文档内容
重难点突破 09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：斜率和问题............................................................................................................................3
题型二：斜率差问题..........................................................................................................................12
题型三：斜率积问题..........................................................................................................................22
题型四：斜率商问题..........................................................................................................................29
03 过关测试.........................................................................................................................................401、已知 是椭圆 上的定点，直线 （不过 点）与椭圆交于 ， 两点，且
，则直线 斜率为定值 ．
2、已知 是双曲线 上的定点，直线 （不过 点）与双曲线交于 ， 两点，且
，直线 斜率为定值 ．
3、已知 是抛物线 上的定点，直线 （不过 点）与抛物线交于 ， 两点，若
，则直线 斜率为定值 ．
4、 为椭圆 上一定点，过点 作斜率为 ， 的两条直线分别与椭
圆交于 两点．
（1）若 ，则直线 过定点 ；
（2）若 ，则直线 过定点 ．
5、设 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过 作两条直线 ， 交椭圆
于 、 、 、 ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，弦 ， 的中点
记为 ， ．
（1）若 ，则直线 过定点 ；
（2）若 ，则直线 过定点 ．
6、过抛物线 上任一点 引两条弦 ， ，直线 ， 斜率存在，分别记
为 ，即 ，则直线 经过定点 ．题型一：斜率和问题
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，且四个顶点所围成
的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设 ，满足 ．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
【解析】（1）由题意 ，2ab=4，
又 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）如图所示
①设直线AB的方程为 ，设
联立 ，得
(*)
=
， ，
整理得 ，所以直线 和直线 的斜率之和为定值0．
②由①，不妨取 ，则
设原点到直线AB的距离为d，则
又 ，所以
当且仅当 时取等号．
．
即四边形ABCD的面积的最大值为4．
【典例1-2】如图，已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 与 轴交于点 ，过点 的直线 与 交于 两点，点 为直线 上任意一点，
设直线 与直线 交于点 ，记 的斜率分别为 ，求证： ．
【解析】（1）由条件可得 ，解得 ，
故椭圆的方程为 ；（2）设A(x ,y ),B(x ,y )， ，若直线 与 轴不重合时，
1 1 2 2
设直线 的方程为 ，点 ，
代入椭圆方程整理得 ，显然 ，
则 ，
，
若直线 与 轴重合时，则 ，
此时 ，而 ，故 ．
综上所述， ．
【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直
线 与 的交点为 .
(1)若 ，求抛物线 的方程及焦点 的坐标；
(2)若点 为 轴正半轴上的任意一点，过点 作直线交抛物线于 两点，点 关于原点的对称点 ，连
接 交抛物线于点 ，求证： .
【解析】（1）设直线 方程为： ，由抛物线的性质可知： .
联立 消 得： ，
，
，解得 ，
抛物线 的方程： ，焦点 .
（2）设 ，则 ，直线 的方程为 ，
联立 消 得： ， ，
，
而 ，
又知 ，
所以 .
【变式1-2】如图所示，已知分别过椭圆 的左、右焦点的动直线 ， 相交于点P，且 ，
与椭圆E分别交于点A，B和点C，D，直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为 ， ， ， ，满足
，请问是否存在定点M，N，使得 为定值？若存在，求出点M，N的坐标；若不
存在，请说明理由．
【解析】设点 ， ， ， ．
设点 ， ，将点 代入得 ．
从而直线 的方程为 ，则 ①．
椭圆方程为 ，即 ．整理得 ．
上式两边同除以 得 ．
由韦达定理得 ．
同理可设 ，将点 和 代入得 ，则 ②．
同理可得 ．
由 得 ，整理得 ．
因为 ，所以 ，即 ．
所以点P(x,y)在椭圆 上，所以存在点M，N使得 为定值 ，点M，N的坐标分别
为 ， ．
【变式1-3】（2024·江西鹰潭·二模）设椭圆E： 经过点 ，且离心率 ，
直线 垂直x轴交x轴于T，过T的直线l 交椭圆E于A(x ,y )，B(x ,y )两点，连接 ， ，
1 1 1 2 2
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为 ， ．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求 的值．
【解析】（1）由题意知解得 ，
所以椭圆E的方程为 ；
（2）（ⅰ）易知 ， ， ， ，
设直线 的方程为 ，由直线 过 知 ，
联立方程
得 ，
变形得： ，
即 ；
（ⅱ）设直线 的倾斜角分别为 ,
则 ， ， ， , ， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以
由 知， ，即 ，
故 .【变式1-4】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，点 在
上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点（异于点 ），过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ，设
直线 的斜率分别为 .证明：
（i） 为定值；
（ii）直线 过线段 的中点.
