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第8 讲 曲线运动 运动的合成与分解
1.掌握曲线运动的概念、特点及条件.
2.掌握运动的合成与分解法则．
考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动
(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与
1
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速度方向不在同一条直线上．
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指
向轨迹的“凹”侧．
3．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
[例题1] （2024•重庆模拟）如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲
线从M 点向N 点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下
列图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：“嫦娥号”探月卫星从M 点运动到N，做曲线运动，速度逐渐减小，故合力指向
指向凹侧，且合力与速度的方向的夹角要大于90°，故ABC 错误，D 正确。
故选：D。
[例题2] （2024•金台区模拟）我国研制的“威龙”J﹣20 是高性能五代歼击机，它在空中
能做连续的开普勒抛物线飞行，飞机飞行的轨迹从左向右运动，图中各点的速度与飞机所受合
力的方向可能正确的（ ）
A．a 点
B．b 点
C．c 点
D．d 点
【解答】解：由于曲线运动的速度方向沿轨迹上该点的切线方向，合外力应指向曲线的内侧，
故ACD 错误，B 正确
2
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故选：B。
[例题3] （2023•黄埔区三模）如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运
动。在与乒乓球运动路线垂直的方向上横放一个纸筒（纸筒开口略大于乒乓球直径）。人趴在
桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球向筒口吹气，则乒乓球被
吹后（ ）
A．保持原运动方向继续前进
B．一定能沿吹气方向进入纸筒
C．偏离原运动方向滚向纸筒左侧
D．偏离原运动方向滚向纸筒右侧
【解答】解：一开始乒乓球向右运动，当乒乓球受到沿纸筒方向的吹气的力后，乒乓球参与了
两个方向的分运动，会偏离原运动方向滚向纸筒右侧；由于惯性，乒乓球不可能吹气方向进入
纸筒。故ABC 错误，D 正确。
故选：D。
考点二 运动的合成及运动性质分析
1．遵循的法则：
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性:合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运
匀变速曲线运动
3
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动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
[例题4] （2024•惠州一模）我国的风洞技术处于世界领先地位。如图所示，在某次风洞
实验中，一质量为m 的轻质小球，在恒定的风力作用下先后以相同的速度大小v 经过a、b 两
点，速度方向与a、b 连线的夹角α、β 均为45°。已知a、b 连线长为d，小球的重力忽略不计。
则小球从a 点运动到b 点过程中，下列说法正确的是（ ）
A．风力方向与a、b 连线平行
B．所用时间为√2d
v
C．小球做匀速圆周运动
D．风力大小为2mv
2
d
【解答】解：A、由题意可知小球做匀变速曲线运动，根据加速度的定义可知加速度方向移动和
速度变化量的方向相同，根据几何关系可知加速度（或合力）方向垂直于a、b 连线，如图，
所以风力方向垂直于a、b 连线，故A 错误；
B、小球的速度沿a、b 连线方向的分速度为：v1＝vsin45°= √2
2 v
4
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由于沿ab 方向是做匀速直线运动，所以a 运动到b 的时间为：t = d
v1
=
d
√2
2 v
= √2d
v
，故B 正确；
C、小球受到恒定风力的作用，做匀变速曲线运动。而匀速圆周运动必须受到始终指向圆心方向
的合力，小球不可能做匀速圆周运动，故C 错误；
D、根据平行四边形定则和数学知识可得：沿风力的方向从a 点运动到b 点的速度变化量为：
Δv 风＝vsinβ﹣（﹣vsinα）＝vsin45°+vcos45°=√2v
那么加速度为：a= Δv 风
t
= √2v
√2d
v
= v
2
d
根据牛顿第二定律，从a 点运动到b 点的风力为：F =ma= m v
2
d
，故D 错误。
故选：B。
[例题5] （2024•沈阳二模）风洞实验是进行空气动力学研究的重要方法。如图所示，将
小球从A 点以某一速度v0水平向左抛出，经过一段时间，小球运动到A 点正下方的B 点，O
点是轨迹的最左端，风对小球的作用力水平向右，大小恒定。则小球速度最小时位于（ ）
A．A 点
B．O 点
C．轨迹AO 之间的某一点
D．轨迹OB 之间的某一点
【解答】解：风对小球的力恒定，说明水平方向的加速度恒定，设水平方向加速度为a，则有vx
