文档内容
重难点突破 06 弦长问题及长度和、差、商、积问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：弦长问题................................................................................................................................2
题型二：长度和问题............................................................................................................................5
题型三：长度差问题..........................................................................................................................11
题型四：长度商问题..........................................................................................................................15
题型五：长度积问题..........................................................................................................................22
题型六：长度的范围与最值问题......................................................................................................29
题型七：长度的定值问题..................................................................................................................36
03 过关测试.........................................................................................................................................441、弦长公式的两种形式
①若 ， 是直线 与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去 后得到一元二次方程
，则 ．
②若 ， 是直线 与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去 后得到一元二次方程
，则 ．
题型一：弦长问题
【典例1-1】已知点 、 分别椭圆 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、
两点，则弦 的长为 .
【答案】 /
【解析】椭圆 的右焦点 ，
因为直线 的倾斜角为 且过点 ，
所以直线 ，设 ， ，
联立 ，消去 得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 .
故答案为：
【典例1-2】已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F，F，离心率为 ，椭圆C上点M
1 2
满足 ．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点 的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为 时直线l的方程．
【解析】（1）依题意 ，解得 ，所以椭圆方程为 ；
（2）当直线的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时 ，不符合题意；所以直线的斜率存在，
设直线方程为 ，则 ，消元整理得 ，设 ， ，则
， ，所以 ，即 ，解
得 ，所以直线 的方程为 ；
【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点
在双曲线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为 ，所以 ，解得： ；
又因为点 在双曲线 上，所以 ，解得： ，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设 ，Q(x ,y )
2 2由题可得过点 且斜率为 的直线方程为： ，即 ，
联立 ，消去 可得： ，
所以 ， ，
所以
【变式1-2】已知抛物线 的焦点为 .
(1)求 ；
(2)斜率为 的直线过点 ，且与抛物线 交于 两点，求线段 的长.
【解析】（1） 为抛物线 的焦点， ，解得： .
（2）由（1）知：抛物线 ；
直线 ，
由 得： ，
设 ， ，则 ，
， .
【变式1-3】已知动圆过定点 ，且在 轴上截得的弦长为 ，动圆圆心的轨迹方程为 ，已知点
，直线 过点 且与轨迹 交于 ､ 两点，且 ，求直线 的方程.
【解析】如图设圆心 ， ，圆 与 轴交于 、 两点，过点 作 轴，垂足为 ，则
，
，
，化为 ；即动圆圆心的轨迹 的方程为 ，
设直线 为 ， ， ，联立方程得 ，消去 得
，所以 ， ，所以 ，即
，解得 ，所以直线 为 或
题型二：长度和问题
【典例2-1】已知 为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两
点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 .
(1)设 是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用
切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于
.(i)若 ，求 的值；
(ii)证明:
【解析】（1）由题意，曲线 ，可得 ，则 ，
点P(x ,y )处的切线方程为 ，即 ，
0 0
因为 ， 代入可得 ，
设 ，
联立方程组 ，整理得 ，可得 ，
又由切线方程可知， 抛物线在点 处的切线分别为 ，
消去 可得 ，消去 可得 ，
即 .
（2） (i) 设 ，
由 (1) 可知 ，
由 可知 ，
由 可知
故 .
(ii) 由抛物线性质可知， ， 同理 ，
又 ，
同理可得， ，
由均值不等式可知，
，同理 ，
但取等条件 不同时成立，
因此 ， 证毕.
【典例2-2】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知 的内角 的对边分别为 ，面积为
，且 .
(1)证明： 为等边三角形；
(2)设 的延长线上一点 满足 ，又平面内的动点 满足 ，求
的最小值.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 不是最大边,
面积 ,所以 ,所以 ,
由余弦定理 ,化简得 ， ，
,
所以
所以 是等边三角形.
（2）如图建系 ，
设点P(x,y)，当 时，
因为 ，所以 ,
所以 ,化简得 ，其中 ，
当 时， ，因为 ，则此时不合题意，则 ，
当 时， ，因为 ，则此时不合题意，则 ，因为 是由双曲线 向右平移4个单位得到的，
易知双曲线 的焦点坐标为 ，则平移后焦点坐标为 和 ，
作出双曲线 ， 的图象如图所示：
根据双曲线定义知 ，则 ，则 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
当 时，此时 ， ，故此时不可能满足 ，舍去；
综上所述 的最小值为10.