【解析】（1）由题可知： ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）（i）①当直线 的斜率为0时，则不妨设 ， ，
所以 为定值.
②当直线 的斜率不为0时，设直线 ，P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
联立直线 与椭圆 的方程 ，消去 整理得 ，
则 ， ， ，所以 ，
所以
.
综上， 为定值.（ii）设线段 的中点为 ，易得 ，
可得直线 的方程为 ，则 ，
直线 的方程为 ，则 ，
所以 ，
由（i）知， ，所以 ，
又直线 的方程为 ，所以点 在直线 上，
即直线 过线段 的中点.
【变式1-5】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作抛物线
的两条切线，切点分别为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条倾斜角互补的直线 ， 交抛物线 于 两点， 交抛物线 于 两点，连接
，设 的斜率分别为 ，求 的值；
(3)设 ，求 的值.
【解析】（1）设切点 ，
因为 ，所以 ， ，
以点 为切点的切线的斜率为 ，
以点 为切点的切线的方程为 ，∵切线过点 ，所以 ，
∴ ，同理， ，
所以 为方程 的两根，
∴ ， ，
，
∴ ， ，∵
∴ ，∴抛物线方程为 .
（2）设 方程为 ，联立 和抛物线方程，得
∴ ， ，
解得： ，
设 ， ， ，
∴ ，同理， .
.
∴
.
∴
（3） ，
∴ ，
由（2）可得， ，
同理 ，
∴ ，∴点 共圆，
，题型二：斜率差问题
【典例2-1】已知椭圆 的离心率为 ，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右
顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交
于点Q，直线BP交x轴于点N．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)求证： 为定值，并求出此定值（其中 、 分别为直线QN和直线QC的斜率）．
【解析】（1）由题意得 ，又 ，
解得 ，
∴椭圆M的标准方程为 ．
（2）方法一：
直线 ，
依题意可设直线 （ 且 ），（注：P不为椭圆顶点），
由 ，则 ，
所以 ，
由 ，
，所以 ，
由B，P，N三点共线得 ，即 ，得 ，
所以 ，
所以 为定值．
方法二：
设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为： ，
又 ， ，直线AB的方程为 ，
由 ，解得 ，所以 ，
由 ，得 ，
由 ，
则 ，所以 ，
则 ，∴ ，
依题意B、P不重合，所以 ，即 ，
所以 ，
∴直线BP的方程为 ，
令 ，即 ，解得 ，∴ ，
∴ ，
∴ 为定值．
方法三：
设点 ，则 ， ， ，
由B，P，N三点共线得 ，
即 ，
， ，
联立 ，得 ，
所以
，
所以
.
方法四：
设点P(x ,y )，则 （ 且 ）,
0 0由B，P，N三点共线得 ，即 ，
直线 ， ，
联立 ，得 ， ，
所以 ，
.
【典例2-2】椭圆C： 的离心率 ， ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD
交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明： 为定值．
【解析】（1）由椭圆的离心率 ，则 ，
又 ，
解得： ， ，
则椭圆的标准方程为： ；（2）证明：因为 ，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为
联立 整理得 ．
则 ，故 ，则 ．
所以
又直线AD的方程为 ．
联立 ，解得
由三点 ， 共线，
得 ，所以 ．
的斜率为 ．
则 ．
为定值 ．
【变式2-1】在平面直角坐标系 中，已知定点A(1，0)，点M在 轴上运动，点N在 轴上运动，点P
为坐标平面内的动点，且满足 .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆 上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记 分别为切线QS，QT的斜
率，当Q运动时，求 的取值范围.
【解析】(1) 设N(0，b)M(a，0)，P(x，y).