＝v0﹣at
竖直方向受重力加速度影响，做匀加速运动，有vy＝gt
合速度为v=√v x
2+ v y
2 =√g
2t
2+ v0
2+a
2t
2-2v0at =√(g
2+a
2)t
2-2v0at + v0
2
根号内为二次函数，其对称轴为t=-2v0a
-2⋅(g
2+a
2)
= v0a
g
2+a
2，说明当t= v0a
g
2+a
2时，合速度有最小
值
5
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当vx＝v0﹣at＝0 时，t= v0
a = v0a
a
2 ＞v0a
g
2+a
2，说明最小速度出现在AO 轨迹之间的某一点，故C
正确，ABD 错误；
故选：C。
[例题6] （2024•天河区一模）如图为自动控制货品运动的智能传送带，其奥秘在于面板
上蜂窝状的小正六边形部件，每个部件上有三个导向轮A、B、C，在单个方向轮子的作用下，
货品可获得与导向轮同向的速度v，若此时仅控制A、C 两个方向的轮子同时按图示箭头方向
等速转动，则货品获得的速度大小为（ ）
A．v
B．√2v
C．√3 v
D．2v
【解答】解：物体参与了两个方向的运动，两个分速度的夹角为60°，根据速度合成可知，合速
度为
v 实际=2vcos30° =√3 v
故ABD 错误，C 正确。
故选：C。
考点三 小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝(d 为河宽)．
②过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，s 短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，
cos α＝.
③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
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不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的
大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：
cos α＝，最短航程：s 短＝＝d.
[例题7] （2024•肇庆二模）下列说法正确的是（ ）
A．人在松软的土地上下陷时，人对地面的压力大于地面对人的支持力
B．“强弩之末，势不能穿鲁缟”，是因为弩箭的惯性减小了
C．跳高运动员在越杆时处于平衡状态
D．船相对于静水的速度大于河水流速时，船过河的最短路程等于河的宽度
【解答】解：A．人对地面的压力与地面对人的支持力是作用力与反作用力，二者大小始终相等，
故A 错误；
B．质量是惯性大小的量度，与速度无关，故B 错误；
C．跳高运动员在越杆时受重力作用，受到的力不等于零，所以不是平衡状态，故C 错误；
D．船相对于静水的速度大于河水流速时，合速度可以垂直于河岸，船过河的最短路程等于河的
宽度，故D 正确。
故选：D。
[例题8] （2023•海南模拟）一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条河宽150m，流速为
5m/s 的河流中渡河，则下列说法正确的是（ ）
A．小船渡河时间不少于60s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250m
D．小船以最短位移渡河时，时间为60s
【解答】解：AD、当船头垂直对岸行驶时时间最短，故最短时间是tmin= d
v 船
代入数据解得tmin＝
50s，故AD 错误；
B、船以最短时间渡河，它沿水流方向位移大小为x＝v 水t 代入数据解得x＝250m，故B 错误；
C 、因船速小于水速，故当合速度方向与船速垂直时，渡河位移最短，如图所示
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设此时合速度的方向与河岸的夹角为θ，sinθ= v 船
v水
= 3
5，则渡河的最小位移为x=
d
sinθ 代入数据
解得x＝250m，故C 正确；
故选：C。
[例题9] （2023•南岗区校级三模）如图所示，以岸边O 点为原点建立空间直角坐标系，x
轴沿河岸方向、y 轴垂直河岸方向、z 轴竖直向上。水速恒为vx＝5m/s，方向沿x 轴正向。t＝0
时刻开始，某船保持船头始终朝向y 轴正方向运动至江心，船在y 方向上的初速度为零，加速
度为a1= 4 m/ s
2。船在x 轴方向上的速度始终与水速相同。在t＝5s 时，船员相对船体以vz＝
10m/s 的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）t＝5s 时船的位置坐标（x1，y1，z1）；
（2）石块到达最高点时的位置坐标（x2，y2，z2）。
【解答】解：（1）沿y 方向做匀加速直线运动，则：y1= 1
2 a yt
2
代入已知数据解得：y1＝50m
x 方向做匀速直线运动，则x1＝vxt
代入已知条件解得：x1＝25m
所以t＝5s 时船的位置坐标为（25m，50m，0）
（2）石块扔出瞬间，此时：vy＝ayt＝4×5m/s＝20m/s
石块到达最高点的时间：t2= v z
g = 10
10 s=1s
此时x 方向的位移：x2＝vx（t+t2）＝5（5+1）m＝30m
8
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y 方向的位移：y2＝y1+vyt2＝50m+20×1m＝70m
沿z 方向的位移：z2= 1
2 gt2
2= 1
2 ×10×1
