文档文本内容
专题四 曲线运动
课标解读
考情分析 备考指导
考点 内容
曲线运动、运动 ．通过实验 了解曲线运动
１ ， 。
的合成与分解 ．知道物体做曲线运动的条件
２ 。
本专题内容与实际应用和生产
．通过实验 探究并认识平抛运动的规律 、
１ ， 。
曲线运动是高考的重点考查内容 生活 科技相联系命题 或与其
．会用运动合成与分解的方法分析平抛运动 ， 、 ，
抛体运动 ２ 。
在近几年高考中 运动的合成与分 他专题综合考查 曲线运动问题
．体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想 ， ，
３ 。
解 平抛运动 圆周运动是高考的 由原来的选择题转变为在计算
．能分析生产生活中的抛体运动 、 、
４ 。
重要考点 抛体运动的规律 竖直 题中考查 也可能与其他专题相
。 、 ，
面内的圆周运动规律及所涉及的 结合 与能量知识综合考查 以
．会用线速度 角速度 周期描述匀速圆周运动 ， ，
１ 、 、 。 临界问题 能量问题是我们学习的 计算题形式出现 与实际生产
．知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向 、 。 、
２ 。 重点 也是难点 生活 科技相联系的命题已经成
．通过实验 探究并了解匀速圆周运动向心力大 ， 。 、
圆周运动 ３ ， 为一种热点命题
小与半径 角速度 质量的关系 。
、 、 。
．能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力
４ 。
．了解生产生活中的离心现象及其产生的原因
５ 。
命题立意 解题指导 拓展延伸
本题考查圆周运动的向心力 牛顿第二定 此题来源于生活 题目本身的难度不大 可以延伸到对物体在竖直面内圆周运动
、 ， ，
律 意在考查学生的理解能力和推理能 但是很容易出错 秋千是由两根绳子固定 最高点的受力情况的分析 或恰好运动到
， ， ，
力 体现了物理学科核心素养中物质观 在秋千踏板上 在竖直面内做圆周运动 最高点的临界速度的分析 还可以延伸出
。 ， ，
念 运动与相互作用观念 科学推理等 时 两根绳子上的拉力减去人和秋千踏板 与动能定理 机械能守恒定律相结合的力
、 、 ， 、
要素 的总重力后所得力为向心力 如果没有看 学综合题目
。 ， 。
清是求每根绳子平均承受的拉力 认为只
，
求一个总的拉力 就会误选 因此 关
， Ｄ。 ，
注生活 仔细审题是解题的关键所在 答
、 。
案解析见
Ｐ２８６
２２ ５年高考３年模拟 Ａ版 高考物理专题四 曲线运动 ２３
直线 运动和竖直方向上的 自由落体 运动
③ 。
运动时间和射程
（４）
ｈ ｈ
考点一 曲线运动、运动的合成与分解 ｔ ２ 仅取决于竖直下落的高度 射程ｘ ｖ ２ 取决于
＝ ｇ ； ＝ ０ ｇ
一、曲线运动的定义、条件和特点 竖直下落的高度和初速度
。
曲线运动 说明
２．平抛运动的规律
以抛出点为坐标原点 以初速度 ｖ 方
定义 轨迹是一条曲线的运动叫 一般曲线运动可看成是几个 ， ０
作曲线运动 直线运动的合运动 向为ｘ轴正方向 竖直向下为ｙ轴正方向
， ，
如图所示 则有
质点所受合外力的方向跟 ，
加速度的方向跟速度的方向
条件 它的速度方向 ① 不在同一 不在同一直线上 水平方向分速度 ： ｖ ｘ＝ ｖ ０
直线上 ｖ Ｆ 竖直方向分速度 ｖ ｇｔ
（ ０≠０， ≠０） ： ｙ＝
（１）
轨迹是一条曲线 合速度大小
：
ｖ
＝
ｖ２
０＋
ｇ２ｔ２
（ 向 ２） 就 某点 是 的 通 瞬 过 时 这 速 一 度 点 的 的 方 （ 类 １ 曲 ） 加 线 速 运 度 动 可 是 以 匀 是 变 不 速 变 曲 的 线 ， 这 运 θ ｖ ｙ ｇｔ θ为速度与水平方向的夹角
