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第19 讲 曲线运动 运动的合成与分解
一、 考点精讲练
考点01：曲线运动（必备知识+1 例+2 变式+能力提升）
考点02：运动的合成与分解（必备知识+2 例+2 变式+能力提升）
考点03：小船渡河问题（必备知识+2 例+3 变式+能力提升）
考点04：绳（杆）关联速度问题（必备知识+2 例+2 变式+能力提升）
二、 巩固提升（精选15 道题）
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
(1)a 恒定：匀变速曲线运动；
(2)a 变化：非匀变速曲线运动。
3．曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
【例1】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实
线所示。笔尖由a 点经b 点回到a 点，则（ ）
A．该过程位移为0
B．该过程路程为0
C．两次过a 点时速度方向相同
D．两次过a 点时摩擦力方向相同
【变式1-1】（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所
受合力F 的示意图可能正确的是（ ）
考点一
曲线运动
本讲要点
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025·四川·模拟预测）为使汽车快速平稳转弯，驾驶员经常采用“入弯减速，出弯加速”的
技巧。汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时，其所受水平合力为F、速率为v。则下列方向
关系图中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题能力提升】
1．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2．曲线运动中速率变化的判断
1．合运动与分运动概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
考点二
运动的合成与分解
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则 。
3．运动分解的原则
根据运动的效果分解，也可采用正交分解法。
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动相互独立，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 。
【例2-1】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳
一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v 相向运动。为使
塔块沿竖直方向匀速下落，则v（ ）
A．一直减小
B．一直增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【例2-2】（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、
竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、v x、v y表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2025·湖南·模拟预测）在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图。摩托车后
轮离开地面后失去动力，最终摩托车后轮落到壕沟对面安全通过，认为摩托车在空中运动过程中受到水平
向后的恒定风力，忽略空气阻力及其它外界对摩托车的影响。x、y 分别表示水平和竖直位移，v x、v y分别
表示水平和竖直速度，t 表示时间，下列描述摩托车运动过程中的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线
向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题能力提升】
1．合运动性质的判断
加速度(或合外力)
加速度(或合外力)方向与合速度方向
2．两个直线运动的合运动性质的判断
(不共线)分运动
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
若v0 合与a 合共线，则合运动为匀变速直
线运动
若v0 合与a 合不共线，则合运动为匀变速
曲线运动
1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v 船、水流的速度v 水、船的实际速度v。
3．三类问题、四种情境
情境
说明
考点三
年
小船渡河问题
渡河时
间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin
＝
渡河位
移最短
当v 水<v 船时，如果满足v 水－v 船cos θ＝0，合速
度垂直河岸，则渡河位移最短(等于河宽d)
当v 水>v 船时，如果船头方向(即v 船方向)与合速
度方向垂直，则渡河位移最短，最短渡河位移
smin＝
渡河船
速最小
在水流速度v 水和船的航行方向(即v 合方向)一定
的前提下，当船头方向(即v 船方向)与合速度方向
垂直时，有满足条件的最小船速，即v 船min＝v 水
sin θ
【例3-1】（2021·辽宁·高考真题）1935 年5 月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突
击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度
1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（ ）
A．75s
B．95s
C．100s
D．300s
【例3-2】前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前
