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重难点 01 圆的综合题型（圆性质的应用、圆与四边行
结合的动态探究、情景与应用题型、隐圆问题）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高，多
考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相
似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点以及数形结合、整体代入等数学思想.
模型01 圆性质的应用
考｜向｜预｜测
圆性质的应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，在综合性大题考试中，难度系数不大，在各类
考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的性质及相关判定定理与推论并结合圆和其它几
何的相关知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
1.灵活应用弦弧角之间的关系，弦和弧最终转化为角，一般情况下是圆周角；
2.碰到直径想直角，直径所对的圆周角为90°；
3.看到切线——连半径——90°，证明切线时注意证明90°；
4.圆内接四边形——对角互补，外交等于内对角；
⊙O AB CD AB⊥CD E AB=20
1．（2024·江苏）如图，在 中， 是直径， 是弦，且 ，垂足为 ， ，
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CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD=2∠B．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)求EF的长．
1．如图，四边形 内接于圆O， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为 ，瓶内截面圆中弦 的长为 ，则液体的最大深度
为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 为 的直径，点 为圆上一点，且 ．现有以下操作：①以点 为圆心，适当长
为半径作弧，交 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于
点 ；③作射线 交 于点 ．则 的大小为（ ）
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A． B． C． D．
4．如图，在 中， ， ，D为 上的一个动点，以 为直径的圆O与 相切于
点B，交 于点E，则 的最小值为 ．
5．如图， 是圆O的直径．C，D为圆O上两点，且 平分 ，连接 ， ，若 ，
则 的度数为 ．
6．如图， 是直角三角形 的外接圆，直径 ，过C点作 的切线，与 延长线交于点
D，M为 的中点，连接 ， ，且 与 相交于点N．
(1)求证： 与 相切；
(2)当 时，在 的圆上取点F，使 ，补全图形，并求点F到直线 的距离．
7．如图， 是 的直径， ， 是 同侧圆上的两点，半径 交 于点 ， ．
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(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
8．如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，点 在 上，以点 为圆心， 为
半径的圆恰好经过点 ，分别交 、 于点 、 ．
(1)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
(2)若 ， ，求 的半径．
模型02 圆与四边形结合的动态探究
考｜向｜预｜测
特殊四边形与圆结合的动态探究模型该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，主要
考查对圆性质的理解与三角形或四边形综合知识的应用。实际题型中对数形结合的讨论是解题的关键。许
多问题的讨论中需要我们对四边形的判定和性质有清晰认识。
答｜题｜技｜巧
1.圆的性质应用，根据专题1的解题思路进行求解；
2. 注意结合的四边形的形状，特殊平行四边形的性质与判定熟练应用；
3. 四边形的存在性问题注意假设、反推；
4. 数形结合进行分析、解答
1．如图，圆内接四边形 是 的直径， 交 于点 ， ．
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(1)求证：点 为 的中点；
(2)若 ，求 ．
1．如图，四边形 是圆O的内接四边形， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．圆内接四边形 中， ， 是对角线， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．在⊙ 中，点 在圆上， ，则 为（ ）
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A． B． C． D．
4．如图，四边形 是圆 的内接四边形， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．阅读下列材料，然后解答问题．
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正
四边形叫做这个圆的内接正四边形．
如图，正方形 内接于 ， 的面积为 ，正方形 的面积为 ．以圆心 为顶点作 ，
使 ．将 绕点 旋转， 、 分别与 交于点 、 ，分别与正方形 的边
交于点 、 ．设由 、 、 及正方形 的边围成的图形（阴影部分）的面积为 ．
(1)当 经过点 （如图 ）且 的半径为 时，求 的值（结果保留 ）；
(2)当 于 时（如图 ），求 、 、 之间的关系为： (用含 、 的代数式表示)；
(3)当 旋转到任意位置时（如图 ），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由．
6．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”．
(1)若 是圆的“闪亮四边形”，则 是 （填序号）；
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①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知 的半径为 于点E，四边形 是 的“闪亮四边形”．