， ｔａｎ ＝ ｖ ｘ ＝ｖ （ ）
切线的方向 动 如平抛运动 ０
② ， 水平方向分位移 ｘ′ ｖ ｔ
特点 曲线运动的速度方向时 加速度可以是变化的 这 ： ＝ ０
（３） （２） ，
刻在改变
，
所以是变速运 类曲线运动是变加速曲线运 竖直方向分位移
：
ｙ′
＝
１ ｇｔ２
动 一定具有加速度 动 或非匀变速曲线运动 如 ２
， （ ），
（４）
合外力 Ｆ 始终指向运 圆周运动 合位移
：
ｘ
合＝
ｘ′２
＋
ｙ′２
动轨迹的 内侧
③ １ ｇｔ２
ｙ′ ｇｔ
二、运动的合成与分解 β ２ β为位移方向与水平方向的夹角
ｔａｎ ＝ｘ′＝ ｖ ｔ ＝ ｖ （ ）
１．合运动与分运动的关系 ０ ２ ０
二、斜抛运动
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相同
１．斜抛运动的定义
一个物体同时参与几个分运动 各分运动独立进行 不受其
独立性 ， ， 将物体以速度ｖ 斜向上方或斜向下方抛出 物体只在重力
他分运动的影响 ０ ，
作用下的运动
等效性 各分运动叠加起来与合运动有相同的效果 。
２．运动性质
２．运动的合成与分解的运算法则
加速度为 重力加速度ｇ 的匀变速曲线运动 轨迹为抛物线
④ ， 。
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移
、
速度
、
３．基本特点 以斜向上抛为例说明 如图所示
（ ， ）
加速度的合成与分解 由于它们都是矢量 所以合成与分解都
。 ，
遵循 平行四边形定则
④ 。
３．运动的合成与分解
已知分运动求合运动 叫作运动的合成 已知合运动求分运
， ；
动 叫作运动的分解 分运动与合运动是一种等效替代关系 运 水平方向 ｖ ｖ · θ Ｆ
， 。 ， （１） ： ０ ｘ＝⑤ ０ ｃｏｓ ， 合ｘ＝０。
动的合成与分解是研究曲线运动的一种基本方法 竖直方向 ｖ ｖ · θ Ｆ ｍｇ
。 （２） ： ０ ｙ＝⑥ ０ ｓｉｎ ， 合ｙ＝ 。
４．两个直线运动的合运动性质的判断 ｖ θ
物体上升到最高点的时间 ｔ ０ ｓｉｎ
标准 看合初速度方向与合加速度方向是否共线 （３） ：上＝ ｇ 。
： 。
考点二 抛体运动 考点三 圆周运动
一、平抛运动
一、描述圆周运动的物理量
１．平抛运动
定义 水平抛出的物体只在 重力 作用下的运动叫作 定义、意义 公式、单位
（１） ： ①
平抛运动
。 描述做圆周运动的物体
（２） 性质 ： 加速度为重力加速度ｇ的匀变速曲线运动 ， 轨迹 线 （１） 运动快慢的物理量 ｖ ．ｖ Δ ｌ ｖ ２π ｒ
速 ① （ ） ａ ＝ ｔ， ＝ Ｔ
是抛物线 。 度 （２） 是 ② 矢量 ， 方向和半径垂 单位 Δ
研究方法 平抛运动可以分解为水平方向上的 匀速 直 和圆周 相切 ｂ． ：ｍ／ｓ
（３） ： ② ， ③
为何桥设计成凸形 由于汽车经过一个弧形的时候，需要有一个向心力Ｆ，它是由重力ｍｇ和支持力Ｎ
合成的。 在凸形桥上，Ｆ ｍｇ Ｎ，所以Ｎ ｍｇ Ｆ；在凹形桥上，Ｆ Ｎ ｍｇ，所以Ｎ Ｆ ｍｇ。 由上述两个式子可见，凸形
＝ － ＝ － ＝ － ＝ ＋
桥的Ｎ较小，Ｎ是桥对汽车的支持力，其大小等于汽车对桥的压力。 所以凸形桥对桥的结构强度设计上有利。 如果
只是为了汽车能节约一点汽油，改变桥的设计，就本末倒置了。 （图为石拱桥）
２４ ５年高考３年模拟 Ａ版 高考物理
续表 续表
定义、意义 公式、单位
定义、意义 公式、单位
描述物体 绕圆心转动快慢 相 Ｔ １ ｖ ｒω ２πｒ ｆｒ
角 （ 的 １ 物 ） 理量 ω ④ ω Δ θ ω ２π 互 关 （１） ＝ ｆ （２） ＝ ＝ Ｔ ＝２π
