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重难点03 力与曲线运动
（运动的合成与分解、平抛运动、斜抛运动、圆周运动及其临界问题）
考点分析
三年考情分析
2025 命题热点
运动的合成与分解
2023：江苏卷、辽宁卷
2022：湖南卷
1、运动合成与分解的运
用
2、生活中的抛体运动
3、圆周运动问题
抛体运动问题
2024：江苏卷、浙江1 月选考卷、福建卷、
湖北卷
2023：新课标卷、湖北卷
2022：河北卷、广东卷
圆周运动问题
2024：广东卷、全国甲卷、江苏卷
2023：江苏卷、北京卷、山东卷、全国甲
卷、福建卷
2022：福建卷、辽宁卷
【课标要求】
1.掌握运动的合成与分解的方法及两种重要模型：关联速度问题和小船渡河问题。
2.掌握平抛运动、斜抛运动、类平抛运动的分析方法，能从实际情景中抽象出抛体运动模
型。
3.会分析常见圆周运动的向心力来源，并会处理圆周运动的问题。
【考查方向】
高考命题一方面以选择题的形式出现，重点考查平抛运动、圆周运动等运动特点和动力
学规律，另一方面与其他知识点综合出现在计算题中。可能单独考查某一种运动形式，也可
能把多过程的曲线运动与功能关系、受力分析结合进行考查。
【备考建议】
复习本专题时，要熟练掌握抛体运动的分析方法合成与分解的方法；灵活运用动力学方
法分析圆周运动的瞬时问题；熟练掌握用动能定理分析竖直平面内圆周运动的过程问题，提
升处理多过程问题的能力；熟练掌握竖直面内的圆周运动的轻绳模型和轻杆模型在最高点的
临界特点。
1
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【情境解读】
1.生活实际场景：如汽车在弯道上转弯，需分析向心力的来源（摩擦力等）；又如运动员投
掷铅球，考虑铅球出手后受重力作用做曲线运动，通过运动轨迹和速度变化考查力与运动的
关系，涉及平抛运动知识，包括水平匀速、竖直自由落体的运动规律，以及速度、位移的合
成与分解。
2.科技应用领域：像卫星绕地球的椭圆轨道运动，依据万有引力定律，分析不同位置的速
度、加速度变化，涉及开普勒定律；还有带电粒子在磁场中受洛伦兹力做圆周运动，通过给
定磁场强度、粒子电量和质量等条件，求解粒子运动半径、周期等，常与几何知识结合确定
圆心和半径。
3.实验情境模拟：例如在光滑水平面上，用绳子系着小球做圆周运动，通过改变绳子拉力、
小球质量等因素，探究向心力与各物理量的关系，考查学生对实验原理、数据处理和误差分
析的能力，可能涉及控制变量法的运用以及对向心力公式的理解和验证。
【高分技巧】
一、关联速度中常见的速度分解模型
情景图示
定量结论
v＝v 物cos θ
v 物′＝v∥＝v 物cos θ
v∥＝v∥′
即v 物cos θ＝v 物′cos
α
v∥＝v∥′
即v 物cos α＝v 物′cos
2
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β
二、平抛运动
1.飞行时间:由
t=√
2h
g 知,飞行时间取决于下落高度
h ,与初速度v0无关.
2.水平射程:
x=v0t=v0√
2h
g ,即水平射程由初速度
v 0 和下落高度
h 共同决定,与其他因素无
关.
3.落地速度:
v=√v x
2+v y
2=√v0
2+2gh ,以θ 表示落地速度与x 轴正方向间的夹角,有
tanθ= v y
v x
=√2gh
v0
,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h 有关.
4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量Δv=gΔt 相同,方向恒为竖直向下.
5.平抛运动的两个重要结论
①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有tanθ=2tan α .
推导：
tanθ=
v y
v0
=gt
v0
¿}¿¿⇒tanθ=2tanα¿
②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，
如图所示，即x A=2 xB .
推导：
tanθ=
y A
xA−xB
¿}¿¿⇒xA=2xB¿
三、圆周运动
动力学公式：F＝ma＝m＝mω2R＝mωv＝mR＝m4π2f2R.