2m＝5m
所以石块到达最高点时的位置坐标（30m，70m，5m）
答：（1）t＝5s 时船的位置坐标（25m，50m，0）；
（2）石块到达最高点时的位置坐标（30m，70m，5m）。
考点四 绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相
等求解．常见的模型如图8 所示．
[例题10] （2024•碑林区校级模拟）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，
乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施
加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m 时，下列说法正确的是（
）
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A．甲、乙两球的速度大小之比为4：3
B．甲、乙两球的速度大小之比为3：√7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
【解答】解：AB、当乙球距离起点3m 时，设轻杆与竖直方向夹角为θ，根据几何知识可得sinθ
= 3
4 ，cosθ= √7
4
将两球的速度分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，如图所示：
则甲的速度v1 在沿杆方向的分量为v1 杆＝v1cosθ，乙的速度v2 在沿杆方向的分量为v2 杆＝
v2sinθ，结合v1 杆＝v2 杆，解得甲、乙两球的速度大小之比为 v1：v2＝3：√7，故A 错误，B 正确
CD、当甲球即将落地时，θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，根据v1cosθ＝v2sinθ，得乙球的速
度v2＝0，故CD 错误；
故选：B。
[例题11] （2023•琼山区校级三模）如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻
绳的另一端系一质量为m 的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距
离为d。现将小环从与定滑轮等高的A 处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d 时（图中
B 处），下列说法正确的是（ ）
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A．环减少的机械能大于重物增加的机械能
B．小环到达B 处时，重物上升的高度也为d
C．环在B 处的速度与重物上升的速度大小之比为√2
2
D．环在B 处的速度为v =√(3-2√2)gd
【解答】解：A、由于小环和重物只有重力做功，则系统机械能守恒，所以环减少的机械能等于
重物增加的机械能，故A 错误；
B、结合几何关系可知，重物上升的高度：h=
d
cos 45° -d＝（√2-1）d，故B 错误；
C、两个物体沿着绳子方向的分速度，故：v 环cos45°＝vG，故环在B 处的速度与重物上升的速
度大小之比为√2：1，故C 错误；
D、小环和重物组成的系统机械能守恒，故：mgd= 1
2mv 环2+ 1
2（2m）vG
2 +（2m）gh；联立解得：
v 环=√(3-2√2)gd，故D 正确。
故选：D。
[例题12] （2023•泰和县校级一模）质量为m 的物体P 置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，
轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P 与小车，P 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v 水
平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g。当小车和滑轮间的细绳与水平方向成夹角θ2时
（如图），下列判断正确的是（ ）
A．P 的速率为v
B．P 的速率为vsinθ2
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C．运动过程中P 处于超重状态
D．线的拉力始终等于mgsinθ1
【解答】解：AB、将小车的速度沿细绳和垂直细绳方向分解，如图所示：
可知沿细绳方向分速度表达式为vP＝v2＝vcosθ2，故A、B 错误；
CD、由于小车往右运动，可知θ2逐渐减小，因此vcosθ2在逐渐增大，所以P 往上做加速运动，
故C 正确，D 错误。
故选：C。
题型1 曲线运动条件及特点
1.
（2023•昌平区模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．曲线运动的速度方向可以不变
B．匀变速曲线运动任意相等时间内速度的变化量相同
C．速率恒定的曲线运动，任意相等时间内速度的变化量相同
D．物体受到的合外力持续为零时，物体仍可以做曲线运动
【解答】解：A、曲线运动的速度方向一定变，故A 错误；
B、匀变速曲线运动，加速度不变，即相等时间，速度变化量相同，故B 正确；
C、曲线运动速度的方向是变化的，速率恒定的曲线运动受到的合外力的方向一定与速度的方向
始终垂直，则合外力的方向必定是变化的，则任意相等时间内速度的变化量一定不相同，故C
错误；
D、物体做曲线运动的条件是物体所受的合外力和它速度方向不在同一直线上，所以物体受到的
合外力持续为零时，物体不可能做曲线运动，故D 错误。
故选：B。
2.
