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高二数学
一､选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有项是
符合题目要求的.
1. 已知直线 的方程为 ，则 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将直线方程化为斜截式，由直线斜率求倾斜角.
【详解】将直线 的方程化为斜截式： ，所以直线 的斜率 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，又 ，
所以 .
故选：B.
2. 若实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为求直线在 轴上的截距的最值问题，计算即可.
【详解】易知 表示圆心为坐标原点，半径为 2 的圆，
设 ，即 ， 为该直线在纵轴上的截距，
当直线与圆相切时，截距可取到最值，
此时原点到直线的距离为 ，
所以 的最大值为 .
故选：B
第 1页/共 22页3. 数列 满足 ， （ ），则 等于（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由递推公式推得数列的周期，利用周期性求值.
【详解】由递推公式， ， ，
所以数列 的周期为 ，所以 ，
故选：C.
4. 已知 为圆 上任意一点， ，若点 满足 ，则点 的轨迹方
程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程.
【详解】设 ， ，由 ， 得：
，则有 ，
因为 为圆 上任意一点，
所以 ，代入 可得：
第 2页/共 22页，整理得： ，
即方程 就是动点 的轨迹方程.
故选：A
5. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 0 B. 4 C. 8 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质可求得 ，利用前 项和公式可求得 ，进而求得公差，利用等差
数列的通项公式可求得 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ，可得 ，解得 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
6. 已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ，M 为椭圆 C 上任意一点，N 为圆 E：
上任意一点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据椭圆的定义将 的最小值转化为 ，再根据
（当且仅当 M、 N、 E 共线时取等号），结合 ，求得 的最小值．
【详解】如图，
第 3页/共 22页由 M 为椭圆 C 上任意一点，则 ，
又 N 为圆 E： 上任意一点，且 ,
则 （当且仅当 M、N、E 共线且 N 在 M、E 之间时取等号），
又因
，
当且仅当 M、N、E、 共线且 M、N 在 E、 之间时等号成立．
因 , ，则 ，
故 的最小值 ，
故选：B
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，过点 的直线 与双曲线 的右
支交于 、 两点，若 ，则双曲线 离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分 析 】 利 用 双 曲 线 的 定 义 可 得 ， 又 ， 可 得
，又当 轴时 最小，可得 ，即 ，可得
，结合 即可求得双曲线 的离心率的取值范围.
【详解】由已知，设 ，则 ， ，
第 4页/共 22页两式相加得 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
当 轴时 最小，此时 ，所以 ，
又 ，则 ，整理得 ，
又 ，两边除以 得 ，解得 ，
又双曲线的离心率 ，所以双曲线的离心率取值范围是 .
故选：B.
8. 已 知 为 坐 标 原 点 ， 过 抛 物 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 两 点 ， 若
线
，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出 ，再利用抛物线定义，结合基本不等式
求出最小值.
【详解】抛物线 的焦点 ，
设直线 的方程为 ， ，
第 5页/共 22页由 ，消去 得 ，
，
则 ， ，
由 ，得 ，解得 ，
抛物线 的准线方程为 ，
， ，
于是 ，
则 ，
因此
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：C
二､多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知直线 ，圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 过定点
B. 圆 与 轴相交于两个不同点
C. 若 与圆 相交，则
第 6页/共 22页D. 若圆 上的点关于直线 的对称点仍在圆 上，则
【答案】AC
【解析】
【分析】令 ，得 ，分析可判断 A 正误；求出圆 的圆心和半径，分析可判断 B 的正误；由
题意，圆心到直线的距离 ，代入点到直线距离公式，即可判断 C 的正误；分析可得圆心在直线 上，
代入计算，可判断 D 的正误.
【详解】选项 A：令 ，得 ，易知直线过定点 ，故 A 正确；
选项 B：整理圆 的方程，得 ，则圆心到 轴的距离为 4，又 ，所以圆 与
轴相切，故 B 错误；
选项 C：设圆心 到直线 的距离为 ，可得 ，解得 ，故 C 正确；
选项 D：因为圆 上的点关于直线 的对称点仍在圆 上，所以圆心 在直线 上，则 ，解
出 ，故 D 错误.
故选：AC.