速 （ ） ａ． ＝ ｔ， ＝ Ｔ ｖ２ ２ｒ θ
度 （２） 是矢量 ， 但中学阶段不研究其 单位 Δ 系 （３） ａ ＝ ｒ ＝ ｒω２ ＝ ωｖ ＝ ４ Ｔ π ２ ＝４π ２ｆ２ｒ （４） ｔ ＝ · Ｔ
方向 ｂ． ：ｒａｄ／ｓ ２π
周
二、离心现象
期 （１） 周期是做匀速圆周运动的物 Ｔ ２π ｒ 单位 当提供的向心力小于所需向心力时 物体将远离原来的轨
、 体沿圆周 运动一周 的时间 ａ． ＝ ｖ ， ：ｓ ，
频 ⑤ 道的现象叫离心现象
Ｔ 周期的倒数等于频率 ｆ
率 （ ）； （） ｆ １ 单位 。
和 转速 ｎ 是物体转过的圈数 ｂ． ＝ Ｔ ， ：Ｈｚ 从力的角度分析物体的运动
转 （２） （ ） ：
速 与时间的比值 ｃ． ｎ的单位 ：ｒ／ｓ、ｒ／ｍｉｎ １．匀速圆周运动：Ｆ 合＝ ｍｒω２ 。
向 心 加 （ 的 １ 物 ） 描 理 述 量 速 ａ 度 ⑥ 方向 变化快慢 ａ． ａ ＝ ｖ ｒ ２ ＝ ｒω２ ３ ２ ． ． 向 离 心 心 运 运 动 动 ： ： Ｆ Ｆ 合 合 ＞ ＜ ｍ ｍ ｒ ｒ ω ω ２ ２ 。 。
速 （ ）
度 （２） 方向指向圆心 ｂ． 单位 ：ｍ／ｓ ２
考点一 不在同一直线上 切线 内侧 平行四边形定则
向
心
（
速
１
度
） 作用效果是产生 ⑦ 向心 加
ａ．
Ｆ
＝
ｍａ
＝
ｍ
ｒ
ｖ２
＝
ｍω２ｒ
＝
ｍωｖ 考点二 ：
：
①
①
重力
②
匀速直 线 ②
③
自 ③ 由落体 ④
④
重力加速度 ｇ
力 方向始终指向 圆心 单位 ⑤ ｖ ０·ｃｏｓ θ ⑥ ｖ ０·ｓｉｎ θ
（２） ⑧ ｂ． ：Ｎ 考点三 运动快慢 矢量 相切 绕圆心转动 运动一
：① ② ③ ④ ⑤
周 方向 向心 圆心
⑥ ⑦ ⑧
滚筒洗衣机 滚筒洗衣机发源于欧洲，洗衣方法是模仿棒槌击打衣物原理设计，由不锈钢内桶，机械程
序控制器，经过磷化、电泳、喷涂三重保护的外壳和两块配重块用于平衡滚筒旋转时产生的巨大离心力做重复运动，
加上洗衣粉和水的共同作用使衣物洗涤干净。
即末状态速度反向延长线与ｘ轴的交点Ｂ必为此刻水平位
移的中点
。
注意 在平抛运动过程中 位移矢量与速度矢量永远
拓展一 平抛运动的两个重要推论 （１） ，
不会同线
推论一 做平抛 或类平抛 运动的物体在任一时刻任一位 。
（ ） 推论一中的 θ φ 但不能误认为θ φ
置处 设其末速度方向与水平方向的夹角为θ 位移与水平方向 （２） ｔａｎ ＝２ ｔａｎ ， ＝２ 。
， ，
的夹角为φ 则 θ φ 拓展二 多个物体的平抛运动
， ｔａｎ ＝２ ｔａｎ 。
证明 如图甲所示 由平抛运动规律得 １．若两物体同时从同一高度 或同一点 抛出 则两物体始
： ， （ ） ，
ｖ ｇｔ ｙ ｇｔ２ ｇｔ 终在同一高度 二者间距只取决于两物体的水平分运动
θ ⊥ φ １ ， 。
ｔａｎ ＝ｖ ＝ｖ ，ｔａｎ ＝ ｘ ＝ ｖ ｔ＝ ｖ ， ２．若两物体同时从不同高度抛出 则两物体高度差始终与
０ ０ ２ ０ ２ ０ ，
所以 θ φ 抛出点高度差相同 二者间距由物体的水平分运动和竖直高度
ｔａｎ ＝２ ｔａｎ 。 ，
差决定
。
３．若两物体从同一点先后抛出 两物体竖直高度差随时间
，
均匀增大 二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动
， 。
４．两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处
，
两物体必须同时到达此处才会相遇
。
例 如图所示 Ａ Ｂ 两小球
， 、
推论二 做平抛 或类平抛 运动的物体任意时刻的瞬时速
（ ） 从相同高度同时水平抛出 经过时间
，
度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点 如图乙中所示
