文档内容
重难点突破 09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：斜率和问题............................................................................................................................3
题型二：斜率差问题............................................................................................................................6
题型三：斜率积问题............................................................................................................................8
题型四：斜率商问题..........................................................................................................................11
03 过关测试.........................................................................................................................................131、已知 是椭圆 上的定点，直线 （不过 点）与椭圆交于 ， 两点，且
，则直线 斜率为定值 ．
2、已知 是双曲线 上的定点，直线 （不过 点）与双曲线交于 ， 两点，且
，直线 斜率为定值 ．
3、已知 是抛物线 上的定点，直线 （不过 点）与抛物线交于 ， 两点，若
，则直线 斜率为定值 ．
4、 为椭圆 上一定点，过点 作斜率为 ， 的两条直线分别与椭
圆交于 两点．
（1）若 ，则直线 过定点 ；
（2）若 ，则直线 过定点 ．
5、设 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过 作两条直线 ， 交椭圆
于 、 、 、 ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，弦 ， 的中点
记为 ， ．
（1）若 ，则直线 过定点 ；
（2）若 ，则直线 过定点 ．
6、过抛物线 上任一点 引两条弦 ， ，直线 ， 斜率存在，分别记
为 ，即 ，则直线 经过定点 ．题型一：斜率和问题
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，且四个顶点所围成
的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设 ，满足 ．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
【典例1-2】如图，已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 与 轴交于点 ，过点 的直线 与 交于 两点，点 为直线 上任意一点，
设直线 与直线 交于点 ，记 的斜率分别为 ，求证： ．
【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直
线 与 的交点为 .(1)若 ，求抛物线 的方程及焦点 的坐标；
(2)若点 为 轴正半轴上的任意一点，过点 作直线交抛物线于 两点，点 关于原点的对称点 ，连
接 交抛物线于点 ，求证： .
【变式1-2】如图所示，已知分别过椭圆 的左、右焦点的动直线 ， 相交于点P，且 ，
与椭圆E分别交于点A，B和点C，D，直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为 ， ， ， ，满足
，请问是否存在定点M，N，使得 为定值？若存在，求出点M，N的坐标；若不
存在，请说明理由．
【变式1-3】（2024·江西鹰潭·二模）设椭圆E： 经过点 ，且离心率 ，
直线 垂直x轴交x轴于T，过T的直线l 交椭圆E于A(x ,y )，B(x ,y )两点，连接 ， ，
1 1 1 2 2
．(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为 ， ．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求 的值．
【变式1-4】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，点 在
上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点（异于点 ），过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ，设
直线 的斜率分别为 .证明：
（i） 为定值；
（ii）直线 过线段 的中点.
【变式1-5】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作抛物线
的两条切线，切点分别为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条倾斜角互补的直线 ， 交抛物线 于 两点， 交抛物线 于 两点，连接
，设 的斜率分别为 ，求 的值；
(3)设 ，求 的值.题型二：斜率差问题
【典例2-1】已知椭圆 的离心率为 ，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右
顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交
于点Q，直线BP交x轴于点N．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)求证： 为定值，并求出此定值（其中 、 分别为直线QN和直线QC的斜率）．
【典例2-2】椭圆C： 的离心率 ， ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD
交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明： 为定值．
【变式2-1】在平面直角坐标系 中，已知定点A(1，0)，点M在 轴上运动，点N在 轴上运动，点P
为坐标平面内的动点，且满足 .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆 上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记 分别为切线QS，QT的斜
率，当Q运动时，求 的取值范围.【变式2-2】设 、 为抛物线 上的两点， 与 的中点的纵坐标为4，直线 的
斜率为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 ， 、 为抛物线 （除原点外）上的不同两点，直线 、 的斜率分别为 ， ，
且满足 ，记抛物线 在 、 处的切线交于点 ，线段 的中点为 ，若
，求 的值.
【变式2-3】如图,已知点 是抛物线 ： 的焦点,点 在抛物线上,且 .
（1）若直线 与抛物线 交于 两点,求 的值;
（2）若点 在抛物线 上,且抛物线 在点 处的切线交于点 ,记直线 的斜率分别为 ,且
满足 ,求证： 的面积为定值.
