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第17 讲 直线的斜率问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共18 小题）
1．已知椭圆
，过点
且不过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，
直线
与直线
交于点
．
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；
（Ⅱ）若
垂直于
轴，求直线
的斜率；
（Ⅲ）试判断直线
与直线
的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆
的标准方程为
．
所以
，
，
．
所以椭圆
的离心率
．
（Ⅱ）因为
过点
且垂直于
轴，所以可设
，
．
直线
的方程为
．
令
，得
．
所以直线
的斜率
．
（Ⅲ）直线
与直线
平行．证明如下：
当直线
的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知
．
又因为直线
的斜率
，所以
．
当直线
的斜率存在时，设其方程为
．
设
，
，
，
，则直线
的方程为
．
令
，得点
．
由
，得
．
所以
，
．直线
的斜率为：
，因为
所以
，
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．
综上，直线
与直线
平行．
2．设椭圆
的焦距为
，且经过点
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过点
且不过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，直线
与直线
交于点
，试判断直线
与直线
的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）
椭圆
的焦距为
，且经过点
，
根据题意得：
，即
①，
把
代入椭圆方程得：
，
把
代入①得：
，
则椭圆
的标准方程为
；
（2）直线
与直线
平行．
证明如下：
过点
且垂直于
轴，
可设
，
，
，
直线
的方程为：
，
令
，得
，
直线
的斜率
．
当直线
的斜率不存在时，
．
又
直线
的斜率
，
；
当直线
的斜率存在时，设其方程为
，
设
，
，
，
，
则直线
的方程为
，
令
，则点
，
直线
的斜率
，
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联立
，得
，
由韦达定理，得
，
，
，
，即
；
综上所述，直线
与直线
平行．
3．如图，
，
分别是椭圆
的左右顶点，
为其右焦点，2 是
与
的等差中项，
是
与
的等比中项．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知点
是椭圆
上异于
，
的动点，直线过点
且垂直于
轴，若过
作直线
垂直于
，并交直线于点
．证明：
，
，
三点共线．
【解答】（1）解：
，
，
．由2 是
与
的等差中项，
是
与
的等比中项．
，解得
，
，
．
椭圆
的方程为
．
（2）证明：直线的方程为：
，直线
的方程为：
，
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联立
，化为
，
，
，
，
，
．
直线
的方程为：
，
把
代入上述方程可得
，
．
，
．
，
，
，
三点共线．
4．已知椭圆
的焦点在
轴上，
是
的左顶点，斜率为
的直线交
于
，
两点，点
在
上，
．
（Ⅰ）当
，
时，求
的面积；
（Ⅱ）当
时，求
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）方法一、
时，椭圆
的方程为
，
，
直线
的方程为
，代入椭圆方程，整理可得
，
解得
或
，则
，
由
，可得
，
由
，
，可得
，
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整理可得
，由
无实根，可得
，
即有
的面积为
；
方法二、由
，可得
，
关于
轴对称，
由
．可得直线
的斜率为1，直线
的方程为
，
代入椭圆方程
，可得
，
解得
或
，
，
，
，
，
则
的面积为
；
（Ⅱ）直线
的方程为
，代入椭圆方程，
可得
，
解得
或
，
（补充求
，
的纵坐标的方法：
设
，
，则直线
的方程为
，与椭圆的方程联立，可得
，
因此
的纵坐标为
，
的纵坐标为
即有
，
，
由
，可得
，
整理得
，
由椭圆的焦点在
轴上，则
，即有
，即有
，
可得
，即
的取值范围是
，
．
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5．已知椭圆
的右焦点为
，左顶点为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作两条相互垂直的直线分别与椭圆
交于（不同于点
的）
，
两点．试
判断直线
与
轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意，椭圆
的右焦点为
，
左顶点为
，则
，
，
则
．
所以椭圆
的方程为
．
（2）根据题意，
①当直线
与
轴垂直时，直线
的方程为
，
联立
得
，解得
．
此时直线
的方程为
．直线
与
轴的交点为
．
②当直线
不垂直于
轴时，设直线
的方程为
．
联立
得
．
设
，
，
，
，
则
，
且△
，即
．
而
，
由题意知，
，
即
，
解得
或
（舍去）．
当
时，满足
．
直线
的方程为
，此时与
轴的交点为
．
