第三章图形的平移与旋转B卷压轴题考点训练（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

第三章 图形的平移与旋转B卷压轴题考点训练 1．如图，点 ， ，作点 关于 轴的对称点 ，若点 是直线 上的动点，连 ，将 绕点 逆时针旋转 至 ，则 的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ∵将 绕点 逆时针旋转 至 ， 则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， 设直线 的解析式为 ，∴ ， 解得： ∴直线 的解析式为 ， ∵点 是直线 上的动点， ∵ 关于 轴对称， ∴ , 如图所示， 设 ，则 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴点 在直线 上运动， 设直线 与坐标轴的交点为 ，则 是等腰直角三角形， ∴ , , ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ，作 关于 的对称点 ，则 是等腰直角三角形（ ）， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴当 三点共线时， 最小，最小值为 的长， 即 ， 故答案为： ． 2．如图，D是 内一点， ， ， ， ， ，则 的长是 _____________． 【答案】 【详解】解：将 绕点D顺时针旋转 至 ，连接 ，交 于F，交 于M， 则 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， 在 与 中，， ， ， ，解得： ， ， 在 中， ， 故答案为： ． 3．如图， 为等边三角形，点P为 内一点，且 ， ， ，M、N为 、 上的动点，且 ，则 的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：如图1，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 、 ，则 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， 如图2，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，则 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 则 的最小值为 ， 故答案为 ． 4．如图所示， ，点 是 轴上一个动点，将线段 绕 点顺时针旋转 得到线段 ，连接 ． 则线段 的最小值是__________．【答案】2 【详解】解：连接 ，以 为边长作等边 ，连接 ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 当点 在 轴上运动时，点 在直线 上运动， 作 交直线 于 ， 于 ， ， ， ， ， ， 显然，当 在直线 上运动到点 位置时，线段 的最小值为 ， 故答案为：2．5．如图，直线l上依次有 ， ， ， 四点，且 ，以 为边作等边 ，连接 ， ； 若 ， ，则 的长是______． 【答案】 【详解】解：设 则 为等边三角形， ， ， ， 把 绕点 顺时针旋转 得到 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 过 点作 于 ，如图，， 点与 点重合，即 ， 在 中， ， 即 ， ． 故答案为 ． 6．如图，在 中， ， ，P为 内一点，且 ， ， ， 则 的面积为______． 【答案】 【详解】解：如图，把 绕点 逆时针旋转90°得到 ， 根据旋转的性质可得 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在直角三角形 中 故答案为： ． 7．如图，在平面直角坐标系中，将 绕点A顺时针旋转到 的位置，点B，O分别落在点 ， 处，点 在x轴上，再将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在x轴上，再将 绕 点 顺时针旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去，…，若点 ， ， ，则点 的坐标为______． 【答案】 【详解】∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的横坐标为：12，且 ， ∴ 的横坐标为： ， …， ∴ 的横坐标为： ， ∵ ， ∴点 的横坐标为： ， ∵ ， ∴点 的纵坐标为4， ∴ ． 故答案为： ． 8．如图，含 角的直角三角形纸片将该纸片 在平面直角坐标系中放置，将该纸片绕着原点 按顺 时针方向旋转 得到 ，连结 ， ， 分别为 ， 的中点， 若 ， 则直线 与 轴的交点坐标为___________．【答案】 【详解】解：在 中， ， ， ， ，点 的坐标为 ， ， 点 的坐标为 ， ． 由旋转的性质可知： ， ， ， 点 的坐标为 ， 为等边三角形． 点 为线段 的中点， 点 的坐标为 ． 过点 作 轴于点 ，如图所示， 为等边三角形， ， ， 点 的坐标为 ． 点 为线段 的中点， 点 的坐标为 ， ． 设直线 的解析式为 ，将 ， ， 代入 得： ，解得： ， 直线 的解析式为 ． 当 时， ， 直线 与 轴的交点坐标为 ． 故答案为： ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ， ，将 绕原点 顺时针旋转 ， 再将其各边都扩大为原来的2倍，使得 ， ，得到 ；将 绕原点 顺时针旋 转 ，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得 ， ，得到 ……如此继续下去， 得到 ，则点 的坐标是______．【答案】 【详解】解：如图所示： ， ， ， ， 轴， ， ， 每一次旋转角是 ， 旋转 次后，正好旋转一周，点 在 轴的正半轴上，， 点 与点 在同一条射线上，如图所示， 每次旋转后 ， ， ， ， ， ， ， 依此类推， ， 当 时， ，根据含 锐角的直角三角形的三边关系可知点 的坐标是 ，即 ， 故答案为： ． 10．如图，在 中， ， ， ，点O为 内一点，连接 ， ， ．且 ，则 的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， ． 如图，将 绕点B顺时针方向旋转 得到 ， ∴ ， ， ∵ ， ，∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ 四点共线， 在 中， ， ∴ ．