【变式2-1】（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆 和两个半圆
、 组成曲线 ，其中点 依次为 的左、
右顶点，点 为 的下顶点，点 依次为 的左、右焦点．若点 分别为曲线 的圆心．
(1)求 的方程；
(2)若过点 作两条平行线 分别与 和 交与 和 ，求 的最小值．
【解析】（1）由两圆的方程知：圆心分别为 ， ，即 ， ，
，解得： ， .
（2）由题意知： ；， 由对称性可知： 为椭圆 截直线 的弦长，
设 ，其与椭圆 交于点 和
由 得： ，则
， ，
，
当 时， 取得最小值 ， 的最小值为 .
【变式2-2】（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当 且 时，我们把方程
表示的椭圆 称为椭圆 的相似椭圆．已知椭圆 ，
椭圆 （ 且 ）是椭圆 的相似椭圆，点 为椭圆 上异于其左、右顶点 的任意一点．
(1)当 时，若与椭圆 有且只有一个公共点的直线 恰好相交于点 ，直线 的斜率分别为 ，
求 的值；
(2)当 （e为椭圆 的离心率）时，设直线 与椭圆 交于点 ，直线 与椭圆 交于点 ，
求 的值．
【解析】（1）设 ，则直线 的方程为 ，即 ，
记 ，则 的方程为 ，
将其代入椭圆 的方程，消去 ，得 ，
因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点，
所以 ，即 ，
将 代入上式，整理得 ，
同理可得， ，
所以 为关于 的方程 的两根，
所以， ．
又点 在椭圆 上，所以 ，
所以 ．
（2）由椭圆 ，得其离心率 ，
所以当 ，即 时，椭圆 的标准方程为 ，
所以， ， ，恰好为椭圆 的左、右焦点，
易知直线 的斜率均存在且不为 ，
所以 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以 ．
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
设 ，则 ， ，
所以
，
同理可得 ，
所以 ．题型三：长度差问题
【典例3-1】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且
，过点 作两条直线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ，所以 ，
的周长为 ，所以 ，
所以 ，
故 的方程为 ．
（2）易知 的斜率不为0，设 ，
联立 ，得 ，
所以 ．
所以 ，
由 ，
解得 ，
所以 的方程为 或 ．
（3）由（2）可知 ，
因为 的斜率是 的斜率的2倍，所以 ，
得 ．
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 ．
【典例3-2】已知抛物线 经过点 ，直线 与 交于 ， 两点（异
于坐标原点 ）．
(1)若 ，证明：直线 过定点．
(2)已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交 于 ， 两点，试问是否
存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：将点 代入 ，得 ，即 ．
联立 得 ，
由 ，设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 恒成立，则 ，
所以 的方程为 ，故直线 过定点 ．
（2）联立 得 ，则
且 ，即 ，
，设 ，同理可得 ．
因为直线 在 的右侧，所以 ，则 ，即 ．
所以 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以满足条件的 存在， .
【变式3-1】已知抛物线 ： 的焦点为椭圆 ： 的右焦点F，点P为抛物线
与椭圆 在第一象限的交点，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线 于A，C两点，交椭圆 于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且
，求直线l的方程.
【解析】（1）由抛物线 可知： ，
故由 得： ，故 ，则 ，
则对于 有： ，解得 ，
故椭圆方程为： ；
（2）过点 的直线 的斜率不存在时， ， ， ，
所以直线 在点 的右侧，与两曲线的交点顺序变成A，B，D，C的顺序，
不满足题意，如下图；所以过点 的直线 的斜率存在，
故设直线 的斜率为k，则直线方程为 ，
联立抛物线方程： ，整理得： ，
设 ，则 ，
故 ，
联立 ，整理得 ，
设 ，则 ，
则
，
又 ，
即 ，整理得 ，
解得 ，因为 ， ，而 ，
且A，B，C，D依次排序，所以 ，如下图，
故 ，故直线 的方程为 .