【变式2-4】如图，已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别是椭圆 的左、右顶点，
右焦点 ， ，过 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 在 轴上方．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记 ， 的面积分别为 ， ，若 ，求 的值；
(3)设线段 的中点为 ，直线 与直线 相交于点 ，记直线 ， ， 的斜率分别为 ，
， ，求 的值．
题型三：斜率积问题
【典例3-1】（2024·河北保定·三模）设椭圆C： 的左、右顶点和椭圆
的左、右焦点均为E，F.P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线 于点A，直线
FP交直线 于点B.直线AB与椭圆 交于点M，N，O为坐标原点.
(1)若b为定值，证明： 为定值；
(2)若直线OM，ON的斜率之积恒为 ，求b.
【典例3-2】已知椭圆 左右焦点 分别为椭圆 的左右
顶点，过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 两点，交椭圆 于点 ，且 与 的
周长之差为 .
(1)求椭圆 与椭圆 的方程；(2)若直线 与椭圆 相交于 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定
值.
【变式3-1】（2024·高三·浙江·开学考试）如图，已知抛物线 的焦点为 ，过点 作一条不
经过 的直线 ，若直线 与抛物线交于异于原点的 两 点，点 在 轴下方，且 在线段 上．
(1)试判断：直线 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
(2)过点 作 的垂线交直线 于点 ，若 的面积为4，求点 的坐标，
【变式3-2】（2024·广东·一模）设 两点的坐标分别为 . 直线 相交于点 ，
且它们的斜率之积是 . 设点 的轨迹方程为 .
(1)求 ;
(2)不经过点 的直线 与曲线 相交于 、 两点，且直线 与直线 的斜率之积是 ，求证：直线
恒过定点.
【变式3-3】（2024·广西柳州·一模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，过 且
与 轴垂直的直线与椭圆 交于A，B两点， 的面积为 ，点 为椭圆 的下顶点，.
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)椭圆 上有两点 ， （异于椭圆顶点且 与 轴不垂直），当 的面积最大时，证明：直线
与 的斜率之积为定值.
，即 ，
， ，
，
，当且仅当 即 时等号成立，
，【变式3-4】（2024·江西九江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点 在
上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，若直线 ， 的斜率互为倒数，证明：直线 过定点．
题型四：斜率商问题
【典例4-1】（2024·湖北荆州·三模）已知 ，圆心 是原点，点 ，以线段 为直径
的圆内切于 ，动点 的轨迹记为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 ，点 ，直线 过点 与曲线 交于 两点，与直线 交于点 .
①若 ，求直线 的斜率；
②若记直线 的斜率分别为 问 是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请
说明理由.
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线，垂
足为 ，点 满足 ，当点 在圆 上运动时，点 的轨迹为曲线 ，过点 且斜率不为
的直线 与曲线 交于 ， 两点.
(1)求曲线 的方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)已知点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在实数 ，使得 为定值？若存在，
求出 值，若不存在，请说明理由.【变式4-1】在平面直角坐标系 中，抛物线 ： ． ， 为 上两点，且 ， 分别在第一、
四象限．
(1)直线 与 正半轴交于 ，与 负半轴交于 ，若 ，求 横坐标的取值范围；
(2)直线 与 正半轴交于 ，与 负半轴交于 ，记 的重心为 ，直线 ， 的斜率分别
为 ， ，且 ．
若 ，证明： 为定值．
(3)若过 ， 作抛物线 的切线 ， ，交点 在直线 上，求 面积的最小值.
【变式4-2】如图，已知椭圆C： 与顶点 ，经过点 且斜率存在的直线l交椭圆于
Q，N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，连接AB，AN．求证：存在实数λ，使得 恒成立．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点 是椭圆的右焦点，抛物线 与椭圆 在第一象限的公共点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线 与椭圆 的标准方程；
(2)若 分别是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 上不同于 的两点，直线 的斜率是直线
的斜率的3倍，证明：直线 过定点，并求出定点的坐标．
【变式4-4】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C： 的焦距为 ，
离心率 ，过点 作两条直线 ， ，直线 交椭圆于A，B两点，直线 交椭圆于M，N两点，
A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)记直线AM与BN的斜率分别为 ， 且 ，判断是否存在非零常数 ，使得 ．若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．
1．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知点 ，点 在以 为直径的圆上运动，
轴，垂足为 ，点 满足 ，点 的轨迹为 .
