2 3
AB
，则MA MB
的最小值为（
）
A．6
4 2
B．3
2
C．5
3
D．5
1
4.若点M 是圆C ：
2
2
4
0
x
y
x
上的任一点，直线l ：
2
0
x
y
与x 轴、y 轴分别交于
,
A B 两点，则
AM AB
的最小值为（
）
A．4
2 2
B．2
C．8
4 2
D．8
5.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A 、B 的距离之比
为定值（
0
且
1
）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称
阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，
2,0
A
、
2,0
B
，点P 满足
3
PA
PB
，则PA PB
的最小值
为
.
题型六：坐标与角度型
1.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点
,
M N 是锐角
AQB
的一边QA上的两点，试着在边QB 上找一
点P ，使得
MPN
最大”.如图，其结论是：点P 为过
,
M N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结
论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点
1,2 ,
1,4
M
N
，点P 在x 轴上移动，当
MPN
取
得最大值时，该圆的方程是（
）
A．
2
2
(
1)
(
2)
2
x
y
B．
2
2
(
7)
(
10)
100
x
y
C．
2
2
(
1)
(
2)
4
x
y
D．
2
2
(
7)
(
10)
10
x
y
157
2.已知圆
2
2
:
3
4
4
C
x
y
和两点
,0
A
m
，
,0
0
B m
m
，若圆C 上存在点P 使得
90
APB
，
则m 的最大值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
3.（多选）已知圆
2
2
:(
1)
(
1)
4
M
x
y
，直线:
2
0,
l x
y
P
为直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线
PA PB
､
，切点为A B
､，则下列各选项正确的是（
）
A．四边形MAPB 面积的最小值为4
B．四边形MAPB 面积的最大值为8
C．当
APB
最大时，
2
PA
D．当
APB
最大时，直线AB 的方程为
0
x
y
4.已知圆
2
2
:(
4)
(
3)
4
C
x
y
和两点
(
,0), ( ,0)(
0)
A
a
B a
a
，若圆C 上存在点P，使得
90
APB
，则a
的最小值为（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
5.已知圆
2
2
:(
3)
4
1
C
x
y
和两点
(
,0), ( ,0)(
0)
A
a
B a
a
，圆C 上若存在点P，使得
90
APB
，则a
的最小值为（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
6.已知圆
2
2
:
2
0
C x
y
x
与直线:
2
0(
0)
l mx
y
m
m
，过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A，
B，若
ACB
的最小值为2
3
，则实数m 的值为（
）
A．
3
2
B．2 2
3
C．3 3
4
D．2 5
5
158
题型七：阿波罗尼斯圆问题
1.（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
,
A B 的距㐫之比为定值
1
的点的
轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，已知
4,2
A
，
2,2
B
，点P 满足
2
PA
PB
，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（
）
A．点P 的轨迹所包围的图形的面积等于16π
B．过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为π
3
C．过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为
15
5
D．若点
3,1
Q
，则2 PB
PQ
的最小值为5 2
2.已知正方形ABCD的边长为2，点M 在以C 为圆心，1 为半径的圆上，则2 MB
MD
的最小值为（
）
A．
15
2
B．15
C．17
2
D．17
3.已知圆O：
2
2
1
x
y
和点
1 ,0
2
P
，点
2,1
B
，M 为圆O 上的动点，则2 MP
MB
的最小值为（
）
A．15
B．1
10
C．17
D．3
2
4.对平面上两点A、B，满足
1
PA
PB
的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼
斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B 是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此
圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆
外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知
(
)
1,0
A
，
4,0
B
，
0,3
D
，若动点P 满足
1
2
PA
PB
，
则2 PD
PB
的最小值是
．
159
5.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表
作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M 与两定点
,
A B 的距离之
比为(
0,
1
，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P
为圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，
4,0 ,
3,1
M
N
，则
2
PM
PN
的最小值为
.
题型八：将军饮马问题
1.已知圆
2
2
: (
2)
(
1)
9
C
x
y
.
(1)若过点
( 1,1)
P
向圆C 作切线l ，求切线l 的方程；
(2)若Q 为直线
: 2
5
0
m
x
y
上的动点，M 是圆C 上的动点，定点
( 2,6)
N
，求QM
QN
的最大值.
2.已知
2
2
1 :
2
1
O
x
y
e
，
2
2
2 :
3
6
9
O
x
y
e
，过x 轴上一点P 分别作两圆的切线，切点分别是
M，N，当PM
PN
取到最小值时，点P 坐标为
.
