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广东省深圳市盟校2025-2026学年高二上学期11月期中
数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点 在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ）
A． B． C． D．不确定
2．直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．方程 表示圆，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线： ： ， ： ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．圆 和圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
6．设点 、 ，若直线l过点 且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是
（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
7．已知圆 ，直线l： ，若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．8．在平面直角坐标系 中，过原点的直线l交曲线 于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小
为 的二面角，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
二、多选题
9．对于直线l： 与圆C： ，下列说法正确的是（ ）
A．l过定点 B．C的半径为3
C．l与C可能相切 D．l被C截得的弦长最小值为
10．在棱长为2的正方体 中，点P满足 ，其中 ， ，则
（ ）
A．当 时， 平面 B．当 时，点P在棱 上
C．当 时，三棱锥 的体积为定值D． 时，存在两个点P，使得
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 （ ）的点的轨
迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知 ， ，点P满足
，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的方程是
B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为
C．若x，y满足圆C的方程，则 的最大值是
D．过直线 上的一点P向圆C引切线 ，则四边形 的面积的最小值为
三、填空题12．已知 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，如果 ，则
．
13．设直线 与圆 和圆 均相切，则 ；b= ．
14．已知 ，点 在直线 上，点 在圆 上，则 的最小值是
.
四、解答题
15．直线 经过两直线 和 的交点．
(1)若直线 与直线 垂直，求直线 的方程；
(2)若直线 与圆 相切，求直线 的方程．
16．如图，在棱长为2的正方体 中，E为线段 的中点，F为线段 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点F到平面 的距离．
17．已知圆C的圆心C在x轴上，并且过 和 两点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线 与圆相交于M，N两点， 的面积为2，求实数m的值．
18．已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 ， 的中点，D为棱 上的点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： ；
(3)当 为何值时，平面 与平面 所成角的余弦值最大？并求出这个最大值．
19．设圆C过点 且与圆 ： 相切于点 ．
(1)求C的方程；
(2)已知 ， ， 三个点，点P在圆C上运动，求 的最大值和最小
值；
(3)已知直线l： 与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证： 为定值，并
求出这个定值.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A C A D D ABD AC
题号 11
答案 BCD
1．A
根据空间直角坐标系中点在平面Oxy上的射影点的坐标特征，对各选项进行分析即可.
【详解】在空间直角坐标系中，点在平面Oxy上的射影点的坐标，其竖坐标为 ，横坐标和纵坐标与该点
的横坐标和纵坐标相同，
故点 在平面Oxy上的射影点的坐标为 .
故选： .
2．B
写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小.
【详解】由题设 ，设倾斜角为 且 ，则 ，
所以 .
故选：B
3．B
根据方程 表示圆，应当满足 求解即可.
【详解】因为方程 表示圆，
所以 ，解得： .
故选：B.
4．A
根据 求出 的值并进行检验，再利用充分必要条件的概念判断即可.
【详解】由 ，解得 或 ,
当 时，直线 ： ， ： ，此时两条直线重合，舍掉，
当 时，直线 ： ， ： ，此时两条直线平行，“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选： .
5．C
将圆心距与半径和与差比较可得结果.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ；
和圆 的圆心 ，半径 ，
，
则 ，所以两圆相交，
故选：C.
6．A
画出图形，由题意得所求直线 的斜率 满足 或 ，用直线的斜率公式求出 和 的值，求
出直线 的斜率 的取值范围.
【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线 的斜率 满足 或 ，
∵ ， ，
∴直线 的斜率 的取值范围是 或 ，
故选：A.