故答案为： ． 11． 中， ， ，点 在边 上，将线段 逆时针旋转 得到 ，连接 ． (1)当 ， 时，求证： ． (2)当 ， 时，若 ，求 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图 ，连接 ， ，， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）在 的延长线上取点 ，使 ， 由 同理得 ， ， ， 设 ， ∴ 作 于 ， ， 是等腰直角三角形，∴ ． 12．如图1，在 中， ，点D，E分别在边 上， ，连接 ，过点C作 ，垂足为H，直线 交直线 于F． (1)求证： ； (2)将图1中的 绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证 明：如果不成立，请说明理由； (3)若 ，将 绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 仍然成立，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2） 仍然成立，理由如下： 如下图，作 交直线 于点 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ； （3）解：①当点 在 延长线上时，过点 作 于点 ，如下图， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由（2）可知， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②当点 在线段 上时，过点 作 于点 ，如下图，同理可得 ， ， ， ∴ ， ∴ ． 综上所述， 的长为 或 ． 13．(1)发现：如图 ，点 是线段 上的一点，分别以 ， 为边向外作等边三角形 和等边三角 形 ，连接 ， ，相交于点 ． ①线段 与 的数量关系为： ； 的度数为 ． ② 可看作 经过怎样的变换得到的？ ． (2)应用：如图2，若点 ， ， 不在一条直线上， 中的结论①还成立吗？请说明理由； (3)拓展：在四边形 中， ， ， ，若 ， ，请直接写出 ， 两点之间的距离． 【答案】(1)① ， ；② 可看作 绕点 顺时针旋转 得到的；(2)(1)中的结论①依 然成立；理由见解析；(3) 【详解】解：（1）① 、 都为等边三角形， ， ， ， ，在 和 中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ， ； ②由①知： ， ， ， ， ， 可看作 绕点 顺时针旋转 得到的， 故答案为： 可看作 绕点 顺时针旋转 得到的； （2）若点 ， ， 不在一条直线上，（1）中的结论①依然成立；理由如下： 、 都为等边三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ； （3）过点 作 于 ，过点 作 ，交 延长线于 ，如图 所示：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． 14．在 中， ，点D是边 上一动点，连接 ．将线段 绕着D逆时针旋转 得到 ，连接 ． (1)当 时， ①如图1，若 ， ，求 的长： ②如图2，过点C作 于F，当点D在线段 上时，过点E作 交 于点G．求证： ； (2)如图3，若 ， ，请直接写出 的最小值． 【答案】(1)① ②证明见解析；(2)3 【详解】（1）①解：过点C作 于F，∵ ， ， ∴ ， ， 在 中， 由勾股定理得， ， ∵ ， ， ∴ ， 解得： ， ∵ ∴ ， 在 中， 由勾股定理得， ， 即 解得： ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； ②过点E作 于H，∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ； （2）如图，过点C作 于点F，以点B为顶点在 上方作 ， 过点D作 于点M，过点C作 于点N，点D是 上的动点，运动到某一时间有 ， 此时， ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， 设 的长为x，则 ， ∵∠ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得， ， ， 即 ， 解得： ， ∴ ， ， 在 中， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 是由 旋转得到， ∴ ，∴ 即为 ， 最小时，即 最小， 当C、D、M三点共线时 最小，即图中的 ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 的最小值为3． 15．在 中 于点 ． (1)如图1，若 的角平分线交 于点 ， ， ，求 的度数； (2)如图2，点 、 分别在线段 、 上，将 折叠，点 落在点 处，点 落在点 处，折痕 分别为 和 ，点 、 均在直线 上，若 ，试猜想 与 之间的数量关系， 并简要说明理由； (3)在（2）小题的条件下，将 绕点 逆时针旋转一个角度 ，记旋转中的 为 （如图3）．在旋转过程中，直线 与直线 交于点 ，与直线 交于点 ．若 ，是否存在这样的 、 两点，使 为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角 的度数；若不存在， 请说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由见解析 (3)存在，旋转角的度数为 或 ，理由见解析 【详解】（1）解： 如图， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴ 的度数为 ． （2）结论： ． 理由：如图， 由翻折可知 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ，∴ ． （3）①当 时， ∴ ， ∵将 折叠，点 落在点 处，折痕为 ，将 绕点 逆时针旋转一个角度 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②当 时， ∵将 折叠，点 落在点 处，折痕为 ，将 绕点 逆时针旋转一个角度 ， ∴ ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 综上所述，旋转角 的度数为 或 ．