10. 已知 ，动点 满足直线 与 的斜率乘积恒为 ，设
点 的运动轨迹为曲线 ，过点 的直线 与曲线 的另一个交点为 ，则（ ）
A. 面积的最大值为
B. 不存在点 ，使得
C. 点 的轨迹方程为
D. 若 过原点，则 的最小值为 1
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意求出轨迹方程，判断 C；对于 A，当动点 运动到上下顶点时， 面积的最大，
易得面积的最大值为 ，故 A 正确；对于 B，由余弦定理求出 ，再结合基本不等式求出
第 7页/共 22页的范围即可得解；对于 D，因点 与点 关于原点对称，则四边形 为平行四边形，则
，利用基本不等式及椭圆的定义即可求得.
【详解】对于 C，因为 与 的斜率乘积恒为 ，
所以 ，即 ，故 C 错误；
对于 A，已知 ，
即 为椭圆 的左右焦点，
的面积 ，
所以当点 为 与 轴的交点时 的面积最大，
此时 ，即 面积的最大值为 ，故 A 正确；
对于 B，由余弦定理得
，
因为 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
因为 在 上单调递减，且 ，
所以 ，则存在点 ，使得 ，故 B 错误；
对于 D，若 过原点，则 与点 关于原点对称，
则四边形 为平行四边形，则 ，
第 8页/共 22页因 ，
则
，
当且仅当 时等号成立，故 D 正确.
故选：AD．
11. 已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 当 时， 最大 B. 使得 成立的最小自然数
C. D. 中最小项为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意作差可计算得 ， ，所以数列 是递减的等差数列，可判断 A；利用等
差数列前 项和公式计算可判断 B；根据等差数列的性质计算可判断 C；根据已知条件结合不等式的性质计
算可判断 D.
【详解】对于 A，因为 ，所以 ，
由 ，所以 ，所以 ，且 ，
所以数列 是递减的等差数列，且 ，
则当 时， 最大，故 A 正确；
对于 B，由上述分析可知，当 时， 单调递减，
且 ， ，
第 9页/共 22页所以使得 成立的最小自然数 ，故 B 正确；
对于 C，由 ，且 ，
所以 ，即 ，故 C 错误；
对于 D，因为当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ；
且 ， ，
则有 ， ，
所以 ，即 ，
所以 中最小项为 ，故 D 正确．
故选：ABD．
三､填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，满分 15 分.
12. 已知直线 与曲线 有两个交点，则 k 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出图象，求出直线和半圆相切时的斜率，结合交点个数可求答案.
【详解】整理 可得 ，直线 恒过点 ，
如图，
设直线 是过 且与半圆相切的直线，则 ，解得 或 （舍），
第 10页/共 22页因为直线 与曲线 有两个交点，所以 k 的取值范围为 .
故答案为：
13. 十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，
13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.
已知数列 为“斐波那契”数列，数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______（用含 的
式子表示）.
【答案】
【解析】
【分析】根据数列 每一项都等于它前两项的和规律，写出前 2024 项，各式左、右两边分别相加，即可
得到 之间的关系，即可得出 .
【详解】由已知得 ， ，…， ，
以上各式左、右两边分别相加，化简得 ，
即 ，
又 ， ，
所以 .
故答案为：m+1
14. 若点 在椭圆 上，则称点 为点 一个“椭点”.已
知直线 与椭圆 相交于 两点，且 两点的“椭点”分别为 ，以线
段 为直径的圆经过坐标原点 ，则 的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的性质可确定 ，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，
第 11页/共 22页代入等式即可构造方程求得结果.
【详解】设 ， ，则 ， ，
以线段 为直径的圆经过坐标原点 ， ，
由 得： ，
，即 ，
， ，
，
，解得： （满足 ），
的值为 .
故答案为： .
四､解答题：共 5 个小题，满分 77 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）在数列 中依次取出下标能被 4 除余 1 的项组成数列 ，记 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据条件列出方程求公差即可得解；
（2）由题意可证明数列 为等差数列，利用求和公式求解即可.
【小问 1 详解】
第 12页/共 22页因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由题意， ，
所以 ，
故 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，
所以 .
16. 已知圆 ，直线
（1）求证：直线 恒过定点 ；
（2）当圆心 到直线 的距离取得最大值时，求 的值；
（3）当 时， 为 上一动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ．求四边形 面积的最
小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将方程变换为 ，即可求解直线 的定点；
（2）当 时，此时圆心到直线 的距离最大，利用斜率公式，即可求解；
（3）由几何关系，将面积的最小值转化为求点 到直线 距离的最小值.
