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彭山区第一中学2028 届高一上学期12 月月考数学试题
一、单选题。本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
那么
的值是（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
3．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知
，且
的图象如图所示，则
等于（ ）
A．4
B．
C．
D．
6．设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
为奇函数，则实数的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
8．设
是
上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9．设
，
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10． 已知定义在R 上的函数
，满足对任意的实数x，y，均有
，且
当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．函数
为增函数
D．函数
的图象关于点
对称
11．已知
，
，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
的最小值为8
C．
的最小值是
D．
的最小值为2
三、填空题。本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12．当
且
时，函数
的图象一定经过定点_______．
13．已知函数
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则
．
14．已知函数
，若
，且
，则
的取值范围是 .
四、解答题.本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13 分）
（1）求值：
；
（2）若
，求：（i）
； （ii）求
．
16．（本题15 分）
已知二次函数
满足：
且
.
（1）求函数
在区间
上的值域；
（2）若当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
（3）设
，
，求
的最大值．
17．（本题15 分）
已知幂函数
（为常数）的图象经过点
.
(1)求
的解析式；
(2)设
，
（i）判断
的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；
（ii）若关于m 的不等式g (m2+t)≥g(m-1）恒成立，求实数t 的取值范围.
18.（本题17 分）
为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树
的单株产量U（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系：
，单株发酵有机肥及其它成本总投入为
元．已知该水果的市场
售价为75 元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为
（单位：元）．
（1）求函数
的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
19.（本题17 分）
对于定义域为的函数，如果存在区间
，同时满足下列两个条件：
①
在区间
上是单调的；
②当定义域是
时，
的值域也是
．则称
是函数
的一个“黄金区间”．
（1）请证明：函数
不存在“黄金区间”．
（2）已知函数
在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
（3）如果
是函数
的一个“黄金区间”，请求出
的最大值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
A
B
C
B
C
题号
9
10
11
答案
BD
ABD
ABD
1．B
【详解】因为
，所以
，
所以
，故选：B.
2．A
【详解】
，则
故选：A.
3．D
【详解】由函数
的定义域为
，得
，解得
，
所以函数
的定义域为
.故选：D.
4．A
【详解】由
，解得
或
，所以“
”是“
”的充分不必要条件.
5．B
【详解】由题中图象知，函数过
，
，则
，所以
．又
，
所以
（负值舍去），故
，
．故选B
6．C
【详解】
，函数
在R 上单调递增，
，即
，故
；
，函数
在
上单调递增，
，即
，故
，
．
故选：C．
7．B
【详解】
的定义域是
，
由于
是奇函数，所以
，
即
，
解得
，当
时，
，
，符合题意，
所以的值为.故选：B
8．【答案】C
【详解】当
因为
，都有
，所以
在
上单调递增；
所以
解得
，所以
；故选：C
9．BCD
【详解】由题知，
，
假设
，则
，A 错；
又
，所以
，则
，B 正确；
又
，
，
，
所以
，即
，C 错；
因为
单调递增，所以
，D 正确.
故选：BD
10．【答案】ABD
【详解】对A：令
，则有
，故
，故A 正确；
对B：令
，
，则有
，故
，故B 正确；
对C：令
，则有
，其中
，
，
令
，
，即有对
、
，当
时，
恒成立，
即函数
为减函数，故C 错误；
对D：令
，则有
，又
，
故
，故函数
的图象关于点
对称，故D 正确.
故选：ABD.
11．ABD
【详解】由
，得
，又
，
所以
，即
，故A 正确，
由
，得
，由A，
，所以
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确，
由
，令
，
得
，解得
，
即
，当且仅当
时，取等号，C 错；
，
当且仅当
时，取等号，故D 正确，
故选：ABD
12．
【详解】令
，可得当
时，
，所以图象一定经过定点
.
故答案为：
.
13．
【详解】由题意，当
时，
，则
，
故当
时，
又函数
是定义在R 上的奇函数，所以
.
14．
【详解】画出
的图象，
当
时，
单调递增，且
，
当
时，
单调递增，且
，
令
，解得
，令
，则
，
若
，且
，则
，
，
所以
，
，
当
时，
取得最小值，最小值为
，
又
时，
，
时，
，
故
.
故答案为：
15．【详解】（1）原式
（2）（i）因为
，
所以
，
因此：
.
（ii）由
，得
，
故
，
又
，
故
．
16．（1）
；（2）
.
【详解】（1）
，
，此时，
，
则
，
，解得
，
.
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，函数
取得最小值
，
又
，
，则
.
因此，函数
在区间
上的值域为
；
（2）由
得
，即
，
由题意可知，不等式
对任意的
恒成立，
则
，解得
.
因此，实数的取值范围是
.
（注意第三问的a 字母改为m）
(3)g(x)＝f(2x＋a)＝4x2＋(4a－2)x＋a2－a＋1，x [
∈－1，1]，对称轴为：x＝
.
①当
≥0 时，即：a≤；如图1,G(x)max＝G(－1)＝4－(4a－2)＋a2－a＋1＝a2－5a＋7;
②当
<0 时，即：a> ；如图2.G(x)max＝G(1)＝4＋(4a－2)＋a2－a＋1＝a2＋3a＋3.
综上所述：
G(x)max＝
17．【详解】（1）因为幂函数
（为常数）的图象
经过点
，
则
，所以
，故
；
（2）
，
（i）
在区间
上单调递增，证明如下：
设
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，可得函数
在区间
上单调递增；
（ii）由（i）知，
为增函数。
∴
恒成立
∴
恒成立
又
，
所以
恒成立，
所以
18.（1）
；（2）当
时，单株利润最大，为380 元．
【详解】（1）
，
即
，化简
．
（2）当
时，
为对称轴
开口向上的抛物线，所以
，
当
时，
，当且仅当
即
取等号，
综上所述，当
时，单株利润最大，为380 元．
19.【详解】解：（1）证明：由
为
上的增函数，则有
，
∴
，无解，∴
不存在“黄金区间”；
（2）记
是函数
的一个“黄金区间”
，
由
及此时函数值域为
，可知
而其对称轴为
，∴
在
上必为增函数，
令
，∴
，∴
故该函数有唯一一个“黄金区间”
；
（3）由
在
和
上均为增函数，
已知
在“黄金区间”
上单调，所以
或
，且
在
上为单调递
增，
则同理可得
，
，即
是方程
的两个同号的实数根，等价于方程
有两个同号的实数根，
又
，则只要
，∴
或
，
而由韦达定理知
，
，
所以
，其中
或
，所以当
时，
取得最大值
．