3.已知Q 为圆
1
C ：
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y
上一动点，
(4,5)
M
，点P 为x 轴上一动点，则PM
PQ
的最小值
为
．
4.已知点P 为直线
1
y
x
上的一点，M，N 分别为圆
1
C ：
2
2
4
1
1
x
y
与圆
2
C ：
2
2
4
1
x
y
上的
点，则
|
|
PM
PN
的最小值为（
）
A．5
B．3
C．2
D．1
5.已知圆
2
2
1
2
3
1
:
C
x
y
，圆
2
2
2 :
3
4
9
C
x
y
，M，N 分别是圆
1
C ，
2
C 的动点，P 为x 轴
上的动点，则PM
PN
的最小值为（
）
A．5 2
4
B．17
2
C．6
2 2
D．17
160
题型九：长度型
1.（多选）已知直线l 与圆
2
2
:
1
O x
y
相切于点M，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A，B 点，
则下列各选项正确的是（
）
A．MA
MB
为定值
B．MA
MB
的最小值为2
C．AOB
面积的最小值为2
D．
2
OA
OB
的最小值为3 2
2.已知点P 是圆
2
2
1 : (
2)
(
10)
4
C
x
y
上的一点，过点P 作圆
2
2
2 :(
3)
(
2)
1
C
x
y
的切线，则切线长
的最小值为（
）
A．2 30
1
B．2 30
C．2 30
1
D．2 30
2
3.设P 是直线l ：
1
0
x
y
上的动点，过P 作圆C ：
2
2
3
4
4
x
y
的切线，则切线长的最小值为（
）
A．4
B．4 2
C．2 5
D．2 7
4.已知点A 在直线l：3
4
6
0
x
y
上，点B 在圆C：
2
2
2
6
8
0
x
y
x
y
上，则AB 的最小值是（
）
A．1
B．3
2
C．3
2
D．5
5.若圆
2
2
:
2
4
3
0
C x
y
x
y
关于直线2
6
0
ax
by
对称，则由点
,a b 向圆所作的切线长的最小值是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
6.过点
1,1
A
的直线l 与圆
2
2
3
x
y
交于M ，N 两点，则弦长MN 的最小值为（
）
A．7
B．2 7
C．1
D．2
7.已知圆
2
2
0
(
)
(
:
1
2)
3
C
x
y
，直线:(2
1)
(
1)
7
4
0
l
m
x
m
y
m
，则直线l 被圆C 截得的弦长的最
小值为（
）
A．10
B．4 5
C．5
D．2
5
161
8.若圆C ：
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
上任意一点关于直线2
6
0
ax
by
的对称点都在圆C 上，由点
,a b 向
圆C 作切线，则切线段长的最小值为（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
9.已知⊙M：
2
2
1
1
4
x
y
，直线l：2
2
0
x
y
，点P 为直线l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，
切点为A，则切线段PA 长的最小值为
．
10.点
( 3,1)
P
在动直线
(
1)
(
1)
0
m x
n y
上的投影为点M，若点
(
)
3,3
N
，那么MN 的最小值为
.
11.已知点
(8, 6)
A
与圆
2
2
:
25
C x
y
，P 是圆C 上任意一点，则AP 的最小值是
．
12.从直线:
1
8
4
x
y
l
上的任意一点P 作圆
2
2
8
O
x
y
：
的两条切线，切点为A B
、，则弦AB 长度的最小值
为
．
13.已知圆
2
2
:
2
0
C x
y
y
，过直线:
1
0
l x
y
上任意一点P ，作圆的两条切线，切点分别为
,
A B 两点，
则AB 的最小值为
.
题型十：方程中的参数
1.如图，在直角梯形ABCD中，
90 ,
4,
2
A
B
AD
AB
BC
，点M 在以CD 为直径的半圆上，且满足
AM
mAB
nAD
，则m
n
的最大值为（
）
A．2
B．3
C．
5
2
D．
10
5
4
162
2.已知
0,0
O
，
3,1
P
，
1 4cos , 3
4sin
Q
，
0,2
，则
OPQ
△
面积的最大值为（
）
A．4
B．5
C．5 3
D．8
3
3
3.已知点
0, 4
A
，点
2,0 ,
B
P 为圆
2
2
:
4
O x
y
上一动点，则
PB
PA 的最大值是（
）
A．2 5
3
B．3 3
4
C．4 5
3
D．3 3
2
163
2.12 专题：直线与圆综合
模块一：题型分类
题型一：常规法求圆的方程
1.若圆C 经过点
2,5
A
，
4,3
B
，且圆心在直线l ：3
3
0
x
y
上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
2
3
4
x
y
B．
2
2
2
3
8
x
y
C．
2
2
3
6
2
x
y
D．
2
2
3
6
10
x
y
2.某圆经过
010
610
A
B
，，
，两点，圆心在直线2
1
x
y
上，则该圆的标准方程为（
）
A．
2
2
3
5
34
x
y
B．
2
2
3
5
34
x
y
C．
2
2
3
5
34
x
y
D．
2
2
3
5
34
x
y
3.关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5的奇数都是三个素数之和，如7
2
2
3
，17
3
7
7
.若从2,3,7 中
任取2 个不同的素数,a b 组成点
,
a b ，其中a
b
，且组成的所有点都在圆E 上，则圆E 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
2
4
2
x
y
B．
2
2
5
2
16
2
x
y
C．
2
2
5
5
17
2
x
y
D．
2
2
5
17
5
2
4
x
y
4.圆心在直线x-y-4＝0 上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0 和x2+y2+6y-28＝0 的交点的圆的方程为（
）
A．x2+y2-x+7y-32＝0
B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0
D．x2+y2-4x+4y-8＝0
5.在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
4
0
x
y
与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在
y 轴上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
6
16
0
x
y
y
B．
2
2
6
16
0
x
y
y
C．
2
2
8
9
0
x
y
y
D．
2
2
8
9
0
x
y
y
题型二：求圆的外接圆方程
1.已知三角形的三边所在直线为
1
x
y
，2
1
x
y
，2
3
x
y
，则三角形的外接圆方程为________
2.过点
(4,2)
P
作圆
2
2
4
x
y
两条切线，切点分别为A、B，O 为坐标原点，则OAB
的外接圆方程是（
）
A．
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
B．
2
2
(
4)
(
2)
20
x
y
C．
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
D．
2
2
(
4)
(
2)
20
x
y
164
3.已知ABC
中，
3 0
A , ，
3,0
B
，点C 在直线
3
y
x
=
+ 上，ABC
的外接圆圆心为
0,4
E
，则直线EC
的方程为______．
4.已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A（2a，2），B（－4，a），C（2a＋2，2），则△ABC 的外
接圆的方程是________．
5.已知曲线
2
2020
y
x
x
与x 轴交于M，N 两点，与y 轴交于P 点，则
MNP
△
外接圆的方程为（
）
A．
2
2
2019
2020
0
x
y
x
y
B．
2
2
2021
2020
0
x
y
x
y
C．
2
2
2019
2020
0
x
y
x
y
D．
2
2
2021
2020
0
x
y
x
y
题型三：求圆的内切圆
1.如果三角形的顶点分别是
0,0
O
，
0,15
A
，
8,0
B
，那么它的内切圆方程是______.