（2023•海口一模）如图所示，这是质点只在重力作用下所做的曲线运动轨迹的示意
12
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图，已知B 为轨迹的最高点，则下列说法正确的是（ ）
A．质点在B 点时的加速度方向与速度方向不垂直
B．质点在A 点时的加速度比在B 点时的加速度小
C．质点在C 点时的速率大于在B 点时的速率
D．质点从A 点到C 点，加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，速度先增大后减小
【解答】解：AB、质点受重力作用做匀变速曲线运动，在最高点B 时，速度方向与重力加速度
的方向垂直，整个过程重力加速度保持不变，故AB 错误；
C、质点从B 点到C 点，加速度方向与速度方向夹角小于90°，因此该过程质点的速度增大，所
以质点在C 点时的速率大于在B 点时的速率，故C 正确；
D、质点只受重力作用，加速度方向始终竖直向下，质点的速度方向沿运动轨迹的切线方向，质
点从A 点到C 点，加速度方向与速度方向的夹角一直减小；从A 到B 的过程中，加速度与速度
方向的夹角大于90°，质点做减速运动，从B 到C 的过程中，加速度与速度方向的夹角小于
90°，质点做加速运动，速度增大，因此质点从A 到C 的过程中，速度先减小后增大，故D 错误。
故选：C。
题型2 曲线运动速率的变化
3.
（2023•鞍山一模）“歼﹣20”再次闪亮登场2022 珠海航展。如图所示，战机先水平
向右，再沿曲线ab 向上，最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不
变，则沿ab 段曲线飞行时，战机（ ）
A．所受合外力不变
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B．所受合外力方向竖直向上
C．竖直方向的分速度不变
D．水平方向的分速度逐渐减小
【解答】解：AB、战机飞行速率不变，合力方向始终与速度方向垂直，即指向圆心，所受合外
力方向不断变化，不是竖直向上的，故AB 错误；
C、飞机速度大小不变，与水平方向的倾角θ 增大，可得竖直分速度为vy＝vsinθ 增大，即竖直
方向的分速度逐渐增大，故C 错误；
D、飞机速度大小不变，与水平方向的倾角θ 增大，可得水平分速度为vx＝vcosθ 减小，即水平
方向的分速度减小，故D 正确。
故选：D。
4.
（多选）（2022•海拉尔区校级四模）冰壶比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的
旋转（自旋），擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，
可使冰壶做曲线运动。在图示的各图中，圆表示冰壶，ω 表示冰壶自旋的方向，v 表示冰壶前
进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹（虚线表示）可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受
到的摩擦力，而后侧所受摩擦力几乎不变，若冰壶按逆时针方向旋转，则沿速度垂直的方向，
摩擦力的合力向左，则冰壶运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨
迹向右偏转。故AD 正确，BC 错误。
故选：AD。
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题型3 生活中的运动合成与分解
5.
（2024•海门区校级二模）如图所示，光滑水平桌面上，一小球以速度v 向右匀速运
动，当它经过靠近桌边的竖直木板ad 边正前方时，木板开始做自由落体运动。若木板开始运
动时，cd 边与桌面相齐，则小球在木板．上的投影轨迹是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：投影在水平方向做匀速直线运动，竖直方向上相对于木板向上做加速运动，故小
球的合速度应偏向上方，同时加速度指向曲线的内侧，故轨迹应向上；故ACD 错误，B 正确；
故选：B。
6.