。 ｔ在空中相遇 若两球的抛出速度都
。
Ｂ点
变为原来的 倍 则两球从抛出到相
。
２ ，
证明 设平抛物体的初速度为ｖ 从原点Ｏ到Ａ点的时间为
： ０， 遇经过的时间为
（ ）
ｔ Ａ点坐标为 ｘ ｙ Ｂ点坐标为 ｘ′ 则ｘ ｖ ｔ ｙ １ ｇｔ２ ｖ ｔ ｔ
， （ ， ）， （ ，０）， ＝ ０ ， ＝ ， ⊥＝ ｔ ２ｔ
２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ｖ ｙ ｘ ２ ２ ４
ｇｔ ， 又 ｔａｎ θ ＝ｖ ⊥ ＝ｘ ｘ′， 解得ｘ′ ＝ 。 解析 本题考查平抛运动、运动的独立性。 依据运动的独
０ － ２
专题四 曲线运动 ２５
立性原理，在水平方向上，两球之间的距离ｄ （ｖ ｖ ）ｔ （ ｖ 续表
＝ １＋ ２ ＝ ２ １＋
ｖ ）ｔ′，得ｔ′ ｔ ，故选项 正确。 图形 受力分析 建立坐标系 利用向心力分析
２ ２ ＝ Ｃ
２
Ｆ ｍｇ
答案 Ｃ Ｎ＝
Ｆ ｍｒω２
ｆ＝
拓展三 圆周运动的动力学分析 Ｆ μＦ
（ ｆ≤ Ｎ）
一、做圆周运动的常见模型
Ｆ θ Ｆ θ ｍｇ
ｆｃｏｓ ＋ Ｎｓｉｎ ＝
图形 受力分析 建立坐标系 利用向心力分析 Ｆ θ Ｆ θ ｍｒω２
ｆｓｉｎ － Ｎｃｏｓ ＝
Ｆ μＦ
（ ｆ≤ Ｎ）
Ｆ θ ｍｇ 二、常见传动装置及其特点
ｃｏｓ ＝
Ｆ
ｓｉｎ
θ
＝
ｍω２ｌ
ｓｉｎ
θ １．共轴传动：角速度相等
Ａ点和Ｂ点在同轴的圆盘上 如图甲 圆盘转动时 它们的
， ， ，
线速度 角速度 周期存在以下定量关系
、 、 ：
ｖ ｒ
ω ω Ａ Ｔ Ｔ 并且转动方向相同
Ａ＝ Ｂ，ｖ ＝ Ｒ， Ａ＝ Ｂ， 。
Ｆ θ ｍｇ Ｂ
ｃｏｓ ＝
Ｆ θ ｍω２ ｄ ｌ θ
ｓｉｎ ＝ （ ＋ ｓｉｎ ）
Ｆ θ ｍｇ 甲 乙 丙
Ｎｃｏｓ ＝
Ｆ θ ｍω２ｒ
Ｎｓｉｎ ＝ ２．皮带传动：边缘线速度相等
Ａ点和Ｂ点分别是两个轮子边缘上的点 两个轮子用皮带
，
连起来 并且皮带不打滑 如图乙 轮子转动时 它们的线速度
， 。 ， ， 、
Ｆ 升ｃｏｓ θ ＝ ｍｇ 角速度 周期存在以下定量关系
、 ：
Ｆ 升ｓｉｎ θ ＝ ｍω２ｒ ｖ ｖ ω Ａ ｒ Ｔ Ａ Ｒ 并且转动方向相同
Ａ＝ Ｂ，ω ＝ Ｒ，Ｔ ＝ ｒ ， 。
Ｂ Ｂ
３．齿轮传动：边缘线速度相等
Ａ点和Ｂ点分别是两个齿轮边缘上的点 两个齿轮轮齿啮
Ｆ ｍ ｇ ，
Ｎ＝ Ａ 合 如图丙 齿轮转动时 它们的线速度 角速度 周期存在以下
Ｆ
＝
ｍ
Ｂ
ｇ
＝
ｍ
Ａ
ω２ｒ
定
。
量关系
， ， 、 、
：
Ｔ ｒ ｎ ω ｒ ｎ
ｖ ｖ Ａ １ １ Ａ ２ ２
Ａ＝ Ｂ，Ｔ ＝ ｒ ＝ｎ ，ω ＝ ｒ ＝ｎ 。
Ｂ Ｂ
２ ２ １ １
Ｆ ｍｇ 式中ｎ ｎ 分别表示两齿轮的齿数 两点转动方向相反
ｆ＝ １、 ２ 。 。
Ｆ ｍｒω２ 注意 在处理传动装置中各物理量间的关系时 关键是确
Ｎ＝ ，
Ｆ μＦ 定其相同的量 线速度或角速度 再由描述圆周运动的各物理
（ ｆ≤ Ｎ）
（ ），
量间的关系 确定其他各量间的关系
， 。
过山车中的物理学 过山车中的小列车是靠一个机械装置的推力推上最高点的，但在第一次向下行驶
后，就再也没有任何装置为它提供动力了。 从这时起，带动它沿着轨道行驶的唯一的“发动机”将是重力势能，翻滚
过山车的过程就是重力势能转化为动能、动能转化为重力势能的循环转化的过程。 当达到圆形轨道的最高点时，它
会慢下来。 一旦走完行程，机械制动装置就会非常安全地使过山车停下来。 （图为翻滚过山车装置）
的实际速度
）。
３．三种情境
应用一 探究小船过河问题的处理方法 当船头方向垂直河岸时 渡河时间最短
渡河时 ， ，