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故直线
与
轴的交点是定点，坐标为
．
6．已知椭圆
过点
，
为椭圆的半焦距，且
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）过点
作两条相互垂直的直线
，
与椭圆
分别交于另两点
，
，若线段
的中点在
轴上，求此时直线
的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由
，可得
，椭圆
过点
，
可得
，解得
，
，
所以椭圆的方程为：
．．
（4 分）
（Ⅱ）设
，
，
，
，
则
，
两式相减得
，
因为线段
的中点在
轴上，
所以
，从而可得
．
（7 分）
若
，则
，
．
因为过点
作两条相互垂直的直线
，
，所以
，
所以
，得
．
又因为
，所以解得
，
所以
，
或
，
．
所以直线
的方程为
．
（10 分）
若
，则
，
，
因为
，所以
，得
．
又因为
，所以解得
或
，
经检验：
满足条件，
不满足条件．
综上，直线
的方程为
或
．
（13 分）．
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7．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知双曲线
的右焦点
到双曲线
的一条渐近线
的距离为
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）如图，过圆
上一点
作圆
的切线与双曲线
的左、右两支分别交
于
，
两点，以
为直径的圆经过双曲线
的右顶点
，求直线的方程．
【解答】解：（1）由题意，
，解得
，
双曲线
的方程为
；
（2）由已知直线的斜率存在，设
，则
，即
，
联立
，得
．
设
，
，
，
，
，解得
．
，
，
又
，
，
，
，
，
以
为直径的圆经过双曲线
的右顶点
，
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，即
．
，
则
，得
或
．
①当
时，点
与右顶点
重合，不合题意舍去；
②当
时，代入
，解得
，满足条件．
直线的方程为
或
．
8．已知双曲线
的右顶点为
，右焦点为
，点
为坐标原点，直
线
与
轴交于点
，且与一条渐近线交于点
，又
，过点
的直线
与双曲线右支交于点
，
，点
为点
关于
轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断
，
，
三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形
面积的最小值．
【解答】解：（1）
，
，
，
双曲线的方程为
；
（2）由（1）可知
，
，
由题意直线
的斜率不为0，所以设直线
的方程为
，代入
整理得
，
设
，
，
，
，则
，
．
由韦达定理知
，
所以
．
因
为
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向量
共线，所以
，
，
三点共线．
（3）因为直线
与双曲线右支交于点
，
，所以
，得
．
，
令
，则
，
，
，
又
，所以
，即
时，三角形
面积的最小值18．
9．设椭圆
的右焦点为
，过
的直线与
交于
，
两点，点
的坐标
为
．
（1）当与
轴垂直时，求直线
的方程；
（2）设
为坐标原点，证明：
．
【解答】解：（1）
，
，
与
轴垂直，
，
由
，解得
或
，
，或
，
直线
的方程为
，
，
证明：（2）当与
轴重合时，
，
当与
轴垂直时，
为
的垂直平分线，
，
当与
轴不重合也不垂直时，设的方程为
，
，
，
，
，
，则
，
，
直线
，
的斜率之和为
，
之和为
，
由
，
得
，
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将
代入
可得
，
，
，
从而
，
故
，
的倾斜角互补，
，
综上
．
10．在直角坐标系
中，曲线
与直线
交于
，
两点．
（Ⅰ）当
时，分别求
在点
和
处的切线方程．
（Ⅱ）
轴上是否存在点
，使得当
变动时，总有
？（说明理由）
【解答】解：
联立
，不妨取
，
，
由曲线
可得：
，
曲线
在
点处的切线斜率为
，其切线方程为：
，化为
．
同理可得曲线
在点
处的切线方程为：
．
存在符合条件的点
，下面给出证明：
设
满足
．
，
，
，
，直线
，
的斜率分别为：
，
．
联立
，化为
，
，
．
．
当
时，
，直线
，
的倾斜角互补，
．
点
符合条件．
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11．在直角坐标系
中，曲线
与直线
交于
，
两点．
（1）当
时，分别求
在点
和
处的切线方程；
（2）
轴上是否存在点
，使得当
变动时，总有
？说明理由．
【解答】解：（1 ）联立
，可得
，
，或
，
．
，故
在
处的导数值为
，
在
处的切线方程为
，即
．
故
在
处的导数值为
，
在
处的切线方程为
，即
．
故所求切线方程为
或
．
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设
为符合题意的点，
，
，
，
，直线
，
的斜率分别为
，
．
将
代入
得方程整理得
．
，
．
．
当
时，有
，则直线
的倾斜角与直线
的倾斜角互补，
故
，所以
符合题意．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，且
也是抛物线
的焦点，
为椭圆
与抛物线
在第一象限的交点，且
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线
与椭圆
交于
，
两点，问是否在