（多选）（2024•佛山二模）如图所示，在一条玻璃生产线上，宽3m 的待切割玻璃板
以0.4m/s 的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为0.5m/s，下列说法
正确的是（ ）
A．切割一块矩形玻璃需要10s
B．切割得到的矩形玻璃长为2.4m
C．切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°，可使割下的玻璃板呈矩形
D．切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为143°，可使割下的玻璃板呈矩形
【解答】解：设金刚钻割刀的轨道方向与玻璃板运动的速度方向的夹角为θ，可使割下的玻璃板
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呈矩形，如图所示：
其中v＝0.5m/s，v1＝0.4m/s，根据几何关系可得：
因为合速度的方向与玻璃板垂直，根据平行四边形定则得：cosθ= v1
v = 0.4
0.5 =0.8
则有：θ＝37°
垂直于玻璃运动方向的速度大小为：v2＝vsinθ，解得：v2＝0.3m/s。
A、切割一块矩形玻璃需要的时间为：t= d
v2
= 3
0.3s＝10s，故A 正确；
B、切割得到的矩形玻璃长为：L＝v1t＝0.4×10m＝4m，故B 错误；
CD、根据以上分析可知，切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°，可使割下的玻璃板
呈矩形，故C 正确、D 错误。
故选：AC。
题型4 有关运动合成与分解的图像问题
7.
（2023•浙江模拟）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是
“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹。
O、a、b、c、d 为弹道曲线上的五点，其中O 点为发射点，d 点为落地点，b 点为轨迹的最高
点，a、c 为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（
）
A．炮弹到达最高点b 时的加速度为g
B．炮弹经过c 点时的加速度方向沿该点切线斜向上
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C．炮弹经过a 点时加速度的竖直分量大于g
D．炮弹由a 点运动到b 点的时间与由b 点运动到c 点的时间相等
【解答】解：A．在最高点b，炮弹除了受重力还受到向后的空气阻力，加速度大于g，故A 错
误；
B．根据曲线运动特点，炮弹经过c 点时加速度方向一定指向轨迹凹侧，故B 错误；
C．炮弹经过a 点时，受空气阻力和重力共同作用，空气阻力方向与速度方向相反斜向左下方，
根据牛顿第二定律，加速度的竖直分量由重力和空气阻力竖直分力相加得出，所以炮弹经过a 点
时加速度的竖直分量大于g，故C 正确；
D．设炮弹由a 点运动到b 点过程中，受阻力平均竖直分量为f1，由b 点运动到c 点过程中，受
阻力平均竖直分量为f2，根据牛顿第二定律，则前、后两个过程炮弹竖直平均加速度大小分别为
a1= mg+ f 1
m
a2= mg- f 2
m
＜a1
根据运动学规律，炮弹由a 点运动到b 点时间小于由b 点运动到c 点时间，故D 错误。
故选：C。
8.
（2024•吉林一模）质量为2kg 的质点在xy 平面上做曲线运动，在x 方向的速度图象
和y 方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．质点的初速度为3 m/s
B．质点所受的合外力为3 N
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直
D．2 s 末质点速度大小为6 m/s
【解答】解：A、x 轴方向初速度为vx＝3m/s，y 轴方向初速度vy= Δy
Δt = 0-8
2
=-4m/s，质点的
初速度v0=√v x
2+ v y
2 =√3
2+ 4
2=5m/s。故A 错误。
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B、x 轴方向的加速度a= Δv x
Δt = 6-3
2
=1.5m/s2，质点的合力F 合＝ma＝3N．故B 正确。
C、合力沿x 轴方向，而初速度方向既不在x 轴，也不在y 轴方向，质点初速度的方向与合外
力方向不垂直。故C 错误。
D、由图可知，2 s 末质点速度x 方向的大小为6 m/s，而y 方向的速度仍然是﹣4m/s，所以合
速度是√6
2+ 4
2=√52m/s。故D 错误。
故选：B。
题型5 小船渡河最短时间问题
9.