因为
所以 ，即因为
所以
所以x＝-a，y＝2b，
所以y2＝4x
(2)设Q(x，y)，x [-3，-1]
由题意知:切线斜率存在，设为k
∈
切线方程为:y-y＝k(x-x)，
0 0
联立 ，化简得:ky2-4y+4y-4kx=0
0 0
△＝16-16k(y-kx)=0
0
∴ 将 代入得
，
.
∴
∴ 的取值范围是
【变式2-2】设 、 为抛物线 上的两点， 与 的中点的纵坐标为4，直线 的
斜率为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 ， 、 为抛物线 （除原点外）上的不同两点，直线 、 的斜率分别为 ， ，
且满足 ，记抛物线 在 、 处的切线交于点 ，线段 的中点为 ，若
，求 的值.
【解析】（1）设 ， .
又 、 都在抛物线 上，
即所以 ， .由两式相减得 ，
直线 的斜率为 ， .
两边同除以 ，且由已知得 ，
所以 ，即 .
所以抛物线 的方程为 .
（2）设 ， ， .
因为
所以 ，所以 ，
设直线 的斜率为 ，则直线 ，
由 消 得 .
由 ，得 ，即 .
所以直线 ，
同理得直线 .
联立以上两个方程解得
又 ，
所以 ，
所以 .
【变式2-3】如图,已知点 是抛物线 ： 的焦点,点 在抛物线上,且 .（1）若直线 与抛物线 交于 两点,求 的值;
（2）若点 在抛物线 上,且抛物线 在点 处的切线交于点 ,记直线 的斜率分别为 ,且
满足 ,求证： 的面积为定值.
【解析】（Ⅰ）设 ,由题意,得 ,
故 ,即
代入 中,得 ,所以 ,
所以抛物线方程为 ,
联立方程,得
消去 ,得 ,
,记 ,
根据根与系数的关系,得 ,
故 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,抛物线方程为 , ,
设 , , ,
因为直线MP,MQ的斜率分别为 ,
则 ,
又因为 ,所以 ,直线 ,直线 ,
易得
因为直线 ,
如图,过S作y轴平行线交PQ于点E ,
将 的值代入直线PQ的方程,可得 ,
所以 .
所以 的面积为定值32.
【变式2-4】如图，已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别是椭圆 的左、右顶点，
右焦点 ， ，过 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 在 轴上方．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记 ， 的面积分别为 ， ，若 ，求 的值；(3)设线段 的中点为 ，直线 与直线 相交于点 ，记直线 ， ， 的斜率分别为 ，
， ，求 的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为 ．
依题意可得 ， ，
解得 ， ．
故 ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）设点 ， ， ， ．
若 ，则 ，即有 ，①
设直线 的方程为 ，与椭圆方程 ，
可得 ，
则 ， ，②
将①代入②可得 ，解得 ，
则 ；
（3）由（2）得
， ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ．
所以 ．
所以 ，
，
，.
题型三：斜率积问题
【典例3-1】（2024·河北保定·三模）设椭圆C： 的左、右顶点和椭圆
的左、右焦点均为E，F.P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线 于点A，直线
FP交直线 于点B.直线AB与椭圆 交于点M，N，O为坐标原点.
(1)若b为定值，证明： 为定值；
(2)若直线OM，ON的斜率之积恒为 ，求b.
【解析】（1）证明：易知 ， ，设P（m，n），则 ，即 ，
直线PE： ，联立 ，则 ，
所以 ，
直线PF： ， ，则 ，
所以 ，
所以 ；
（2）设直线AB： ，则 ， ，
则 ，即 ，令直线AB与椭圆 联立， 消去y，整理得 ，
需满足 ，设 ， ，则 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
整理得 ，所以 ，
所以 ，解得 .
【典例3-2】已知椭圆 左右焦点 分别为椭圆 的左右
顶点，过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 两点，交椭圆 于点 ，且 与 的
周长之差为 .
(1)求椭圆 与椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定
值.
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，由椭圆的定义可知 的周长为 的周长为
，
又 与 的周长之差为 ，
所以 ，
又因椭圆 左右焦点 分别为椭圆 的左右顶点.
，联立解得， 从而有 ，
所以 ，解得 ，
所以所求椭圆 的方程为 ，椭圆 的方程为 .
（2）由（1）可知椭圆 的方程为 ，
设 ，则有 ，
于是 .