①求证：
②求证：
(3)如图2，四边形 为 的“闪亮四边形”， 相交于点 ， ，求
的半径为R
7．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
(1)如图1， 是 的一条弦（非直径），若在 上找一点 ，使得 是“圆等三角形”，则这样
的点 能找到__________个．
(2)如图2，四边形 是 的内接四边形，连结对角线 ， 和 均为“圆等三角形”，
且 ．
①当 时，求 度数．
②如图3，当 ， 时，求阴影部分的面积．
模型03 情景与应用题型
考｜向｜预｜测
圆结合的情景与应用模型近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易得满分。
该题型主要以解答题的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型通常和我们的日常生活中所接触的
事物或者生活现象紧密结合，需要同学们有较强的阅读和理解题意的能力，同时还要有一定的知识储备。
在解题时要根据题意把转化为我们所学习的圆的相关知识应用。
答｜题｜技｜巧
1.理解题意，联系圆的相关知识点；
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2. 圆的相关证明与判定依据模型1的思路总结；
3. 利用四边形、圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
1．利用素材解决：《桥梁的设计》
某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽 称跨度，桥面最高点到 的距离
问 称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度 米，拱高
题 米．
驱
动
方案一：圆弧型 方案二：抛物线型
图
形
（1）如图，我们通过尺规作图作 所在圆的圆
心 ，得出结论：不在同一条直线上的______个
点确定一个圆．
（2）求 所在圆的半径．
（3）以 所在直线为 轴， 的垂直平分
任
线为 轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函
务
数表达式．
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1．在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与
圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线 与 相切于点I， 是 的一条弦，则 就是弦切
角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空．
(1)尺规作图：已知 是 的直径，延长 ，过点B作 的切线 ；（M在点B 左侧，N在点B右
侧．保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下， 为弦切角，求证： ．
证明：连接 ．
是 的直径，
① ．
是过点B的切线，
② ．
即 ，
又 和 是弧 所对的圆周角
③ ．
．
由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角 ④ 它所夹弧所对的圆周角．（横线上填：“大于”或“等
于”或“小于”）
2．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
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(1)如图1，点 在 上，点 在 外，线段 与 交于点 ，试猜想
（请填“ ”、“ ”或“ ”）；
(2)如图2，点 在 上、点 在 内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；
若不成立，请写出你的结论并予以证明；
3．阅读与思考
直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔
记，请仔细阅读并完成相应的任务．
欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直
线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将
和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线…
证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利
用切线的判定定理来证明．
添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．
图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动
“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆
机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆” ， 的连接点P在
上， ，垂足为O，当点P在 上转动时，带动点A，B分别在射线 ，
上滑动，当点B恰好落在 上时， ，请判断此时 与 的位
置关系并说明理由．
小王的解题思路如下： 与 相
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切．
理由：连接 ．
∵点B恰好落在 上，
．（依据1）
，
．
，
，
．
，（依据2）
，
∴ 与 相切．
任务：
(1)依据1：_____________________________．
依据2：________________________________．
(2)在图2中， 的半径为6， ，求 的长．
4．如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面 （台面厚度忽略不计）与地面
平行，且高度为 （台面 与地面之间的距离），直线型支架 与 的上端E，F与台面 下方
相连， 与 的下端P，Q与直径为 的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线
型支架 与 的上端C，D与台面 下方相连，下端G，H与 ， 相连，圆弧形支架 分别与
， 在点G，H相连，且 ，已知
， ，
(1)求： 的长度
(2)当 所在的圆经过点P、Q时，求： 所在的圆的圆心到台面 之间的距离
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模型04 隐圆问题
考｜向｜预｜测