2.在平面直角坐标系中，已知三点
1,2
A
，
3,2
B
，
2
1,
3
C
，则ABC
的内切圆的方程为（
）
A．
2
2
1
6
4
x
y
B．
2
2
1
1
4
x
y
C．
2
2
1
6
1
x
y
D．
2
2
1
1
1
x
y
3.已知三角形三边所在直线的方程分别为
0
y
、
2
0
x
y
和
4
0
x
y
，求这个三角形的内切圆圆心和
半径．
4.已知圆C：
2
2
1
4
x
y
，不经过点C 的直线l ：
1
y
kx
与圆C 相交于A ，B 二点，求ABC
的内切
圆的面积最大值为__________.
题型四：利用弦长求圆的方程
1.已知圆C 的圆心坐标为
1,0 ，且y 轴被
C
截得的弦长为4 2 ，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
9
x
y
B．
2
2
1
33
x
y
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
7
x
y
165
2.若圆过点
0, 1 0,5
，且被直线
0
x
y
截得的弦长为2 7 ，则圆的方程为
A．
2
2
2
9
x
y
或
2
2
4
2
25
x
y
B．
2
2
2
9
x
y
或
2
2
1
2
10
x
y
C．
2
2
4
2
25
x
y
或
2
2
4
2
17
x
y
D．
2
2
4
2
25
x
y
或
2
2
4
1
16
x
y
3.已知圆心在y 轴上的圆C 与直线3
4
6
0
x
y
相切，且截直线3
4
1
0
x
y
所得的弦长为2 3 ，则圆C 的
方程为（
）
A．
2
2
7
64
(
)
2
25
x
y
B．
2
2
7
64
(
)
2
25
x
y
或
2
2
3
(
)
4
2
x
y
C．
2
2
(
1)
4
x
y
D．
2
2
(
1)
4
x
y
或
2
2
5
16
(
)
2
25
x
y
4.不经过坐标原点的直线:
0
l x
y
m
被曲线
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
截得的弦的长度等于2 2 ，则直
线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（
）
A．
2
2
4
4
0
x
y
x
y
B．
2
2
4
4
0
x
y
x
y
C．
2
2
3
3
0
x
y
x
y
D．
2
2
2
2
0
x
y
x
y
题型五：利用切线求圆的方程
1.过
0,1
A
、
0,3
B
两点，且与直线
1
y
x
相切的圆的方程可以是（
）
A．
2
2
1
2
2
x
y
B．
2
2
2
2
5
x
y
C．
2
2
1
2
2
x
y
D．
2
2
2
2
5
x
y
2.圆心在x 轴负半轴上，半径为4，且与直线
3
5
0
x
y
相切的圆的方程为（
）
A．
2
2
(
3)
16
x
y
B．
2
2
(
3)
16
x
y
C．
2
2
(
13)
16
x
y
D．
2
2
(
13)
16
x
y
3.已知直线x + 3 y+4＝0 与圆心为（2，0）的圆C 相切，则圆C 的方程为（
）
A．（x﹣2）2+y2＝3
B．（x﹣2）2+y2＝9
C．（x+2）2+y2＝3
D．（x+2）2+y2＝9
166
4.已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线
2
y
x
上，若点A 在直线
4
0
x
y
的左上方且到该
直线的距离等于
2 ，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
(
2)
(
4)
4
x
y
B．
2
2
(
2)
(
4)
16
x
y
C．
2
2
(
2)
4)
(
4
x
y
D．
2
2
(
2)
(
4)
16
x
y
5.已知半径为6 的圆与x 轴相切，且与圆
2
2
(
3)
1
x
y
内切，则此圆的方程是（
）
A．
2
2
(
4)
(
6)
6
x
y
B．
2
2
(
4)
(
6)
6
x
y
或
2
2
(
4)
(
6)
6
x
y
C．
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
D．
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
或
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
题型六：利用最值求圆的方程
1.与直线
4
0
x
y
和圆
2
2
1
1
2
x
y
都相切的半径最小的圆的方程是（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
1
1
4
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
1
4
x
y
2.已知圆C 的半径为
2 ，其圆心C 在直线
2
0
x
y
上，圆C 上的动点P 到直线
2
2
0
R
kx
y
k
k
的距离的最大值为4 2 ，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
2
2
x
y
C．
2
2
4
2
2
x
y
D．
2
2
3
1
2
x
y
3. 圆心在曲线
2 (
0)
y
x
x
上，且与直线2
1
0
x
y
相切的面积最小的圆的方程为
A．
2