【变式3-1】（2024·高三·浙江·开学考试）如图，已知抛物线 的焦点为 ，过点 作一条不
经过 的直线 ，若直线 与抛物线交于异于原点的 两 点，点 在 轴下方，且 在线段 上．
(1)试判断：直线 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
(2)过点 作 的垂线交直线 于点 ，若 的面积为4，求点 的坐标，
【解析】（1）若 的斜率不存在，则点 不存在或与原点重合；
若 的斜率不存在，则点A与原点重合，因此，直线 与 的斜率均存在，
设直线 ，
代入抛物线方程得： ，
设 则 ， ，
，所以直线 的斜率之积为定值1.
（2）由题意可知， 的斜率为 ，方程为 ，
设点 ，所以直线 ，
解方程组 ，得 ，
因此直线 与 的交点坐标为 ，
因为 ，由（1）得 ，
所以直线 ，解方程组 ，
得 ，得 ，
所以 为 的中点，从而 ，
，
所以 因为 ，解得 或 ，
因此，所求的点 的坐标为 与 ．
【变式3-2】（2024·广东·一模）设 两点的坐标分别为 . 直线 相交于点 ，
且它们的斜率之积是 . 设点 的轨迹方程为 .
(1)求 ;
(2)不经过点 的直线 与曲线 相交于 、 两点，且直线 与直线 的斜率之积是 ，求证：直线
恒过定点.
【解析】（1）设点 的坐标为 ，因为点 的坐标是 ，
所以直线 的斜率 ，
同理，直线 的斜率 ，
由已知，有 ，化简，得点 的轨迹方程为 ，
即点 的轨迹是除去 两点的椭圆.
（2）证明：设
①当直线 斜率不存在时，可知 ，
且有 ，
解得 ，此时直线 为 0，
②当直线 斜率存在时，设直线 ，则此时有：
联立直线方程与椭圆方程 ，
消去 可得： ，
根据韦达定理可得： ， ，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，则 或 ，
当 时，则直线 恒过 点与题意不符，舍去，
故 ，直线 恒过原点 ，
结合①，②可知，直线 恒过原点 ，原命题得证.【变式3-3】（2024·广西柳州·一模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，过 且
与 轴垂直的直线与椭圆 交于A，B两点， 的面积为 ，点 为椭圆 的下顶点，
.
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)椭圆 上有两点 ， （异于椭圆顶点且 与 轴不垂直），当 的面积最大时，证明：直线
与 的斜率之积为定值.
【解析】（1）由题意可得：在 中， ，即 ，所以 ，
椭圆 ： 中，令 可得 ，
所以 ，可得 ，所以 ，
所以 ，因为 ， ，
则 ，
可得 ，所以 ， ，
所以椭圆 的标准方程为： .
（2）设直线 的方程为： ， ， ，
由 可得： ，
，即 ，
， ，
所以，
点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为
，当且仅当 即 时等号成立，
，
所以当 的面积最大时，直线 与 的斜率之积是 .
【变式3-4】（2024·江西九江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点 在
上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，若直线 ， 的斜率互为倒数，证明：直线 过定点．
【解析】（1）由已知得 ， ，所以 ，
又点 在 上，故 ，
解得 ， ，所以双曲线 的方程为： ．
（2）当 斜率不存在时，显然不满足条件．
当 斜率存在时，设其方程为 ，与方程联立 联立，消去 得 ，
由已知得 ，且 ，
设 ， ，则 ， ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ，
由已知 ，故 ，
即 ，
所以 ，
化简得 ，又已知 不过点 ，故 ，
所以 ，即 ，
故直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ．
题型四：斜率商问题
【典例4-1】（2024·湖北荆州·三模）已知 ，圆心 是原点，点 ，以线段 为直径
的圆内切于 ，动点 的轨迹记为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 ，点 ，直线 过点 与曲线 交于 两点，与直线 交于点 .
①若 ，求直线 的斜率；②若记直线 的斜率分别为 问 是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请
说明理由.
