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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
专项训练八 二次函数
一、选择题
1．(2016·崇明县二模)抛物线y＝x2－8x－1的对称轴为( )
A．直线x＝4 B．直线x＝－4 C．直线x＝8 D．直线x＝－8
2．(2016·怀化中考)二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( )
A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)
B．开口向下，顶点坐标为(1，4)
C．开口向上，顶点坐标为(1，4)
D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
3．(2016·上海中考)如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表
达式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3
4．(2016·宁波中考)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )
A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)
B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
5．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为Scm2的长方形，S的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
6．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD边AB，BC，CD，DA上的点，AE＝BF＝CG＝
DH.设A，E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为( )
7．(2016·绍兴中考)抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，抛物线的对称轴
与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
8．★(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，
n)，抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：
①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；
③b2＝4a(c－n)；
④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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二、填空题
9．(2016·河西区模拟)二次函数y＝－2(x－3)(x＋1)的图象与y轴的交点坐标是________．
10.若抛物线y＝x2－x－1与x轴的交点坐标为(m，0)，则代数式m2－m＋2015的值为
________．
11．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象满足下列条件：(1)当x＜2时，y随x的增大而增大；
(2)当x≥2时，y随x的增大而减小．请写一个这样的二次函数解析式是________________．
12．已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是________．
13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯
腰的情况下，在棚内的横向活动范围是________m.
第13题图 第14题图
14．★如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的两个动点，AE⊥EF.则
AF的最小值是________．
三、解答题
15．(2016·当涂县四模)某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另
外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，
如何设计才能使园地的而积最大？下图是两位学生争议的情境．请根据上面的信息，解决问
题：
(1)设AB＝x米(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；
(2)请你判断谁的说法正确，为什么？
16．(2016·徐州中考)某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y(间)与其
价格x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系，部分对应值如下表：
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x(元) 180 260 280 300
y(间) 100 60 50 40
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每周空置的客房需支出各种
费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值(宾馆当日利润＝当日房费
收入－当日支出)．
17．★(2016·贺州中考)如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，
8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，点E的坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2
＋bx＋c经过O，A，E三点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求AD的长；
(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．
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参考答案与解析
1．A 2.A 3.C 4.D
5．D 解析：设所围成长方形的长为xcm，则由题意得S＝x(20－x)＝－x2＋20x.∵a＝－
1<0，∴S有最大值．即当x＝－＝－＝10时，S ＝100.由于120＞100，故选D.
最大
6．A 解析：设正方形的边长为m，则m＞0.∵AE＝x，∴DH＝x，∴AH＝m－x.在
Rt△EAH中，∵EH2＝AE2＋AH2，∴y＝x2＋(m－x)2＝2(x－m)2＋m2，∴y与x的函数图象可能
是A.
7．A 解析：∵抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，抛物线的对称轴与线
段y＝0(1≤x≤3)有交点，
∴解得6≤c≤14，故选A.
8．C 解析：∵抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直
线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间，∴当x＝－1时，y＞0，即
a－b＋c＞0，∴①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，即b＝－2a，∴3a＋b＝3a－2a
＝a，∴②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1，n)，∴＝n，∴b2＝4ac－4an＝4a(c－n)，∴③正确；
∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，a＜0，∴抛物线与直线y＝n－1有2个公共点，∴一元
二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根，∴④正确．故选C.
9．(0，6) 10.2016
11．y＝－x2＋4x＋3(答案不唯一) 解析：根据已知得图象开口向下，对称轴为直线x＝
2，则二次项系数为负数，不妨设为－1，代入x＝－＝2，得b＝4，c取任意数即可，如3，可得y
＝－x2＋4x＋3.只要写出符合要求的二次函数即可．
12．－2.5 13.3
14．5 解析：根据题意，若AF取最小值，则DF取最小值，则CF取最大值．设BE＝x，
CF＝y.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.又∵AE⊥EF，∴∠B＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴
＝，∴y＝＝－(x－2)2＋1.∴当x＝2时，y有最大值，最大值为1，此时DF有最小值，最小值为
3，由勾股定理得到AF＝＝＝5.
15．解：(1)BC＝54－2x＋2＝(56－2x)(米)；
(2)小英的说法正确．理由如下：设矩形ABCD的面积为S，则S＝x(56－2x)＝－2(x－14)2
＋392.∵56－2x＞0，∴x＜28，∴0＜x＜28，∴当x＝14时，S取最大值，此时x≠56－2x，∴面
积最大的不是正方形．
16．解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，依题意，得解得∴y与x之间的
函数表达式为y＝－x＋190(180≤x≤300)；
(2)设房价为x元(180≤x≤300)时，宾馆当日利润为w元，依题意，得w＝(x－100)－60÷7
＝－x2＋x－＝－＋，∴当x＝时，w取最大值，最大值为.
答：当房价为元时，宾馆当日利润最大，最大利润为元．
17．解：(1)∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是(10，8)，∴点A的坐标是(10，0)．把
A(10，0)，E(6，8)，O(0，0)代入抛物线解析式可得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x；
(2)由题意可知AD＝ED，BE＝10－6＝4，AB＝8.设AD＝x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8
－x.在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2＝BE2＋BD2，即x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5，∴AD＝
5；
(3)由(1)可知y＝－x2＋x，∴其对称轴为直线x＝5.∵A，O两点关于对称轴对称，∴PA＝
PO.当P，O，D三点在一条直线上时，PA＋PD＝PO＋PD＝OD，此时△PAD的周长最小．如图，
连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P.由(2)可知AD＝5，∴点D的坐标为
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(10，5)．设直线OD解析式为y＝kx，把点D的坐标代入可得5＝10k，解得k＝，∴直线OD解
析式为y＝x.令x＝5，可得y＝，∴点P的坐标为.
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