１．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合 ｄ
间最短 最短时间ｔ
运动
ｍｉｎ＝ｖ
船
。
２．三种速度：ｖ 船在静水中的速度 ｖ 水流速度 ｖ 船
船（ ）、 水（ ）、 合（
２６ ５年高考３年模拟 Ａ版 高考物理
续表 ｌ
船下漂的最短距离为ｘ （ｖ ｖ θ）· ，
ｍｉｎ＝ 水－ 船 ｃｏｓ ｖ
船 ｓｉｎ
θ
如果ｖ ｖ 当船头方向与上游河岸夹
角θ满 船 足 ＞ ｖ 水， θ ｖ 时 合速度垂直河 此时渡河的最短位移大小为ｓ ｌ ｌｖ 水 。
船ｃｏｓ ＝ 水 ， ＝ ｃｏｓ θ＝ｖ 船
岸 渡河位移最短 等于河宽ｄ
渡河位 ， ， 答案 见解析
移最短 如果ｖ ｖ 当船头方向 即ｖ 方向 与
船＜ 水， （ 船 ） 应用二 探究绳（杆）端速度分解的处理方法
合速度方向垂直时 渡河位移最短 等
， ，
１．模型特点
ｄｖ
于 水
ｖ 沿绳 杆 方向的速度分量大小相等
船 （ ） 。
２．思路与方法
４．分析思路
合速度 物体的实际运动速度ｖ
→
{其一 沿绳 杆 的分速度ｖ
分速度 ： （ ） １
→ 其二 与绳 杆 垂直的分速度ｖ
： （ ） ２
方法 ｖ 与ｖ 的合成遵循平行四边形定则
： １ ２ 。
３．解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳 杆 和沿绳 杆 的两
（ ） （ ）
个分速度 根据沿绳 杆 方向的分速度大小相等求解 常见的
， （ ） 。
模型如图所示
。
例１ 一条宽度为 ｌ 的河流 已知船在静水中的速度为
，
ｖ 水流速度为ｖ 那么
船， 水。 ：
怎样渡河时间最短
（１） ？
若ｖ ｖ 怎样渡河位移最小
（２） 船＞ 水， ？
若ｖ ｖ 怎样渡河船下漂的距离最短
（３） 船＜ 水， ？
解析 （ ）如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成任意角
１
θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为ｖ ｖ θ，渡河
１＝ 船 ｓｉｎ
ｌ ｌ
所需的时间为ｔ 。
＝ｖ ＝ｖ θ
１ 船 ｓｉｎ 例２ 人用绳子通过定滑轮拉物体Ａ Ａ穿在光滑的竖直
，
杆上 当以速度ｖ 匀速地拉绳使物体Ａ到达如图所示位置时 绳
， ０ ，
与竖直杆的夹角为θ 则物体Ａ实际运动的速度是
， （ ）
可以看出：ｌ、ｖ 一定时，ｔ随 θ增大而减小；当θ 时，
船 ｓｉｎ ＝９０°
θ （最大）。 所以可得船头与河岸垂直时渡河时间最短，即
ｓｉｎ ＝１
ｌ
ｔ 。
ｍｉｎ＝ｖ
船 ｖ θ
ｖ
０ ｖ θ
ｖ
０
（ ）如图乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。 为了使渡河 Ａ． ０ ｓｉｎ Ｂ． θ Ｃ． ０ ｃｏｓ Ｄ． θ
２ ｓｉｎ ｃｏｓ
位移等于ｌ，必须使船的合速度ｖ 的方向与河岸垂直。 这时船 解题导引
合
头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。 根据三角函数关
ｖ
系有ｖ θ ｖ ，得 θ 水 。
船 ｃｏｓ － 水＝０ ｃｏｓ ＝ｖ
船
只有在ｖ
船＞
ｖ
水
时，船才有可能垂直河岸横渡。
解析 由运动的合成与分解可知，物体Ａ参
（ ）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的 与这样的两个分运动，一个是沿着与它相连接的
３
航向如何，总是被水冲向下游。 怎样才能使漂下的距离最短呢？ 绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动。