7．D由题意可得圆心到直线的距离 ，利用距离公式列出不等式求解即可．
【详解】圆 的圆心是 ，半径 ，
圆 上恰有两个点到直线l： 的距离等于1，
所以圆心 到直线l的距离 ，
则 ，解得 或 ，
即实数b的取值范围是 ．
故选：D．
8．D
作 垂直下半平面于点Q，作 轴于H，设 ，由题意可得 即为沿
x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故 ，进而求出 ，结合基本不等
式即可得解．
【详解】作 垂直下半平面于点Q，作 轴于H，连接 ，
设 ，
因为 平面 ，x轴在平面 内，所以 轴，
又 轴， ， 平面 ，所以x轴 平面 ，
又 平面 ，所以 轴，
则 即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，则 ，又 ，则 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等号，
所以线段 长度的最小值为2．
故选：D．
9．ABD
根据直线方程求定点坐标判断A项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断B项；根据直线所过定点在
圆内判断C项；当直线l与过定点和圆心的直线垂直时，直线l被C截得的弦长最小，从而计算弦长最小
值可判断D项．
【详解】对于A， 可变形为 ，
由 ，得 ，所以直线l过定点 ，故A正确：
对于B，圆C： 化为标准方程为 ，
所以圆C的圆心 ，半径为 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以点 )在圆C内部，
所以直线l与C不可能相切，故C错误；
对于D，设直线l所过定点为 ，则当直线 时，直线l被C截得的弦长最小．因为圆心 ，所以 ，
所以直线l的斜率 ，解得 ，此时直线 ．
因为圆心到直线l的距离 ，
所以弦长为 ，故D正确．
故选：ABD．
10．AC
对于A，当 时，可得 ，所以点P与 重合， 即为 ，由 利用线面
平行的判定定理可判断；对于B，当 时，由 得 ，所以点P在线段 上；
对于C，当 时，可得点P在线段 上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断；对于D，当
时，取 的中点E， 的中点F，可得点P在线段 上，设 ，根据勾股定理计
算 即可．
【详解】对于A，当 时， ，得 ，即 ，
所以点P与 重合， 即为 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，故A正确；对于B，当 时， ，得 ，即 ，
因为 ，所以点P在线段 上，故B错误；
对于C，当 时， ，得 ，则 ，
因为 ，所以点P在线段 上，
平面 ，即 平面 ，
所以 ，
所以三棱锥 的体积为定值，故C正确；
对于D，当 时，取 的中点 ， 的中点 ，则 ，
则 ，
则 ，则 ，
因为 ，所以点 在线段 上，设 ，则 ，
则 ， ，
，
若 ，则 ，则 ，
则 ，所以 ，即点 为线段 的中点，
即当 时，存在一个点 ，使得 ，故D错误．
故选：AC．
11．BCD
对于A，设 点坐标，代入 化简即可判断；对于B，设切线夹角为 ，可得 ；对于
C，设 ，由题意直线 与圆 有公共点，列式求解即可；对于D，由
条件得四边形 面积的表达为 ，求 最小值即可．
【详解】对于A，设 ，因为 ， ， ，则 ，
化简得 ，即 ，故A错误；
对于B，因为 ，圆心 ，半径 ，，点 在圆外，
设两条切线的夹角为 ，
所以 ，又 ，解得 ，则 ，故B正确；
对于C，设 ，由题意直线 与圆 有公共点，
则圆心 到直线 的距离 ，即 ，
解得 ，故 的最大值是 ，故C正确；
对于D，由题意可得四边形 的面积为
，
故只需求 的最小值即可，
的最小值为点C到直线 的距离，即 ．
所以四边形 的面积的最小值为 ，故D正确．
故选：BCD．
12．15
由 可得： ，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得.
【详解】因 ，依题意，必有 ，
即存在唯一的实数 ，使 ，即： ，则 ，
解得： ，故 .
故答案为：15.
13．
由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可.
【详解】设 ， ，由题意， 到直线的距离等于半径，即 ，
，
所以 ，所以 （舍）或者 ，
解得 .
故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
14．
求出点A关于直线 的对称点B的坐标，可得 的最小值 .
【详解】 可转化为： ，则圆心为C(2,1)，半径为 .
设A关于直线 的对称点B的坐标为(a,b)，则：的最小值是 ，
故答案为：
15．(1)
(2) 或
【详解】（1）联立两直线 和 ，解得 ，即交点坐标为 ，
直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，圆心到直线的距离 ，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线方程为： ，即 ，
根据题意得：圆心到直线的距离 ，解得 ，
所以直线 的方程为： .