综上，直线 的方程为 .题型四：长度商问题
【典例4-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA
的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【解析】（1）M为 的垂直平分线上一点, 则 ，
则
∴点M的轨迹为以 为焦点的双曲线, 且 ，
故点M的轨迹方程为
（2）( i ) 设 ，双曲线的渐近线方程为： ，
如图所示：
则 ①， ②，
+ 得， ，
① ②- 得， ，
① ②
则 ，得
由题可知 ，则 ，
得 ，即 ，
∴直线 的方程为 ，即 ，
又∵点M在曲线H上，则 ，得 ，
将方程联立 ，得 ，
得 ，
由 ，可知方程有且仅有一个解，
得直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，可得 ，同理可得， ，
则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故 的取值范围为 ．
【典例4-2】（2024·高三·山东德州·开学考试）已知双曲线 焦点在 轴上，离心率为 ，且过点
，直线 与双曲线 交于 两点， 的斜率存在且不为0，直线 与双曲线 交于 两点.
(1)若 的中点为 ，直线 的斜率分别为 为坐标原点，求 ；
(2)若直线 与直线 的交点 在直线 上，且直线 与直线 的斜率和为0，证明： .
【解析】（1）设双曲线方程为 ，则 ，解得 ，
所以 ，
设
因为 两点都在双曲线 上，
所以 ，
两式作差得 ，
整理得
则 ；
（2）设 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，
化简得 ，
，则 ，
故 ，
，
由 ，所以 ，
从而
，即 .
【变式4-1】抛物线 的焦点 到准线 的距离为 .
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点 的直线（斜率存在且不为0）交抛物线 于 两点，线段 的中垂线交抛物线的对称轴于
点 ，求 .
【解析】（1）因为抛物线 的焦点 到准线 的距离为 ，所以 ，
根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，
分别是 ， ， ， .
（2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响 的取值，因此不妨取抛物线的方程为 ，此
时焦点 ，
根据题意，直线 的斜率存在且不为 ，因此设直线 的方程为 ，
与抛物线 联立，得关于 的一元二次方程 ，
则 ，设 、 ，
则 ， ， ，
，
则 ，线段 的中点坐标为 ，中垂线方程为 ，
令 ，解得 ，即中垂线与 轴交于 ，
所以 ，则 .
【变式4-2】（2024·湖北黄冈·模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在
地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ，
，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的最小值是
．
【答案】
【解析】∵椭圆的离心率为 ，
∴ ，∴ ，
∴椭圆的方程为 ，
不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，
∵ ，
∴ ，∴ 为正三角形，
∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，
∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ，
直线 的方程： ，
代入椭圆方程 ，整理得： ，
，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，
∴
则 ，
当且仅当
故答案为： .
【变式4-3】（2024·高三·河北·开学考试）已知椭圆 的焦点在 轴上，离心率为 ，对称轴为坐标轴，
且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过 的直线交椭圆 于 两点，求 的取值范围.
【解析】（1）依题意，可设椭圆 的方程为 .
由 得 ，又因为 ，所以 ，则 ，因为椭圆经过点 ，代入上述方程解得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）
由（1）可知： ，
当斜率不存在时，若点 与 重合， 与 重合.此时 .
若点 与 重合， 与 重合，则 .
当直线斜率存在时，设直线 ，
联立得 消去 可得 ，显然 ，
则 ，可得 ，
整理可得 ，
因为 ，可得 ，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
所以 .
综上， 的取值范围为 .题型五：长度积问题
【典例5-1】（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆 的右顶点为 ，上顶
点为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的左焦点为 点 为椭圆 上不同于顶点的一点，直线 与 轴的交点分别为 ，若
，求点 的横坐标.
【解析】（1）由题设，
所以 的方程为 ．
（2）
法一：设 ，所以
所以 ， 直线 的方程为 ．
令 ，得
又 ， 直线 的方程为
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ， .
所以点 的横坐标为 或 .
法二：由题意直线 斜率存在，且不为0，设直线 的方程为 ．
令 ，得
由 得 ．
易得 ．设 ，则 ，
，所以
直线 的方程为 ．
令 ，得 ，
所以 ．
所以 ， .
所以 ， .
所以点 的横坐标为 或 .