两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的
“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
3
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图示
受力
示意
图
F 弹向下或等于零
F 弹向下、等于零或向上
力学
方程
mg＋F 弹＝m
mg±F 弹＝m
临界
特征
F 弹＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F 向＝0
F 弹＝mg
讨论
分析
(1)最高点，若v≥，F 弹＋mg＝m，绳或轨
道对球产生弹力F 弹
(2)若v<，则不能到达最高点，即到达最
高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0 时，F 弹＝mg，F 弹背离圆心
(2)当0<v<时，mg－F 弹＝m，F 弹背离圆心
并随v 的增大而减小
(3)当v＝时，F 弹＝0
(4)当v>时，mg＋F 弹＝m，F 弹指向圆心并随
v 的增大而增大
（建议用时：40 分钟）
一、单选题
1．（2024·广东深圳·模拟预测）图甲是我国古代重要技术发明——扇车，图乙是某理想化扇车的截面图。
图乙中A 位于喂料斗入口的正下方，A、B、C、D 在同一水平面上，BC 和CD 是两个出料口，AB、BC、
CD 的长度相等。当喂料口有谷物由静止落入扇车后，运动中受到风扇匀速转动所产生的恒定水平风力，
能使不同饱满程度的谷粒从不同出料口离开扇车，达到分拣谷物的目的。设质量为m 的饱满谷粒在重力和
风力的作用下恰好落在出料口的B 点，已知谷粒Р 质量为
，谷粒Q 的质量为
，它们所受的水平
风力和饱满谷粒相同。则P、Q 自进料口由静止落下后离开扇车的位置，正确的是（ ）
4
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A．P 从BC 口离开，Q 从CD 口离开
B．P 和Q 都从CD 口离开
C．P 从BC 口离开，Q 从DE 口离开
D．P 从CD 口离开，Q 从DE 口离开
2．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，竖直平面内有半径为R 的光滑半圆环BCD，AB 在同一竖直线上且
与直径BD 的夹角为
，现有一质量为m 的小球（大小忽略不计）从A 点静止释放，落到B 点时可通过一
大小忽略不计的拐角与半圆BCD 平滑相接，认为通过时无能量损失，小球恰好能通过半圆轨道最高点D，
在空中运动一段时间后又恰好落在B 点。下列说法中正确的是（ ）
A．
B．从D 点落到B 点的时间
C．过D 点的速度为
D．AB 的长度为
3．（2024·山西·一模）大同市永泰门的音乐喷泉，为南城墙的城门广场增加了吸引力和活力。已知喷泉竖
直喷射时，能喷射的最大高度为31.25m。若喷头方向与水平方向夹角为
，不计喷头高度和空气阻力，
5
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重力加速度
取
，则喷出的水落地时到喷头的距离为（ ）
A．62.5m
B．25m
C．125m
D．150m
4．（2024·浙江宁波·一模）同学们设计了一个“地面飞镖”的游戏，如图所示，投掷者需站在投掷线后的
一条直线上将飞镖水平抛出，飞镖落在水平放置的盘面
内即可获得奖励。如图所示，甲同学将飞镖从
较高的
点以水平速度
抛出，乙同学从较低的
点以水平速度
抛出，两飞镖落于盘面的同一点
，且
两飞镖与盘面夹角
相同，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．两飞镖落到
点的速度相同
B．抛出点
与落点
三点必共线
C．要使飞镖均落到盘面内，则从
点抛出的水平速度范围更大
D．从
两点水平抛出的飞镖，只要落到盘面内则必落到同一点
5．（2024·北京朝阳·模拟预测）一个质量为
的空心环形薄板（其厚度一定、质量均匀分布），内径为，
内径和外径之比为
。当薄板在水平冰面上以角速度
匀速转动时，其因转动而具有的动能大小为（
）
6
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A．
B．
C．
D．
6．（2024·河南·模拟预测）A、B 两个粗细均匀的同心光滑圆环固定在竖直转轴上，圆心O 在转轴上，两
环和转轴在同一竖直面内，a、b 两个小球分别套在A、B 两个圆环上，当两环绕竖直轴匀速转动后，a、b
两球在环上的位置可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，光滑水平面内有一墙面，
点处有两个小球，小球甲以恒定速率
斜向墙面射出，小球甲与墙发生碰撞前速度方向与法线夹角为