某运动员练习时要匀速横渡一段宽d =600 m的澽沱河，运动员在静水中的速度为v1=3 m /s，水流速度为
v2= 4 m /s，则（ ）
A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于200s
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为600m
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800m
【变式3-1】（多选）河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间
的关系如图乙所示。若要使船以最短时间渡河，则下列说法正确的是（ ）
A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
B．船渡河的最短时间是40s
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中航行的最大速度是3m/s
【变式3-2】（2025·湖北·二模）现代宇航服自带推力系统，航天员进行太空出舱活动离开飞船，即使没有
安全绳，也能通过宇航服的自带推力系统喷射气体获得1m /s∼4 m /s的反冲速度，使宇航员回到飞船。
如图所示，某宇航员通过宇航服的推力系统以v0=3 m /s的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A
点，初速度方向上B 点与离A 点最近，A、B 两点间距离d =5 m。宇航员在平行舱壁匀速运动到某位置再
通过宇航服的推力系统获得大小为u 的反冲速度后，运动位移x 回到舱门A 点。将宇航员视为质点。下列
说法正确的是（ ）
A．宇航员在B 点向下喷气，能到达A 点
B．宇航员最快能1s 回到舱门
C．当反冲速度大小u1=3 m/s时，x 的最小值为5m
D．当反冲速度大小u2=1.5 m/s时，x 的最小值为10m
【解题能力提升】
小船渡河问题分析思路
1. 模型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2．关联速度常见模型
情境图示
分解图示
定量结论
vB＝vAcosθ
vAcosθ＝v0
vAcosβ＝vBcosα
vBsinα＝vAcosα
【例4-1】（多选）（2025·福建厦门·三模）如图所示，一渔民（图中未画出）站在岸上，利用绳和定滑轮
以恒定的速率v=0.6m/s 拉质量m=50kg 的小船靠岸，某时刻绳与水面夹角为θ=37°，该时刻渔民的拉力大小
考点四
绳(杆)端的关联速度问题
为F=250N，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g 取10m/s2，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，下列
说法正确的是（ ）
A．该时刻小船的速度大小为0.75m/s
B．该时刻小船受到三个力的作用
C．该时刻小船的浮力大小为300N
D．小船是加速靠近河岸
【例4-2】如图所示，一根长为L的杆OA，O端用铰链固定在水平地面上，杆靠在一个高度为ℎ的立方体
物体上，物体以速度v水平向左匀速运动，杆与物体都在同一竖直面上运动。当杆与水平方向夹角为θ时，
杆转动的角速度为（ ）
A．v sin
2θ
ℎ
B．v cos
2θ
ℎ
C．v sinθ
ℎ
D．v cosθ
ℎ
【变式4-1】火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的
救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救
助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近，平台高为ℎ，当CN = ❑√3ℎ时，被救人员向B点运动的
速率是（ ）
A．
❑√3
2 v0
B．1
2 v0
C．2❑√3
3
v0
D．
❑√3
3 v0
【变式4-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，可视为质点的光滑定滑轮P 与竖直墙面上的Q点等高，
O为PQ的中点，PQ距离为2d。一根轻质不可伸长的细绳一端系在Q点，穿过质量为m 的光滑圆环A 再
绕过定滑轮P，另一端吊着质量也为m 的重物B。将圆环A 由O点静止释放，设QA与水平方向夹角为θ。
已知重力加速度为g，整个过程中B未与滑轮P相撞，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法中正确的是（
）
A．A和B的速度关系为vB= vAsinθ
B．A可以下降的最大高度为
5
3 d
¿
¿
C．A和B总动能最大时，θ =60°
D．A和B总动能最大时，B 的动能为(1−
❑√3
2 )mgd
【解题能力提升】
绳(杆)端的关联速度问题解题思路
1．（2025·辽宁丹东·二模）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小
圆柱体R。R 从坐标原点以速度v0匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正方向做初速度为0 的匀加速直线运动。
关于小圆柱体R 的运动轨迹可能正确的是（ ）
巩固提升
A．①
B．②
C．③
D．④
2．（2025·福建南平·模拟预测）2025 年元宵节晚上，闽江延平段进行无人机表演，给节日氛围增添了几许
惊艳。某参演的无人机在x、y 方向的ax−t，v y−t图像如图（a）（b）所示。则在0−t2时间内，该无人
机运动的轨迹可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的
线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河南漯河·模拟预测）漯河红枫广场无人机灯光表演给广大市民带来了科技的惊艳，同时也很好
的烘托了节日的氛围并给漯河的文化、经济等做了极大的宣传。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、
竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v −t图像分别如图甲、乙所示，则在
0∼t2时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，拖车A 在水平路面上以速度vA，向左匀速运动，拖车通过不可伸长的水平绳跨过定滑轮后
去拖动船B，船B 离开水面后，在绳子拉力作用下沿着倾角为α的斜坡上的直线滑道向上滑行，当连接船B
的绳子与水平方向夹角为β时，船B 的速度大小vB为（ ）
A．vA
cosα
B．vA
cos β
C．
vA
cos( β −α )
D．vAcos( β −α )
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示为神舟18 号返回舱顺利返回地球的示意图，返回舱先与轨道舱
分离再进行减速，调整姿态后从A 点进入大气层，最后降落在地球上B 点处，关于返回舱在A 点受到的合
外力F 的示意图，下列可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2011·上海·高考真题）如图，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方
向行进，此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为α，船的速率为（ ）
A．v sin α
B．
v
sin α
C．v cosα
D．
v
cosα
8．如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑
固定斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现B、C间细绳恰沿水平方向，从当前位置开
始，B在外力作用下以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（
）
A．物体A 做匀加速运动
B．物体A 做匀速运动
C．T可能小于mgsinθ
D．T一定大于mgsinθ
9．（2025·河南郑州·三模）图甲为某砖坯切割机，原理如图乙所示。工作时，砖坯随水平传送带一起沿直
线运动，钢丝在长为R 的力臂作用下绕O 点转动切割，两者配合保证砖坯的切割面竖直。已知某切割瞬间，
传送带的速度为v，钢丝转动的角速度为ω，力臂与竖直方向的夹角为θ，则（ ）
A．v =ωR cosθ
B．v =ωR sinθ
C．v = ωR
cosθ
D．v = ωR
sinθ
10．某教师在上课时，走到教室中间，用激光笔指向黑板上某位置处的板书，过程简化的俯视图如图所示。
该教师站立处S 与黑板间距为d，该教师移动激光笔，使光点P 在黑板上以速度v 匀速向右运动，SP 连线
与黑板面之间的夹角为θ，SP 始终在同一水平面内，则该教师此时转动激光笔的角速度为（ ）
A．v sinθ
d
B．v sinθcosθ
d
C．v sin
2θ
d
D．v cos
2θ
d
11．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示为我国空间站利用机械臂转运飞船的示意图，机械臂可近似视
为由两根长度分别为l1和l2的轻杆AB 和BC 以及三个含内置电机的关节组成，机械臂控制飞船空间站对接
的过程中，飞船的中心始终沿空间站的轴线并以恒定的速度υ靠近空间站。当两杆与轴线方向的夹角分别
为α =75°和β =60°时，AB 杆绕A 处关节转动的角速度ω为（ ）
A．（❑√6+ ❑√2）υ
2l1
B．（❑√6+ ❑√2）υ
2l2
C．❑√2υ
2l1
D．❑√2υ
2l2
12．如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为5m/s。受地形等因
素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A 下游某位置的水流速度与该位置到A 点的沿河距离关系如
图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面20m的B 处，则以下说法正确的是（
）
A．小木筏在河水中的轨迹是直线
B．河的宽度为16.25 m
C．若水流速度恒为8m/s，小木筏过河时间将变短
D．若水流速度恒为8m/s，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河
13．如图所示，甲、乙两个小组分乘两只小船渡一条宽度为d的河，各处水流速度均向右且等大恒定，船
在静水中的速率均为v，渡河时船头朝向与河岸夹角均为θ，其中甲船恰好抵达正对岸的A 点，则（ ）
A．甲船渡河时间比乙船短
B．乙船渡河时间为
d
v tanθ
C．两船都抵达对岸时，间距增大了2d
tanθ
D．如果河水流速增大，甲船调整航向一定还能到达A 点
14．（2025·安徽·模拟预测）如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度v0竖直向上抛出，小球能上
升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度v0竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置
时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之
比为（ ）
A．2:1
B．4:1
C．1:2
D．1:4
15．（多选）（2025·广东·模拟预测）足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过
“人墙”转弯进入球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，
足球向前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使贴着
足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球A、B两侧的空气相对球的速度不等而产生
压力差F，使得足球发生偏转。则（ ）
A．甲图中足球受到空气压力向左
B．甲图中足球受到空气压力向右
C．空气流速大的一侧压力大
D．空气流速小的一侧压力大