【典例5-2】已知抛物线 ， 为 的焦点，过点 的直线 与 交于 ， 两点，且在 ，
两点处的切线交于点 ，当 与 轴垂直时， ．
(1)求 的方程；
(2)证明： ．
【解析】（1）由题意知 ，将 代入 ，解得 ，
所以当 与 轴垂直时， ，所以 ，
故抛物线 的方程为 ．
（2）证明：法一：根据题意知直线 的斜率存在， ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
所以 ， ， ．
对 求导，得 ，
所以 ，所以 ．
由 得 所以 ．
当 时，根据对称性得 ， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ．
综上， ．
法二：根据题意知直线 的斜率存在， ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，所以 ， ， ．
对 求导，得 ，由 得 所以 ．
因为 ， ，所以 ．
又 ，所以 ．
【变式5-1】（2024·高三·江西·开学考试）已知双曲线 其左、右焦点分别为 ，
若 ，点 到其渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设过点 的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且 ，若 成
等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由．
【解析】（1）由题意可知： ，即 ，
则 ，其中一条渐近线为 ，即 ，
因为点 到其渐近线的距离为 ，则 ，
所以双曲线C的标准方程 .
（2）双曲线C为“黄金双曲线”，理由如下：
设P(x ,y )为双曲线C的上一点，则 ，即 ，
0 0
可得 ，
若 为双曲线C的上左支一点，则 ，则 ，
且 ，可得 ；
若 为双曲线C的上右支一点，则 ，则 ，
且 ，可得 ；
由题意可知： ，渐近线方程为 ，
则直线l的斜率存在， ，设 ，
联立方程 ，消去y可得 ，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
即 ，解得 ，
此时 ， ，
且 ，
因为 ，
即 ，则 成等比数列，
所以该双曲线为“黄金双曲线”.
【变式5-2】（2024·高三·陕西安康·开学考试）已知动圆的圆心在 轴上，且该动圆经过点
．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设过点 的直线 交轨迹 于 两点，若 为轨迹 上位于点 之间的一点，点 关
于 轴的对称点为点 ，过点 作 ，交 于点 ，求 的最大值．
【解析】（1）因为动圆的圆心在 轴上，所以设圆心坐标为 ，半径为 ，
由题意可得 ，即 ，
又圆心是点 的中点，
由中点坐标公式可得 ，
代入上式可得 ，
所以点 的轨迹 的方程为 ；
（2）由题意知 在抛物线C上，则 ，即 ，
由于过点 的直线 交轨迹 于 两点，则直线l的斜率为 ，故l的方程为 ，联立 ，得 ，
解得 或 ，则 ，则B关于x轴的对称点为 ，
由题意知直线AQ的斜率存在，设为k，直线 的斜率为 ，则 ，
设直线 ，
因为点Q在抛物线C上，故联立 ，得 ，
得 ，则 ， ,
又 ，故直线BM的方程为 ，
联立 ，解得 ,
因为
，
故当 时，即 时， 取到最大值，最大值为 .【变式5-3】已知椭圆 的离心率为 ，且直线 被椭圆 截得的弦长为
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点为 ，若直
线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求 的取值范围．
【解析】（1）直线 ，经过点 ， ，被椭圆 截得的弦长为 ，可得 ．
又 ， ，解得： ， ， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）可得：圆 的方程为： ．
设 ，则以 为直径的圆的方程为： ，
与 相减可得：直线 的方程为： ，
设 ， ， ， ，联立 ，化为： ，
，则 ， ，
故 ．
又圆心 到直线 的距离 ，
，
，
令 ，则 ，
，可得 ，可得： ．题型六：长度的范围与最值问题
【典例6-1】（2024·安徽·一模）已知双曲线C： 的离心率为2.且经过点 .
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且 （点O为坐标原点），求 的取值范围.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
故双曲线方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，可设 ，
则 ，
将其代入双曲线方程 ，
又 ，解得 ，
此时 ，
当直线 斜率存在时，设其方程为 ，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，
故 ，
则
，
化简得 ，此时 ，
所以，
当 时，此时 ，
当 时，此时 ，
，故 ，
因此 ，
综上可得 .