2
(
1)
(
2)
25
x
y
B．
2
2
(
2)
(
1)
25
x
y
C．
2
2
(
1)
(
2)
5
x
y
D．
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
4.已知过点(0，2)的圆C 的圆心在直线2
0
x
y
上，则圆C 的面积最小时圆C 的方程是（
）
A．
2
2
4
8
4
5
5
5
x
y
B．
2
2
4
8
16
5
5
25
x
y
C．
2
2
4
8
4
5
5
5
x
y
D．
2
2
4
8
16
5
5
25
x
y
5.在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径最大的圆
的标准方程为（
）
A．x2＋(y－1)2＝4
B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8
D．x2＋(y－1)2＝16
167
题型七：点与圆位置关系求参
1.已知点
1,
1
a
a
在圆
2
2
2
4
0
x
y
ay
的外部（不含边界），则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．0
1
a
D．
1
5
a
2.若点
2,1 在圆
2
2
0
x
y
x
y
a
的外部，则a 的取值范围是（
）
A．1 ,
2
B．
1
, 2
C．
1
4, 2
D．
1
, 4
,
2
3.若点
1,2
R
在圆C ：
2
2
2
2
0
x
y
x
y
a
的外部，则实数a 的取值范围为（
）
A．
3
a
B．
3
a
C．3
2
a
D．2
3
a
4.若点
,
A a a 在圆
2
2
2
2
2
3
0
x
y
ax
a
a
外，则实数a 的取值范围是（
）
A．
, 3
B．
3,1
C．
3
, 3
1, 2
D．
, 3
1,
5.已知圆
2
2
:
2
2
3
0
C x
y
mx
m
，若过点
2,1 可作圆C 的两条切线，则m 的取值范围是
A．
,4
B．(
, 1)
(3,4)
C．
3,4
D．
1,4
题型八：圆上点到直线距离为定值的求参
1.若圆
2
2
4
x
y
上恰有一个点到直线:
0
l x
y
a
的距离为1，则a 的值为（
）
A．3 2
B．
2
C．
2
D．3 2
2.若圆
2
2
2
(
3)
(
5)
x
y
r
上恰有两个点到直线4
3
2
0
x
y
的距离为1，则半径r 的取值范围是（
）
A．
6,
B．
6,
C．
4,6
D．
4,6
3.若圆
2
2
:
1
3
8
C
x
y
上存在四个点到直线:
0
l x
y
m
的距离为
2 ，则实数m 的取值范围是（
）
A．
6
m
B．
2
m
C．6
2
m
D．
6
m 或
2
m
4.已知直线
2
0
l x
y
:
，圆
2
2
2
:
(
0)
C x
y
r
r
，若圆C 上恰有
．．三个点到直线l 的距离都等于
2 ，则r （
）
A．2
B．4
C．2 2
D．8
168
5.已知直线
:
1
2
0(
)
l mx
y
m
m
R 和圆
2
2
:
2
4
1
0
C x
y
x
y
，则“
0
m
”是“圆C 上恰有三个不同
的点到直线l 的距离为1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型九：直线与圆相交弦长求参
1.已知直线: 2
2
0
l
x
y
是圆
2
2
:
3
6
C
x
y
b
的一条对称轴，设直线l 与x 轴的交点为P ，将直线l
绕点P 按顺时针方向旋转30得到直线l，则直线l被圆C 截得的弦长为（
）
A．1
B．
3
C．2
D．5
2.直线
3
y
kx
与圆
2
2
3
2
4
x
y
相交于M 、N 两点，若
2 3
MN
，则k 等于（
）
A．0
B．
2
3
C．
2
3
或0
D．
3
4
或0
3.已知过坐标原点的直线l 与圆
2
2
:(
6)
(
8)
125
C
x
y
相交于M，N 两点，当线段MN 的长为整数时，
所有满足条件直线的条数为（
）
A．12
B．13
C．25
D．26
4.若直线2
2
0
x
y
与直线2
1
0
x
y
被圆
2
2
:
2
6
0(
10)
C x
y
x
y
m
m
截得的弦长之比为1:
2 ，
则圆C 的面积为（
）
A．2π
B．14 π
5
C．3π
D．16 π
5
5.已知圆
2
2
1
1
:
1
4
O
x
y
，圆
2
2
2
1
:
2
4
O
x
y
，过点
1,2 两条互相垂直的直线1l ，2l ，其中1l 与圆
1
O
交于A，B，2l 与圆
2
O 交于C，D，且
1
2
AB
CD
，则AB （
）
A．
5
5
B．
5
10
C．2 5
5
D．
5
2
题型十：最短弦问题
1.已知圆
2
2
:(
2)
(
4)
35
C
x
y
，直线: (2
1)
(
1)
7
4
0
l
m
x
m
y
m
则直线l 被圆C 截得的弦长的最小
值为（
）
A．5
B．4 5
C．10
D．2 5
2.圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
被过点
0,0
P
的直线截得的最短弦长为（
）
A．2
B．4
C．2 2
D．2 3
169
3.若直线
2
0
x
ay
a
与圆
2
2
:
2
4
C
x
y
交于A ，B 两点，当AB 最小时，劣弧
AB 的长为（
）
A．π
2
B．4π
3
C．2π
3
D．π
4.已知直线l：