【解析】（1）设 的中点为 ，切点为 ，连接 ， ，取 关于 轴的对称点 ，
连接 ，则 ，
故 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆，
其中 ， ，则 ，则曲线C的方程为 ；
（2）设
依题意，直线 的斜率必定存在，设 ，
，可得 ， 恒成立，
则有 ， ，
①若 ，则有 ，
解得 ，故其斜率为 ；
②易得 ， ， ，同理可得 ，
则 ，而 ，由 ， ，则 ，则 ，
故 ，即定值为 .
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线，垂
足为 ，点 满足 ，当点 在圆 上运动时，点 的轨迹为曲线 ，过点 且斜率不为
的直线 与曲线 交于 ， 两点.
(1)求曲线 的方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)已知点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在实数 ，使得 为定值？若存在，
求出 值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设点 ， ，则 ，由 ，
即 ，
因此 ，而 ，即 ，
所以曲线 的方程为 ．（2）设直线 为 ， ， ，
由 ，消去 整理得 ，
由 ，则 ，
所以 ， ，
所以
，
令 ， ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 面积的最大值为 .（3）存在， ，使得 为定值 .
依题意 ， ，且 ， ，
则 ，
所以 ，
，
要使 为定值，则 ，解得 或 （舍去），
所以存在 ，使得 为定值 .
【变式4-1】在平面直角坐标系 中，抛物线 ： ． ， 为 上两点，且 ， 分别在第一、
四象限．(1)直线 与 正半轴交于 ，与 负半轴交于 ，若 ，求 横坐标的取值范围；
(2)直线 与 正半轴交于 ，与 负半轴交于 ，记 的重心为 ，直线 ， 的斜率分别
为 ， ，且 ．
若 ，证明： 为定值．
(3)若过 ， 作抛物线 的切线 ， ，交点 在直线 上，求 面积的最小值.
【解析】（1）设 ， ，由题意知，设直线 ： ，
又直线 与 正半轴交于 ，与 负半轴交于 ，
则 ， ，
联立 ，整理得 ，
所以 ， ，
则 ，
，
若 ，则 ，
解得， ，
又 ，则 横坐标的取值范围为 ；
（2）因为 为重心，所以 ，
由（1）可得
设 ， ，
又直线 与 正半轴交于 ，与 负半轴交于 ，
则 ， ，
由直线 ： ，则 ， ， ，
所以 ，
由 ，则 ，即 ，又 ，
，
因此 时， 为定值．
（3）设过点 的切线方程为 ，
则联立方程 ，化简可得 ，
因为直线与抛物线相切，则 ，得 ，
而 为抛物线上一点，则 ，
代入可得 ，得 ，
，则 ，即 ，
即过点 的切线方程为 ．
因此过 的切线 ： ,
过 的切线 ： ,
又切线 与切线 的交点 在直线 上，可设 ，
， ，
即 ， 的坐标都满足方程 ，
所以，直线 方程为 ，
故直线 过定点 ，因此 ,
由 联立可得， ,
可得， ，
则 ，
当且仅当 时取等号.
所以 面积的最小值为 .【变式4-2】如图，已知椭圆C： 与顶点 ，经过点 且斜率存在的直线l交椭圆于
Q，N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，连接AB，AN．求证：存在实数λ，使得 恒成立．
【解析】设 ，由 ，可得 ．
设 ，则
,
∴ ．
又N，E，Q三点共线，则 ，即 ，∴ ．
∵ ，则 ，
∴存在实数 ，使得 恒成立．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点 是椭圆
的右焦点，抛物线 与椭圆 在第一象限的公共点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线 与椭圆 的标准方程；
(2)若 分别是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 上不同于 的两点，直线 的斜率是直线
的斜率的3倍，证明：直线 过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）由抛物线的定义知 ， ，
抛物线 的标准方程为 ，．
设椭圆 的左焦点为 ，则F (−1,0)，
1
连接 ，由椭圆的定义知 ，
解得 ，
又F(1,0)，则 ，
，
椭圆 的标准方程为 ．
（2）由（1）知 ，
若直线 的斜率为0，由椭圆的对称性知直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，不满足题意，
故直线 的斜率不能为0，
设 ，直线 的方程为 ，
代入 并整理，得 ，
①
．
由题知 ，
，，解得 ．
将 代入①得 ，
直线 的方程为 ，则直线 过定点 ．
【变式4-4】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C： 的焦距为 ，
离心率 ，过点 作两条直线 ， ，直线 交椭圆于A，B两点，直线 交椭圆于M，N两点，
A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)记直线AM与BN的斜率分别为 ， 且 ，判断是否存在非零常数 ，使得 ．若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得 ， ，
所以 ， ，
则 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）如图所示：
由题意可知A，M是椭圆C上不在坐标轴上的两点，且A，M关于坐标原点O对称，
设A(x ,y )，则 ， ， ，且 ， ．
0 0
设直线 ： ， ，
联立方程可得 ，消去y，得 ，
则 ，所以 ．因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
同理，设直线 ： ，N(x ,y )，
2 2
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
因为直线AM与BN的斜率分别为 ， ，所以 ，
，所以 ，
所以存在非零常数 ，使得 ，且 ．
1．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知点 ，点 在以 为直径的圆上运动，
轴，垂足为 ，点 满足 ，点 的轨迹为 .(1)求 的方程：
(2)过点 的直线 交 于点 ，设直线 的斜率分别为 ､ ，证明 为定值，并求出该定值.