【典例6-2】（2024·高三·广东·开学考试）我们把各边与椭圆 的对称轴垂直或平行
的 的内接四边形叫做 的内接矩形．如图，已知四边形 是 的一个边长为1的内接正方形， ，
分别与 轴交于 ， ，且 ， 为 的两个焦点．
(1)求 的标准方程；
(2)设 是四边形 内部的100个不同的点，线段 ， 与 轴分别交于 ， ，记，其中 ，证明： ， 中至少有一个小于 ．
【解析】（1）依题意 ，焦距 ，所以 ，
连接 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的标准方程为 ，即 .
（2）连接 并延长与 交于点 ，连接 （为了便于理解，解析图中只做了两条，其它类似），
则 ，
所以由正方形的对称性，
，
所以 ，
若 ， 均不小于 ，则 ，与 矛盾，
所以 ， 中至少有一个小于 .
【变式6-1】（2024·高三·浙江·开学考试）在直角坐标系 中，过椭圆 的右焦点的直线与 截得的线段长的取值范围是 .
(1)求 的方程；
(2)已知曲线 的切线 被坐标轴所截的线段长为定值.
（i）求 与 截得的线段长；
（ii）求 与 截得的线段长的取值范围.
【解析】（1）设 的焦距为 ，设 与 交于A(x ,y ),B(x ,y ).
1 1 2 2
①当 与 轴重合时，显然 ；
②当 不与 轴重合时，设 ，
则将 与 联立 ，整理得 ，
则 ，
所以
，
则有 ，因此有 ，解得 ，
所以椭圆 .
（2）（i）设切点 为 上任意一点，
由条件， ，则有 ，
则 .
设直线交 轴分别于 ，代入 ，
解得 ，即 的横坐标.
代入 ，解得 ，即为 的纵坐标，则有 为定值，
则只能有 ， ，解得 ，
否则， ，均为定值，则其解有限，矛盾.
此时有 .
（ii）设切线与椭圆交于 ，
此时令 ，则切线 .
将切线与 联立，得 ，
故 ,则有 ，
因此
因为 ，则 ，
则 ，所以
即
【变式6-2】（2024·高三·北京·自主招生）双曲线： 有一点 在双曲线上，分别过 点作渐近线
平行线交 轴于 ，且 在靠近原点的一侧，过 点作 轴垂线交以 为直径的圆于点 ，求 的
取值范围.
【解析】
由对称性不妨取点 在第一象限，设P(x ,y )，则 ，
0 0
由双曲线方程可得其渐近线方程为： ，
则 ， ，
， ，
， ， .
【变式6-3】（2024·新疆·二模）已知椭圆 的左焦点为 ， 上任意一点到
的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为 ．
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线 与 交于 ， 两点，若动点 满足 ， ，动点
在椭圆 上，求 的最小值．
【解析】（1）设 ， ，则 ．
又因为 ，所以 ，即 ，
又椭圆的离心率 ，所以 ，则 ，
解得 ，故 的方程为 ．
（2）设 ， ， ，因为 ，
所以 ，
若 ，则 ，即 与 重合，与 矛盾，
若 ，则 ，即 与 重合，与 矛盾，
故 ，于是 ，将点 代入 ，
化简得 ，
同理可得， ，
故 ， 为方程 的两根，
于是 ，即 ，动点 在定直线 上．
令直线 ，当 与 相切时，记 ， 的距离为 ，则 ，
联立 可得 ，
由 ，解得 ，又 ，则 ，
此时，解得 ， ，即切点为 ，直线 ， 的距离为 ，
故 的最小值为 ．题型七：长度的定值问题
【典例7-1】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线 的准线过点 ，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角 为锐角，以角 为倾斜角的直线经过抛物线的焦点 ，且与抛物线交于A、B两点，作线段
的垂直平分线 交 轴于点 ，证明: 为定值，并求此定值.
【解析】（1）解:(1)由题意得
∴抛物线的方程为
（2）设 ，直线AB的斜率为
则直线方程为
将此式代入 ，得 ，
故
设 的中垂线为直线m，设直线m与 的交点为
则
故直线m的方程为令 得点P的横坐标为
故
∴ 为定值8
【典例7-2】已知椭圆 的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭
圆 上不同的两点，且当 三点共线时，直线 的斜率之积为
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 的面积为1，求 的值.