1
3
1
2
0
k
x
k
y
和圆C：
2
2
2
2
4
x
y
相交于A，B 两点，则弦长AB 的最
小值是（
）
A．
2
B．2 2
C．2
D．3 2
2
5.已知点
1, 2
A
，
0,
B
a ，若直线AB 关于y
a
的对称直线l 与圆C ：
2
2
3
18
x
y
交于M ，N 两
点，则MN 的最小值为（
）
A．2 2
B．3 2
C．2 10
D．4 2
题型十一：圆内三角形面积
1.设直线
2
y
x
a
与圆
2
2
:
2
2
0
C x
y
ay
相交于
,
A B 两点，若
2 3
AB
，则圆C 的内接正三角形的面
积为(
)
A．4
B．8
C．3 3
D．4 3
2.直线
0
Ax
By
C
与圆
2
2
:
4
O x
y
相交于两点M，N，若满足
2
2
2
C
A
B
，则
MON
S
．
3.已知直线
)
: sin
co
R
(
s
2
l x
y
与圆
2
2
:
16
O x
y
相交于A ，B 两点，则AOB
的面积为（
）
A．2
B．2 3
C．4 3
D．与有关的不确定值
4.设直线
2
0
ax
y
与圆
2
2
:
2
4
C x
y
相交于A 、B 两点，且ABC
的面积为2 ，则
a
（
）
A．
2
B．
3
C．
5
D．
7
5.已知直线3
4
10
0
x
y
与圆
2
2
:
2
4
20
0
C x
y
x
y
相交于A 、B 两点，点P 在圆C 上，且满足
4
PAB
S
，则满足条件的P 点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
170
题型十二：圆内四边形面积
1.过圆
2
2
:
2
15
0
E x
x
y
内一点
1,3
M
作两条相互垂直的弦AB 和CD，且AB
CD
，则四边形ACBD
的面积为（
）．
A．16
B．17
C．18
D．19
2.已知圆的方程为
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
，设该圆过点
2,3
M
的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四
边形ABCD面积为（
）
A．6
B．6 5
C．6 7
D．6 11
3.在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
0
x
y
a
与圆
2
2
:
2
4
1
0
C x
y
x
y
交于A ，B 两点，已知四边
形OACB 为菱形，则|
|
AB （
）
A．11
B．7
C．2
D．
3
4.若过原点O 的动直线l 将圆
2
2
: (
1)
(
2)
10
E
x
y
分成两部分的面积之差最大时，直线l 与圆的交点记
为A，B，直线l 将圆E 分成两部分的面积相等时，直线l 与圆的交点记为C，D，则四边形ACBD 的面积
为（
）
A．10 2
B．10
C．2 10
D．2 5
5.在圆
2
2
:
4
2
4
0
M x
y
x
y
内，过点
0 0
O
，的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD的
面积为（
）
A．24
B．12
C．10
D．8
题型十三：圆的切线问题
1.圆
2
2
6
0
x
y
y
在点
( 5,1)
P
处的切线方程为（
）
A．5
2
3
0
x
y
B．
5
2
3
0
x
y
C．2
5
3
0
x
y
D．2
5
3
0
x
y
2.已知圆
2
2
0
0
:
4,
,
O x
y
M x
y
为圆O 上位于第一象限的一点，过点M 作圆O 的切线l．当l 的横纵截
距相等时，l 的方程为（
）
A．
2 2
0
x
y
B．
2
0
2
x
y
C．
4 2
0
x
y
D．
2 2
0
x
y
171
3.已知圆
2
2
:
2
3
2
C
x
y
，直线l 过点
1,2
A
且与圆C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为M､N，
则MN （
）
A．2 2
B．4
C．3 2
D．10
4.已知过点
(2,2)
P
的直线与圆
2
2
(
1)
5
x
y
相切，且与直线
1
0
ax
y
垂直，则
a
（
）
A．
1
2
B．1
2
C．2
D．2
5.过点
3, 1
的直线l 与圆
2
2
4
x
y
相切，则直线l 在y 轴上的截距为（
）
A．4 3
3
B．
4 3
3
C．4
D．4
题型十四：过圆外一点的切线问题
1.过点
2,4
M
向圆
2
2
1
3
1
x
y
引切线，则其切线方程为
.
2.已知曲线y=
2
4
3
x
x
与直线kx−y+k−1=0 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是
．
3.已知圆
2
2
1 :
4
C
x
y
和圆
2
2
2 :(
3)
(
2)
1
C
x
y
，则过点
4
2, 3
M
且与
1
2
,
C C 都相切的直线方程
为
.（写出一条即可）
4.已知圆C:
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
，直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，则满足上述条件
的直线l 共有
条.
5.已知直线l 经过坐标原点，且与圆
2
2
4
3
0
x
y
x
相切，切点在第四象限，则直线l 的方程
为
.
