文档内容
第 01 讲 直线的方程
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：倾斜角与斜率的计算............................................................................................................2
题型二：三点共线问题........................................................................................................................3
题型三：过定点的直线与线段相交问题............................................................................................4
题型四：直线的方程............................................................................................................................7
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题........................................................................................8
题型六：两直线的夹角问题..............................................................................................................11
题型七：直线过定点问题..................................................................................................................12
题型八：中点公式..............................................................................................................................13
题型九：轨迹方程..............................................................................................................................15
02 重难创新练....................................................................................................................................16
03 真题实战练....................................................................................................................................25题型一：倾斜角与斜率的计算
1．（2024·高三·山东济宁·期末）直线 的倾斜角是 .
【答案】 /
【解析】由直线 可得，直线的斜率 ，
即 ， ，即 ，
所以直线 的倾斜角为 .
故答案为：
2．（2024·高三·浙江杭州·期末）直线 的倾斜角是 .
【答案】0
【解析】 的斜率为0，设倾斜角为 ，则 ，解得 ，
故倾斜角为0
故答案为：0
3．经过 两点的直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】经过 两点的直线的斜率为 ，
因为直线的倾斜角大于等于 小于 ，
故经过 两点的直线的倾斜角是 ，
故选：D
4．（2024·全国·高二专题练习）如图，若直线 的斜率分别为 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解析 设直线 的倾斜角分别为 ，
则由图知 ，
所以 ，
即 ．
故选：A
题型二：三点共线问题
5．若三点 ， ， 共线，则 .
【答案】
【解析】由题意，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为： ，
因 三点共线，故 ，即 ，解得： .
故答案为： .
6．若点 在同一条直线上，则实数 等于
【答案】
【解析】由题意可得 ，即 ，解得 ，
故答案为：
7．已知 ， ， 三点在同一条直线上，则 ．【答案】
【解析】因为 ， ， 三点在同一条直线上，
所以 ，即 ，
解得 ．
故答案为： .
题型三：过定点的直线与线段相交问题
8．已知点 ， ，若过点 的直线 与线段 相交，则直线 的斜率的取值范围是
.
【答案】
【解析】如图直线 与线段 相交，
因为 ，
结合图形可知 的斜率取值范围是 .
故答案为：
9．已知实数 满足 ，则 的取值范围为 .
【答案】【解析】
可以看成 上的点和 构成的直线的斜率，
在 中令 得 ，令 则 ，
设 ， ，
则 ， ，
所以 的范围为 .
故答案为： .
10．已知点 ，若直线 过点 且与线段 没有交点，则直线 的斜率 的取值范
围为 ．
【答案】
【解析】设过点 且垂直于 轴的直线交线段 于点 ，如下图所示：
当直线 由位置 绕点 转动到位置 时， 的斜率从 逐渐变大，
此时， ；
当直线 由位置 绕点 转动到位置 时， 的斜率为负值，且逐渐增大至 ，
此时， .综上所述，直线 与线段 有交点时，其斜率 的取值范围是 ，
所以直线 与线段 没有交点时，其斜率 的取值范围是 .
故答案为: .
11．若直线 ： 与连接 ， 的线段相交，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】直线 的方程可整理为 ，令 ，解得 ，所以直线 恒过点
，
由图可知，直线 在直线 和 之间旋转时恒与线段 相交，
， ， ，
所以 或 ，解得 或 .
故答案为： .
12．已知两点 ， 和直线 ，则直线 恒过定点 ；若直线 与线段AB有
公共点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】空一： ，该直线的斜率为 ，
所以直线 恒过 ；
空二：如下图所示：因为 ，
所以当直线 与线段AB有公共点时，则有 ，或 ，
则实数 的取值范围是 ，
故答案为： ；
题型四：直线的方程
13．在平面直角坐标系中，已知 两点， 为坐标原点，则 的平分线所在直线的方程
为 .
【答案】
【解析】由题意，可设 的平分线的倾斜角为 ，如图，
则 ，即 .