隐圆问题主要出现在压轴题型中，一般是填空题的最后一道或者多可能问题中出现，属于动点模型问题。
想要解决此类问题需要解决此类问题，需要真正理解圆的定义及性质，根据圆的定义与性质判定动点移动
的轨迹。
答｜题｜技｜巧
隐圆问题一般有以下几种表现形式：
（1）根据圆的定义判定，动点在移动的过程中到某一定点的距离始终不变；
（2）等弦对等角，一般考试中出现直角不变型的情况居多；
（3）四点共圆型，利用圆内接四边形的性质，对角互补；
模型01 定义型
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。
模型02 直径所对的角为直角（直角模型）
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
P
P P
A B
O
模型03 等弦对等角模型
一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则
P
P
P
12
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1.如图，在△ABC中， ， ， ，点D在AC边上，且 ，动点P
在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
1．如图，在正方形ABCD中， ，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，
连接BG．若 ，则BG的最小值为__________．
2.如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段 上一动点，点M为线段 上一点．
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在
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的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B． +1 C．2 ﹣2 D．3
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交
于点F，且BD=BC．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AD=√3，AE=1，求C´F的长．
1．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点
B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝
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6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
3．（2024·云南）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且
当圆被水面截得的弦 为6米时，圆心到水面 的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离
为 米．
4．（2023·贵州）如图，在 中， ， ，D为 上的一个动点，以 为直径的圆
O与 相切于点B，交 于点E，则 的最小值为 ．
5．（2024·青海）如图，直线AB经过点C，且OA=OB，CA=CB．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若圆的半径为4，∠B=30°，求阴影部分的面积．
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1．一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位： ）的正方形纸片 ，他在边 和
上分别取点 和点 ，使 ， ，又在线段 上任取一点 （点 可与端点重合），
再将 沿 所在直线折叠得到 ，随后连接 ，小明同学通过多次实践得到以下结论：
①当点 在线段 上运动时，点 在以 为圆心的圆弧上运动；
② 的最大值为4；
③ 的最小值为 ；
④当 到 的距离达到最大值时， ．
你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是 ．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点 ， ， 均在格点上．
（1）线段 的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不
要求证明） ．
3．已知以 为直径的圆O，C为 弧的中点，P为 弧上任意一点， 交 于D，连接 ，
若 ， 的最小值为 ．
4． 中， 为直径，点C为圆上一点，将劣弧 沿 翻折交 于点D，连接 ．
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(1)如图1，若点D与圆心O重合， ，则 的半径 ______，弧 的长=______．
(2)如图2，若点D与圆心O不重合， ， ______．
(3)如图3，若点D与圆心O不重合， ，求 的长．
5．小静所在的数学兴趣小组剪了一张圆形纸片，并将直角三角板（ ）的 锐角的顶点放在圆上
的点 处，进行如下实践探究活动．
(1)如图①，小静将直角三角板的直角顶点 放在圆形纸片上，请你利用尺规作出圆形纸片的圆心 ．（保
留作图痕迹，不写作法）
(2)小亮将直角三角板摆放成如图②所示的情形，其中边 ， 分别与 交于点 ， ，连接 ，若
的半径为2，求 的长．
6．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作．如图 ，在一个边长为 的正方形
中，点 是边 上的一个动点，将 沿 翻折到 ，他们想要探究 点的运动情况：
由折叠的性质，线段 的长度不变，即 ，因此点 的对应点 在一个以 为圆心，以 的长度
为半径的圆弧上运动．
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(1)当 时，因为 的圆周角所对的弦是直径，可以认为点 在以 为直径的圆上，在图 中
用直尺和圆规确定点 、 的位置，保留作图痕迹，不写作法；
(2)在（1）的条件下，利用图 求 的长；（不要破坏图 尺规作图痕迹）
(3)当 为等腰三角形时，请利用备用图探究并直接写出线段 的长：_______．
7．如图，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径，C是A´D的中点，过点D作⊙O的切线分别交AB、AC
的延长线于点E、F．
(1)求证：∠ACB=∠E；
(2)若AB=4,BE=1，求BC的长．
18