如图丙所示，设ｖ 与河岸成 θ 角。 合速度 ｖ 与河岸成 α 角。 而物体Ａ实际运动是沿着竖直杆向上运动，此运动就是物体 Ａ
船 合
可以看出：α角越大，船下漂的距离ｘ越短。 那么，在什么条件下 的合运动，合速度与分速度之间的关系如图所示。 由三角函数
α角最大呢？ 以ｖ 的末端为圆心、ｖ 大小为半径画圆，当ｖ 与 ｖ
水 船 合 知识可得ｖ ０ ，所以 选项是正确的。
ｖ Ａ＝ θ Ｄ
圆相切时，α角最大，此时 θ 船 。 ｃｏｓ
ｃｏｓ ＝ｖ 答案 Ｄ
水
龙卷风的奥秘 莫斯科理论和实验物理学研究所的科学家成功地揭示了龙卷风的秘密，出现龙卷风之
前先形成气旋，气旋是冷的和热的大气锋相撞时产生的。 如果气旋在途中遇到积有许多雨的雷电云、河流和湖泊，水
即被气旋收走，变成神速的旋流。 这样形成的龙卷风漏斗形旋涡会上升到寒冷的大气上层，水在这里很快结冰，从而
释放出能量。 （图为龙卷风）
专题四 曲线运动 ２７
应用三 探究水平面内圆周运动的动力学问题 解题导引 关键词 相同材料 靠摩擦传动 小木块
：① ，② ，③
１．向心力的来源 恰能相对静止 木块相对Ｂ轮也静止 Ａ Ｂ两轮边缘处的线
，④ 。 、
向心力是按力的作用效果命名的 可以是重力 弹力 摩擦 速度相同 木块在静摩擦力作用下做圆周运动
， 、 、 ， 。
力等各种力 也可以是几个力的合力或某个力的分力 因此在受 解析 由图可知，当主动轮Ａ匀速转动时，Ａ、Ｂ两轮边缘
， ，
力分析中要避免再另外添加一个向心力
２．运动模型 。 上的线速度相同，由ω ｖ ，得 ω Ａ ｖ／Ｒ Ａ Ｒ Ｂ １ 。 由于小木块
＝ Ｒ ω ＝ｖ／Ｒ ＝Ｒ ＝
Ｂ Ｂ Ａ ２
运动模型 向心力的来源图示 恰能在Ａ轮边缘静止，则由最大静摩擦力提供向心力，故μ ｍｇ
Ａ ＝
ｍω２Ａ Ｒ
Ａ ①
设放在Ｂ轮上能使木块相对静止的距Ｂ转动轴的最大距离
飞机水平转弯
为ｒ，则向心力由最大静摩擦力提供，故μ
Ｂ
ｍｇ
＝
ｍω２Ｂ ｒ
②
因Ａ、Ｂ材料相同，故木块与Ａ、Ｂ的动摩擦因数相同， 式
①②
左边相等，故ｍω２Ａ Ｒ
Ａ＝
ｍω２Ｂ ｒ，得
圆锥摆 ｒ æ ç ω Ａ ö ÷ ２ Ｒ ( １ ) ２ Ｒ Ｒ Ａ Ｒ Ｂ。
＝èω ø Ａ＝ Ａ＝ ＝
Ｂ ２ ４ ２
所以选项 正确。
Ｃ
答案 Ｃ
飞车走壁
应用四 探究竖直面内圆周运动的动力学问题
１．物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线
运动 该类运动常有临界问题 并常伴有 最大 最小 刚
， ， “ ”、“ ”、“
汽车在水平路面转弯 好 等词语 常分析两种模型 绳球 模型和 杆球 模型 分
” ， ———“ ” “ ” ，
析比较如下
。
“绳球”模型 “杆球”模型
水平转台（光滑） 常见
类型
均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
３．分析思路
过最高
由ｍｇ ｍ
ｖ２临
由小球恰能做完整圆周运动
点的临 ＝ ｒ ，
可得ｖ
界条件 得ｖ ｇｒ 临＝０
临＝
当ｖ 时 Ｆ ｍｇ Ｆ 为
（１） 过最高点时 ， ｖ ＝ ｇｒ ， （１） ＝０ ， Ｎ＝ ， Ｎ
支持力 沿半径背离圆心
ｍｖ２ ，
ｍｇ Ｆ 即绳 轨
＝ ｒ ， Ｎ＝０， 、
（２）
当
０＜
ｖ
＜
ｇｒ时
，
ｍｇ
－
Ｆ
Ｎ＝
道对球无弹力 ｖ２
ｍ Ｆ 背离圆心 随ｖ的增
过最高点时 ｖ ｒ ， Ｎ ，
讨论 （２） ， ≥
ｖ２ 大而减小
分析 ｇｒ Ｆ ｍｇ ｍ 绳
， Ｎ＋ ＝ ｒ ， 、 当ｖ ｇｒ 时 Ｆ
轨道对球产生弹力Ｆ
（３） ＝ ， Ｎ＝０
Ｎ 当 ｖ ｇｒ 时 Ｆ ｍｇ