则 或 ，又 ，故 ，
故 ，
故 的平分线所在直线的方程为 ，
故答案为：
14．过点 引直线，使 ， 到它的距离相等，则该直线的方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为 ， ， 到它的距离分别为1，3，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，由 ， 到它的距离相
等
得 ，解得 或 ，即直线方程为 或 .
故选：C.
15．已知过定点直线 在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线 可变为 ，所以过定点 ，又因为直线 在
两坐标轴上的截距都是正值，可知 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等，所以此时直线为： .
故选：C.
16．（2024·四川绵阳·二模）过点 ，且与原点距离最大的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原点设为O，直线OP的斜率为 ，
当过点 的直线垂直于点 与原点O的连线时，该直线与原点距离最大，
此时直线方程 ,即 ，
故选：B.
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
17．已知直线l过点 ，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则
面积最小值为 ．
【答案】24【解析】
由题意可知，直线 的斜率存在且不为0，设直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
所以
其中 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，即 面积最小值为 .
故答案为：
18．若一条直线经过点 ，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为 ．
【答案】 或
【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，
所以设直线方程为 ，因为该直线过点 ，
所以有 ，
因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，
所以有 ，或 ，
当 时， ，或 ，
当 时， ，此时方程为： ，
当 时， ，此时方程为： ，当 时， ，
故答案为： 或
19．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB
面积最小时，直线l的方程为 .
【答案】x＋2y－4＝0
【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然 存在，
设 (其中 )求出 坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小
值时的直线方程.法一 设直线l： ，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2,1)，所以 ，则
≥ ，故ab≥8，
故S AOB的最小值为 ×ab＝ ×8＝4，
△
当且仅当 ＝ 时取等号，此时a＝4，b＝2，
故直线l： ，即x＋2y－4＝0.
法二 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)， ，B(0,1－2k)，
S AOB＝ (1－2k) ＝ ≥ (4＋4)＝4，
△
当且仅当－4k＝－ ，即k＝－ 时，等号成立，
故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.
故答案为： .
20．已知直线 的方程为： ．
(1)求证：不论 为何值，直线必过定点 ；
(2)过点 引直线 ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 的方程．
【解析】（1）证明： 直线 的方程为：
提参整理可得： ．
令 ，可得 ，
不论 为何值，直线必过定点 .（2）设直线 的方程为 ．
令 则 ，
令 ．则 ，
直线 与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积
．
当且仅当 ，即 时，三角形面积最小．
此时 的方程为 ．
21．（2024·全国·高三专题练习）直线l过点 ，且分别与 轴正半轴交于 、B两点，O为原点.
(1)当 面积最小时，求直线l的方程；
(2)求 的最小值及此时直线l的方程.
【解析】（1）设直线 ，且
∵直线过点
则
当且仅当 即 时取等号
所以 的最小值为 ，
直线 1即 .
（2）由
∴ ，
当且仅当 即 时取等号，
∴此时直线 ,
故 的最小值为9，此时直线l的方程 .题型六：两直线的夹角问题
22．若直线 过点 且与直线 ， 的夹角相等，则直线 的方程是 ．
【答案】 或
【解析】直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
依题意直线 的斜率存在，设斜率为 ，
所以 ，整理得 ，可得 或 ，
又直线 过点 ，则 或 ，
整理得 或 .
故答案为： 或
23．直线 过点 ，且与直线 ： 的夹角为 ，则直线 的方程为 ．
【答案】 或
【解析】由题设，直线 斜率为 ，则其倾斜角为 ，
所以直线 的倾斜角为 或 ，且过 ，
故直线 的方程为 或 ，即 或 .
故答案为： 或
24．直线 与直线 所成夹角大小为 ．
【答案】
【解析】设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，两条直线夹角为 ，
则 ， ，
则 ， ，
所以 .
故答案为： .题型七：直线过定点问题
25．若无论实数 取何值，直线 都经过一个定点，则该定点坐标为 .
【答案】
【解析】令 ，解得 ，故 经过的定点坐标为 .
故答案为：
26．过定点 的直线 与过定点 的直线 交于 ，则
【答案】10
【解析】由题意可得： ，则 ，
由 ，则 ，
当 时，两直线垂直，
当 时，两直线斜率之积等于 ，
∴直线 和直线 垂直，
则 .