题型十五：切点弦问题
1.已知圆О的方程为
2
2
1
x
y
，过圆О外一点
,
P a b 作圆O 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直
线AB 的方程为（
）
A．
1
0
ax
by
B．
1
0
ax
by
+
- =
C．
1
0
bx
ay
D．
1
0
bx
ay
172
2.已知圆
2
2
:
1
O x
y
,过直线:
2
0
l x
y
上第一象限内的一动点M 作圆O的两条切线，切点分别为
,
A B ,
过
,
A B 两点的直线与坐标轴分别交于,
P Q 两点，则OPQ
面积的最小值为（
）
A．1
B．1
2
C．1
4
D．1
8
3.过点
1,2 作圆
2
2
(
1)
1
x
y
的两条切线，切点分别为
,
A B ，则直线AB 的方程为（
）
A．2
2
1
0
x
y
B．2
2
1
0
x
y
C．
1
0
x
y
D．
1
0
x
y
4.过点
1,1
P
作圆C：
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（
）
A．
3
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．
1
0
x
y
D．
1
0
x
y
5.已知点P 在直线
4
x
y
上，过点P 作圆
2
2
:
4
O x
y
的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆
2
2
:(
4)
(
5)
1
G
x
y
上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（
）
A．4
B．6
C．10
1
D．13
1
题型十六：切点弦长及最值范围问题
1.若圆
2
2
:
2
4
3
0
C x
y
x
y
关于直线2
6
0
ax
by
对称，则由点
,a b 向圆所作的切线长的最小值是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
2.已知直线:
1
0(
R)
l x
ay
a
是圆
2
2
:
6
2
1
0
C x
y
x
y
的对称轴，过点
( 4, )
P
a
作圆C的一条切线，
切点为A ，则PA （
）
A．2
B．4 3
C．2 10
D．7
3.已知点
3,0 ,
3,0 ,
1,0
M
N
B
，动圆C 与直线MN 切于点B，过M、N 与圆C 相切的两直线相交于点
P，则P 点满足的条件是（
）
A．
2
PM
PN
B．
2
PM
PN
C．
2
PM
PN
或2
D．
1
PM
PN
或1
173
4.已知圆
2
2
:
1
O x
y
，直线3
4
10
0
x
y
上动点P ，过点P 作圆O的一条切线，切点为A ，则PA 的最
小值为（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
5.已知圆
2
2
: (
1)
(
1)
4
C
x
y
，直线: 2
2
0
l
x
y
+
+ =
，M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线MA，
MB ，切点为A ，B ，则CM
AB
最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
174
直线和圆的方程单元复习卷（一）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1.已知
2
2
1
:
2
0
2
C x
y
x
y
，则该圆的圆心坐标和半径分别为（
）
A．
1
3
1,
,
2
2
B．
2, 1 , 3
C．
1
1,
, 3
2
D．
3
2,1 , 2
2.若直线:
1
0
l x
my
的倾斜角为2π
3 ，则实数m 值为（
）
A．
3
B．
3
C．
3
3
D．
3
3
3.已知圆
2
2
:(
2)
(
4)
25
E
x
y
，圆
2
2
:(
2)
(
2)
1
F
x
y
，则这两圆的位置关系为（
）
A．内含
B．相切
C．相交
D．外离
4.已知圆
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
，过点
(1,3)
P
作圆的切线，则该切线的一般式方程为（
）
A．
2
7
0
x
y
B．
2
5
0
x
y
C．2
5
0
x
y
D．2
1
0
x
y
5.已知直线1 :
2
2
0
l
ax
y
与直线
2 :
1
2
0
l
x
a
y
平行，则实数a 的所有取值之和为（
）
A．-2
B．1
C．1
D．2
6.已知圆
2
2
: (
2)
16
C
x
y
，直线:
3
1
0
l mx
y
m
，则下列结论中正确的是（
）
A．直线l 恒过定点
2,1
B．直线l 与圆C 相切
C．直线l 与圆C 相交
D．直线l 与圆C 相离
7.直线
1
y
x
关于直线
2
y
x
对称的直线方程为（
）
A．3
1
0
x
y
B．4
2
0
x
y
C．5
3
0
x
y
D．7
5
0
x
y
8.已知圆
2
2
:(
4)
4
M
x
y
直线:
2
0
l x
y
，点P 在直线l 上运动，直线
,
PA PB 分别与圆M 相切于点
,
A B ．则下列说法正确的是（
）
A．四边形PAMB 的面积最小值为14
B．PA 最短时，弦AB 长为4 7
3
C．PA 最短时，弦AB 直线方程为3
3
8
0
x
y
D．直线AB 过定点
10 ,2
3
二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
175
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.）
9.（多选）下列命题中错误
．．的是（
）
A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数
B．任何直线都存在斜率和倾斜角
C．直线的一般式方程为
0
Ax
By
C
D．任何一条直线至少要经过两个象限
10.（多选）下列说法中正确的是（
）
A．直线
1
0
x
y
在y 轴上的截距是1
B．直线
2
0
mx
y
m
m
R 恒过定点
1, 2
C．点
0,0 关于直线
1
0
x
y
对称的点为(
)
1, 1
-
D．过点
1,2 且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为
3
0
x
y
11.（多选）已知直线
2
1
2
:
3
4
0,
:
2
5
0
l
ax
y
l
x
a
y
a
，则（
）
A．若
1
a ，则1l 的一个方向向量为
3, 1
B．若1
2
l
l
∥
，则
1
a 或
3
a
C．若1
2
l
l
，则
3
2
a
D．若1l 不经过第二象限，则
0
a
12.（多选）已知圆
2
2
:
21
C x
y
，直线
:
1
2
3
2
0
l ax
a y
a
a
R ，下列说法正确的是（
）
A．无论a 取何值，直线l 与圆C 相交
B．直线l 被圆C 截得的最短弦长为4
C．若
1
a ，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为
2
2
1
1
21
x
y
D．直线l 的方程能表示过点
1,2 的所有直线的方程
三、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13.已知直线l 的方程为
1
4
3
x
y
，则坐标原点到直线l 的距离为
.