。小球甲与墙面碰撞前后速度方向关于法
线对称，速度大小不变，小球甲与墙面碰撞前后均做匀速直线运动，在击出小球甲的同时将小球乙以与小
球甲速度方向夹角为
的方向、恒定速率射出，要使小球甲能够与小球乙发生碰撞，不计小球甲
与墙面的碰撞时间，下列说法正确的是（ ）
7
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A．当
时，小球乙的最小速度
，此时
B．当
时，小球乙的最小速度
，此时
C．当
时，小球乙的最小速度
，此时
D．当
时，小球乙的最小速度
，此时
8．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）小明设计实验研究“淋雨量”与移动速度的关系。分别把面积相
同的吸水纸挡在头顶和挡在身前，以速度大小v 向右穿过长度相同的一段下雨的区域，如图所示。挡在头
顶的吸水纸质量增加
，挡在身前的吸水纸质量增加
。已知雨滴匀速下落，可视作密度均匀的介质。
下列关于
和
的说法正确的有（ ）
A．
与v 无关
B．v 越大
越小
C．
与v 无关
D．v 越大
越小
9．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad
杆的a 点通过铰链固定在滑槽导轨中，d 点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc
杆的c 点通过铰链固定在滑块上，b 点通过铰链固定在ad 杆上。某次关闭窗户的过程中，ad 杆绕a 点匀速
转动，则下列说法正确的是（ ）
8
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A．b 点的线速度小于d 点的线速度
B．d 点的加速度不变
C．b 点和c 点的速度大小可能相等
D．c 点的速度不变
10．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道
竖直固定放置，轨道半径为
，圆心为A 点，
分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速
度
（未知量），小球从A 点离开后运动到圆弧上的
点，重力加速度为
，小球可视为质点，下列说法
正确的是（ ）
A．若
，小球运动到
点时速度与水平方向的夹角为
，则有
B．若小球从A 到
运动时间为
，则
C．改变
的大小，小球落到圆弧
上的速度最大值为
D．改变
的大小，小球落到圆弧
上速度的最小值为
11．（2024·四川达州·一模）滑滑板是一项青少年酷爱的运动，依靠自身的体能，快速的运动艺术。一青
少年在一次训练中的运动简化如图所示，青少年以速度v0 = 6.0 m/s 从P 点进入曲面轨道，从O 点离开曲
面轨道，离开O 点时的速度与水平方向夹角为30°，最后恰好落在平台上的N 点，O、N 两点的连线与水平
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方向夹角也为30°。已知重力加速度g 取10 m/s2，平台到曲面轨道右侧距离
，P 点到O 点的竖直
高度h = 0.5 m，青少年和滑板（视为质点）总质量m = 60 kg，忽略空气阻力。青少年在此运动过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．从O 点到N 点的运动时间为2 s
B．在曲面轨道上克服摩擦力做的功为30 J
C．青少年落在N 点前瞬间重力的功率为4500 W
D．青少年离ON 连线的最远距离为1 m
12．（2024·全国·模拟预测）弹弓爱好者站在一斜坡的坡底练习射击目标，如图所示斜坡的倾角
，
弹丸的质量为
，射出的初速度
，速度的方向与斜坡成
角斜向上，恰好击中斜坡上的
目标（在斜坡表面）。为了击中目标，可以调节初速度和射击的方向，已知重力加速度
取
，弹丸
位于斜坡底端正上方高度
的位置，斜坡足够长。不计空气阻力，
，
，下列说
法正确的是（ ）
A．弹丸击中斜坡上的目标的时间为
B．弹丸击中斜坡上的目标的时间为
C．弹丸在飞行的过程中距离斜坡的最远距离为
10
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D．保持弹丸的初速度大小不变，调整弹丸射击的方向可使弹丸沿斜坡有最大位移
13．（2024·全国·模拟预测）如图所示，水平地面上有一半径为5m 的半球形曲面，球心A 点正下方2m 的
P 处有一喷泉沿水平方向喷出水流，设水流垂直落到半球形曲面上，喷口横截面积为
，重力加速度
，水的密度为
，
，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．水流初速度的大小为
B．任意相等时间内水流的速度变化量一定相等
C．水流落到半球形曲面上的位置离地面高度为1m
D．水流喷出的过程中，喷泉装置对水流做功的功率为