【解析】（1）由题意知椭圆的短轴长为2，即 ， .
为椭圆的上顶点，所以 .
当 三点共线时，设A(x ,y )，则 .
0 0
由点 在椭圆上，则 ,
因为 ，
所以 ，解得 ．
故椭圆 的方程为 ；
（2）设过 两点的直线为 ，
当直线 的斜率不存在时， 两点关于 轴对称，
所以
因为 在椭圆上，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，联立 ，
解得此时 ，所以 .
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，
联立 消去 得 ，
其中 ①，
所以 ，
所以 ．
因为点 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 ，符合①式，
此时 ，
综上所述， 的值为5．【变式7-1】（2024·高三·广东·开学考试）设 为椭圆 的左、右焦点，点
在椭圆 上，点 关于原点的对称点为 ，四边形 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过 的直线 交椭圆 于 两点，求证： 为定值.
【解析】（1）设椭圆 的焦距为 ，因为 ，
所以四边形 为平行四边形，其面积设为 ，则
，所以 ，
所以 ，
又 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2） ，当直线 与 轴重合时， 的方程为 ，
此时不妨令 ，则 ；
当直线 与 轴不重合时， 的方程可设为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，综上， 为定值4.
【变式7-2】已知椭圆 过点 ，且 ．
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点 的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别
与y轴交于M，N两点．求证 为定值．
【解析】（1）因为椭圆 过点 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 .
不妨设此时 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 .
直线 的方程为 ，即 .
所以 .
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 ，得 .
依题意， .
设 ， ，则 ， .又直线 的方程为 ，
令 ，得点 的纵坐标为 ，即 ，同理 .
所以
.
综上， 为定值，定值为 .
【变式7-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系 中，双曲线
的上下焦点分别为 ， . 已知点 和 都在双曲线上， 其
中 为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设 是双曲线上位于 轴右方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 .
(i) 若 ，求直线 的斜率；
(ii) 求证： 是定值.
【解析】（1）将点 和 代入双曲线方程得：，结合 ，化简得： ，解得 ，
双曲线的方程为 ．
（2）(i) 设 关于原点对称点记为 ，
则 ．
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
故 三点共线．
又因为 与 互相平分，所以四边形 为平行四边形，故 ，
所以 ．
由题意知，直线 斜率一定存在，
设 的直线方程为 ，代入双曲线方程整理得：
，故 ，
直线 与双曲线上支有两个交点，所以 ，解得 ．
由弦长公式得
，
则 ，且由图可知 ，即 ，
代入解得 ．(ii) 因为 ，由相似三角形得 ，
所以
．
因为 ．
所以 ，故为定值．
【变式7-4】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知椭圆 的离心率 ，连接四
个顶点所得菱形的面积为4.斜率为 的直线交椭圆于 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)设 为坐标原点，若 三点不共线，且 的斜率满足 ，求证： 为定
值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
又连接四个顶点所得菱形的面积为 ，可得 ，
解得 ，所以椭圆方程为 .
（2）如图所示：
设直线 的方程为：联立 ，可得： ，则 ，
由韦达定理可得： ，
由弦长公式可得：
当 时，|AB|取得最大值 .
（3）如图所示：
设直线 的方程为：
联立 ，可得： ，则
由韦达定理可得： ，
又由 ，可得 ，
代入可得 ，即 .所以 ，所以
故 为定
值.
1．已知斜率为2的直线 经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆相交于 两点，求弦 的长．【解析】由题意可知： ，
因为直线 过椭圆 的右焦点 ，且斜率为 ，
则直线 的方程为 ，且直线 与椭圆必相交，
方法一：解方程组 ，解得 或 ，
不妨令 ， ，
所以 ；
方法二：设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立方程 ，消去 得 ，
则 ， ．
所以 ；
方法三 设 ， ，
联立方程 ，消去 得 ，
则 ， ，
所以 ．2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线 的左顶点是 ，一条渐近线的
方程为 ．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线 与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
【解析】（1）由题意知 ，且 ，
，
所以双曲线的离心率 ．
（2）由（1）知双曲线方程为 ，
将 即 代入 ，得 ，
不妨设 ，
所以 ．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C： 上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线
与双曲线C相切．
(1)若点P是直线 与圆 的交点，求a；
(2)求 的取值范围．
【解析】（1）联立方程： ，解得 或 ，
即点 为 或 ，
将点 代入双曲线C： 可得 ，解得 ，
所以 .