综上：直线 的方程为 或 .
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）建立空间直角坐标系，
解法一：根据空间向量平行的坐标表示得 ，所以 ，进而可得结论；
解法二：求出平面 的法向量 ，可得 ，进而可得结论；（2）利用直线与平面所成角的向量解法求解；
（3）根据点到平面的距离的向量公式求解.
【详解】（1）以D为原点， ， ， 分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．
解法一：
因为 ， ，则 ，所以 ，
又因为A，E，F， 四点不共线，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
解法二：
因为 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，即 ，取 ，所以 ，
因为 ，所以 ，得 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ．（2）设直线 与平面 所成角为 ， ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3）设点F到平面 的距离为d，因为 ，
所以 ，
所以点F到平面 的距离为 ．
17．(1)
(2)
（1）解法一：设圆心C的坐标为 ，由 求得 ，得圆心C的坐标，由 得半径，从而
得圆C的标准方程；
解法二：求出线段 的中点为D的坐标，线段 的垂直平分线 的方程，则直线 与x轴的交点即为圆
心C，圆的半径 ，从而得圆C的标准方程；
（2）解法一：设圆心 到直线 的距离d，根据弦长公式得 ，由三角形面积公式列出
关于 的方程，求解即可；
解法二：由条件可得出 ， 是等腰直角三角形，所以圆心C到直线 的距离
，解方程即可.
【详解】（1）解法一：设圆心C的坐标为 ，
因为A，B是圆上两点，所以 ，根据两点间的距离公式，有 ，
解得 ，所以圆心C的坐标是 ．
圆的半径 ．
所以所求圆C的标准方程是 ．
解法二：设线段 的中点为D．
因为 ， ，可得点D的坐标为 ，
因为直线 的斜率为 ．
因此线段 的垂直平分线 的方程是 ，即 ．
直线 与x轴的交点坐标为 ，所以圆心C的坐标是 ，
圆的半径 ．
所以所求圆的标准方程是 ．
（2）解法一：设圆心 到直线 的距离为d， ，
直线 与圆相交于M，N两点，则 ，
所以 ，
解得 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ．解法二：因为圆C的半径 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 是等腰直角三角形，
所以圆心C到直线 的距离 ，
所以 ，解得 ．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)当 时，平面 与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值是
（1）由 底面ABC得 ，由 ， 得 ，根据线面垂直的判定定理可得
结论；
（2）建立空间直角坐标系，由题设 ，证明 即可；
（3）求出平面 及平面 的法向量，得出平面 与平面 所成的角余弦值的表达式，根
据二次函数的性质确定最大值．
【详解】（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，
因为 底面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 ， ， 两两垂直．
以B为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．
所以 ， ， ， ， ， ， ， ．
由题设 （ ）．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
（3）设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ．
令 ，则 ．因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 所成角为 ， ，
则 ．
因为 ， ，
所以，当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ，此时 ，
所以当 时，平面 与平面 所成角的余弦值最大，最大值是 ．
19．(1)
(2)最大值88，最小值72
(3)证明见解析，
【详解】（1）由已知，将圆 的一般方程化为标准方程为 ，
所以圆 的圆心 ，半径 ，
因为圆C与圆 相切于点 ，
所以点C， ，N三点共线，即圆C的圆心在直线 上，
因为直线 的方程为 ，所以设圆C的圆心 ，
因为 ， 在圆C上，所以 ，
所以 ，解得 ，则圆心C坐标为 ，半径 ，
所以圆C的方程为 ．
（2）设 ，因为 ， ， 三点，
所以
，
因为点P在圆 上运动，则 ，解得 ，
所以 ，
当 时， 取得最大值88，
当 时， 取得最小值72．
（3）解法一：
由题可知， ，
因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在，
所以设直线m的方程为 ，
将 代入 ，得： ．
设 ， ，所以 ， ，
所以
，
所以 为定值，这个定值为12．解法二：
取 中点H，连 ，则 ， ，
所以
．
所以 为定值，这个定值为12．