轴上存在一点
，使得当
变动时，总有
？说明理由．
【解答】解：（1）
也是抛物线
的焦点，
，
，且抛物线的准线方程为
，
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设点
，
，
，
，
，
，
，
解得
，
，
椭圆方程为
，
（2）假设存在
满足
．设
，
，
，
联立
得
，
由韦达定理有
，
①，其中△
恒成立，
由
（显然
，
的斜率存在），故
即
②，
由
，
两点在直线
上，故
，
，
代入②整理有
③，
将①代入③即有：
④，要使得④与
的取值无关，当且仅当“
“时成立，
综上所述存在
，使得当
变化时，总有
．
13．一个圆经过点
，且和直线
相切．
（1）求动圆圆心的轨迹
的方程；
（2）已知点
，设不垂直于
轴的直线与轨迹
交于不同的两点
、
，若
轴
是
的角平分线，证明直线过定点．
【解答】解：（1）设动圆圆心
，则由抛物线定义易得：点
是以
为焦
点，以
为准线的抛物线，
动圆圆心的轨迹方程为：
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（2）设两点
，
，
，
，设不垂直于
轴的直线：
，
则
有：
，所以：
，
因为
轴是
的角平分线，
所以：
，即：
，即：
则：
，
所以：
，
，
所以直线过定点
14．设抛物线
的焦点为
，直线与抛物线交于
，
两点．
（1）若过点
，且
，求的斜率；
（2）若
，且的斜率为
，当
时，求在
轴上的截距的取值范围（用
表
示），并证明
的平分线始终与
轴平行．
【解答】解：（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，代入抛物线方程可得
，即
，
所以
，
但
，故直线的斜率存在，设其方程为
．
由
得
，
设
，
，
，
，则
，
所以
，
解得
，所以直线的斜率为
．
（2）设直线的方程为
，
，
，
，
．
得
，
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则
．
由△
，得
．又
，所以
，
从
而
在
轴
上
的
截
距
的
取
值
范
围
为
．
，
所以直线
，
的斜率互补，
从而
的平分线始终与
轴平行．
15．如图，若
是抛物线
上的一定点
不是顶点），动弦
、
分别交
轴
于
、
两点，且
．证明：直线
的斜率为定值．
【解答】证明：设
，
，直线
的斜率为
，
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方程为
．
则直线
的斜率为
，方程为
．
由
点
的坐标为
．
（5 分）
同理可得，点
的坐标为
．
所以
，
所以直线
的斜率为定值．
（10 分）
16．已知倾斜角为
的直线经过抛物线
的焦点
，与抛物线
相交于
、
两点，且
．
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）过点
的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
，线段
和
的中点分别为
、
．如果直线
与
的倾斜角互余，求证：直线
经过一定点．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可设直线
的方程为
，令
，
，
，
．
联立
得
，
，
根据抛物线的定义得，又
，又
，
，
．
则此抛物线的方程为
．
（Ⅱ）设直线
、
的倾斜角分别为
、
，直线
的斜率为
，则
．
由于直线
、
的倾斜角互余，则
，
则直线
的斜率为
．
于是直线
的方程为
，即
，
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联立
得
，
，
则
，
，
，
同理将
换成
得：
，
，
．
则直线
的方程为
，
即
，显然当
，
．
所以直线
经过定点
．
17．已知椭圆
，过原点的两条直线
和
分别于椭圆交于
、
和
、
，记
得到的平行四边形
的面积为
．
（1）设
，
，
，
，用
、
的坐标表示点
到直线
的距离，并证明
；
（2）设
与
的斜率之积为
，求面积
的值．
【解答】解：（1）依题意，直线
的方程为
，由点到直线间的距离公式得：点
到直线
的距离
，
因为
，所以
；
当
与
时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
，
设直线
的方程为
，联立方程组
，消去
解得
，
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根据对称性，设
，则
，
同理可得
，
，所以
．
方法二：设直线
、
的斜率分别为
、
，则
，
所以
，
，
，
、
，
在椭圆
上，
，
即
，
所以
，即
，
所以
．
18．设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，下顶点为
．已知
椭圆
的短轴长为
，且椭圆
过点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线与椭圆
交于异于点
的两点
，
，且直线
与
的斜率之和
等于2，证明：直线经过定点．
【解答】解：（1）由已知可得
，解得
，
又椭圆过点
，所以
，解得
，
故椭圆的方程为
；
（2）证明：由（1）可得点
，设
，
，
，
，
当直线的斜率不存在时，设其方程为
，有
，
所以
，
解得
，此时直线的方程为
，
当直线的斜率存在时，设其方程为
，与椭圆方程联立可得：
学科网（北京）股份有
，
则
，
又
，
所
以
，
即
，
所以
，
整理可得
，
因为直线不过点
，所以
，则
，即
，
所以直线
的方程为
，即
，所以直线恒过定点
，
此点也在直线
上，
所以直线恒过定点
．