故答案为：10
27．已知直线 （m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直
线 与直线 ， 分别交于M点，N点，则 的最小值为 ．
【答案】 42
【解析】直线 ，
联立 ，解得 ， ，故 ；
易知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 ，
令 ，得 ；
令 ，得 ，
则 ， ，
故 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
故答案为： ，
28．已知直线 经过定点 ，则点 的坐标为 .
【答案】
【解析】直线 即 ，由 得 ，
所以点 的坐标为 .
故答案为：
题型八：中点公式
29．已知 两点分别在两条互相垂直的直线 和 上，且 的中点为 ，
则 ，直线 的一般式方程为 ．
【答案】 1
【解析】由题意得 ，得 ．
设 ，由 得
即 ，则直线 的方程为 ，即 ．
故答案为：1； .
30．直线 分别交x轴和 轴于A、 两点，若 是线段 的中点，则直线 的方程为 .
【答案】
【解析】因A、 两点在x轴和 轴上，设 ，
因 是线段 的中点，则 ，
故直线 的截距式方程为： .
故答案为： .
31．已知直线 ： 过定点 ，若直线 被直线 和 轴截得的线段恰好被
定点 平分，求 的值.【解析】
则直线过定点
设直线 与直线 交于 点，与 轴交于 点，依题意 为 中点
在 中令 ，则 ，即
所以 ，
即 ，将其代入直线 中可得
解之得
题型九：轨迹方程
32．方程 表示的图形是（ ）
A．两条直线 B．四条直线 C．两个点 D．四个点
【答案】A
【解析】因为 ，则 ，解得 ，解得 ，
其表示的两条图形为两条直线.
故选：A.
33．已知 ､ ， 的面积为 ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】因为 ､ ，所以 ，因为 的面积为 ，所以动点 到 的距离为 ，设 ，则 的方程为 ，
即 ，由题意可得 ，即 ，
所以动点 的轨迹方程为: 或 .
故选:B
34．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 ，则到两坐标轴距离相等，即 ，即 .
故选：D
35．到两条平行直线 和 的距离相等的点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设 是所求轨迹上的任意一点，则由题意得
∴ ，
∴ ，即 .
∵ 是任意的，故所求点的轨迹方程为 .
故答案为
36．已知三条直线 、 和 且 与 的距离是 ．
(1)求 的值；
(2)已知 点到直线 的距离与 点到直线 的距离之比是 ，试求出点 的轨迹方程．
【解析】（1）将直线 的方程化为 ，
两条平行线 与 间的距离 ，
解得 或 ，又 ，所以 ．
（2）因为直线 ，直线 ，
设点 ，依题意有 ，
即 ，所以 或 ，即 的轨迹方程 或 ．
1．（2024·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是 ，
因此直线倾斜角的取值范围为 ，
故选：C
2．已知点 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解析： ，又因为
所以 ，
故选：B.
3．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数 的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，解得 ，故 的定义域为 ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立，故 ，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是 .
故选：C
4．（2024·重庆·三模）当点 到直线l： 的距离最大时，实数 的值
为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】直线l： ，
整理得 ，
由 ，可得 ，
故直线恒过点 ，
点 到 的距离 ，
故 ；
直线l： 的斜率 ，
故 ，解得
故选：B.
5．（2024·重庆·模拟预测）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点
， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】∵角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，
且 ，∴ ，
解得 ，∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：A．
6．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线 ， 的斜率分别为1，2， ， 夹角为 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线 ， 的倾斜角分别为 ，则 , ;
因此 ；
所以 .
故选：C
7．（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数 的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设以 点为切点的切线的倾斜角为 ，
因为函数 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
8．（2024·贵州遵义·一模）已知直线 与函数 的图象在 处的切线没
有交点，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【答案】C
【解析】 ， ，，
所以函数 的图象在 处的切线方程为：
，则 ，
因为直线 与直线 没有交点，
所以直线 与直线 平行，
则 .
故选：C.
