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第6讲 椭圆(二)
复习要点 1.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根
据根与系数的关系及判别式解决问题.2.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．
一 点P(x，y)和椭圆＋＝1(a>b>0)的关系
0 0
1．P(x，y)在椭圆内⇔ ＋ <1 .
0 0
2．P(x，y)在椭圆上⇔ ＋＝ 1 .
0 0
3．P(x，y)在椭圆外⇔ ＋ >1 .
0 0
二 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(θ是参数)．
三 直线与椭圆位置关系的判断
联立得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，该一元二次方程的判别式为Δ.
Δ>0 有两个交点⇔相交；
Δ＝0 有一个交点⇔相切；
⇔
Δ<0 无交点⇔相离．
⇔
四 椭圆的弦长
⇔
设AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦，A(x ，y)，B(x ，y)，弦中点为M(x ，y)，斜率
1 1 2 2 0 0
为k(k≠0)．
(1)弦长l＝|x－x|＝|y－y|·.
1 2 1 2
(2)k＝－.
(3)直线AB的方程：y－y＝－(x－x)．
0 0
(4)线段AB的垂直平分线方程：y－y＝·(x－x)．
0 0
常/用/结/论
已知椭圆＋＝1(a>b>0)．
(1)通径的长度为.
(2)过左焦点的弦设为AB，A(x ，y)，B(x ，y)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x ＋x)；过右焦
1 1 2 2 1 2
点的弦设为CD，C(x，y)，D(x，y)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x＋x)．(e为椭圆的离心率)
3 3 4 4 3 4
(3)A，A 为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A，A 的任一点，则k · ＝－ .
1 2 1 2 PA1 kPA2
椭圆第三定义．
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则k · k ＝－ .
OM AB
弦中点问题：点差法⇒k ＝－· k ·k ＝－·＝－.
AB OM AB
(5) 过原点的直线交椭圆于 A ， B 两点 ，P是椭圆
⇒
可知A，B关于原点对称．
上异于A，B的任一点，则k ·k ＝－.
PA PB
(6)点P(x，y)在椭圆上， 过点 P 的切线方程为＋＝ 1 .
0 0
方法一(联立方程组)：
联立⇒Δ＝0.
方法二(复合函数求导)：由＋＝1，两边同时对x求导，得＋＝0，即y′＝－. 将P(x ，y)代入，得k＝－，则切
0 0
线：y－y＝－(x－x)，即＋＝1.
0 0
1．判断下列结论是否正确．
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(√)
(2)直线y＝x与椭圆＋y2＝1一定相交．(√)
(3)直线方程与椭圆方程联立，得到的一定是关于x的一元二次方程．(√)
(4)过椭圆上两点A(x，y)，B(x，y)的直线的斜率k＝.()
1 1 2 2
2．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
解析：方法一(通解)：联立直线与椭圆的方程，得消去y，得9x2＋10x－15＝0，因为Δ
＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交．故选A．
方法二(优解)：因为直线过点(0,1)，而0＋<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可以推断直
线与椭圆相交．故选A．
答案：A
3．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最
大值为( )
A．6 B．15
C．20 D．12
解析：S＝|OF||y －y |≤|OF|·2b＝12.
A B
答案：D
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则
椭圆的方程为____________．
解析：因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1,0)，所以b＝1.因为过焦点且垂直于长轴的弦长
为1，所以＝1，所以a＝2，所以椭圆的方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
题型 直线与椭圆的位置关系
典例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与
椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；Δ＞0
(2)有且只有一个公共点；Δ＝0
(3)没有公共点．Δ＜0
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时
直线l与椭圆C没有公共点．
研究直线与椭圆的位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的
解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
对点练1(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为
F ，F ，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△FAB面积是△FAB面积的2倍，则m＝(
1 2 1 2
)
A． B．
C．－ D．－
解析：设直线y＝x＋m与x轴交于点M(－m,0)，直线方程与椭圆方程联立，得＋2mx
＋m2－1＝0，Δ＝(2m)2－4··(m2－1)>0，解得－2b>0)的离心率为，左、右
焦点分别为F，F， 过 F 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 W 所截得的线段长为 2 .
1 2 2
通径.
(1)求椭圆W的方程；
(2)直线y＝kx(k≠0)与椭圆W交于A，B两点，连接AF 并延长交椭圆W于另一点C，
1
若△ABC的面积为，求直线AC的方程．
解：(1)联立解得y＝±，
由题意得＝2，所以b2＝a.
因为椭圆W的离心率e＝＝，
所以c2＝a2.
因为a2＝b2＋c2，所以a2＝8，b2＝4，
故椭圆W的方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线AC不垂直于y轴．
设直线AC的方程为 x ＝ ty － 2 ，A(x，y)，
1 1即k ≠0，可设为倒斜截式．
AC
C(x，y)，
2 2
联立消去x并整理得
(t2＋2)y2－4ty－4＝0，Δ＝32(t2＋1)>0，
所以y＋y＝，yy＝－，
1 2 1 2
所以 | AC | ＝ | y － y |
2 1
倒斜截式的弦长公式．
＝
＝＝.
因为点O到直线AC的距离d＝，且O是线段AB的中点，
所以点B到直线AC的距离为2d，
所以S ＝|AC|·2d＝·＝.