【解析】（1）依题意，点 在圆 上运动，设 ，
由 ，得 ，
则 ，又 ，即 ，
所以 的方程为 .
（2）依题意，直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，则 ，
又 ，
则
，
所以 为定值 .
2．已知椭圆 的长轴长与短轴长的差为2，且离心率为 为坐标原点.
(1)求 的方程.
(2)过点 且不与 轴重合的动直线 与 相交于 两点， 的中点为 .
①证明：直线 与 的斜率之积为定值；②当 的面积最大时，求直线 的方程.
【解析】（1）设 的半焦距为 ，
由已知，得 解得
故 的方程为 .
（2）
①由题可设 .
将 ，消去 ，得 .
当 ，即 时，有 .
所以 ，即 ，
可得 ，所以 ，即直线 与 的斜率之积为定值.
②由（1）可知
又点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 .
设 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，且满足 .
所以当 的面积最大时，直线 的方程为 或 .
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C： 的右顶点为 ，离心率为 ，过
点 的直线l与C交于M，N两点．
(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为 ， ，求 的值；
(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．
【解析】（1）由题意知 ，
解得 ， ， ，
所以C的方程为 ，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为： ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，得 ，
由方程 的判别式 ，可得 ，
所以 ， ，
易得 ，所以 ， ，
所以
，
（2）证明：设线段MQ的中点为 ，又M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2所以 ， ，即 ，又A，N，Q三点共线，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
又
所以
，
所以 ，即线段MQ的中点在定直线 上．
4．已知椭圆 ，过点 ， ， 分别是 的左顶点和下顶点， 是 右焦点，
.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与椭圆 交于点 ， ，直线 ， 分别与直线 交于不同的两点 ， .设直线
， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）由椭圆 过点 ，得 ，由 ，得椭圆半焦距 ，则长半轴长 ，
所以 的方程为 .
（2）显然直线 不垂直于y轴，设直线 的方程为 ， ，
由 消去x得 ，显然 ，
，直线 的方程为 ，
令 ，得点 的纵坐标 ，同理点 的纵坐标 ，
因此
为定值，
所以 为定值.
5．如图所示，设点 ，点M，N是椭圆 上的两个不同的点，且直线AM与直线AN的斜
率之积为 ．证明：直线MN过定点．
【解析】纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到平面 ．通过仿射变换后，椭圆 变为圆 ．
于是 ．
同理 ，故 ．
如图所示，连接 ， ，则 ， ，故直线 ， 的倾斜角与 ，
互余．
从而 ， ，故 ．
∵ ，∴
设直线 与 轴交于点 ，点 ， 到直线 的距离分别为 ， ．
从而 ，故 ，即 ，此时 是 的中点．
∵点 ， ，且易知点 ，∴直线 必过定点 ．
因此，直线MN也过点 ．
6．（2024·河北保定·三模）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，离心率为 ，且
.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆上异于 的两动点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，已知 .直线与 轴相交于点 ，求 的面积的最大值.
【解析】（1）因为 ，
所以 解得
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）由 可得点 ，
设 ，直线 ，直线 ，
联立 消去 得 ，解得 .
联立 消去 得 ，解得 .