【小问 1 详解】
证明：由 得
第 13页/共 22页由
得
所以直线 恒过定点 ；
【小问 2 详解】
由（1）知，当 时，圆心 到直线 的距离取得最大值
易知圆心为
因为
所以 即
解得
【小问 3 详解】
当 时，直线 的方程为 ，故可设
圆的半径
圆心到直线的距离
所以
所以
第 14页/共 22页即四边形 面积的最小值为
17. 已知以 为焦点的抛物线 的顶点为原点，点 是抛物线 的准线上任意一点，过点 作抛物线
的两条切线 、 ，其中 、 为切点，设直线 、 的斜率分别是 和 ．
（1）求抛物线 的标准方程及其准线方程．
（2）求证： 为定值．
（3）求证：直线 过定点，并求出该定点．
【答案】（1）标准方程为 ，准线方程为 ；
（2）证明见解析； （3）证明见解析， .
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标求解即可；
（2）设切线的方程为 ，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；
（3）直线 的方程为 ，将其与抛物线方程联立，利用 得到 且 ，代入计
算即可得证．
【小问 1 详解】
由题意知抛物线 的标准方程为 （ ）且 ，
∴ ，抛物线 的标准方程为 ，准线方程为 ；
【小问 2 详解】
设点 P 的坐标为 ， ，
由题意，过点 与抛物线 相切的直线的斜率存在且不为 0，
设切线的斜率为 ，则切线的方程为 ，
第 15页/共 22页联立方程组 ，消去 ，得 ，
∴ 得 （*），
又 、 为方程（*）的两根，由韦达定理得 为定值；
【小问 3 详解】
由题知，直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，整理得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
代入有 ，
∴ ，
∴ 且 ，
∴ ，故直线 过定点 ．
18. 如图，平行六面体 的所有棱长均为 1， ， ，平面
平面 ，点 ， 满足 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角 的正弦值；
第 16页/共 22页（3）是否存在点 在线段 上，使得点 到平面 距离为 ？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 交 于 ，证得 ，结合线面平行的判定定理即可得
证；
（2）以 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解
即可.
（3）设 ，表示出 ，利用空间向量法得到方程，解得 的值，即可得解.
【小问 1 详解】
如图，取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
由于 ， ，所以 ，又 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
连接 ，因为平面 平面 ，且 ，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ，由于 ，
第 17页/共 22页所以 ， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，则 ，
如图以 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
由 得 ，
从而
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可取 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成的角 的正弦值为 .
【小问 3 详解】
设 ，因为 ， ，
所以 ，
第 18页/共 22页所以 ，
则点 到平面 的距离 ，
解得 或 （舍去），
所以 时使得点 到平面 的距离为 .
19. 已知 A，B 分别为椭圆 ： 的左顶点和下顶点，T 为直线 上的动点.
（1）求 的最小值；
（2）设直线 TA 与椭圆 的另一交点为 D，直线 TB 与椭圆 的另一交点为 C.当四边形 ABCD 为梯形时，
求点 T 的坐标；
（3）已知直线 l： （ ）与圆 F： 交于 M，N 两点，与椭圆 交于 P
，Q 两点，其中 M，P 在第一象限，d 为原点 O 到直线 l 的距离，是否存在实数 k，使得 取
得最大值？若存在，求出 k；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值；
（2）首先利用点 的坐标表示直线 和 的直线方程，并与椭圆方程联立，求点 和点 的坐标，利
用平行线的性质，转化为坐标关系式，即可求解；
（3） 一个在椭圆 外，一个在椭圆 内， 一个在 内，一个在 外，
第 19页/共 22页利用直线与椭圆相交得交点坐标关系，结合点到直线距离公式得 关于 的关系式，利用
基本不等式得最值即可得结论.
【小问 1 详解】
设 ， ， ，
，
当 时， 的最小值为 ；
【小问 2 详解】
，与椭圆 ： 联立，
，即 ，
，得 ，
，与椭圆 ： 联立，
， ，
得 ，
因为四边形 为梯形，所以 ，所以 ，
于是 ，即 ，
第 20页/共 22页整理 ，整理为 ，
解得： ，
故存在点 ，使得四边形 为梯形；
【小问 3 详解】
由题设可知， 一个在椭圆 外，一个在椭圆 内， 一个在 内，一个在 外，
在直线 上四点满足： ,
由 ，消去 得 ，
恒成立，
设 ， ，
由根与系数的关系，得 ， ，
，
所以 ，点 到 的距离 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
验证可知 满足题意，因为 ，所以 .
第 21页/共 22页第 22页/共 22页