△ABC
由＝，解得t2＝8或t2＝－(舍去)，所以t＝±2，
故直线AC的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
设直线与椭圆的交点坐标为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则有|AB|＝
＝(k为直线斜率，k≠0)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略
判别式．
对点练2 若斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最
大值为( )
A．2 B．
C． D．
解析：设A，B两点的坐标分别为(x ，y)，(x ，y)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去
1 1 2 2
y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，又Δ＝(8t)2－16(t2－1)×5>0，得t2<5，则x＋x＝－t，xx＝.
1 2 1 2
∴|AB|＝|x－x|
1 2
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB| ＝.
max
答案：C
题型 弦的中点问题
典例3 已知椭圆＋y2＝1.
(1)求斜率为3的平行弦的中点的轨迹方程；
(2)若过点N(1,2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点P且 被 P 点平分的弦 所在直线的方程．
均为弦中点问题，可采用“点差法”，但要注意前提条件：直线与椭圆有两个不同的交点．
解： 设弦的两端点为 A ( x ， y ) ， B ( x ， y )，中点
1 1 2 2
“点差法”步骤：第一步：设点．
为M(x，y)，则有 ＋ y ＝ 1 ，＋ y ＝ 1 .
第二步：代入．
两式作差，得＋ ( y － y )·( y ＋ y ) ＝ 0 .第三步：作差．
2 1 2 1
∵x＋x＝2x，y＋y＝2y，＝k ，
1 2 1 2 AB
代入后求得k ＝－ ① .第四步：整理．
AB
(1)由①式，得3＝－，∴x＋6y＝0.
故所求的轨迹方程为x＋6y＝0(椭圆内部的部分)．
(2)由①式，得k＝k ＝－.
l AB
又∵k＝k ＝，∴－＝.
l MN
整理得x2＋2y2－x－4y＝0，
故所求的轨迹方程为x2＋2y2－x－4y＝0(椭圆内部的部分)．
(3)易知点P在椭圆内部，由①式，得弦所在的直线的斜率k＝－＝－，
∴其方程为y－＝－，即x＋2y－1＝0.
有关弦的中点的题目常见问题
(1)过定点且被定点平分的弦所在直线的方程；
(2)平行弦的中点的轨迹；
(3)过定点的弦的中点的轨迹．
解决有关弦及弦的中点问题的常用方法是“根与系数的关系”和“点差法”．这两种
方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
对点练3 焦点是F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭
圆的标准方程为____________．
解析：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x ，
1
y)，B(x ，y)．由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆
1 2 2
方程中，得两式相减并化简，
得＝－·＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭
圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
题型 直线与椭圆的综合问题
典例4 椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右顶点为B，满足|AB|＝4，且
椭圆E的离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点T在椭圆E的内部，直线AT和直线BT分别与椭圆E交于另外的点C和点
D，若△CDT的面积为，求t的值．
解：(1)由题意，|AB|＝2a＝4，得a＝2.离心率e＝＝＝，得b＝1.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设C(x ，y )，D(x ，y )．
C C D D
点A(－2,0)， 直线 AT 的方程为 y ＝ ·( x ＋ 2) ，由T在椭圆E的内部知t≠－2.
即x＝2(t＋2)y－2.
将x＝2(t＋2)y－2代入椭圆E的方程，整理得(t2＋4t＋5)y2－2(t＋2)y＝0，可得y ＝.
C
点 B (2,0) ，直线 BT 的方程为 x ＝ 2( t － 2) y ＋ 2 .
由T知BT斜率不为0，因此可设为倒斜截式．
将x＝2(t－2)y＋2代入椭圆E的方程，得(t2－4t＋5)y2＋2(t－2)y＝0，可得y ＝.
D
＝＝·＝·＝(2y －1)(2y －1)．
C D
因为S ＝×4×＝1，
△ABT
所以S ＝(2y －1)(2y －1)＝＝.
△CDT C D
由题意知＝，整理得t4－6t2＋8＝0，解得t2＝2或t2＝4.
又点T在椭圆E的内部，所以t2＝2，即t＝±.
1．解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的
方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有
关参变量的等量关系求解．
2．涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要
①若斜率存在：设为y＝kx＋t；②若斜率不为0：设为x＝my＋n.
忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
对点练4 (2024·北京清华大学附属中学调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、
右顶点分别为A，A，|AA|＝4，椭圆E的离心率为.
1 2 1 2
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过D(1,0)作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线AM
1
与直线x＝交于点P，判断直线AN与DP的位置关系，并说明理由．
2
解：(1)设椭圆＋＝1的半焦距为c，
由已知得点A，A 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，
1 2
因为|AA|＝4，所以2a＝4，所以a＝2.
1 2
又椭圆E的离心率为，所以＝，
所以c＝，所以b＝＝1，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)画出图象如图所示．因为直线MN与x轴不重合，且过点D(1,0)，所以可设直线MN的方程为x＝my＋1，
联立方程消去x可得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝4m2＋12(m2＋4)>0.
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
由A(－2,0)，A(2,0)，
1 2
得kAM＝，kAN＝，
1 2
则直线AM的方程为y＝(x＋2)，
1
代入x＝可得y＝，即P，所以k ＝＝，
DP
则kAN－k ＝－＝－＝，
2 DP
因为3(y＋y)－2myy＝3＋＝0，即kAN－k ＝0，
1 2 1 2 2 DP
所以kAN＝k ，所以直线AN与DP平行．
2 DP 2
