彭山一中 2027 届高二上 12 月月考数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1、直线 与直线 间的距离是（ ）
A． B． C． D．１
/2、双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3、已知向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4、已知椭圆方程为x2 y2 ，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为
+ =1(a>b>0)
a2 b2
1，则椭圆方程是（ ）
x2 x2 x2 y2 x2 y2
A． + y2=1 B． + y2=1 C． + =1 D． + =1
2 4 3 2 4 3
5、已知圆 ，点 是圆 上一动点，点 ， 为线段
的中点，则动点 的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
6、已知抛物线y2=12x的焦点为F，点P在抛物线上，定点Q(5,2)，则|PQ|+|PF|的
最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7、某校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘
中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐
A(2,4) xy0 B(4,2)
标系后，已知入射光线上有一点 ，经直线 反射后经过点 ，则入射光线所在直线方程为（ ）
x2y0 x2y0 2xy0 2xy0
A． B． C． D．
8、设 分别是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点．过 作
一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9、下列结论正确的是（ ）
A．椭圆 的焦点坐标是 B．双曲线 的顶点坐标是
C．抛物线 的准线方程是 D．双曲线 的离心率
10、已知圆 和圆 ，则（ ）．
C :(x-1) 2+ y2=1 C :x2+ y2-4x-4 y+4=0
1 2
A．圆C 的半径为4
2
B．y轴为圆C 与C 的公切线
1 2
C．圆C 与C 公共弦所在的直线方程为x+2y-2=0
1 2
D．圆C 与C 上共有3个点到直线2x- y-2=0的距离为1
1 2
11、椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光
线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆
，其左、右焦点分别是 ，直线 与椭圆 相切于点 ，且 关
于直线 的对称点为 ，过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆长轴交于点 ，则下列结
论正确的是（ ）A． B．
C．点 在以 为圆心，16为半径的圆上 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12、已知直线 与圆 相交于 、 两点，则 .
13、已知椭圆 的左焦点为 是 上关于原点对称的两点，且
，则 的周长为___________．
14、 已知P是直线l： 上一动点，过点P作圆C：
的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则 的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（13分）
已知直线 ，直线 ，设直线 与 的交点为P，点Q的坐标
为 ．
（1）求经过点Q且与直线 平行的直线方程；
（2）求线段 的中垂线方程．
16、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名
志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间
是：第1组 、第2组 、第3组 、第4组 、第5组 .（1）求图中 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 的人数；
（2）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取
6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志
愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17、（15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，
E为PD中点.
(1)求证：AE⊥平面PDC；
(2)求平面AEC与平面ADE夹角的余弦值.
18、（17分）
已知双曲线 x2 y2 的一条渐近线方程为 ，焦点到渐近线的
C: - =1(a>0,b>0) √3x+ y=0
a2 b2
距离为√6.
(1)求双曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，若直线l过点(0,2)，与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且
△AOB的面积为2√6，求直线l的方程.
19、（17分）
已知 ， 两点在椭圆 上，直线 交椭圆 于 两点（ 均
不与 点重合），过 作直线 的垂线，垂足为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ，当 时，
①求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标；
②求 的最小值.12月月考数学答案
一、单选题。
1-8 BCDD CCDD
8、【详解】不妨设垂足 在第一象限，由题意可知 与渐近线 垂直，
如图所示，则 ，
由点到直线的距离公式可得 ，又 ，
所以 ．
设 ，则 ，得 ，从而 ，
由 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ．
从而可得 ，所以离心率 ．
故选：D．
二、多选题。
9、BCD 10、BC 11、ABC
10、【解答过程】对于A，圆 化为标准方程为
C :x2+ y2-4x-4 y+4=0
2
，则圆 的半径为2，故A错误．
(x-2) 2+(y-2) 2=4 C
2
对于B，因为圆心 到y轴的距离为1，等于圆 的半
C (1,0) C
1 1
径，
所以圆C 与y轴相切，
1
同理圆心 到y轴的距离等于圆 的半径，
C (2,2) C
2 2所以圆C 与y轴相切，故y轴为圆C 与C 的公切线，故B正确．
2 1 2
对于C，将 与 左右分别相减，得圆 与 的公共弦
(x-1) 2+ y2=1 x2+ y2-4x-4 y+4=0 C C
1 2
所在的直线方程为x+2y-2=0，故C正确．
对于D，如图，
因为直线2x- y-2=0同时经过两圆的圆心，
依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线l 与l ，
1 2
其中l 与l 和圆C 都相切，各有一个公共点，
1 2 1
l 与l 和圆C 都相交，各有两个交点，
1 2 2
故圆C 与C 上共有6个点到直线2x- y-2=0的距离为1，故D错误.
1 2
故选：BC.