14.与直线:3
4
5
0
l
x
y
关于y 轴对称的直线的方程为
.
15.过点
1,3
A
的直线l 被圆
2
2
4
x
y
截得的弦长为2 3 ，则直线l 的方程为
.
16.已知直线1 :
3
1
0
l
mx
y
m
与直线2 :
3
1
0
l
x
my
m
相交于点E ，其轨迹记为曲线
1
C ，曲线
2
C 的
方程为
2
2
1)
(
1)
16
x
y
(
，点M ，N 分别在曲线
1
C ，2
C 上运动，点P 在直线l 上，若直线l 经过点
4, 2
Q
，
且与两曲线
1
C ，
2
C 的公共弦所在的直线垂直，则PM
PN
的最小值为
.
176
四、解答题（本题共6 小题，共70 分，其中第17 题10 分，其它每题12 分，解答应写出文字说明､证明
过程或演算步骤.）
17.求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：
(1)已知
(1,2)
A
，
( 1,4)
B
，
(5,2)
C
，求ABC
的边AB 上的中线所在的直线方程.
(2)直线l 经过点
( 2, 1)
B
，倾斜角为直线
1
2
y
x
的倾斜角的2 倍，求l 的方程.
18.已知圆
2
2
:
2
4
10
0
M
x
x
y
y
．
(1)求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：
(2)若直线
3
0
x
y
C
与圆M 交于A，B 两点，且
2 5
AB
，求C 的值．
19.已知直线2
1
0
x
y
与直线3
9
0
x
y
相交于点P ，则
(1)求过点P 且平行于直线5
4
1
0
x
y
的直线1l
(2)求过点P 且垂直于直线3
4
3
0
x
y
的直线2l
20.已知圆
2
2
:
2
4
0
C x
y
x
y
m
与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切
点为M．
(1)求圆C 的圆心坐标及半径；
(2)求满足
2
PM
PO
的点P 的轨迹方程．
177
21.已知圆C：
2
2
1
5
x
y
，直线l：
1
0
mx
y
m
与圆C 交于两点A，B．
(1)若
3 2
AB
，求实数m 的值；
(2)若点P 为直线l 所过定点，且
2
PB
AP
，求直线l 的方程．
22.已知圆O 的方程是
2
2
:
1
O x
y
，
(1)若点
0
0
(
,
)
M x
y
为圆O 上一点，过点M 作圆O 的切线，求该切线方程.
(2)若点
0
0
(
,
)
M x
y
为圆O 外一点，过点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A、B，
①求直线AB 的方程.
②若
0
0
(
,
)
M x
y
为直线:
3
0
l
x
y
上的一个动点，试讨论直线AB 是否恒过定点，若是，求出定点坐标;
若不是，请说明理由
178
直线和圆的方程单元复习卷（二）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1．已知直线
1
2
:
2
0,
: 3
2
4
0
l
ax
y
l
a
x
ay
，则
1
a 是1
2
//
l
l 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．经过两点
4,
A
a ，
2,3
B
的直线的倾斜角为π
4 ，则
a
（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
3．已知ABC
三边所在直线方程为
:3
4
12
0
AB
x
y
，
: 4
3
16
0
BC
x
y
，
: 2
2
0
CA
x
y
，则AC 边
上的高所在直线的方程是（
）
A．
2
4
0
x
y
B．
7
4
0
x
y
C．4
3
9
0
x
y
D．7
28
0
x
y
4.已知直线l 的斜率为
3 ,在x 轴上的截距为2 3
3
,则直线l 的方程为（
）
A．
3
2
y
x
B．
3
2
y
x
C．
1
3
2
y
x
D．
3
2
y
x
5.已知直线l 经过两条直线1l ：
2
x
y
，2l ：2
1
x
y
的交点，且l 的一个方向向量为
3,2
v
，则直线l
的方程为（
）
A．2
3
1
0
x
y
B．2
3
5
0
x
y
C．3
2
5
0
x
y
D．2
3
1
0
x
y
+
- =
6．若圆C 经过点(2,5)
A
，
(4,3)
B
，且圆心在直线
7
: 2
0
x
y
l
上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
(
3)
(
6)
2
x
y
B．
2
2
(
2)
(
3)
4
x
y
C．
2
2
(
2)
(
3)
8
x
y
D．
2
2
(
3)
(
6)
10
x
y
7.已知圆
2
2
1 :
(
3)
4
C
x
y
与圆
2
2
2 :
6
2
1
0
C
x
y
x
y
，则圆
1
C 与圆
2
C 的位置关系为（
）
A．相交
B．外切
C．外离
D．内含
8.设
0
0
(
,
)
P x
y
为直线3
2
0
x
y
上的动点，若圆
2
2
1
x
y
上存在两点A，B，使
60
APB
，则
0x 的取
值范围是（
）
A．
8
[0, ]
5
B．
8
[
,0]
5
C．
6
[
,0]
5
D．
0,