（多选）（2023•上饶模拟）一艘小船正在渡河，如图所示，在到达离河对岸60m 处
的P 点时，其下游80m 处有一危险水域，已知船在静水中的最大速度为6m/s，水流的速度大
小为5m/s，P 点离另一河岸的距离大于100m，下列说法正确的是（ ）
A．小船以最短时间渡河时，可以安全到达河岸
B．小船以最短时间渡河时，不能安全到达河岸
C．小船渡河的位移可能为60m
D．小船渡河的位移不可能为100m
【解答】解：AB．根据题意可知，当船头正对河岸且以最大的静水速度航行时，渡河时间最短，
最短时间为tmin= d
v 船
= 60
6 s=10 s，此时，船沿河岸移动的距离为x＝v 水tmin＝5×10m＝50m＜
80m，不会到达危险水域，故小船以最短时间渡河时，可以安全到达河岸，故B 错误，A 正确；
C．船在静水中速度大于水流速度，则可以通过调整船头方向，让船速度斜向上，让船的合速度
方向正对河岸，此时渡河位移最短，最短距离为河宽60m，故C 正确；
D．通过调整船头方向，让船的合速度方向指向上游时，角度合适，位移可能是100m，此时还
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没有到达危险水域，能保证小船的安全，故D 错误。
故选：AC。
10. （2022•桃城区校级模拟）某小船在河宽为d，水速恒定为v 的河中渡河，第一次用最
短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v1，所用时间为t1；第二次用最短
航程渡河从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v2，所用时间为t2，结果两
次恰好抵达对岸的同一地点，则（ ）
A．第一次所用时间t1= d
v
B．第二次所用时间t2= d
v2
C．两次渡河的位移大小之比为v2
v1
D．两次渡河所用时间之比t1
t2
= v2
2
v1
2
【解答】解：A．两次渡河时如图
渡河最短时间t
= d
v静
，所以t1= d
v1
，故A 错误；
B．第一次渡河有tanα = v1
v
，第二次渡河时有：v2
v = sinα，
所以
1
cosα = v1
v2
，
第二次渡河时间为：t2=
d
v2cosα ，故B 错误；
C．根据图形可知两次位移之比为1：1，故C 错误；
D．两次时间之比t1
t2
= v2cosα
v1
= v2
2
v1
2，故D 正确；
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故选：D。
题型6 小船渡河最短距离问题
11. （2022•市中区校级模拟）一条平直小河的河水由西向东流，水流速度的大小为v 水＝
4m/s，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，已知小船在垂直河岸方向运动的规律满足x＝6t﹣
0.05t2，且小船刚好到达河对岸，则小船在渡河的这段时间内的运动情况，下列说法正确的是
（ ）
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中40s 时的速度为√41m/s
C．小船在河水中40s 时的位移为160m
D．小船到达河对岸时沿河岸方向运动的位移为240m
【解答】解：将小船在垂直河岸方向运动的规律x＝6t﹣0.05t2，与匀变速直线运动的公式：x
= v0t + 1
2 at
2比较可知，小船沿垂直河岸方向运动的初速度：v 船0＝6m/s，加速度：a＝﹣
0.1m/s2；可知小船在垂直河岸方向做匀减速直线运动；
A、小船在垂直河岸方向上做匀减速直线运动，在沿河岸方向上做匀速直线运动，合加速度的方
向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，故A 错误；
B、小船在河水中在垂直河岸方向的速度：v 船＝v 船0+at＝6m/s﹣0.1×40m/s＝2m/s
船运动的合速度：v=√v水
2 + v 船
2 =√4
2+2
2m/s=2√5m/s，故B 错误；
C、40s 内船沿垂直河岸方向的位移：x = v 船0t + 1
2 at
2=6×40m+ 1
2 ×(-0.1)×4 0
2m＝160m，沿
河岸方向的位移：y ＝v
水t ＝4×40m ＝160m ，所以船的合位移：
s=√x
2+ y
2=√160
2+160
2m=160√2m，故C 错误；
D、小船刚好到达河对岸，则到达对岸时垂直于河岸方向的速度为零，所以运动的时间：
t0= 0- v 船0
a
= 0-6
-0.1 s＝60s，该过程中小船沿河岸方向运动的位移为：y′＝v 水t0＝4×60m＝
240m，故D 正确。
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故选：D。
题型7 绳类关联速度
12. （2023•重庆模拟）如图所示，物体A 和小车用轻绳连接在一起，小车以速度v0向右
匀速运动。当小车运动到图示位置时，轻绳与水平方向的夹角为θ，关于此时物体A 的运动情
况的描述正确的是（ ）
A．物体A 减速上升
B．物体A 的速度大小vA＝v0
C．物体A 的速度大小vA＝v0sinθ
D．物体A 的速度大小vA＝v0cosθ
【解答】解：将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，