不能过最高点 ｖ （４） ＞ ， Ｎ ＋ ＝
（３） ， ＜ ｖ２
例３ 如图所示 两个用相同材料制成 ｇｒ ， 在到达最高点前小 ｍ ｒ ， Ｆ Ｎ 指向圆心并随ｖ的增
， 球已经脱离了圆轨道 大而增大
的靠摩擦传动的轮Ａ和Ｂ水平放置 两轮半径
， ２．竖直圆的有关脱轨问题
关系为Ｒ Ｒ 当主动轮Ａ匀速转动时 在Ａ
Ａ＝２ Ｂ。 ， 脱轨可分为外侧脱轨与内侧脱轨两种情况
轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在 Ａ 轮 （１） 。
脱轨的条件为物体与轨道之间的作用力为零
边缘上 若将小木块放在Ｂ轮上 欲使木块相对Ｂ轮也静止 则 （２） 。
。 ， ， 如图小球 质量为ｍ 从光滑圆轨道最高点
木块距Ｂ轮转动轴的最大距离为 设最大静摩擦力等于滑动摩 （ ）
（ 由静止滑下 小球在何处脱离轨道
擦力 ， ？
） （ ） 设小球与圆心连线与竖直方向的夹角为θ
Ｒ Ｒ Ｒ
Ｂ Ｂ Ｂ Ｒ 时开始脱轨 则满足关系
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ｂ ， ：
４ ３ ２
枪消音器的工作原理 吹足了气的气球，如果用针扎，就会发出很大的噪声，但如果解开气球的进气口把
空气慢慢放出，声音就会小很多。 枪消音器就是根据这个原理设计的。 消音器相比于枪膛而言，有着一个很大的体积
空间（是枪膛的 倍）。 有了消音器的存在，子弹尾部受压的空气就有了很大的释放空间，当子弹最终离开消音器
２０～３０
时，开口气体的压力就变得很低了。 因此，枪射击所发出的声音就被大大减弱了。 （图为无声手枪）
２８ ５年高考３年模拟 Ａ版 高考物理
ì 最大静摩擦力
ï
ï
ｍｇＲ
（１－ｃｏｓ
θ
）＝
１ ｍｖ２
如果只
。
是摩擦力提供向心力 则最大静摩擦力 Ｆ
í ２ （１） ， ｍ＝
ï ｖ２ ｍｖ２
î ïｍｇ ｃｏｓ θ ＝ ｍ Ｒ ｒ ｍ ， 静摩擦力的方向一定指向圆心 。
如果除摩擦力以外还有其他力 如绳两端连接的物体绕绳
得 θ ２ （２） ，
ｃｏｓ ＝ 上某点在水平面内转动 其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临
３ ，
３．有关竖直平面内的圆周运动的几点说明 界条件和一个恰不向外滑动的临界条件 分别为静摩擦力达到最大
，
如图所示 若小球在细绳的拉力作用下 恰能 且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心
， ， 。
在竖直平面内做圆周运动 应满足ｖ ｇＬ ｖ ２．与弹力有关的临界极值问题
， Ａ＝ ， Ｄ＝
ｇＬ Ｔ Ｔ ｍｇ 若小球由Ｂ或Ｃ处静止释 压力 支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零
５ ， Ａ＝０， Ｄ＝６ ， （１） 、 。
绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳
放 ， 则满足ｖ Ｄ＝ ２ ｇＬ ， Ｔ Ｄ＝３ ｍｇ ， Ｔ Ｄ 的大小与绳子 上拉力 （２ 恰 ） 好为最大承受力
的长短无关 只与ｍ的大小有关 。
， 。 例５ 如图所示 在光滑的圆锥体顶端
例４ 图甲中表演的水流星是一项中国传统民间杂技艺 ，
用长为ｌ的绳悬挂一质量为ｍ的物体 圆锥
术 在一根绳子上系着两个装满水的桶 表演者把它甩动转起 。
， ， 体固定在水平面上不动 其轴线沿竖直方向
来 犹如流星般 而水不会流出来 图乙为水流星的简化示意 ， ，
， ， 。 母线与轴线之间的夹角为 物体以速率ｖ
图 在某次表演中 当桶Ａ在最高点时 桶Ｂ恰好在最低点 若演 ３０°。