(1)求 的方程：
(2)过点 的直线 交 于点 ，设直线 的斜率分别为 ､ ，证明 为定值，并求出该定值.2．已知椭圆 的长轴长与短轴长的差为2，且离心率为 为坐标原点.
(1)求 的方程.
(2)过点 且不与 轴重合的动直线 与 相交于 两点， 的中点为 .
①证明：直线 与 的斜率之积为定值；
②当 的面积最大时，求直线 的方程.
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C： 的右顶点为 ，离心率为 ，过
点 的直线l与C交于M，N两点．
(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为 ， ，求 的值；
(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．
4．已知椭圆 ，过点 ， ， 分别是 的左顶点和下顶点， 是 右焦点，
.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与椭圆 交于点 ， ，直线 ， 分别与直线 交于不同的两点 ， .设直线
， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
5．如图所示，设点 ，点M，N是椭圆 上的两个不同的点，且直线AM与直线AN的斜
率之积为 ．证明：直线MN过定点．6．（2024·河北保定·三模）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，离心率为 ，且
.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆上异于 的两动点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，已知 .直线
与 轴相交于点 ，求 的面积的最大值.
7．（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆 ，右焦点为 且离心率为 ，
直线 ，椭圆 的左右顶点分别为 为 上任意一点，且不在 轴上， 与椭圆 的另一个交
点为 与椭圆C的另一个交点为 .
(1)直线 和直线 的斜率分别记为 ，求证： 为定值；
(2)求证：直线 过定点.8．求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）
无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
9．（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为A、
B，左、右焦点分别为 ．过右焦点 的直线l交椭圆于点M、N，且 的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为 ，证明： 为定值．
10．已知椭圆 ： 的离心率为 ， 点 ， 在椭圆上运动. 当直线 过椭圆右焦点
并垂直于 轴时， 的面积为 （ 为坐标原点）.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)延长 到 ， 使得 ，且 与椭圆 交于点 ， 若直线 ， 的斜率之积为 ， 求
的值.
11．设抛物线 的焦点为 ，点 ，过点 且斜率存在的直线交 于不同的 两点，当直线 垂直于 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)设直线 与 的另一个交点分别为 ，设直线 的斜率分别为 ，证明：
（ⅰ） 为定值；
（ⅱ）直线 恒过定点.
12．如图所示，已知点 ，F是椭圆 的左焦点，过F的直线与椭圆交于 两点，直线
分别与椭圆交于 两点．
(1)证明：直线 过定点．
(2)证明：直线 和直线 的斜率之比为定值．
13．（2024·广西·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为 和 ， 的
周长为6，记顶点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为 ， ．
（ⅰ）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数 ，使得当 时， ；
（ⅱ）若 ，当 最大时，求四边形EPFQ的面积．14．（2024·福建福州·模拟预测）已知双曲线 的上、下顶点分别为 ．
(1)若直线 与 交于 两点，记直线 与 的斜率分别为 ，求 的值；
(2)过 上一点 作抛物线 的切线 和 ，切点分别为 ，证明：直线 与圆 相切．
15．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下顶
点所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程．
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ．
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 面积的最大值．
16．（2024·全国·模拟预测）已知点 ，直线 与抛物线 交于B，C两点（均不同于点A）．
设直线AB，AC的斜率分别为 ，有 ．
(1)证明：直线 经过定点．
(2)若B，C两点在 轴的异侧，则存在几条直线 ，使 的面积为4？
17．（2024·高三·贵州·开学考试）已知双曲线 的离心率为 ，实轴长为6，A
为双曲线C的左顶点，设直线l过定点 ，且与双曲线C交于E，F两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．