沿绳子方向的分速度等于A 的速度，则：vA＝v0cosθ，
小车向右做匀速直线运动，则θ 减小，则A 的速度增大，A 做加速运动，故D 正确，ABC 错误。
故选：D。
13. （2023•凯里市校级模拟）如图所示，质量为m 的木块a 放置在倾角为α 的固定斜面
上，通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b 相连，
小球以速率v 向左匀速运动，不计空气阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆
的夹角为β 时（ ）
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A．木块a 的速度大小为v
B．木块a 的速度大小为
v
cosβ
C．细线的拉力大于mgsinα
D．细线的拉力小于mgsinα
【解答】解：AB、将小球b 的速度分解为沿绳方向的分速度v1和垂直于绳方向的分速度v2
由几何关系得，木块a 的速度大小等于v1＝vcosβ
故AB 错误；
CD、小球b 向左做匀速直线运动，β 逐渐减小，cosβ 逐渐增大，则木块a 的速度逐渐增大，即
木块a 做加速运动，对木块受力分析，沿斜面方向，细线的拉力大于mgsinα，故C 正确，D 错
误。
故选：C。
题型8 杆类关联速度
14. （2023•浙江模拟）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线
上的往复运动。连杆AB，OB 可绕图中A、B、O 三处的转轴转动，连杆OB 长为R，连杆AB
长为L（L＞R），当OB 杆以角速度ω 逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆
AB 与水平方向夹角为α，AB 杆与OB 杆的夹角为β。在滑块向左滑动过程中（ ）
A．滑块A 从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动
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B．当OB 杆与OA 垂直时，滑块的速度最大
C．当OB 杆与OA 垂直时，滑块的速度大小为R
2ω
L
D．当β＝90°时，滑块的速度大小为Rω√L
2+ R
2
L
【解答】解：设滑块的速度（合速度）大小为v，沿水平方向，如图将A 点的速度分解为沿着杆
的分速度和垂直杆的分速度
根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度：
v1＝vcosα
BB 点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方
向的分速度，如图设B 的线速度为v'，则
沿杆的分速度：
v'1＝V'cosθ＝V'cos（90°﹣β）＝V'sinβ
V'＝ωR
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即v1＝v'1
联立可得v = ωRsinβ
cosα
在△AOB 中，由正弦定理得R
sinα = SOA
sinβ
解得v＝ωsOAtanα
A.滑块A 从右向左运动时，其速度v＝ωsOAtanα，随角度α 变化而不均匀变化，角度α 先增大后
减小，根据正切函数的性质可知，滑块先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的减速运
动，故A 错误；
BC.当O 杆OB 与AB 垂直时，α＝90°﹣β，sinβ＝cosα，则v = ωRsinβ
cosα
=ωR，滑块的速度不是
最大，故B，C 错误；
D.当β＝90°时，如图所示：
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滑块的速度为：
v = ωRsinβ
cosα
=
ωR
L
√L
2+ R
2
= Rω√L
2+ R
2
L
，故D 正确。
故选：D。
15. （2022•雨花区校级一模）往复式活塞压缩机简图如图所示，圆盘与活塞通过铰链
A、B 连接在轻杆两端，左侧活塞被轨道固定，只能在AO 方向运动。圆盘绕圆心O 做角速度
为ω 的匀速圆周运动。已知OB 距离为r。AB 杆长L＞2r，则（ ）
A．当杆长不变时，若OB 距离变大，活塞运动的范围变小
B．当OB 距离不变时，杆长L 越大，活塞运动的范围越大
C．当OB 垂直于AO 时，活塞速度为ωr
D．当OB 垂直于AB 时，活塞速度为ωr
【解答】解：AB、当B 点在圆心左侧水平位置时，活塞运动到最左位置，距离O 点s1＝L+r，
当B 点在圆心右侧水平位置时，活塞运动到最右位置，距离O 点s2＝L﹣r，所以活塞运动范围
为s1﹣s2＝2r，此距离与杆长L 无关，与r 成正比，故AB 错误；
C、圆盘B 点速度vB＝rω，当OB 垂直于AO 时，如下图所示，此时活塞速度方向与圆盘上B 点
速度方向相同，速度方向与杆夹角θ 相同，沿杆速度vBcosθ＝vAcosθ，此时有vA＝vB＝rω，故C
正确；
D、当OB 垂直于AB 时，如下图所示，此时B 点的速度方向一定沿杆，则vA≠vB，故D 错误。
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故选：C。
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