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第16 讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共25 小题）
1．椭圆
的焦点到直线
的距离为
，离心率为
．
抛物线
的焦点与椭圆
的焦点重合，斜率为
的直线过
的焦点与
交于
，
，与
交于
，
．
（1）求椭圆
及抛物线
的方程；
（2）是否存在常数
，使得
为常数？若存在，求出
的值；若不存在，请说
明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的右焦点
，由题意可得
，可得
，
再由
，所以可得
，
所以
，
所以椭圆的方程为：
；
因为抛物线的焦点
，所以
，
所以抛物线的方程：
，
所以椭圆的方程为：
，
抛物线的方程：
；
（2）设直线的方程为：
，并设
，
，
，
，
，
，
，
，
联立
整理可得：
，
，
，
所以
，
，
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联立
整理可得：
，
，所以
，
得
，要使其为定值，则对应比成
比例，
所以可得
，
即
时，
为定值
．
2 ．椭圆
的右焦点
到直线
的距离为
，抛物线
的焦点与椭圆
的焦点
重合，过
作与
轴垂直的直线交椭圆于
，
两点，交抛物线于
，
两点，且
．
（1）求椭圆
及抛物线
的方程；
（2）过点
且斜率为
的直线交椭圆于
、
两点，交抛物线于
，
两点，请问是
否存在实常数
，使
为常数．若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆
、抛物线
的公共焦点
，
由点到直线的距离公式得
解得
，故
，即
，
由
，
得
，
，即
，
又
，解得
故椭圆
的方程为
，
抛物线
的方程为
．
（2）设
，
，
，
，
，
，
，
．
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把直线的方程
，与椭圆
的方程联立，得
，
整理得
，
把直线的方程
，与抛物线
的方程联立，得
，
得
，
要使
为常数，
则
，解得
故存在
，使得
为常数．
3．已知椭圆
的右焦点到直线
的距离为5，且椭圆
的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）给出定点
，
，对于椭圆
的任意一条过
的弦
，
是否为
定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由右焦点
到直线
的距离为5，可得：
解得
．
又
，
，联立解得
，
．
椭圆
的标准方程为
．
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（2）当直线与
轴重合时，
．
当直线与
轴不重合时，设直线
的方程为：
，
，
，
，
．
联立
，化为：
，△
，
，
．
，同理可得：
．
综上可得：
．
4 ．已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线
交椭圆于
、
两点，且
，求直线的斜率
的取值范围．
【解答】解：椭圆
的右焦点为
，
设直线的方程为
，
，
，
，
．
由
，
得
，
直线过焦点
，
△
，
且
，
，
，
同理
，
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故
．
由
，
，
解得
．
所以直线的斜率
的取值范围是
，
，
．
5．已知
，
为椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆上，且
过点
的直线交椭圆于
，
两点，△
的周长为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线
的焦点为
的弦
满足
．” 那么对于椭圆
，问否存在实数
，使得
成立，若存在求出
的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得
，
，
△
的周长为
，
，
，
椭圆
的方程为
，
将
代入得
，
所以椭圆的方程为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，得
，依题意可知直线的斜率不为0，
故可设直线的方程为
，
消去
，整理得
，
设
，
，
，
，
则
，
，
不妨设
，
，
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，
同理
，
所以
，
，
即
，
所以存在实数
，使得
成立．
6．已知椭圆
，椭圆
上任意一点
到椭圆两个焦点
、
的距
离之和为4，且
的最大值为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若过椭圆右焦点
的直线交椭圆于
，
两点，求
的取值范围．
【解答】解：（1）因为椭圆的标准方程为
，记
的最大值为
．
由题意知
解得
，
所以椭圆的标准方程为
．
（2）因为
，当直线的斜率不存在时，
，
则
，不符合题意；
当直线的斜率存在时，直线的方程可设为
．
由
，消
得
．
设
，
，
，
，则
、
是方程
的两个根，
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所以
，
，
（法一）
，
，
当
时，取最大值为3，所以
的取值范围
．
又当
不存在，即
轴时，
取值为
．
所以
的取值范围
，
（法二）
当
时，取最大值为3，所以
的取值范围
．
又当
不存在，即
轴时，
取值为
．
所以
的取值范围
．
7．已知
，
分别为椭圆
的左、右焦点，焦距为2，过
作斜率
存在且不为零的直线交
于
，
两点，且△
的周长为8．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知弦
的垂直平分线
交
轴于点
，求证：
为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，
