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第11讲 第3课时 定点、定值问题
题型 定点问题
典例1 (2023·全国乙卷，理)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－
2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证
明： 线段 MN 的中点为定点．
设P(x ，y)，Q(x ，y)，M(0，m)，N(0，n)，则＝k ＋k ，又k ＋k ＝k ＋k ＝
1 1 2 2 AM AN AM AN AP AQ
＋，则需证明：k ＋k ＝＋为定值．
AP AQ
方法一：齐次化(斜率和问题)．
方法二：定比点差法．
设PQ＝λBP，即(x －x ，y －y)＝λ(x ＋2，y －3)，所以x ＝，y ＝，代入4y＋9x＝36
2 1 2 1 1 1 1 1
得42＋92＝36，①
又4y＋9x＝36，②
①－②得4(6λy＋9λ2)＋9(－4λx＋4λ2)＝36(2λ＋λ2)，即2y＋3λ－3x－6＝0，
2 2 2 2
所以＋＝＋＝＝3.
(1)解：由题意可得解得
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线PQ为y＝k(x＋2)＋3，P(x，y)，
1 1
Q(x，y)，
2 2
联立方程消去y并整理，得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，
则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，
可得x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
因为A(－2,0)，则直线AP为y＝(x＋2)，
令x＝0，解得y＝，即M，
同理可得N，
则＝＋
＝
＝
＝
＝＝3，
所以线段MN的中点是定点(0,3)．求解直线或曲线过定点问题的策略
对点练1 (2024·广东茂名五校联考)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，
不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影
为N，当AF＝FB时，|AN|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当NA·NB＝1时，求证：直线AB过定点．
(1)解：当AF＝FB时，AB⊥x轴且AB过点F，
不妨设A在x轴上方，则A，
此时M，N，
因为|AN|＝2，所以2＋p2＝8，解得p＝2或p＝－2(舍去)，
故抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝my＋n，
M(x，y)，A，B，
0 0
由化简，得y2－4my－4n＝0，
Δ＝16(m2＋n)>0，
y＋y＝4m，yy＝－4n，y＝＝2m，N(－1,2m)，
1 2 1 2 0
NA＝，NB＝，
NA·NB＝＋(y－2m)(y－2m)
1 2＝＋＋1＋yy－2m(y＋y)＋4m2
1 2 1 2
＝n2＋＋1－4n－8m2＋4m2＝n2－2n＋1，
若NA·NB＝1，则n2－2n＋1＝1，
解得n＝0(舍去)或n＝2，
所以直线AB过定点(2,0)．
题型 定值问题
典例2 (2024·广东佛山联考)已知P是圆C：(x＋2)2＋y2＝12上一动点，定点
M(2,0)，线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，记点T的轨迹为C′.
(1)求C′的方程．
(2)若直线l与曲线C′恰有一个公共点，且l与直线l ：y＝x，l ：y＝－x分别交于A，B
1 2
两点，△OAB的面积是不是定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理
由．
解：(1)由C：(x＋2)2＋y2＝12，可知C(－2,0)，圆C的半径r＝2，
连接TM(图略)，因为线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，所以|TP|＝|TM|，
所以|TM|＝|TC|＋2或|TC|＝|TM|＋2，所以||TM|－|TC||＝2<|CM|＝4，
所以 由双曲线的定义可知，点 T 的轨迹是以 (2,0) ， ( － 2,0) 为焦点的双曲线 ，
【方法总结】结合定义法和待定系数法求解双曲线的方程时，注意定义的完备性，即
是否完全满足双曲线标准方程的条件．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，易知2a＝2，c＝2，所以a＝，c＝2，b＝＝1，所
以C′的方程为－y2＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
因为直线l与直线l：y＝x，l：y＝－x分别交于A，B两点，所以k≠±.
1 2
由化简并整理，
得(1－3k2)x2－6mkx－3m2－3＝0，
因为k≠±，所以1－3k2≠0，
因为直线l与曲线C′恰有一个公共点，
所以Δ＝36m2k2＋4(1－3k2)(3m2＋3)＝0，即3k2＝m2＋1.
由得x＝－，即x ＝－.
A
同理可得x ＝－，则|AB|＝·|x －x |＝，
B A B
又原点O到直线l的距离d＝，所以S ＝|AB|d＝.
△OAB
因为3k2＝m2＋1，所以S ＝.
△OAB
当直线 l 的斜率不存在时 ，
【方法总结】本解答先求解直线斜率存在的情况，再对斜率不存在的情况补充说明，
也可以反过来，先计算斜率不存在的情况，容易得到 S ＝，再计算斜率存在的情况，这
△OAB
样会有一个指引的作用．
直线l的方程为x＝±，又渐近线方程为y＝±x，此时|AB|＝2，S ＝××2＝.故△OAB
△OAB
的面积为定值.求定值问题的策略
对点练2(2024·安徽合肥期末)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点
P(x，4)是抛物线C上一点，|PF|＝6.
0
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点Q(0,4)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求证：＋为定值．
(1)解：因为点P(x 4)在抛物线C：x2＝2py上，且|PF|＝6，
0,
由抛物线的定义可得|PF|＝4＋＝6，解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝8y.
(2)证明：设直线l的斜率为k，可得直线l的方程为y＝kx＋4，
联立方程组消去y并整理得x2－8kx－32＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，可得Δ＝(8k)2－4×(－32)>0且x＋x＝8k，xx＝－32，
1 1 2 2 1 2 1 2
由＋＝＋＝＋＝＋＝·＝·＝·＝·＝.
