文档内容
第6讲 定值问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】定值问题.......................................................................................................................2
【专题精练】.................................................................................................................................5
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学科网（北京）股份有限公司真题自测
一、解答题
1．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，
点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
考点突破
【考点一】定值问题
一、单选题
1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，点A，B分别为
椭圆C的左、右顶点，D是直线 上的一动点． 与C交于点P（P在x轴的上方），过A作 的垂
线交 的延长线于点E，当 取最大值时，点D的纵坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·三模）已知双曲线 的左､右顶点分别为 是 右支上一点，直线
与直线 的交点分别为 ，记 的外接圆半径分别为 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，P，M，Q，N是抛物线 上的四个点（P，M在 轴上方，
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学科网（北京）股份有限公司Q，N在 轴下方），已知直线PQ与MN的斜率分别为 和2，且直线PQ与MN相交于点 ，则
（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）设椭圆 的右焦点为F，直线 与椭圆交于
A，B两点，则（ ）
A． 为定值 B． 的周长的取值范围是
C．当 时， 为直角三角形 D．当 时， 的面积为
5．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 ：
与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点 在直线 上，点
Q在直线 上，且 ，则（ ）
A．C的离心率为3 B．当 时，
C． D． 为定值
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学科网（北京）股份有限公司6．（2024高三·江苏·专题练习）已知 为坐标原点，点 为抛物线 ： 的焦点，点 ，直线
： 交抛物线 于 ， 两点（不与 点重合），则以下说法正确的是（ ）
A．
B．存在实数 ，使得
C．若 ，则
D．若直线 与 的倾斜角互补，则
三、填空题
7．（2024·吉林白山·二模）已知点 是椭圆 上关于原点对称的两个点，点 是
椭圆 上异于 ， 的一点，且以 为直径的圆过点 ，点 在 轴上，且 三点共线， 为坐
标原点，若 成等比数列，则椭圆 的离心率为 .
8．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知点 是等轴双曲线 的左右顶点，且点
是双曲线 上异于 一点， ，则 ．
9．（2024·四川成都·三模）设 为抛物线 的焦点，过 的直线与 相交于 两点，过点 作
的切线，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，则 (其中 为坐标原点) 的值为
四、解答题
10．（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，短轴长为 ，
且经过点 ．
(1)求椭圆 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司(2)过点 的直线 （不与 轴重合）与 交于 两点，直线 与直线 的交点分别为 ，记
直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
11．（23-24高三上·广西·阶段练习）已知双曲线 过点 和点 ．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过 的直线与双曲线交于 ， 两点，过双曲线的右焦点 且与 平行的直线交双曲线于 ，
两点，试问 是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
12．（2023·广东·二模）已知A，B是抛物线E： 上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交
于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足 ，其中λ是常数，且 ．
(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；
(2)若点P为半圆 上的动点，且 ，求四边形ABDC面积的最大值．
规律方法：
求解定值问题的两大途径
(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分
子、分母约分得定值．
专题精练
一、单选题
1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆 ： 上两个不同的点（直线 与y轴不平行），
F为C的右焦点，且 ，若线段 的垂直平分线交x轴于点P，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江·二模）双曲线 的左、右顶点分别为 ，左、右焦点分别为 ，过
作直线与双曲线 的左、右两支分别交于M，N两点.若 ，且 ，则直线 与
的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知点 在抛物线 上，过点 作直线 ，
与抛物线分别交于不同于点 的 两点．若直线 的斜率互为相反数，则直线 的斜率为（ ）
A． B．
C． D．不存在
二、多选题
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知椭圆 的左、右顶点分别是 ，上顶点为 ，点
是椭圆上任意一异于顶点的点，连接 交直线 于点 ，连接 交 于点 （ 是坐标原点），
则下列结论正确的是（ ）
A． 为定值
B．
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学科网（北京）股份有限公司C．当四边形 的面积最大时，直线 的斜率为1
D．点 的纵坐标没有最大值
5．（23-24高二下·重庆·开学考试）设F为双曲线 的右焦点，O为坐标原点．若圆
交C的右支于A，B两点，则（ ）
A．C的焦距为 B． 为定值
C． 的最大值为4 D． 的最小值为2
6．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ，过点 的直线
与抛物线 交于A， 两点，点 为坐标原点，下列结论正确的是（ ）
A．存在点A、 ，使
B．若点 是弦 的中点，则点M到直线 的距离的最小值为
C． 平分
D．以 为直径的圆与 轴相切
三、填空题
7．（23-24高二上·江苏常州·期中）椭圆 的弦 满足 ，记坐标原点 在 的射
影为 ，则到直线 的距离为1的点 的个数为 .
8．（2024·河北沧州·一模）已知双曲线 ： 的焦距为 ，双曲线C的一条渐近线
与曲线 在 处的切线垂直，M，N为 上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点 ，
则 ．
四、解答题
9．（2023·福建·模拟预测）已知圆 ，直线 过点 且与圆 交于点B，C，BC中点
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学科网（北京）股份有限公司为D，过 中点E且平行于 的直线交 于点P，记P的轨迹为Γ
(1)求Γ的方程；
(2)坐标原点O关于 ， 的对称点分别为 ， ，点 ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，过
的直线 与Γ交于点M，N，直线 ， 相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予
证明.
① 的面积是定值；② 的面积是定值：③ 的面积是定值.
10．（2024·重庆·一模）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平分线
交直线 于点 ．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设过点 的直线 与 点的轨迹交于点 ，且点 在第一象限内．已知 ，请问是否存在常数 ，
使得 恒成立？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
11．（23-24高三下·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线 与抛物线 交
于M，N两点 在第一象限）.
(1)当 时，求直线 的方程;
(2)若三角形OMN的外接圆与曲线 交于点 （异于点O，M，N），
（i）证明: MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四△边形OMDN的面积的取值范围.
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