（2）先证：在双曲线 上一点 处的切线方程为 .
因为点 在双曲线 上，则 ，显然直线 过点 ，
即 ， ，
联立方程 ，消去y可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
所以在双曲线 上一点 处的切线方程为 .
设 ， ，则 ，
可得线段OP的垂直平分线为 ，即 ，
设直线 与双曲线C切于点(x ,y )，则直线 ，
1 1
则 ，即 ，
且 ，即 ，整理可得 ，
又因为 在双曲线C上，则 ，即 ，
可得 ，解得 （舍负），
则 ，令 ，则 ，可得 ，
令 ，则关于x的方程 有正根，
即关于t的方程 在 内有根，
设 ，
若 ，即 ，则 ，不合题意；
若 ，即 ，则 ，解得 ，不合题意；
若 ，即 ，则 ，解得 ；
综上所述： ，
则 ，即 .
4．已知椭圆 ： 的离心率为 ， 点 ， 在椭圆上运动. 当直线 过椭圆右焦点并
垂直于 轴时， 的面积为 （ 为坐标原点）.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)延长 到 ， 使得 ，且 与椭圆 交于点 ， 若直线 ， 的斜率之积为 ， 求
的值.
【解析】（1）由题意可得： ，
解得： ， ， ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）设点A(x ,y )，B(x ,y )， ， ，则 ，
1 1 2 2
，， ，
且 ， ， ，
，
整理可得： ，
，即 ，故 .
5．在平面直角坐标系中，动点 到 的距离等于到直线x=−1的距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点 作（1）中 的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O
为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求 的最小值.
【解析】（1）因为动点 到 的距离等于到直线x=−1的距离，所以M的轨迹为开口向右的抛物线，
又因为焦点为 ，所以轨迹方程为 .
（2）（ⅰ）证明：设点 ，
设以A(x ,y )为切点的切线方程为 ，
1 1
联立抛物线方程,可得 ，由 ，得 ，
所以切线AP： ，同理切线BP：点P在两条切线上，则 ，
由于 均满足方程 ，故此为直线AB的方程，
由于垂直 即 ，则 ，
所以直线AB的方程 ，恒过 ；
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，则 ，直线
联立直线AB与直线OP的方程 得 ，
因此 ， 时取等号.
即 的最小值是 .
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分
别与E交于点A，B和点C，D，当 时， ．
(1)求E的方程；
(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且 ，求直线AB和CD的方程．【解析】（1）由题意可知： ，直线 的斜率存在且不为0，
此时直线AB、CD均与抛物线 相交，
设 ，则 ，
联立方程 ，消去 可得 ，
则 ，
可得 ，
若 ，根据抛物线的对称性不妨令直线 的倾斜角为 ，即 ，
可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）可知： ， ， ，
且 ，
则 ，即 ，
同理可得： ，
由题意可知： ，
则 ，
因为 ，解得 ，
则 ， ，即 ， .7．（2024·高三·广东·开学考试）已知双曲线 的离心率为 ，焦距为 ．
(1)求 的标准方程；
(2)若过点 作直线 分别交 的左､右两支于 两点，交 的渐近线于 ， 两点，求 的取值范
围．
【解析】（1）因为 的离心率为 ，焦距为 ，
所以 ，解得 ，所以 ．
所以 的标准方程为 ．
（2）由题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
不妨设 分别在左､右位置，联立 ，得 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
联立 ，得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
由 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
8．（2024·河南安阳·一模）如图，已知直线 ，M是平面内一个动点， 且MA
与 相交于点A（A位于第一象限）， ，且MB与 相交于点B（B位于第四象限），若四边形
OAMB（O为原点）的面积为 ．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点 的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′: ，使以PQ为直径的圆与直线l′相
交于E，F两点，且 为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ， 所在直线方程为 ，
联立方程 得 ，同理 ，
，
所以四边形OAMB的面积为：
，所以 ，
所以动点M的轨迹C的方程为 ．
（2）假设存在定直线l′： ，使 为定值．
设 ，PQ中点 ，直线l方程为 ，
联立方程 ，
由 ，得 ，
，
，
，
设G到直线l′： 的距离 ，
，
因为 为定值，所以 为定值．由 为定值，
故 即 ，即当 时， 为定值 ，
此时 ．
所以存在定直线 ，使 为定值 ．
9．若点 为双曲线 上一点， ，点A为双曲线的右顶点，过点P作直线l
交双曲线C于点Q，l于y轴相交于点B，点D为y轴上一动点，O为原点.