14．（2024·四川泸州·一模）如图所示，水平地面上有一个可以绕竖直轴匀速转动的圆锥筒，筒壁与水平
面的夹角为
，内壁有一个可视为质点的物块始终随圆锥筒一起做匀速圆周运动，物块受到的
最大静摩擦力是正压力的0.6 倍。当物块做圆周运动的半径为r，受到的摩擦力恰好为零时，角速度为
。
忽略空气阻力，取
。则下列说法中正确的是（ ）
A．当r 越大，则
越大
B．当r 越大，则
越小
C．当
时，最大角速度
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D．当
时，最大角速度
15．（2024·全国·模拟预测）如图所示，可视为质点的小球a 的质量是小球b 质量的
倍，两小球用一刚
性轻杆连接，置于固定的光滑半球内，轻杆长度为半球半径的
倍，半球的直径水平。现将a 球从半球
右边最高点由静止释放（如图所示），已知两球在运动过程中均没有离开半球内表面，不计空气阻力，则
小球a 到达半球最低点前，下列说法正确的是（ ）
A．同一时刻两球的向心加速度大小相等
B．同一时刻a 球重力的功率是b 球重力功率的
倍
C．当轻杆与水平方向成15°角时a 球速度最大
D．当轻杆与水平方向成30°角时b 球速度最大
16．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，可视为质点、质量相等的A、B 两球套在粗细均匀的光滑水平直
杆上。分别用长度相等的两轻质细线，一端连接小球，另一端固定在竖直细杆上。现让整个装置绕竖直细
杆匀速转动，下列判断正确的是（ ）
A．两细线上的拉力大小一定不等
B．两细线上的拉力大小一定相等
C．若A 球不受杆的弹力，则B 球也不受杆的弹力
D．若B 球不受杆的弹力，则A 球受到杆的弹力方向竖直向下
三、解答题
17．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的细圆管道固定在光滑水平地面上，管道由
两部分组成，
段是关于
点对称的抛物线形态，
两点处的切线水平。质量为
的小球乙放置在
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光滑水平地面上，现让质量也为
的小球甲从
点由静止开始沿着管壁下滑，小球甲、乙发生碰撞生成的
热量为
，碰撞刚结束时，甲、乙的速度之比为
，重力加速度取
，求：
(1)小球甲到达点时的速度以及
两点的高度差；
(2)若在
点给小球甲一个水平向右的初速度
，则甲在细圆管内从
运动到
，且与内壁间恰无
作用力，求甲从
到
的运动时间以及
点切线与水平方向夹角的正切值；
(3)接第（2）问
点的倾角条件，甲再从
点由静止开始沿着管壁下滑，求运动到
点时重力的瞬时功率。
18．（2024·贵州六盘水·模拟预测）用两根铁丝制作成如图所示的凹凸桥，凹桥最低点A 距离地面的竖直
高度
。让质量为m 的小球从距离A 点
高处由静止释放，小球经过A 点时轨迹视为半径
的圆，受到轨道的支持力
，小球恰能撑开轨道水平飞出。忽略球与轨道的摩擦力，不计空气阻力，
重力加速度g 取
。求：
(1)小球过A 点的速度v 和
的大小；
(2)小球做平抛运动的水平射程x。
19．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，ABC 是半径为R 的光滑圆弧形轮滑赛道，A 点与圆心O 等高，B
为最低点（位于水平地面上），圆弧BC 所对的圆心角为60°。轮滑运动员从A 点以一定的初速度沿圆弧面
滑下，从C 点滑出后，运动员上升到的最高点与O 点在同一水平面上，此后运动员恰好落到平台上的D 点，
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D 点距水平地面的高为
。已知运动员和轮滑鞋的总质量为m，重力加速度大小为g，运动员和轮滑鞋整
体视为质点，不计空气阻力。求：
(1)运动员从C 点滑出时的速度大小；
(2)运动员和轮滑鞋一起在B 点对轨道的压力；
(3)平台D 点离圆弧轨道C 点的水平距离。
20．（2024·湖北·模拟预测）如图所示为固定在竖直平面内半径为R = 1 m 的半圆形粗糙轨道，A 为最低点，
B 为圆心等高处，C 为最高点。一质量为m = 1 kg 的遥控小车（可视为质点）从A 点水平向右以v0 = 8 m/s
无动力进入轨道，上升高度为H = 1.8 m 时脱离轨道，重力加速度g = 10 m/s2，不计空气阻力。求：（可
保留根号或π 的形式，或对应结果保留1 位小数）
(1)小车脱离轨道时的速度大小；
(2)小车从A 至脱离过程克服摩擦力所做的功；
(3)开启动力后，小车以v0 = 8 m/s 匀速率沿着轨道运动，若小车所受的摩擦阻力为小车对轨道压力的k =
0.25 倍，求小车从A 到C 过程中电动机做的功。
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