文档内容
重难点突破 06 弦长问题及长度和、差、商、积问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：弦长问题................................................................................................................................2
题型二：长度和问题............................................................................................................................3
题型三：长度差问题............................................................................................................................5
题型四：长度商问题............................................................................................................................6
题型五：长度积问题............................................................................................................................7
题型六：长度的范围与最值问题........................................................................................................8
题型七：长度的定值问题..................................................................................................................10
03 过关测试.........................................................................................................................................131、弦长公式的两种形式
①若 ， 是直线 与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去 后得到一元二次方程
，则 ．
②若 ， 是直线 与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去 后得到一元二次方程
，则 ．
题型一：弦长问题
【典例1-1】已知点 、 分别椭圆 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、
两点，则弦 的长为 .
【典例1-2】已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F，F，离心率为 ，椭圆C上点M
1 2
满足 ．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点 的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为 时直线l的方程．
【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点
在双曲线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
【变式1-2】已知抛物线 的焦点为 .
(1)求 ；
(2)斜率为 的直线过点 ，且与抛物线 交于 两点，求线段 的长.
【变式1-3】已知动圆过定点 ，且在 轴上截得的弦长为 ，动圆圆心的轨迹方程为 ，已知点
，直线 过点 且与轨迹 交于 ､ 两点，且 ，求直线 的方程.
题型二：长度和问题
【典例2-1】已知 为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两
点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 .
(1)设 是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用
切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于
.
(i)若 ，求 的值；
(ii)证明:
【典例2-2】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知 的内角 的对边分别为 ，面积为，且 .
(1)证明： 为等边三角形；
(2)设 的延长线上一点 满足 ，又平面内的动点 满足 ，求
的最小值.
【变式2-1】（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆 和两个半圆
、 组成曲线 ，其中点 依次为 的左、
右顶点，点 为 的下顶点，点 依次为 的左、右焦点．若点 分别为曲线 的圆心．
(1)求 的方程；
(2)若过点 作两条平行线 分别与 和 交与 和 ，求 的最小值．
【变式2-2】（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当 且 时，我们把方程
表示的椭圆 称为椭圆 的相似椭圆．已知椭圆 ，
椭圆 （ 且 ）是椭圆 的相似椭圆，点 为椭圆 上异于其左、右顶点 的任意一点．
(1)当 时，若与椭圆 有且只有一个公共点的直线 恰好相交于点 ，直线 的斜率分别为 ，
求 的值；
(2)当 （e为椭圆 的离心率）时，设直线 与椭圆 交于点 ，直线 与椭圆 交于点 ，
求 的值．题型三：长度差问题
【典例3-1】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且
，过点 作两条直线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
【典例3-2】已知抛物线 经过点 ，直线 与 交于 ， 两点（异
于坐标原点 ）．
(1)若 ，证明：直线 过定点．
(2)已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交 于 ， 两点，试问是否
存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【变式3-1】已知抛物线 ： 的焦点为椭圆 ： 的右焦点F，点P为抛物线
与椭圆 在第一象限的交点，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线 于A，C两点，交椭圆 于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且
，求直线l的方程.题型四：长度商问题
【典例4-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA
的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【典例4-2】（2024·高三·山东德州·开学考试）已知双曲线 焦点在 轴上，离心率为 ，且过点
，直线 与双曲线 交于 两点， 的斜率存在且不为0，直线 与双曲线 交于 两点.
(1)若 的中点为 ，直线 的斜率分别为 为坐标原点，求 ；
(2)若直线 与直线 的交点 在直线 上，且直线 与直线 的斜率和为0，证明： .
【变式4-1】抛物线 的焦点 到准线 的距离为 .
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点 的直线（斜率存在且不为0）交抛物线 于 两点，线段 的中垂线交抛物线的对称轴于
点 ，求 .
【变式4-2】（2024·湖北黄冈·模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ，
，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的最小值是
．
【变式4-3】（2024·高三·河北·开学考试）已知椭圆 的焦点在 轴上，离心率为 ，对称轴为坐标轴，
且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过 的直线交椭圆 于 两点，求 的取值范围.
题型五：长度积问题
【典例5-1】（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆 的右顶点为 ，上顶
点为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的左焦点为 点 为椭圆 上不同于顶点的一点，直线 与 轴的交点分别为 ，若
，求点 的横坐标.
【典例5-2】已知抛物线 ， 为 的焦点，过点 的直线 与 交于 ， 两点，且在 ，
两点处的切线交于点 ，当 与 轴垂直时， ．
(1)求 的方程；
(2)证明： ．【变式5-1】（2024·高三·江西·开学考试）已知双曲线 其左、右焦点分别为 ，
若 ，点 到其渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设过点 的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且 ，若 成
等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由．
【变式5-2】（2024·高三·陕西安康·开学考试）已知动圆的圆心在 轴上，且该动圆经过点
．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设过点 的直线 交轨迹 于 两点，若 为轨迹 上位于点 之间的一点，点 关
于 轴的对称点为点 ，过点 作 ，交 于点 ，求 的最大值．
【变式5-3】已知椭圆 的离心率为 ，且直线 被椭圆 截得的弦长为
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点为 ，若直
线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求 的取值范围．
题型六：长度的范围与最值问题
【典例6-1】（2024·安徽·一模）已知双曲线C： 的离心率为2.且经过点 .(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且 （点O为坐标原点），求 的取值范围.