11、【详解】对A：由题意可得 ， ，
则 ， ，
则 ，故A正确；
对B：由椭圆光学性质结合 可得 为 的角平分线，
又 ，
则 ，
化简得 ，即 ，故B正确；对C：由椭圆光学性质可得 在直线 上，且 ，
则 ，故点 在以 为圆心，16为半径的圆上，故C正确；
对D：由正弦定理可得 ， ，
即有 ， ，
又 、 ，
故 ，则 ，
即 ，故 ，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题。
2π
12、2√2 13、 14 14、 3
14、【详解】由题意，得圆C： 的圆心 到直线l：
的距离 ，
所以l与圆C相离，如图，可知当 取得最大值时， 取最小值， 的最小值
为点C到l的距离，即 ，
此时 ，所以 ，故 的最大值为 .故答案为： .
四、解答题。
15、【小问1详解】
设经过点Q且与直线 平行的直线方程为 ，而点 ，
则 ，解得 ，所以所求直线方程为 .......（6分）
【小问2详解】
由 ，解得 ，则点 ，线段 的中点为 ，...（8分）
直线 的斜率 ，线段 的中垂线斜率 ，...（10分）
所以线段 的中垂线方程为 ，即 ......（13分）
【
16、 小问1详解】
由直方图知： ，可得 ， ......................（3分）
∴500名志愿者中年龄在 的人数为 人...................（6分）
【小问2详解】
由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为 ，知6名志愿者有2名来自 ，3名来自 ，1名来自 ， .............................................................（9分）
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为 ，
则抽取两人的基本事件有 ，
，共15个，...（13分）
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率 . ...........................................（15分）
17、【解答过程】（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，..............
（1分）
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，.................（2
分）
又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，......................................................................................（3
分）
∵PA=AD=2，且E为PD中点，∴AE⊥PD，........................................................（4分）
又CD∩PD=D，CD,PD⊂平面PDC，
∴AE⊥平面PDC．...........................................................................................................（6
分）
（2）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，...............................................
（8分）∴ ， ，∴平面 的法向量为 ，.....................（10
⃗AE=(0,1,1) ⃗AC=(2,2,0) ADE ⃗AB=(2,0,0)
分）
设平面AEC的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则¿，即¿，
令x=1，则y=-1，z=1，∴⃗n=(1,-1,1)，..........................................................（12分）
2 √3
∴cos〈⃗AB,⃗n〉= = ．
2×√3 3
√3
设平面AEC与平面ADE夹角为θ，则cosθ=|cos〈⃗AB,⃗n〉|= ，...................................
3
（14分）
√3
所以平面AEC与平面ADE夹角的余弦值为 ． .............................................................. ..
3
（15分）
18、【解答过程】（1）∵双曲线 x2 y2 的一条渐近线方程为
C: - =1(a>0,b>0)
a2 b2
√3x+ y=0，
b
∴ =√3，即b=√3a， ................................................................................（2分）
a
∵双曲线C的焦点坐标为(±c,0)，焦点到渐近线的距离为√6，
|±√3c|
∴ =√6，即
c=2√2
，.............................................................................................（4
√(√3) 2+12
分）.
又 ，则 ，解得 ，
c2=a2+b2 (2√2) 2=a2+(√3a) 2 a2=2,b2=6
x2 y2
所以双曲线C的方程为 - =1．..................................................................................（6
2 6
分）
（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+2，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由 得 ，
¿
(3-k2 )x2-4kx-10=0
由题意得¿，解得-√3<k<√3，............（9分）4k -10
因为x +x = ,x x = ，
1 2 3-k2 1 2 3-k2
所以
|AB|=√1+k2√(x +x ) 2-4x x
1 2 1 2
=√1+k2 √ ( 4k ) 2 +4× 10 = 2√6√1+k2√5-k2 ，
3-k2 3-k2 |3-k2|
.....................................................................................................................................（11分）
又点O到直线 的距离 2 ，
l
d=
√1+k2
所以 的面积 1 1 2√6√1+k2√5-k2 2 2√6√5-k2
△AOB S= |AB|⋅d= × ⋅ = =2√6
2 2 |3-k2| √1+k2 |3-k2|
，......（13分）
则 ，即 ，解得 或 ，.................（15分）
k4-5k2+4=0 (k2-1)(k2-4)=0 k=±1 k=±2
又因为-√3<k<√3，所以k=±1，
所以直线l的方程为y=x+2或y=-x+2．...............................................................（17分）
19．（17分）
【详解】（1）由题意可得 ，（3分）
所以椭圆 的标准方程为： ．（4分）
（2）①由条件 ，可知直线 的斜率存在，设直线 ， ， ，
联立方程组： ，（6分）
其中 （▲），
所以 ， ，（7分）
由条件 ，即 ，（8
分）
由于直线 不过点 ，故 ，
化简可得 ，
所以
，（11分）
代入（▲）式， ，此时直线 恒过定点 ． （12分）
②因为 ，所以点 在以 为直径的圆上，圆心为 ，半径为 ，（13
分）所以 ，（14分）
此时 的坐标为 ，（15分）
的斜率 ，满足条件．（16分）
故 的最小值为 ．（17分）
