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四川省射洪中学校强实班2025-2026 学年高一上学期12 月期中数学试题
一、单选题
1．下列关系式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知p：
，q：
，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若
为偶函数，
为奇函数，且
，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若函数
，且当
时，不等式
恒成立，则实数
的取
值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若直角坐标平面内的两点
满足条件:①
都在函数
的图象上；②
关于原点对称.则称
点对
是函数
的一对“友好点对”(点对
与
看作同一对“友好点对”).已知函数
(
且
)，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知实数
满足
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知关于的不等式
的解集是
，其中
，则下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
实数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数
有5 个互不相等的零点
三、填空题
12．求函数
的定义域______．
13．若
时，
，则a 的取值范围是 ．
14．已知函数
，
的零点分别为
，
，且
，
，则
；若
恒成立，则整数的最大值为 .（参考数据：
，
，
，
.）
四、解答题
15．（1）计算
；
（2）计算
.
16．已知集合
.
(1)求集合A；
(2)若集合
，求实数k 的取值范围.
17．某路段需铺设防滑沥青，总长度为
，设施工队每天铺设的长度为
，每天的费用为
万元，当
时，
，当
时，
.
(1)求完成该路段的铺设工作的总费用
.（总费用=每天的费用施工天数）
(2)当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？
18．已知函数
（a 为实数）是奇函数.
(1)求a 的值；
(2)解不等式：
；
(3)若实数
时，恒有
，求t 的取值范围.
19．已知函数
，其中
.
(1)证明：函数
的图象是中心对称图形；
(2)设
，证明：
；
(3)令
，若
，使得
，求的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】
，所以A 错误；
集合
是点集，集合{2}数集，没有包含关系，故B 错误；
是有理数集，
，所以C 错误；
空集是任何集合的子集，所以D 正确.
故选：D.
2．C
【详解】命题“
”为存在量词命题，
其否定为：
.
故选：C
3．D
【详解】由
，得
或
，
由
，得
或
，
因为
或
成立推不出
或
成立，反之也不成立，
所以
既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.
故选：D
4．A
【详解】解：由
得：
，即
，
由
解得：
，由
，排除BC．
由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D．
故选：A
5．A
【详解】函数
,
故函数是奇函数,图像关于原点对称，排除C、D，
当
，排除B.
故选：A.
6．B
【详解】对于A，因为
为减函数，
，所以
，故A 错误；
对于B，因为
，
，
即比较
与
的大小，
，
，
.
故B 正确；
对于C，因为
，故C 错误；
对于D，
可以化为
，由对数函数
单调递增可知，
因为
，所以
，故D 错误.
故选：B.
7．D
【详解】由
可得
，
则当
时，不等式
，
当
时，
，此时
，
当
时，
，此时
，即
，
当
时，
，此时
，即
.
综上，实数
的取值集合是
.
故选：D.
8．C
【详解】解：当
时，函数
关于原点对称的函数为
，即
，
，
若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数
与
只有一个交点，
作出两个函数的图象如图，
若
，则
与
只有一个交点，满足条件，
当
时，
；
若
，要使两个函数只有一个交点，则满足
（5）
，
即
得
，得
或
，
，
，
综上可得的范围是
或
，
即实数的取值范围是
，
故选：C．
9．AC
【详解】对于A，由
，得
，A 正确；
对于B，由
，得
，所以
，B 错误；
对于C，由
，得
，所以
，C 正确；
对于D，当
时，
，D 错误.
故选：AC
10．ABD
【详解】由题意可得
，且
，
则
，
，即
，故A、B 正确；
由
，
，故
，
，
即
，
，
又
，
，故
，
，故C 错误；
，故D 正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】函数
，所以
，
所以
，故A 正确；
由实数
满足
，知函数
的图象与
有三个不同的交点，
作出函数
的图象，如图：
结合图象，可得
，故选项B 错误；
根据二次函数的对称性知，
，又
，所以
，
所以
，故C 正确；
，由题意
，
所以函数
零点个数为三个方程
的解的个数之和，
即函数
的图象分别与
，
，
交点个数之和，
由C 可知
，
，
，结合图象可知，
函数
的图象与
有一个交点，函数
的图象与
有三个交点，
函数
的图象与
有一个交点，
所以函数
有5 个互不相等的零点，故D 正确.
故选：ACD
12．
【详解】要使原函数有意义，则
，即
，解得
或
．
所以，函数
的定义域为
．
故答案为：
13．
【详解】构造函数
和
，若使
时，
成立，只需函数
的图象
在
图象下方，所以
.
令
，则
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
14． 2 6
【详解】解：令
，由
；令
，则
，
所以
与
图象的交点的横坐标即为两函数的零点.
又因为
，其图象是将
的图象向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位得到的，
由反比例函数的性质可知曲线
的图象关于
对称，
又因为
的图象也关于
对称，
如图所示：
当
，
时，点
与点
关于
对称，
所以
，
可得
，
，
令
，则
，
因为
在
上均为单调递增函数，
所以
在
上为单调递增函数，
即
在
上单调递增，
由
，
可得
，
，
由零点存在定理可得
，则
，
且
，
因为
恒成立，所以整数的最大值为.
故答案为：2；6.
15．（1）
；（2）
【详解】（1）
；
（2）
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）
，所以
.
（2）
，所以
，
，
即
，又因为
，
所以
，所以
，
因为
，所以
.
17．(1)
(2)当
时，总费用最低，最低总费用是8 万元.
【详解】（1）由题意，铺设完工所需时间为
天，
当
时，
,
当
时，
，
所以
.
（2）当
时，
是减函数，
所以当
时，
，
当
时，
，
当且仅当
时等号成立，
，
因为
，所以当
时，总费用最低，最低总费用是8 万元.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意函数
是定义在
上的奇函数，所以
，
即
，整理得
恒成立，即
．
所以
；
（2）由（1）知
，则
，
所以
，由函数单调递增得
，所以原不等式的解集为
；
（3）
，
因为
是奇函数，所以
，
显然
的定义域为
，
当增大时，
增大，此时
减小，
也减小，此时
也减小，
所以
是
上的减函数，
所以由
，可得
，
由题意得
，
，
所以
，
，
由对勾函数性质，可知
在
上单调递减，
所以
，即的取值范围为
.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意可得
，即
，即
，
，
故
关于
中心对称；
（2）当
时，
，
则
，
故当
时，
；
（3）当
时，
单调递减，
单调递增，
则
单调递减，又
关于
中心对称，故
在
上单调递减，
则
，
当
，令
，则
，
由对勾函数性质可得函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又当
时，
，当
时，
，故
，
则有
恒成立，即
，故
.