因为 ，且 ，
此时 ，
设 ，由 三点共线，所以 ，
则
，
所以 .
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 的最大值为 .
7．（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆 ，右焦点为 且离心率为 ，
直线 ，椭圆 的左右顶点分别为 为 上任意一点，且不在 轴上， 与椭圆 的另一个交
点为 与椭圆C的另一个交点为 .
(1)直线 和直线 的斜率分别记为 ，求证： 为定值；
(2)求证：直线 过定点.
【解析】（1）由题意 ，可得 ，
所以椭圆 ，且
设 ，则 ，即 ，
可得 ，
所以 为定值 .
（2）解法一：设 ，则 ，
可得 ，设直线 ， ，
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ，解得 ，
且 ，
则 ，
整理可得 ，
则 ，
因为 ，则 ，解得 ，
所以直线 过定点
解法二：设 ，则 ，
直线 ，可知 与椭圆必相交，
联立方程 ，消去y可得 ，
则 ，解得 ，
同理 ，
直线 的斜率存在时， ，
则 ，
令 ， ；当 的斜率不存在时，则 ，解得 ；
综上所述：直线 过定点
8．求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）
无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
9．（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为A、
B，左、右焦点分别为 ．过右焦点 的直线l交椭圆于点M、N，且 的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为 ，证明： 为定值．
【解析】（1）由 的周长为16，及椭圆的定义，可知： ，即 ，
又离心率为 所以
．
所以椭圆C的方程为： ．
（2）依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为： ．联立 得： ，
因为 在椭圆内，所以 ，
即 ，易知该不等式恒成立，
设 ，
由韦达定理得 ．
又 ，则
注意到 ，即：
.
10．已知椭圆 ： 的离心率为 ， 点 ， 在椭圆上运动. 当直线 过椭圆右焦点
并垂直于 轴时， 的面积为 （ 为坐标原点）.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)延长 到 ， 使得 ，且 与椭圆 交于点 ， 若直线 ， 的斜率之积为 ， 求
的值.
【解析】（1）由题意可得： ，
解得： ， ， ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）设点 ， ， ， ，则 ，
，， ，
且 ， ， ，
，
整理可得： ，
，即 ，故 .
11．设抛物线 的焦点为 ，点 ，过点 且斜率存在的直线交 于不同的 两点，
当直线 垂直于 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)设直线 与 的另一个交点分别为 ，设直线 的斜率分别为 ，证明：
（ⅰ） 为定值；
（ⅱ）直线 恒过定点.
【解析】（1）由焦半径公式知： ， ，
的方程为： .
（2）由（1）知： ，
可设直线 方程为： ，设 则直线 方程为：
联立
，将 代入 得 ，
，同理：
（ⅰ） ，
（ⅱ）直线 的方程为：
由 得： 即 ，
，
直线 的方程为： ，
直线 恒过定点 .
12．如图所示，已知点 ，F是椭圆 的左焦点，过F的直线与椭圆交于 两点，直线
分别与椭圆交于 两点．
(1)证明：直线 过定点．(2)证明：直线 和直线 的斜率之比为定值．
【解析】（1）证明：因为F是椭圆 的左焦点，所以 ，
当直线 斜率为0时，直线 方程为 ，则定点在 轴上；
当直线 斜率不为0时，
经过 与 的二次曲线可以设为 ，
设经过 四点的二次曲线系为 ．
因为点F在直线 上，所以将 代入上式，解得 ．
从而直线 和直线 的方程为 ．
令 ，得 ，解得 或 （与点 重合，舍去），
故直线 过定点 ．
（2）证明：设直线 和直线 的斜率分别为 ， ，
设曲线系方程为 ，
因为上式等号左边 的系数为 ，y的系数为 为互为相反数，
所以上式等号右边也满足该条件， 前的系数为 ，y前的系数为 ，
于是 ，即 ，
所以 ．
13．（2024·广西·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为 和 ， 的
周长为6，记顶点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为 ， ．
（ⅰ）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数 ，使得当 时， ；
（ⅱ）若 ，当 最大时，求四边形EPFQ的面积．
【解析】（1）由点 的坐标分别为 和 ，其中 的周长为 ，可得 ，则 ，
又由椭圆定义可知，动点 在以 为焦点，且长轴长为4的椭圆上，
又 不能在直线 上，所以椭圆 的方程为 ．
（2）（ⅰ）设 ， ， ，设直线EF的方程为 ，
联立 ，整理得 ，可得 ，
则 ， ，即 ，
同理可得 ，所以 ，
欲使 ，则 ，即 ，所以 ，
所以存在唯一常数 ，使得当 时， ．
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，且 ，
则 ，
即 ，同理可得 ，
因为 ，所以 ，
记 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等，
由椭圆的对称性，不妨设此时 ， ，且直线EF和PQ的夹角为 ，
则 ，可得 ，
此时， ，且 ，所以四边形EPFQ的面积为 ．
14．（2024·福建福州·模拟预测）已知双曲线 的上、下顶点分别为 ．
(1)若直线 与 交于 两点，记直线 与 的斜率分别为 ，求 的值；
(2)过 上一点 作抛物线 的切线 和 ，切点分别为 ，证明：直线 与圆 相切．
【解析】（1）由双曲线 可知其焦点坐标为 ，
如图：
易知 ， .