， ， ， ， 绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动
员仅控制住绳的中点Ｏ不动 而水桶Ａ Ｂ 均可视为质点 都恰 。
， 、 （ ）
好能通过最高点 已知绳长ｌ ． 两水桶 含水 的质量均为 当ｖ ｇｌ／ 时 求绳对物体的拉力
， ＝１６ ｍ， （ ） （１） １＝ ６ ， 。
ｍ ． 不计空气阻力及绳重 取ｇ ２ 当ｖ ｇｌ／ 时 求绳对物体的拉力
＝０５ ｋｇ， ， ＝１０ ｍ／ｓ 。 （２） ２＝ ３ ２ ， 。
解题思路 关键词 光滑的 做水平匀速圆周运动 临
：① ，② 。
界状态是球与锥面间弹力为零 设此时线速度为 ｖ 分 ｖ ｖ 和
， ０， ＞ ０
ｖ ｖ 两种情况讨论
＜ ０ 。
解析 如图甲所示，物体在锥面上运
动，但支持力为 ，物体只受重力ｍｇ和绳的
求水桶在最高点和最低点的速度大小 ０
（１） ； 拉力Ｆ 作用，合力沿水平面指向轴线。 根
求图示位置时 手对绳子的力的大小 Ｔ
（２） ， 。 据牛顿第二定律有：
思路分析 两水桶都恰好能通过最高点 即在最高点仅
（１） ， ｖ２ ｖ２
由重力提供向心力 从而可求解出水桶在最高点的速度 从最高点 ｍｇ ° ｍ ０ ｍ ０
， ， ｔａｎ３０ ＝ ｒ ＝ ｌ· ° 甲
到最低点的过程机械能守恒 列式可求解水桶在最低点的速度 ｓｉｎ３０
， 。 解得：ｖ ｇｌ／
（２）
图示位置时
，
绳ＯＡ对水桶Ａ的拉力为零
，
桶Ｂ受绳竖
（ ）因为
０＝
ｖ ｖ
３
，所
６
以物体与锥面接触并产生弹力Ｆ ，此时
直向上的拉力和竖直向下的重力 ， 两者的合力提供向心力 ， 列式 物体受 １ 力如图乙 １＜ 所 ０ 示。 Ｎ
可求解此时手对绳子的力的大小
。 根据牛顿第二定律有：
解析 （ ）设最高点的速度为ｖ ，最低点的速度为ｖ ，水桶
１ １ ２ ｍｖ２
ｌ Ｆ ° Ｆ ° １
做圆周运动的半径Ｒ ． Ｔ ｓｉｎ３０ － Ｎ ｃｏｓ３０ ＝ｌ· °
＝ ＝０８ ｍ ｓｉｎ３０
２ Ｆ ° Ｆ ° ｍｇ
ｖ２ Ｔ ｃｏｓ３０ ＋ Ｎ ｓｉｎ３０ － ＝０
水桶恰好通过最高点时绳上的拉力为零，有：ｍｇ ｍ １
＝ Ｒ 解得：Ｆ ３ ３＋１ｍｇ
Ｔ＝
解得：ｖ ６
１＝２ ２ ｍ／ｓ
水桶从最高点运动到最低点有：ｍｇｌ １ ｍｖ２ １ ｍｖ２
＋ １＝ ２
２ ２
解得：ｖ
２＝２ １０ ｍ／ｓ
（ ）绳ＯＡ对水桶Ａ的拉力为零，对最低点的桶Ｂ受力分析
２
ｖ２
可得Ｆ ＯＢ－ ｍｇ ＝ ｍ Ｒ ２ 乙 丙
解得：Ｆ （ ）因为ｖ ｖ ，所以物体与锥面脱离，设绳与竖直方向的夹
所以，手 Ｏ 对 Ｂ＝ 绳 ３０ 子 Ｎ 的力的大小为 角 为α ２ ，此时物 ２ 体 ＞ 受 ０ 力如图丙所示。 根据牛顿第二定律有：
３０ Ｎ
答案 （ ） （ ） ｍｖ２
１ ２ ２ ｍ／ｓ ２ １０ ｍ／ｓ ２ ３０ Ｎ Ｆ α ２
Ｔ ｓｉｎ ＝ｌ· α
ｓｉｎ
应用五 探究圆周运动的临界问题 Ｆ α ｍｇ
Ｔ ｃｏｓ － ＝０
１．与摩擦力有关的临界极值问题 解得：Ｆ ｍｇ
Ｔ＝２
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到 答案 （ ） ． ｍｇ （ ） ｍｇ
１ １０３ ２ ２
牛顿的贡献 牛顿在开普勒等人的工作基础上，发现了万有引力定律和牛顿运动定律。 他把日常所见
的重力和决定天体运动的引力统一起来， 年出版了著名的《自然哲学的数学原理》一书。 他用数学解释了哥白
１６８７
尼学说和天体运动的现象，阐明了运动三定律和万有引力定律等。 在光学方面，他曾致力于光的颜色和光的本性的
研究，为光谱分析奠定了基础；发现了光的一种干涉图样，称为牛顿环；制作了新型的反射望远镜，创立了光的微粒
说。 （图为牛顿）