(1)求双曲线 的方程．
(2)若 四点共圆.
求 的值；
①
若 ，求直线 的斜率.
②
【解析】（1）由题意可得： ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）由（1）可知：双曲线 的方程为 ，则 ，
①因为 四点共圆，则 ，
由题意可知：直线l的斜率存在，设 ，
联立方程 ，解得 或 ，可知 ，
则 ，
又因为B的坐标为 ，则 ，
又因为 ，
则 ，
且 ，则 ，所以 ；
②如图， 四点共圆， ，
连接 ，因为 四点共圆，则 ，
可知 ，可得 ，即 .
因为 ，则 ，
可知 三点共线，且 ，可得 ，
则直线 ，则 ，
由可知 ，则 ，可得直线 ，
代入 可得：
，解得 或 ，
因此直线 的斜率为 或0.10．已知椭圆C： ， 、 分别为椭圆C的左、右焦点，过 作与x轴不
重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点D、E分别为线段 、 的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点．
（i）求证： 为定值；
（ii）设 面积为S，求S的取值范围．
【解析】（1）在椭圆C中，令 ，可得 ，故有 ，而 ， ，解得 ，
， ，故椭圆C的标准方程为 ．
（2）（ⅰ）设l： ，将l与C联立可得： ．
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ．
1 1 2 2
则 ， ， ， ．
①当l与x轴垂直时， ，此时 ，故 ；
②当l与x轴不垂直时 ，也有 ．
综上， ．故 ，
而 ，故 ．
（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，故 ： ．
令 ，解得 ．
恒过定点 ．设 到MN与AB的距离分别为 与 ， 的面积为 ，则
．故
．
令 ，则 ，
因为 在 上单调递增，故 ，则 ．
综上所述，S的取值范围为 ．
11．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B
两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交
于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明： 为定值.
【解析】（1）因为抛物线的准线为： ，设 ，则 ，所以 ，
故抛物线E的标准方程为 .
（2）易知抛物线E的焦点 ，
设直线AB的方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2联立 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为 ，
联立 可得 ，即 ，即 ，
所以，直线 与抛物线E只有唯一的公共点，
所以，AC的方程为 ，
同理可知，直线BD的方程为 ，
在直线AC的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
同理可得点 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，
设点 、 ，联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以 ，
同理可得 ，
所以
，
故 为定值 .12．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的右焦点为点F，椭圆
上顶点为点A，右顶点为点B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足
，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意， ，解得 ，
又因为 ，所以 ．
（2）设直线 的方程为 ，椭圆的方程为 ，
设点 ， 联立方程组，整理得 ，
解得 ， ①，
直线AF方程为 ，
设点 ，
，联立方程组，解得 ， ②，
又因为 ，
设 ，则有 ，
即 ，所以 ，所以 ．
所以 ，则有 ，代入①②有 ，解得 ，
由题意得 ，所以 ，因此存在直线 满足题中条件．
13．（2024·江苏·三模）已知 为等轴双曲线 上一点，且 到 的两条渐近线的
距离之积等于 .
(1)求 的方程；
(2)设点 在第一象限，且在渐近线的上方， 分别为 的左､右顶点，直线 分别与 轴交于点
.过点 作 的两条切线，分别与 轴交于点 （ 在 的上方），证明： .
【解析】（1）设 ，
为等轴双曲线 上一点，
，
双曲线渐近线为 ，
，
，
的方程为 .
（2）设 ，
直线 方程为 ，直线 的方程为 ，，
设过 且与双曲线 相切的直线为 ，
联立 ，
得 ，
，
即 ，
设直线 的斜率分别为 ，则 ，
方程 ，
，
同理 方程 ，
，
，
，
，
，
，
.