二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.）
179
9．（多选）下列命题错误的是（
）
A．经过定点
0
0
,
P
x
y
的直线都可以用方程
0
0
y
y
k x
x
表示
B．直线sin
2
0
x
y
的倾斜角的取值范围是
π
3π
0,
,π
4
4
C．经过任意两个不同的点
1
1
1
,
P x y ，
2
2
2
,
P
x
y
的直线都可以用方程
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
表
示
D．不经过原点的直线都可以用方程
1
x
y
a
b
表示
10．（多选）已知三条直线：直线1
2
3
:
3
0,
:
1
0,
: 2
5
0
l
ax
y
l
x
y
l
x
y
不能围成一个封闭图形，则
实数a 的值可以是（
）
A．2
B．1
C．2
D．3
11．（多选）已知圆
2
2
2
1 :
2
10
0
C
x
y
mx
y
m
，圆
2
2
2 :
4
5
0
C
x
y
y
，则下列说法正确的是（
）
A．若点
1,1 在圆
1
C 的内部，则2
4
m
B．若
2
m
，则圆
1
2
,
C C 的公共弦所在的直线方程是4
14
9
0
x
y
C．若圆
1
2
,
C C 外切，则
15
m
D．过点
3,2 作圆
2
C 的切线l ，则l 的方程是
3
x
或7
24
27
0
x
y
12．（多选）在平面直角坐标系xOy 中，圆
2
2
: (
)
(
)
1
M
x
a
y
a
（a 为实数），点
(2,0), ( 1,0)
A
B
，点P 为
圆
2
2
:(
2)
4
N
x
y
上的动点，则（
）
A．若
1,2
Q
，过点Q 可以作圆N 的两条切线
B．当
0
a
时，圆M 与圆N 的公共弦长为
15
4
C．圆M 上始终存在两点与点B 的距离为1，则a 的取值范围为
1
7
1
7
,
2
2
D．PA PB
的取值范围为
2,18
三、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13.过三点
1
2
0,0
1,3
3, 1
O
M
M
､
､
的圆的标准方程是
.
14．已知圆
2
2
:(
)
(
1)
3
C
x
a
y
a
，点
2,0
A
，若圆C 上任意一点P 都满足
2
2
|
|
|
|
8
PA
PO
，则实
数a 的取值范围为
.
15．过圆O：
2
2
2
x
y
上一点P 作圆C ：
2
2
4
4
2
x
y
的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线
180
的夹角为，当PQ
PR
+
取最小值时，sin
.
16.已知直线1 :
3
1
0
l
mx
y
m
与直线2 :
3
1
0
l
x
my
m
相交于点E ，其轨迹记为曲线
1
C ，曲线
2
C 的
方程为
2
2
1)
(
1)
16
x
y
(
，点M ，N 分别在曲线
1
C ，2
C 上运动，点P 在直线l 上，若直线l 经过点
4, 2
Q
，
且与两曲线
1
C ，
2
C 的公共弦所在的直线垂直，则PM
PN
的最小值为
.
四、解答题（本题共6 小题，共70 分，其中第17 题10 分，其它每题12 分，解答应写出文字说明､证明
过程或演算步骤.）
17．已知ABC
的三个顶点为
4,0
A
，
8,7
B
，
4,6
C
.
(1)求过点A 且平行于BC 的直线方程；
(2)求AC 上的中线所在直线方程.
18．已知直线:
2
0
l ax
y
a
恒过点P ，且与x 轴，y 轴分别交于
,
A B 两点，O为坐标原点.
(1)求点P 的坐标；
(2)当点O到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程；
(3)当PA PB
取得最小值时，求AOB
的面积.
19．已知圆
2
2
:
3
C x
y
，直线l 过点
2,0
A
.
(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的斜率；
(2)线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
20．已知
1, 1
M
，
2,2
N
，
3,0
P
．
(1)求点Q 的坐标，满足PQ
MN
，
/ /
PN
MQ ；
(2)若点Q 在x 轴上，且
NQP
NPQ
，求直线MQ 的倾斜角；
(3)一条光线从点
2,2
N
发出，射到x 轴上一点
3,0
P
后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程.
181
21．已知圆
2
2
:
2
2
1
0
C x
x
y
y
.
(1)证明：圆C 过定点.
(2)当
2
时，求直线y
x
被圆C 截得的弦长.
(3)当
2
时，若直线:
1
l y
kx
与圆C 交于
,
M N 两点，且
2
OM ON
，其中O为坐标原点，求k 的取
值范围.
22．过点
1,0
M
的直线为,l N 为圆
2
2
:
(
2)
4
C x
y
与y 轴正半轴的交点.
(1)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程：
(2)证明：若直线l 与圆C 交于
,
A B 两点，直线
,
AN BN 的斜率之和为定值.