所以
，解得
，
由椭圆的定义可得△
的周长为
，
又因为△
的周长为8，
所以
，解得
，
所以
，
所以椭圆的方程为
．
（2）证明：设直线的方程为
，
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联立
，得
，
设
，
，
，
，
所以
，
，
设
的中点为
，
，
所以
，
，
当
时，线段
的垂直平分线的方程为
，
令
，得
，
所以
，
，
所以
，
当
时，直线的方程为
，
此时
，
，
所以
，
综上，
．
8．设
、
分别是椭圆
的左、右焦点，
是椭圆
上的点，且
，坐标原点
到直线
的距离是
．
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；
（Ⅱ）过椭圆
的上顶点
作斜率为
的直线交椭圆
于另一点
，点
在椭圆
上，且
，求证：存在
，使得
．
【解答】解：（Ⅰ）
是椭圆
上的点，且
，
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所以点
，
又
，
直线
的方程为
；
坐标原点
到直线
的距离是
，
得
，
，
即
；
解方程得
或
（不合题意，舍去）；
故所求椭圆离心率为
；
（Ⅱ）证明：由椭圆离心率为
，
①
；
②
由①②得
；
椭圆
，
其上顶点为
；
故直线的方程为
，
与椭圆方程组成方程组，消去
，
得
，
解得
，
所以
，
；
又
，
，
化简得
；
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记
，
又
，
，
函数
的零点在区间
内，
存在
，使得
．
9．已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，过点
作斜率为的直线交
于
，
两点．当
时，点
，
，
，
恰在以
为直径且面积为
的圆上．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若
，求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）当
时，直线
轴，又点
，
，
，
恰在以
为直径，
面积为
的圆上，所以四边形
为矩形，且
，
所以点
的坐标为
．（2 分）
又
，所以
，
，
．
在
△
中，
，由
，（3 分）
解得
，
，所以椭圆的方程为
．（6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
点坐标为
，
将
与椭圆方程联立得
，设
，
，
，
，
得
，
，（8 分）
故
．（9 分）
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又
，（10 分）
所以
，
解得
．（11 分）
所以直线的方程为
．（12 分）
10．已知椭圆
，离心率
分别为左、右焦点，椭圆
上
一点
满足
，且△
的面积为1．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过点
作斜率为
的直线交椭圆
于
，
两点．过点
且平行于的
直线交椭圆于点
，
，证明：
为定值．
【解答】（1）解：方法一：由离心率
，得：
，
所以
，
椭圆
上一点
，满足
，
所以点
为圆：
与椭圆
的交点，
联立方程组解得
，
所以
，
解得：
，
，所以柯圆
的标准方程为：
．
方法二：由椭圆定义；
，
，
得到：
，即
，又
，得
，
所以椭圆
的标准方程为：
．
（2）证明：设直线
的方程为：
．
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得
，
，
设
过
点
且
平
行
于
的
直
线
方
程
：
，
．
11．平面直角坐标系
中，
是椭圆
的左焦点，过点
且
方向向量为
的光线，经直线
反射后通过左顶点
．
求椭圆
的方程；
过点
作斜率为
的直线交椭圆
于
，
两点，
为
的中点，直线
为原点）与直线
交于点
，若满足
，求
的值．
【解答】解：（Ⅰ）由
关于
对称得到点
，
在光线所在
直线方程上，
的斜率为
，
，
，
，
椭圆
的方程为
；
（Ⅱ）由
得
，直线
，联立
，
得
，
，
，
，
直线
与直线
垂直，
，则
，解得
．
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12 ．如图，已知抛物线
，点
，
，
，
，抛物线上的点
，
，过点
作直线
的垂线，垂足为
．
（Ⅰ）求直线
斜率的取值范围；
（Ⅱ）求
的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知
，
，
所以
，
故直线
斜率的取值范围是：
；
（Ⅱ）由
知
，
，
所以
，
，
设直线
的斜率为
，则
，即
，
则
，
，
联立直线
、
方程可知
，
，
故
，
，
又因为
，
故
，
所以
，
令
，
，
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则
，
由于当
时
，当
时
，
故
，即
的最大值为
．
13．已知椭圆
的离心率为
，过点
的直线交椭圆
于
，
两点，
，且当直线垂直于
轴时，
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若
，
，求弦长
的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
，即
，
，则
，①
把
代入
，得
，
则
，②
联立①②得：
，
．
椭圆
的方程为
；
（2）如图，当直线的斜率存在
时，设直线方程为
，
联
立
，
得
．
设
，
，
，
，
则
③
由
，得
，
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，
，
，
则
，④
把④代入③消去
得：
，
当
，
时
，
，
．
解得：
．
弦长
的取值范围为
．
14．椭圆
的左，右焦点应分别是
，