9．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·二模）点 在函数 的图象上，当 ，则 可
能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【答案】BC
【解析】由 表示 与点 所成直线的斜率 ，
又 是 在 部分图象上的动点，图象如下：
如上图， ，则 ，只有B、C满足.
故选：BC
10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若 的图象在 处的切线分别为 ，
且 ，则（ ）
A．
B． 的最小值为2
C． 在 轴上的截距之差为2D． 在 轴上的截距之积可能为
【答案】AC
【解析】对于A，B：由题意可得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 的斜率分别为 ，
因为 ，所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，
故A正确，B错误．
对于C，D： 的方程为 ，即 ，
令 ，得 ，所以 在 轴上的截距为 ，
的方程为 ，可得 在 轴上的截距为 ，
所以 在 轴上的截距之差为 ，
在 轴上的截距之积为 ，故C正确，D错误．
故选：AC
11．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知直线 过点 ，且与 轴、 轴分别交于A，B点，则
（ ）
A．若直线 的斜率为1，则直线 的方程为
B．若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为
C．若M为 的中点，则 的方程为
D．直线 的方程可能为
【答案】AC
【解析】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为 ，即 ，故A正确；
对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为 ，故B错误；
对于C，因为中点 ，且A，B在 轴、 轴上，所以 ， ，故AB的方程为
，即 ，故C正确；
对于D，直线 与x轴无交点，与题意不符，故D错误．
故选：AC．12．（2024·贵州毕节·三模）已知直线 ，直线 ， 与 相交于点A，则点
A的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以直线 过点 ，
直线 过点 ，
因为 ，所以 ，设 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，化简可得： .
故答案为： .
13．（2024·上海长宁·二模）直线 与直线 的夹角大小为 ．
【答案】 /
【解析】设直线 与直线 的倾斜角分别为 ，
则 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即两条直线的夹角为 ，
故答案为： .
14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线 ，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则
实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 .
【答案】 或 ； .
【解析】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以 ，
在 中，
令 ，得 ，令 ，得 ，
依题意可得 ，即 ，解得 或 ；
直线 的方程可化为 ，所以 ，
所以 ，所以直线 过定点 ，
所以 ，由直线 可得： ，
若 不经过第三象限，则 ，
故答案为： 或 ； .
15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知 的顶点 ， ，
若其欧拉线方程为 ，则顶点 的坐标 .
【答案】
【解析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线
方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.设 ，
由重心坐标公式得，ΔABC的重心为 ,
代入欧拉线方程得： ,整理得： ①
的中点为 ， ，
的中垂线方程为 ，即 ．
联立 ，解得 .．
的外心为 ．
则 ，
整理得： ②
联立①②得： 或 ．
当 时 重合，舍去．
∴顶点 的坐标是 ．16．已知 的顶点 ，边 上的中线所在直线方程为 ，边 上的高所在直线方程为
．
(1)求顶点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
【解析】（1）因为边 上的高所在直线方程为 ，
设线 的斜率为 ，则 ，解得 ，
又因为直线 过点 ，
则直线 的方程为 , ，
又边 上的中线所在直线方程为 ，且该直线过点 ，
所以联立 ，
解得 的坐标为 ．
（2）设 ，因为边 上的中线所在直线方程为 ，
所以 的中点 在直线 上，
且边 上的高所在直线 过顶点 ，
所以 ，解得 ，即 的坐标为 ．
由（1）知 ，由两点式方程得 ，
化简得 .
即直线 的方程为 ．
17．直线 的方程为 .
(1)证明直线 过定点；(2)已知 是坐标原点，若点线 分别与 轴正半轴､ 轴正半轴交于 两点，当 的面积最小时，求
的周长及此时直线 的方程.
【解析】（1）直线 的方程 变形为为 ，
由 ，得到 ，
又 时， 恒成立，
故直线 恒过定点 .
（2）由 ，
令 ，得到 ，令 ，得到 ，
由 ，得到 ，
所以， ，
令 ，得到 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，直线 的方程为 ，
又 ， ，
所以，当 的面积最小时， 的周长为 ，此时直线 的方程为 .