由 得： ，整理得： ， .
，设M(x ,y )，N(x ,y ).
1 1 2 2
则 ， ，所以 .
因为： ， ，
所以 .（2）证明：由 ，求导得： .
设 ， ， ，则 ，
则切线 的方程为： ，
同理切线 的方程为： ，
为 ， 的交点，联立 以及 ，
可得： .
因为直线 必存在斜率，设直线 方程为： ，
代入 得 ，需满足 ，
则 ， ，所以 ，
又 在双曲线 上，所以 .
所以原点到直线 的距离： .
所以直线 与圆 相切．
15．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下顶
点所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程．
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ．
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 面积的最大值．【解析】（1）令椭圆 的半焦距为c，由离心率为 ，得 ，解得
，
由三角形面积为 ，得 ，则 ， ，
所以 的方程是 .
（2）（i）由（1）知，点 ，设直线 的方程为 ，设 ，
由 消去x得： ，
则 ，
直线 与 的斜率分别为 ， ，
于是
，整理得 ，解得 或 ，
当 时，直线 过点 ，不符合题意，因此 ，
直线 ： 恒过定点 .
（ii）由（i）知， ，
则 ，
因此 的面积
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 面积的最大值为 .16．（2024·全国·模拟预测）已知点 ，直线 与抛物线 交于B，C两点（均不同于点A）．
设直线AB，AC的斜率分别为 ，有 ．
(1)证明：直线 经过定点．
(2)若B，C两点在 轴的异侧，则存在几条直线 ，使 的面积为4？
【解析】（1）设直线 的方程为 （ 一定存在，且 ．
联立，得 整理，得 ．
由 ，得 ，即 ．
设B(x ,y ),C(x ,y )，则 ．
1 1 2 2
由题意，得 ．同理可得 ．
由 ，得 ．
化简，得 ，故 ，即 ．
故直线 的方程为 ，所以直线 经过定点 ．
（2）
由 及 ，可得 ，解得 或 ．
因为 及 ，所以 ，且 ，解得 且 ．
由弦长公式，得 ．由点到直线的距离公式，得点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 ．
设函数 ，则 ．
因为当 且 时， 恒成立（当 时， ），
所以当 时， ；当 时， ．
故 在区间 上单调递减，在区间 ，上单调递增．
因为 的面积为4，所以 ．
又 ，
所以由零点存在定理，可知方程 有唯一实根 ，
所以存在唯一一条直线 ，使 的面积为4．
17．（2024·高三·贵州·开学考试）已知双曲线 的离心率为 ，实轴长为6，A
为双曲线C的左顶点，设直线l过定点 ，且与双曲线C交于E，F两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为6，所以 ，
因为双曲线的离心率为 ，所以 ，解得 ，
由 ，得 ，则C的方程为 ．
（2）
设 ， ，因为直线 过定点B(−2,0)，显然直线l不垂直于 轴，则设直线，
联立方程组 ，消去x得 ，
由 ，得 ，
则 ， ，
因为A为双曲线C的左顶点，所以 ，
直线AE的斜率 ，直线AF的斜率 ，
所以
，
即直线AE与AF的斜率之积为定值．