，离心率为
，过
且
垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为1．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
与椭圆
切于点
，
，直线
平行于
，与椭
圆
交于不同的两点
、
，且与直线
交于点
．证明：存在常数
，使得
，并求
的值；
（3）点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，连接
，
，设
的角平分线
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交
的长轴于点
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）由
，
，
，解得
，
，
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）证明：
，
，
，又
，
设
的方程为
，
由
可得
，
设
，
，
，
，则△
，
，
，
由
可得
，
，即存在
满足条件；
（3）由题意可知：
，
，
设
，
其中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将向量坐标代入并化简得：
，因为
，所以
，
而
，所以
，
．
15．已知椭圆
的离心率
，直线
被以椭圆
的
短轴为直径的圆截得的弦长为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
的直线交椭圆于
，
两个不同的点，且
，求
的取
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值范围．
【解答】解：（1）原点到直线
的距离为
，
所以
，解得
，
又
，得
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）当直线的斜率为0 时，直线
即
轴，
，
，则
；
当直线的斜率不为0 时，设直线
，
，
，
，
，
联立方程组
，得
，
由△
，得
，
所以
，
，显然
，
同号，
，
，
故
，
，
，
，
且
，
故
的取值范围是
，
．
16．已知椭圆
的离心率
，直线
被以椭圆
的
短轴为直径的圆截得的弦长为
．
（1）求椭圆
的方程；
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（2）过点
的直线交椭圆于
，
两个不同的点，且
，求
的取值
范围．
【解答】解：（1）原点到直线
的距离为
，
所以
，解得
，
又
，得
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）当直线的斜率为0 时，直线
即
轴，
；
当直线的斜率不为0 时，设直线
，
，
，
，
，
联立方程组
，得
，
由△
，得
，
所以
，
，
由
，得
，所以
．
综上可得：
，
即
．
17．已知抛物线
的方程为
，
，
为抛物线上两点，且
，其中
，
过
，
分别作抛物线
的切线
，
，设
，
交于点
．
如果点
的坐标为
，求弦长
；
（Ⅱ）
为坐标原点，设抛物线
的焦点为
，求
的取值范围．
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【解答】解：（Ⅰ）设
，
，因为抛物线
的方程为
，
所以
，则
，
则过
、
的切线方程分别为
，
，
联立两条切线方程可得交点
，
又由
，可知
，即
，
所以
，从而
，
，
因为点
的坐标为
，则
，不妨设
，则
，所以
，
，
因此
．
（Ⅱ）令
，由
可得
，所以
，
因此
，
因为
，所以
，
所以
，
令
，
则
，由
得△
，
即
，解得
．
即
的取值范围为
．
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18．已知曲线
；曲线
．
（1）试判断曲线
与
的交点个数；
（2）若过点
直线与曲线
交于两个不同的点
，
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）由
，得
，
所以
，
由
，得
，
所以
，即
，
由
得
，解得
或
，
所以曲线
与
的交点有两个；
（2）①当直线存在斜率时，设的方程为
，
，
，
，
，
由
得
，
△
，即
恒成立，
则
，
，
，
，
，
，
又
，所以
；
②当直线不存在斜率时，把
代入
得
，
此时
，
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综合①②得
的取值范围为
，
．
19．如图，设抛物线
的焦点为
，准线为，过准线上一点
且
斜率为
的直线
交抛物线
于
，
两点，线段
的中点为
，直线
交抛物线
于
，
两点．
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）若
，试写出
关于
的函数解析式，并求实数
的取值范
围．
【解答】解：（Ⅰ）
，抛物线方程为
．
（4 分）
（Ⅱ）设
方程为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由
得
，△
，所以
，
，
，
，
代入方程得：
，
（6 分）
所以
，
（8 分）
且直线
，
由
得
，
则得
，
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代入直线方程得
，
所以
，
（10 分）
则
，
（12 分）
令
，则
，
而
在
单调递增，在
单调递减
所以
（14 分）
20．椭圆
过点
，
，左焦点为
，
与
轴交于点
，
且满足
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设圆
，直线
与圆
相切且与椭圆
交于不同两点
，
，
当
且
，
时，求弦长
的范围．
【解答】解：（Ⅰ）设
，
点坐标为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