18．已知 的三个顶点是 ， ， ．
(1)过点 的直线 与边 相交于点 ，若 的面积是 面积的3倍，求直线 的方程；
(2)求 的角平分线所在直线 的方程．
【解析】（1）设 则 ，
因为 的面积是 面积的3倍，所以 ，
则 解得
故直线 的方程为 ，即（2）显然， 的斜率存在且不为零，设 的方程为 ，
则过点 且与 垂直的直线 的方程为
设点 关于直线 对称的点为 ，
因为直线 的方程为 ，
所以
整理得
因为 ，所以 ，解得 或
又 ， ，所以 ，
故直线 的方程为 ，即
1．（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））若直线 与直线
的交点位于第一象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线 恒过点 ，
直线 与坐标轴的交点分别为 ，直线 的斜率 ，此时倾斜角为 ；
直线 的斜率不存在，此时倾斜角为 ；
所以直线 的倾斜角的取值范围是 .
故选：B.
2．（1995年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））图中的直线 的斜率分别为 ，
则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图象可得， ，
故选：C
3．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷））如图， 是同一平面内的三条平行
直线， 与 间的距离是1， 与 间的距离是2，正三角形 的三顶点分别在 上，则 的
边长是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
作高 （如图），
设 ，则 ，
于是 ，
， ，
与 相似，
，即 ，
，
，
，
.
故选：D4．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率 ，
所以直线 与 轴的交点为 ，
所以直线的点斜式方程可得 ： ，
即 ．
故选：D
5．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知直线 过点 ，且分别与 轴的
正半轴、 轴的正半轴交于 两点， 为原点，则 面积最小值为 ．
【答案】
【解析】依题意，设直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，
则直线 的方程为 ，
直线 过点 ， ，
，
，
，即 ，当且仅当 ， 即 时取等号，
面积最小值为 .
故答案为： .
6．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））直线 的倾斜角
．
【答案】
【解析】直线 ，整理得 ，
由直线的方程可得直线的斜率为 ，
则 ，又由 ，故
所以倾斜角为 .
故答案为： .
7．（2004 年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））直线 （a为常实数）
的倾斜角的大小是 ．
【答案】 /
【解析】设直线倾斜角为 ，直线 可化为 ，斜率为 ，
则 ，所以 .
故答案为： .
8．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））若三点 ， ， ，（
）共线，则 的值等于 .
【答案】 /0.5
【解析】由题知，直线 的斜率存在，由三点共线可知 .
由 得： ，即 ，又 ，
∴ .
故答案为：9．（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（浙江卷））已知曲线C是到点 和到直线
距离相等的点的轨迹．l是过点 的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，
， 轴（如图）．
(1)求曲线C的方程；
(2)求出直线l的方程，使得 为常数．
【解析】（1）设N（x,y）为C上的点，则 ，
N到直线 的距离为 ．
由题设得 ，
化简，得曲线C的方程为 ．
（2）设 ，
明显直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋k，则B（x,kx＋k），从而 ．
在Rt△QMA中，
因为 ，
．
所以 ，∴ ，
．
当k＝2时， ，
从而所求直线l方程为2x−y＋2＝0，使得 为常数
10．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））在平面直角坐标系中，已知矩形 的长为
2，宽为1， 边分别在 轴、 轴的正半轴上， 点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，
使A点落在线段 上．
(1)若折痕所在直线的斜率为 ，试写出折痕所在直线的方程；
(2)求折痕的长的最大值．
【解析】（1）当 时，此时 点与 点重合，折痕所在的直线方程 ;
②当 时，将矩形折叠后 点落在线段 上的点为 ，所以 与 关于折痕所在的直线对称，有
，故 点坐标为 ，从而折痕所在的直线与 的交点坐标（线段
的中点）为 .
故折痕所在的直线方程 , 即 ，由①②得折痕所在的直线方程为 ；
（2）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标分别为 ，
解 ，得 ；解 ，得 ，
因为 在 上,所以 ，
当 时，直线交 于
；
②当 时，直线与 轴、 轴的交点落在矩形的边 和 上，
，
所以 ，令 ，解得 ，此时 取得最大值，且 ；
③当 时，直线交 于 ，
所以折痕的长度的最大值为 .
