文档内容
专题 01 平行线的四大模型
专题分析
平行线的性质和判定是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几
何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的
逻辑推理的素材。它不但为三角形的内角和定理的证明提供了转化的方法，而
且也是今后学习三角形、四边形知识的基础.本节课重点学习平行线的基础模型
的应用迁移.
模型分类
模型分析
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
典例分析【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，
点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝ ∠CDE，
∠BAI＝ ∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
【变式1-1】（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则
∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．115° D．125°
【变式1-3】（2022春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC
＝（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
【变式1-4】（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，
点A在直线MN和PO之间．
（1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；
（2）如图 2，CD∥AB，点 E在直线 PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝
∠CAB；
（3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出
∠AFB的度数．【变式1-5】（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中
∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线
PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数；
（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点
分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明
理由．
模型分析模型二“猪蹄”模型（M模型）
“猪蹄”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
典例分析
【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段
EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在
某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．
（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关
系；
（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成
立，说明理由．
【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图
中方式放置，点 E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44° B．34° C．24° D．14°
【变式2-2】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图
中方式放置，点 E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则
∠GHC等于（ ）
A．44° B．34° C．24° D．14°
【变式2-3】（2023•海南模拟）如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD
等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【变式2-4】（2023春•覃塘区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，
∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝
65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-5】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着
角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到
∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的
问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD
的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝
25 度．
【变式2-6】（2023春•邵阳期末）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；（2）如图 1，当点 P 在线段 MN 上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于 Q，问
是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线
MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问 的值是否和（2）问中的情
况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．
【变式2-7】（2023春•防城港期末）阅读下面材料：
（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为直线AB，CD之间一
点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮写出了该问题的
证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝ ∠ B ，
∵AB∥CD，
∴ CD ∥EF，
∴∠FED＝ ∠ D ，
∴ ∠ BED ＝ ∠ BEF+∠ FED ＝
∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线a∥b，BE平分∠ABC，
DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数，（温馨提示：过点E
作EF∥AB）
模型分析模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部 “臭脚”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
典例分析
【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．
（1）如图1，求证AB∥CD；
（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究
∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD
＝ 80° ， 求 ∠ CDE 的 度 数 ．【变式3-1】已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）如图 2，∠DCE 的平分线 CG 的反向延长线交∠ABE 的平分线 BF 于 F．若
BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．
模型分析
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部 ·
“骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.典例分析
【典例4】（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G
为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：
过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ （ ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D
三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，
∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
【变式4-1】（2022秋•肃州区校级期末）如图（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝
130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：解：如图（1），过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°（已知）
∴∠2＝180°﹣130°＝50°
∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°
即∠EPF＝90°
【探究】如图（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
【应用】如图（3），在【探究】的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点
G，求∠G的度数．
【变式4-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造
平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图 1，l ∥l ，点P在l ，l 内部，探究∠A，∠APB，
1 2 1 2
∠B的关系，小明过点P作l 的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：
1∠APB＝ ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否
发生变化？请写出证明过程．
【变式4-3】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写
出结论： ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点 C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间
的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．1.（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两
边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023春•芜湖期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜
上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝ ，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为
（ ） α
A．180°﹣ B．120°﹣ C．60°+ D．60°﹣
3．（2022•恩α施州）已知直线l
1
∥l 2α，将含30°角的直角α三角板按如图所示摆放α．若∠1＝
120°，则∠2＝（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间
一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360° B．300° C．270° D．180°5．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知 AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点
E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（ ）度．
A．90﹣ +m B．90﹣ ﹣ C．90﹣ D．90﹣ +
6．（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD
＝115°，求∠APC的度数；
【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在
A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠ ，∠BCP＝∠ ，求∠CPD与∠ ，
∠ 之间的数量关系，并说明理由； α β α
【β知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P
在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出
∠CPD与∠ ，∠ 之间的数量关系．
α β
7．（2022春•良庆区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
8．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝
90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝
45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线
AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求 的值．
9．（2023春•黑山县期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互
补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板 ABC 中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形 DEFG 中，
DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点
M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，
从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板 ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写
∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数
量关系？并说明理由．
10．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在
AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的
度数；
（2）如图 3，在 AB 的上方有一点 O，若 FO 平分∠GFC．线段 GE 的延长线平分
∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
11．（2023春•孝义市期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含45°的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线m∥n，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°．
（1）如图1，若∠2＝65°，则∠1＝ ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角
板ABC的直角顶点C在直线n上，直线m与AB，AC相交时，他们得出的结论是：∠1
﹣∠2＝135°，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图 2的基础上，
继续调整三角板的位置，当点 C不在直线n上，直线m与AC，BC相交时，∠1与∠2
有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．12．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，
如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，
连接MP，MN，PN．
（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度
数；
（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并
说明理由．
12．（2023春•甘井子区期末）如图1，点M在射线BA，CD之间，0°＜∠ABM＜30°，连
接BM，过点M作ME⊥BM交射线CD于点E，且∠MED﹣∠B＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）过点C作∠ECN＝∠B，交直线ME于点N，先按要求画图，再解决下列问题．
①当CN在CD上方，满足∠CNE＝5∠B时，在图2中画图，求∠B的度数；
②作∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F，请直接写出∠MKC与∠MFC之间的数量关系 ．