因此
，解得
，
，
椭圆
的方程：
；
（Ⅱ）由题意可知
，整理得
，
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由直线与椭圆交于不同的两点
、
，设
，
，
，
，
由
，得
，
△
，化简可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
21．椭圆
过点
，
，左焦点为
，
与
轴交于点
，
且满足
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设圆
，直线
与圆
相切且与椭圆
交于不同两点
，
，
当
且
，
时，求弦长
的范围，并求当弦长
最大时，直线的方
程．
【解答】（Ⅰ）由题意椭圆过点
，
，设左焦点
，满足
．
所以
、
、
三点在一条直线上，
学科网（北京）股份有限公
，
（Ⅱ）因为直线
与椭圆
交于不同两点
，
，设
，
，
，
则
，
联立可得
，①
则韦达定理有
，②
△
，
因为直线
与圆
相切，所以
，③
当
且
，
时，
，④
将②③代入④可得
，
，
，
；⑤
⑥
学科网（北京）股份有限公
将⑥代入⑤可得
，
，
；
所以
，
；
22．设椭圆
，
为坐标原点，
（1）椭圆
过
，
，
两点，求椭圆
的方程；
（2 ）若
，两个焦点为
，
，
为椭圆上一动点，且满足
，求椭圆离心率的范围．
（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒
有两个交点
，
，且
？若存在，写出该圆的方程，并求
的取值范围，若
不存在说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆
的方程为：
，
，
，
由椭圆过点
、
得
，解得
，
所以椭圆
的方程为：
；
（2）设
，
，
，
由
，得
，
，
①，
又
在椭圆上，所以
，得
，
代入①式得
，化简得
，
则有
，即
，
两边平方得
，即
，
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所以
，解得
，即
．
所以椭圆离心率的范围为：
，
．
（3）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
，
，
且
，
设该圆的切线方程为
，
，
，
，
．
由
，得
，
则△
则
，
要使
，需使
，
所以
，所以
结合
可得
，解得
或
，
因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为
，
所求的圆为
，
而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆
的两个交点为
，
或
，
满足
，（其实与
轴垂直时的切线方程结果是一样的，因为此时圆与椭圆相切）
综上，存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
，
，且
．
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，
①当
时，
因为
，所以
（当且仅当
时取”
” ．
当
时，
．
综上，
的取值范围为
，
23．在平面直角坐标系
中，已知
，
，动点
满足
．
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）过点
作直线
交
于
，
两点，若
的面积是
的面积的2 倍，
求
．
【解答】解：（1）设
，则
，
，
．
由
，得
．化简得
，
即动点
的轨迹
的方程为
．
（2）设
，
，
，
，
由题意知
，
，
因为
，所以
，易知
，所以
．①
设直线
的方程为
，联立
消去
，
得
，则△
，
，②
，③
由①②③解得
，
所以
．
24．过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
、
两点，已知点
，
为坐标原点．若
的最小值为3．
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（1）求抛物线的方程；
（2）过点
作直线
，交抛物线于
、
两点，求
的取值范
围．
【解答】解：（1）抛物线
，而
，
所以
在抛物线的内部，过
作准线的垂线交抛物线于一点，
过
点作抛物线准线的垂线，垂足为
，
根据抛物线的定义有
，
则
，
即为
到
距离，
，
，
抛物线的方程为
．
（2）设
，
，
，
，
，
，
，
，
由题意
斜率必存在，设为
，则
，
则
，则
，
联立直线
与抛物线得
，消去
得
，
由韦达定理得
，
根据抛物线的定义有
，
，
，
联立直线与抛物线得
，消去
得
，
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由韦达定理得
，
，
根据抛物线的定义有
，
，
，
，
当且仅当16
或
取等，
的取值范围为
，
．
25．在①离心率
，②椭圆
过点
，③△
面积的最大值为
，这三
个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
且斜率为的直线
交椭圆于
、
两点，已知椭圆
的短轴长为
，_____．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若线段
的中垂线与轴交于点
，求证：
为定值．
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【解答】解：（1）选择①离心率
，可得
，
，即
，
解得
，
，即有椭圆的方程为
；
选②椭圆
过点
，即有
，又
，即
，解得
，
即有椭圆的方程为
；
选③△
面积的最大值为
，可得
位于短轴的端点时，取得最大值，且为
，
即为
，又
，即
，
，
，
即有椭圆的方程为
；
（2 ）证明：设直线
的方程为
，联立椭圆方程可得
，
设
，
，
，
，可得
，
，
可得
，
设
的中点为
，可得
，
，
由题意可得
，解得
，
可得
，
可得
，即为定值．