【典例6-2】（2024·高三·广东·开学考试）我们把各边与椭圆 的对称轴垂直或平行
的 的内接四边形叫做 的内接矩形．如图，已知四边形 是 的一个边长为1的内接正方形， ，
分别与 轴交于 ， ，且 ， 为 的两个焦点．
(1)求 的标准方程；
(2)设 是四边形 内部的100个不同的点，线段 ， 与 轴分别交于 ， ，记
，其中 ，证明： ， 中至少有一个小于 ．
【变式6-1】（2024·高三·浙江·开学考试）在直角坐标系 中，过椭圆 的右焦点
的直线与 截得的线段长的取值范围是 .
(1)求 的方程；
(2)已知曲线 的切线 被坐标轴所截的线段长为定值.
（i）求 与 截得的线段长；
（ii）求 与 截得的线段长的取值范围.【变式6-2】（2024·高三·北京·自主招生）双曲线： 有一点 在双曲线上，分别过 点作渐近线
平行线交 轴于 ，且 在靠近原点的一侧，过 点作 轴垂线交以 为直径的圆于点 ，求 的
取值范围.
【变式6-3】（2024·新疆·二模）已知椭圆 的左焦点为 ， 上任意一点到
的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为 ．
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线 与 交于 ， 两点，若动点 满足 ， ，动点
在椭圆 上，求 的最小值．
题型七：长度的定值问题
【典例7-1】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线 的准线过点 ，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角 为锐角，以角 为倾斜角的直线经过抛物线的焦点 ，且与抛物线交于A、B两点，作线段
的垂直平分线 交 轴于点 ，证明: 为定值，并求此定值.【典例7-2】已知椭圆 的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭
圆 上不同的两点，且当 三点共线时，直线 的斜率之积为
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 的面积为1，求 的值.
【变式7-1】（2024·高三·广东·开学考试）设 为椭圆 的左、右焦点，点
在椭圆 上，点 关于原点的对称点为 ，四边形 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过 的直线 交椭圆 于 两点，求证： 为定值.
【变式7-2】已知椭圆 过点 ，且 ．
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点 的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别
与y轴交于M，N两点．求证 为定值．
【变式7-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系 中，双曲线
的上下焦点分别为 ， . 已知点 和 都在双曲线上， 其
中 为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;
(2)设 是双曲线上位于 轴右方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 .
(i) 若 ，求直线 的斜率；
(ii) 求证： 是定值.
【变式7-4】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知椭圆 的离心率 ，连接四
个顶点所得菱形的面积为4.斜率为 的直线交椭圆于 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)设 为坐标原点，若 三点不共线，且 的斜率满足 ，求证： 为定
值.
1．已知斜率为2的直线 经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆相交于 两点，求弦 的长．2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线 的左顶点是 ，一条渐近线的
方程为 ．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线 与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C： 上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线
与双曲线C相切．
(1)若点P是直线 与圆 的交点，求a；
(2)求 的取值范围．
4．已知椭圆 ： 的离心率为 ， 点 ， 在椭圆上运动. 当直线 过椭圆右焦点并
垂直于 轴时， 的面积为 （ 为坐标原点）.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)延长 到 ， 使得 ，且 与椭圆 交于点 ， 若直线 ， 的斜率之积为 ， 求
的值.
5．在平面直角坐标系中，动点 到 的距离等于到直线x=−1的距离.(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点 作（1）中 的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O
为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求 的最小值.
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分
别与E交于点A，B和点C，D，当 时， ．
(1)求E的方程；
(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且 ，求直线AB和CD的方程．
7．（2024·高三·广东·开学考试）已知双曲线 的离心率为 ，焦距为 ．
(1)求 的标准方程；
(2)若过点 作直线 分别交 的左､右两支于 两点，交 的渐近线于 ， 两点，求 的取值范
围．
8．（2024·河南安阳·一模）如图，已知直线 ，M是平面内一个动点， 且MA
与 相交于点A（A位于第一象限）， ，且MB与 相交于点B（B位于第四象限），若四边形
OAMB（O为原点）的面积为 ．(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点 的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′: ，使以PQ为直径的圆与直线l′相
交于E，F两点，且 为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
9．若点 为双曲线 上一点， ，点A为双曲线的右顶点，过点P作直线l
交双曲线C于点Q，l于y轴相交于点B，点D为y轴上一动点，O为原点.
(1)求双曲线 的方程．
(2)若 四点共圆.
求 的值；
①
若 ，求直线 的斜率.
②
10．已知椭圆C： ， 、 分别为椭圆C的左、右焦点，过 作与x轴不
重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点D、E分别为线段 、 的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点．
（i）求证： 为定值；
（ii）设 面积为S，求S的取值范围．11．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B
两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交
于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明： 为定值.
12．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的右焦点为点F，椭圆
上顶点为点A，右顶点为点B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足
，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
13．（2024·江苏·三模）已知 为等轴双曲线 上一点，且 到 的两条渐近线的
距离之积等于 .
(1)求 的方程；(2)设点 在第一象限，且在渐近线的上方， 分别为 的左､右顶点，直线 分别与 轴交于点
.过点 作 的两条切线，分别与 轴交于点 （ 在 的上方），证明： .
