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第15 讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结
一．解答题（共19 小题）
1．如图，已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线交抛物线于
、
两点，点
在抛物线上，使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于点
，且
在
点
右侧．记
，
的面积为
，
．
（1）若直线
的斜率为
，求以线段
为直径的圆的面积；
（2）求
的最小值及此时点
的坐标．
2．如图，已知点
为抛物线
的焦点．过点
的直线交抛物线于
，
两点，点
在抛物线上，使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于点
，且
在点
的右侧．记
，
的面积分别为
，
．
（Ⅰ）求
的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求
的最小值及此时点
的坐标．
3．已知椭圆
的右焦点为
，短轴长为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
为椭圆
的右顶点，过点
的直线
与
交于
、
两点（均异于
，直线
、
分别交直线
于
、
两点，证明：
、
两点的纵坐标之积为定值，并求
出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、
为焦点的抛物线为
，如图，过点
的直线与
交于
、
两点，点
在
上，并使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于点
，且
在
的右侧，设
、
的面积分别为
、
，是否存在锐角
，使得
成立？请说明理由．
4．已知双曲线
的焦距为
，其中一条渐近线的方程为
．以双
曲线
的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为
，过原点
的动直线与椭圆
交于
、
两点．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若点
为椭圆的左顶点，
，求
的取值范围；
（Ⅲ）若点
满足
，求证
为定值．
5．已知椭圆
的左右焦点分别为
、
，且经过点
，
为椭圆上的动点，以
为圆心，
为半径作圆
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若圆
与
轴有两个交点，求点
横坐标的取值范围．
6．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，且椭圆
上
的点
满足
，
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）作直线垂直于
轴，交椭圆
于点
，
，点
是椭圆
上异于
，
两点的任意
一点，直线
，
分别与
轴交于
，
两点，判断
是否为定值，若是，求
出该定值；若不是，请说明理由．
7．已知椭圆
的左右焦点坐标为
，且椭圆
经
过点
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设点
是椭圆
上位于第一象限内的动点，
，
分别为椭圆
的左顶点和下顶点，
直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，求四边形
的面积．
8．在平面直角坐标系
中，椭圆
过点
，
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）点
，
是单位圆
上的任意一点，设
，
，
是椭圆
上异于顶
点的三点且满足
，求证：直线
与
的斜率乘积为定值．
9．在平面直角坐标系
中，椭圆
过点
，
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）点
，
是单位圆
上的任意一点，设
，
，
是椭圆
上异于顶
点的三点且满足
，探讨
是否为定值？若是定值，求出该定
值；若不是定值，请说明理由．
10．定义：在平面内，点
到曲线
上的点的距离的最小值称为点
到曲线
的距离．在
平面直角坐标系
中，已知圆
及点
，动点
到圆
的距离与到
点的距离相等，记
点的轨迹为曲线
．
（Ⅰ）求曲线
的方程；
（Ⅱ）过原点的直线
不与坐标轴重合）与曲线
交于不同的两点
，
，点
在曲线
上，且
，直线
与
轴交于点
，设直线
，
的斜率分别为
，
求
．
11 ．已知椭圆
的离心率为
，且过点
，动直线
交椭圆
于不同的两点
，
，且
为坐标原点）
（1）求椭圆
的方程．
（2）讨论
是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
12．已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
，
分别为椭圆的上、下
顶点，
到直线
的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过
的直线交椭圆于
，
两点，求
的取值范围；
（Ⅲ）过椭圆的右顶点
的直线与椭圆交于点
（点
异于点
，与
轴交于点
（点
异于坐标原点
，直线
与
交于点
．证明：
为定值．
13．已知椭圆
经过点
，且离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于异于点
的两点
、
，且直线
与直线
的斜率之和为
，则直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，直线
上的点和椭圆
上点的最小距离为1．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知椭圆
的上顶点为
，点
，
是
上的不同于
的两点，且点
，
关于原
点对称，直线
，
分别交直线于点
，
．记直线
与
的斜率分别为
，
．
①求证：
为定值；
②求
的面积的最小值．
15．在平面直角坐标系
中，如图，已知椭圆
的左、右顶点为
、
，右焦
点为
．设过点
的直线
、
与椭圆分别交于点
，
、
，
，其中
，
，
．
（1）设动点
满足
，求点
的轨迹；
（2）设
，
，求点
的坐标；
（3）设
，求证：直线
必过
轴上的一定点（其坐标与
无关）．
16．已知
是椭圆
的左顶点，斜率为
的直线交
于
、
两点，点
在
上，且
．
（1）当
时，求
的面积；
（2）当
时，求
的值．
17．已知椭圆
的离心率为
，右焦点
．过点
作斜率为
的直线，交椭圆
于
、
两点，
是一个定点．如图所示，连
、
，分别交椭圆
于
、
两点（不同于
、
，记直线
的斜率为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）在直线的斜率
变化的过程中，是否存在一个常数
，使得
恒成立？若存
在，求出这个常数
；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆
的离心率为
，半焦距为
，且
，经
过椭圆的左焦点
斜率为
的直线与椭圆交于
、
两点，
为坐标原点．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设
，延长
，
分别与椭圆交于
、
两点，直线
的斜率为
，求
的值及直线
所经过的定点坐标．
19．已知椭圆
的离心率为
，以
的四个顶点为顶点的四边形的
面积为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
，
分别为椭圆
的左、右顶点，
是直线
上不同于点
的任意一点，
若直线
，
分别与椭圆相交于异于
，
的点
、
，试探究，点
是否在以
为直径的圆内？证明你的结论．
